2024年山东省青岛市高新区中考数学三模试卷（含解析）

这是一份2024年山东省青岛市高新区中考数学三模试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.“跟着春晚游西安”成为“西安年”最热门旅游线路.春节期间，大唐不夜城万人同吟《将进酒》与“李白”隔空对诗，接待游客总人数达6170000人次，创历史新高.将数据6170000用科学记数法表示为( )
A. 617×104B. 61.7×105C. 6.17×106D. 6.17×107
2.下列实数中，无理数的是( )
A. 8B. 27C. 4D. (π+1)0
3.如图图形中，是中心对称但不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.计算(−4)×3的结果等于( )
A. −12B. −7C. −1D. 12
5.如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形.若△ABC和△DEF的周长之比为1：3，则OC：OF=( )
A. 1：2
B. 1：3
C. 1：4
D. 1：9
6.第十四届全国冬季运动会已成功举办，山西某运动俱乐部赛前预备在三位短道速滑运动员中选取一名发挥优秀且稳定的运动员参赛.他们的训练成绩如下表所示，那么派出的队员应为( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
7.如图，小明和爸爸在玩跷跷板.已知小明的体重为50kg，距离跷跷板支点的距离为1.2m，设爸爸的体重为xkg，距离跷跷板支点的距离为ym.若要使跷跷板保持平衡，则x与y应满足的关系式为．( )
A. y=60xB. y=x60C. y=60xD. y=50x
8.如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上一点，PD切⊙O于点C，AC平分∠EAB，AD与BC的延长线交于点E，AE=5，BE=6，则CD的长为( )
A. 2.5B. 2.4C. 3D. 1.5
9.用边长为1的小等边三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图形有6个边长为1的小三角形，第②个图形有10个边长为1的小三角形，第③个图形有14个边长为1的小三角形，第④个图形有18个边长为1的小三角形，…，按照这个规律排列下去，第⑩个图形中边长为1的小三角形的个数为( )
A. 34B. 38C. 42D. 46
10.如图，二次函数：y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线x=1，点B坐标为(−1,0)，则下面的五个结论：
①abc<0；②4a+2b+c>0；③当y<0时，x<−1或x>3；④2c+3b=0；⑤a+b≥m(am+b)(m为实数)，其中正确的结论是( )
A. ②③④⑤
B. ①③④⑤
C. ①②④⑤
D. ①②③⑤
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.在函数y=1 x+3+(x−2)0中，自变量x的取值范围是______．
12.计算a−3ba2−b2+1a−b的结果是______．
13.写出一个图象只经过第二、四象限的函数表达式______．
14.若x1与x2是方程2x2−4x+1=0的两个实数根，则1x1+1x2= ______．
15.苯是最简单的芳香族化合物，在有机合成工业上有着重要的用途，如图是苯的结构简式，由于苯分子的所有碳碳键的键长都相等，因此图中的六边形为正六边形，AB、AC为该正六边形的两条对角线，若该正六边形的边长为4，则△ABC(阴影部分)的面积为______.(结果保留根号)
16.如图，点A，D在反比例函数y=kx(k<0)的图象上，CD垂直y轴，垂足为C，AB⊥CD，垂足为B.若四边形OABD的面积为8，BD=2CD，则k的值为______．
三、解答题：本题共10小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：−12024+| 3−2|+2sin60°−(−12)−2．
18.(本小题6分)
先化简，再求值：(1−aa+1)÷a2−2a+1a2−1，其中a= 2．
19.(本小题6分)
解方程和不等式：
(1)解方程：1x−3+23−x=1；
(2)解不等式组：2x+1>xx+52−x≥1．
20.(本小题6分)
如图，在△ABC，AB>AC，点D在边AB上，且BD=CA，过点D作DE/​/AC交BC于点F，连接BE，且∠DFB=∠ABE，求证：△ABC≌△DEB．
21.(本小题6分)
我国大力发展职业教育，促进劳动力就业.某职业教育培训中心开设：A(旅游管理)、B(信息技术)、C(酒店管理)、D(汽车维修)四个专业，对某中学有参加培训意向的学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从这四个专业中选择一个且只能选择一个，该培训中心将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图

根据图中信息解答下列问题：
(1)本次被调查的学生有______人；扇统计图中A(旅游管理)专业所对应的圆心角的度数为______；
(2)请补全条形统计图，若该中学有300名学生有培训意向，请估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有______人；
(3)从选择D(汽车维修)专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习，请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率．
22.(本小题6分)
阅读理解
材料1：观察数轴可知，当x>0时，随着x的不断增大，1x的值随之减小，并无限接近0；当：x<0时，随着x的不断增大，1x的值也随之减小．
材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式.当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式.有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式.如：
2x+1x−4=2x−8+8+1x−4=2x−8x−4+8+1x−4=2+9x−4.根据上述材料完成下列问题：
(1)当x>0时，随着x的不断增大，1+1x的值______(增大或减小)；
当x<0时，随着x的不断增大，x+2x的值______(增大或减小)；
(2)当x>3时，随着x的不断增大．5x−2x−3的值无限接近一个数，请求出这个数．
23.(本小题8分)
如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，过点C作⊙O的切线交AB延长线于点D．
(1)求证：∠BCD=∠A；
(2)若tan∠CAB=34，BD=6，求⊙O的半径．
24.(本小题6分)
(科技成就)随着5G技术的发展，为扩大网络信号的辐射范围，某通信公司在一座坡度为i=1：2.4的小山坡AQ上新建了一座大型的网络信号发射塔PQ(如图所示)，信号塔底端Q到坡底A的距离为3.9米.同时为了提醒市民，在距离斜坡底A点4.4米的水平地面上立了一块警示牌：MN，当太阳光线与水平线成53°角时，测得信号塔PQ落在警示牌上的影子EN长为3米.求信号塔PQ的高.(结果精确到0.1米，参考数据：sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.33)
25.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx−4(a≠0)的图象与x轴交于A(4,0)，B(−1,0)两点，与y轴交于点C．

(1)求二次函数的解析式；
(2)点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，连接AP、AC、BP、BC，线段AC与BP交于点Q，设△PAQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2，当S1−S2取最大值时，求点P的坐标；
(3)当−1≤x26.(本小题8分)
【问题提出】
如图1，在△ABC中，AC=AB，BC=4，作BD⊥AB，垂足为B，且BD=AB，连接CD，求△BCD的面积．
【问题解决】
某市着力打造宜居宜业现代化生态城市，为了呈现出园在城中秀，湖在园中美的迷人画卷，如图2所示，现在一处空地上规划一个五边形湖景公园ABCDE.按设计要求，要在五边形湖景公园ABCDE内挖个四边形人工湖EFGH，使点F，G分别在边CD，BC上，且ED=EF=FG=100 10m，∠EFG=90°，∠EHG=60°.已知五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=90°，BC=600m，DC=500m.为满足人工湖的造景需要，想让人工湖面积尽可能大.请问，是否存在符合设计要求的画积最大的四边形人工湖EFGH？若存在，求四边形EFGH面积的最大值；若不存在，请说明理由.(结果保留根号)
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：6170000=6.17×106．
故选：C．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解： 8=2 2， 4=2，(π+1)0=1，
27， 4，(π+1)0是有理数；
8是无理数．
故选：A．
根据无理数的定义解答即可．
本题考查的是无理数，算术平方根及零指数幂，熟知以上知识是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A.该图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.该图是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项合题意；
C.该图不是中心对称图形，但是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D.该图不是中心对称图形，但是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查中心对称，轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4.【答案】A
【解析】解：原式=−12．
故选：A．
根据有理数的乘法法则进行解题即可．
本题考查有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△DEF，BC/​/EF，
∴△BOC∽△EOF，
∴OC：OF=BC：EF，
∵△ABC和△DEF的周长之比为1：3，
∴BC：EF=1：3，
∴OC：OF=1：3，
故选：B．
根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，BC/​/EF，得到△BOC∽△EOF，根据相似三角形的性质得到OC：OF=BC：EF，根据相似三角形的周长比等于相似比求出BC：EF，进而求出OC：OF．
本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：由表可知从平均时间看，丁的成绩最好，其次是甲与丙，乙的成绩最低，
从方差看，丁成绩波动幅度太大，甲与乙成绩最稳定，
∴结合平均时间与方差看，甲发挥优秀且稳定，
故选：A．
根据方差的意义先比较出甲、乙、丙、丁的大小，再根据平均数的意义即可求出答案．
此题考查了平均数和方差，方差它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
7.【答案】C
【解析】解：由题意，得：
xy=50×1.2
∴y=60x
故选：C．
根据小明的体重与小明到跷跷板支点的距离之积等于爸爸的体重与小明爸爸到跷跷板支点的距离之积求解即可．
本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键要学会利用反比例函数解决实际问题：①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
8.【答案】B
【解析】解：连接CO，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACE=180°−∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠ACE，
∵AC平分∠EAB，
∴∠BAC=∠EAC，
∵AC=AC，
∴△ABC≌△AEC(ASA)，
∴BC=EC，
∵BC+EC=BE=6，
∴BC=EC=3，
∴在Rt△AEC中，AC= AE2−CE2= 52−32=4，
SRt△AEC=12AC⋅CE=12×4×3=6，
∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥PD，即∠PCO=90°，
∵AO=CO，
∴∠OAC=∠ACO，
∵∠BAC=∠EAC，
∴∠ACO=∠EAC，
∴CO//AE，
∴∠PDA=∠PCO=90°，
∴S△ACE=12AE⋅CD，即6=12×5CD，
∴CD=2.4．
故选：B．
连接CO，由AB是直径得到∠ACB=∠ACE=90°，从而证△ABC≌△AEC(ASA)，得到BC=EC=3，根据勾股定理在Rt△AEC中求得AC=4，由PD切⊙O于点C得到∠PCO=90°，再由∠ACO=∠EAC=∠BAC，得到CO//AE，从而有∠PDA=∠PCO=90°，根据Rt△AEC的面积即可解答．
本题考查切线的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，平行线的判定及性质，等腰三角形的性质，综合运用相关知识是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：第①个图形有2+4×1=6个边长为1的小三角形，
第②个图形有2+4×2=10个边长为1的小三角形，
第③个图形有2+4×3=14个边长为1的小三角形，
第④个图形有2+4×4=18个边长为1的小三角形，
…，
按照这个规律排列下去，
第n个图形有(2+4n)个边长为1的小三角形，
第⑩个图形中边长为2+4×10=42的小三角形，
故选：C．
观察图形发现：每增加一个图形增加4个小三角形，利用这一规律求解即可．
本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并找到图形变化的规律，难度不大．
10.【答案】D
【解析】解：∵抛物线的开口向下，
∴a<0，
∵对称轴为x=−b2a=1，
∴b=−2a>0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c>0，
∴abc<0，故①正确；
∵对称轴为x=1，
∴x=2与x=0的函数值相等，即：4a+2b+c=c>0，故②正确；
∵点(−1,0)关于x=1的对称点为(3,0)，
∴当y<0时，x<−1或x>3；故③正确；
∵图象过点(−1,0)，b=−2a，
∴a−b+c=−12b−b+c=−3b2+c=0，
∴2c−3b=0；故④错误；
∵抛物线的开口向下，
∴当x=1时，函数值最大，
即：a+b+c≥am2+bm+c，
∴a+b≥m(am+b)；故⑤正确；
综上，正确的结论是①②③⑤；
故选：D．
依据开口方向，对称轴，与y轴的交点坐标判断①，特殊点判断②，图象法解不等式，判断③，特殊点结合对称轴，判断④，最值判断⑤．
本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，掌握二次函数的性质是解题的关键．
11.【答案】x>−3且x≠2
【解析】解：由题意得，x+3>0且x−2≠0，
∴x>−3且x≠2，
故答案为：x>−3且x≠2．
根据二次根式，分式有意义的条件及非零指数幂列出不等式，解不等式即可求解．
本题考查了函数自变量的取值范围的确定，熟练掌握二次根式，分式有意义的条件及非零指数幂的概念是解题的关键．
12.【答案】2a+b
【解析】解：a−3ba2−b2+1a−b
=a−3b(a+b)(a−b)+a+b(a+b)(a−b)
=a−3b+a+b(a+b)(a−b)
=2a−2b(a+b)(a−b)
=2(a−b)(a+b)(a−b)
=2a+b，
故答案为：2a+b．
先把两个分式通分，再根据同分母的分式相加，最后把分子和分母分解因式，进行约分即可．
本题主要考查了分式的加减运算，解题关键是熟练掌握分式的通分和约分．
13.【答案】y=−1x(答案不唯一)
【解析】解：∵反比例函数位于二、四象限，
∴k<0，
解析式为：y=−1x．
故答案为：y=−1x(答案不唯一)．
对于反比例函数y=kx(k≠0)，①k>0，反比例函数图象在一、三象限；②k<0，反比例函数图象在第二、四象限内．
本题考查了反比例函数的性质，要知道，对于反比例函数y=kx(k≠0)，①k>0，反比例函数图象在一、三象限；②k<0，反比例函数图象在第二、四象限内．
14.【答案】4
【解析】解：∵x1与x2是方程2x2−4x+1=0的两个实数根，
∴x1+x2=−−42=2,x1x2=12，
∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=212=4．
故答案为：4．
利用根与系数的关系，求出x1+x2和x1x2，再用整体思想即可解决问题．
本题考查根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
15.【答案】8 3
【解析】解：∵该图形是正六边形，
∴∠EBC=180°−360°6=120°=∠ADC．
∵正六边形具有对称性，
∴∠ABC=∠BAD=60°．
∵AD=CD，
∴∠CAD=180°−120°2=30°，
∴∠ACB=90°．
∵BC=4，
∴AB=2BC=8．
根据勾股定理得AC= AB2−BC2=4 3，
∴S△ABC=12BC⋅AC=12×4×4 3=8 3．
故答案为：8 3．
先求出六边形的内角∠EBC，根据对称性可知∠ABC，∠BAD，再根据等腰三角形的性质得∠CAD，进而得出△ABC是直角三角形，根据勾股定理和直角三角形的性质得出答案．
本题主要考查了正多边形的外角和，等腰三角形的性质，勾股定理，含30°直角三角形的性质等，确定△ABC是直角三角形是解题的关键．
16.【答案】−4
【解析】解：设点D坐标为(m,km)(m<0,k<0)，
∵BD=2CD，
∴B(3m,km)，C(0,km)，A(3m,k3m)，
∴AB=km−k3m=2k3m，OC=km，BC=−3m．
∵四边形OABC的面积−S△OCD=8，
∴12(AB+OC)⋅BC−12丨k丨=8，
12×(2k3m+km)×(−3m)+k2=8，
解得：k=−4．
故答案为：−4．
设点D坐标为(m,km)，则有B(3m,km)，C(0,km)，A(3m,k3m)，根据梯形面积为8列出方程，解出k值即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握梯形面积公式是解答本题的关键．
17.【答案】解：−12024+| 3−2|+2sin60°−(−12)−2
=−1+(2− 3)+2× 32−4
=−1+2− 3+ 3−4
=1−4
=−3．
【解析】按照运算顺序计算即可．
本题主要考查了特殊角三角函数值的混合运算、有理数的乘方、化简绝对值、负整数指数幂，掌握相应的计算方法是解题的关键．
18.【答案】解：原式=(a+1a+1−aa+1)⋅(a+1)(a−1)(a−1)2
=1a+1⋅a+1a−1
=1a−1，
当a= 2时，1a−1=1 2−1= 2+1．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
本题考查了分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握分式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键．
19.【答案】解：(1)1x−3+23−x=1，
1−2=x−3，
解得：x=2，
检验：当x=2时，x−3≠0，
∴x=2是原方程的根；
(2)2x+1>x①x+52−x≥1②，
解不等式①得：x>−1，
解不等式②得：x≤3，
∴不等式组的解集为：−1【解析】(1)按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答；
(2)按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】证明：∵DE/​/AC，
∴∠A=∠BDE，∠C=∠BFD，
∵∠DFB=∠ABE，
∴∠C=∠DBE，
在△ABC和△DEB中，
∠C=∠DBEAC=BD∠A=∠BDE，
∴△ABC≌△DEB(ASA)．
【解析】由平行线的性质推出∠A=∠BDE，∠C=∠BFD，而∠DFB=∠ABE，得到∠C=∠DBE，由ASA推出△ABC≌△DEB．
本题考查全等三角形的判定，关键是由平行线的性质推出∠A=∠BDE，∠C=∠DBE，掌握全等三角形的判定方法：ASA．
21.【答案】200 72° 60
【解析】解：(1)本次被调查的学生有：70÷35%=200(人)，
扇统计图中A(旅游管理)专业所对应的圆心角的度数为：40200×360°=72°，
故答案为：200，72°；
(2)条形统计图中，B(信息技术)专业的人数为：200−40−70−30=60(人)，
故答案为：60；
补全条形统计图如下：
(3)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、丙两名同学的结果有2种，
∴恰好抽到甲、丙两名同学的概率为212=16．
(1)由选择C专业的人数除以所占百分比即可；
(2)由360°乘以选择D专业的人数所占的比例即可得出扇形统计图中D(汽车维修)专业所对应的圆心角的度数，再求出B专业的人数，补全条形统计图即可；
(3)画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是条形统计图与扇形统计图、用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】减小 减小
【解析】解：(1)∵当x>0时，1x随着x的增大而减小，
∴随着x的增大，1+1x的值减小；
∵当x<0时，2x随着x的增大而减小，
∵x+22=1+2x，
∴随着x的增大，x+2x的值减小，
故答案为：减小，减小；
(2)∵5x−2x−3=5(x−3)+13x−3=5+13x−3，
∵当x>3时，随着x的不断增大，13x−3的值无限接近0，
∴5x−2x−3的值无限接近5．
(1)由1x，2x的变化情况，判断1+1x，x+2x=1+2x的变化情况即可；
(2)由5x−2x−3=5(x−3)+13x−3=5+13x−3，再结合x的取值范围即可求解．
本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，
∴∠OCB+∠DCB=90°，
∴∠ACO=∠DCB，
∵OC=OA，
∴∠A=∠ACO，
∴∠BCD=∠A；
(2)解：∵tan∠CAB=34，
∴BCAC=34，
设BC=3x，AC=4x，
∴AB= AC2+BC2=5x，
∵∠BCD=∠A，∠D=∠D，
∴△ACD∽△CBD，
∴CDAD=BCAC=34，
∴设CD=3x，AD=4x，
∴AB=4x−6，
∴OC=OA=12AB=2x−3，
∵∠OCD=90°，
∴OC2+CD2=OD2，
∴(2x−3)2+(3x)2=(2x−3+6)2，
解得x=83，x=0(不合题意舍去)，
∴⊙O的半径为73．
【解析】(1)根据圆周角定理得到∠ACB=90°，求得∠ACO+∠BCO=90°，根据切线的性质得到∠OCD=90°，得到∠OCB+∠DCB=90°，求得∠ACO=∠DCB，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ACO，等量代换得到∠BCD=∠A；
(2)根据相似三角形的性质得到CDAD=BCAC=34，设CD=3x，AD=4x，得到AB=4x−6，求得OC=OA=12AB=2x−3，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确地找出辅助线是解题的关键．
24.【答案】解：过点E作EF⊥PQ于点F，延长PQ交BA于点G，可得QG⊥BA，
∵QA=3.9米，QG：AG=1：2.4，
∴设QG=x米，则AG=2.4x，
∴x2+(2.4x)2=3.92，
解得：x=1.5，
则AG=2.4x=3.6，
∴EF=NG=4.4+3.6=8(米)，
在Rt△PEF中，
故tan53°=PFEF=PF8≈1.33，
解得：PF=10.64(m)，
∵FQ=EN−QG=3−1.5=1.5(m)，
∴PQ=10.64+1.5≈12.1(m)．
答：信号塔PQ的高约为12.1m．
【解析】过点E作EF⊥PQ于点F，延长PQ交BA于点G，可得QG⊥BA，直接根据已知构造直角三角形利用坡度的定义得出QG的长，再利用锐角三角函数关系得出PF的长，进而得出答案．
此题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，解决本题的关键是对坡度坡角的理解掌握情况．
25.【答案】解：(1)将A(4,0)，B(−1,0)代入y=ax2+bx−4(a≠0)，
得：16a+4b−4=0a−b−4=0，
解得a=1b=−3，
∴二次函数的解析式为y=x2−3x−4；
(2)由(1)知y=x2−3x−4，
当x=0时，y=−4，
∴C(0,−4)，
∴OC=4，
∵A(4,0)，B(−1,0)，
∴AB=4−(−1)=5；
∵y=x2−3x−4=(x−32)2−254，
∴二次函数图象的顶点坐标为(32,−254)；
S1−S2=(S1+S△ABQ)−(S2+S△ABQ)=S△ABP−S△ABC=12AB⋅(|yP|−OC)=12×4×(|yP|−4)，
当点P与二次函数图象的顶点重合时，|yP|取最大值，S1−S2取最大值，
此时点P的坐标为(32,−254)；
(3)由(2)得y=x2−3x−4=(x−32)2−254，
∴二次函数图象的对称轴为直线x=32，
①当−1x=m，y有最小值m2−3m−4，
最大值与最小值的差为：0−(m2−3m−4)=−m2+3m+4，不是定值，不合题意；
②当32x=−1，y有最大值0，
最大值与最小值的差为：0−(−254)=254，是定值，符合题意；
③当m>4时，x=32，y有最小值−254，
x=m，y有最大值m2−3m−4，
最大值与最小值的差为：(m2−3m−4)−(−254)=m2−3m+94，不是定值，不合题意；
综上可知，当32【解析】(1)将A(4,0)，B(−1,0)代入解析式，利用待定系数法求解；
(2)由S1−S2=(S1+S△ABQ)−(S2+S△ABQ)=S△ABP−S△ABC可得当点P与二次函数图象的顶点重合时，|yP|取最大值，S1−S2取最大值，由此可解；
(3)分−14三种情况，结合二次函数图象求出最大值、最小值，作差判断是否为定值即可．
本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质、二次函数中的面积问题，难度较大，熟练运用数形结合和分类讨论思想是解题的关键．
26.【答案】解：(1)作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，如图：

∵AB=AC，
∴CE=BE=2，∠EAB+∠ABE=90°，
∵∠ABE+∠ABD+∠DBF=180°，∠ABD=90°，
∴∠DBF=BAE，
∵∠DFB=∠AEB=90°，
∴∠ABE=∠BDF，
又∵AB=BD，
∴△ABE≌△BDF(ASA)，
∴DF=BE=2，
∴S△BCD=12BC⋅DF=12×4×2=4；
(2)存在，
作△EHG的外接圆，取EG中点N，连接HN，如图：

∵EF=FG=100 10，∠EFG=90°，
∴△EFG为等腰直角三角形，
∴S△EFG=12EF2=50000(m2)，EG=200 5m，
∵∠EHG=60°，为定值，
∴△EHG外接圆唯一，
∴当EH=GH时，△EHG面积最大，
此时，△EHG为等边三角形，
∴EN=NG=50 10m，
∴HN=50 30m，
∴S△EHG=12EG⋅HN=12×100 10×50 30=25000 3(m2)，
∴S四边形EFGH=50000+25000 3(m2)，
∴四边形EFGH面积的最大值为(50000+25000 3)平方米．
【解析】(1)作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，根据角的互余关系得出△ABE和△BDF对应角相等，再根据AB=BD，判定这两个三角形全等，从而求出DF长，最后根据三角形面积公式求解即可；
(2)因为EF=FG，∠EFG=90°，所以△EFG是等腰直角三角形，因为EF和FG长度一定，所以△EFG的面积为定值，要想四边形EFGH面积最大，需要△EHG面积最大，因为∠H为定值，所以△EGH的外接圆唯一，所以当H在EG的垂直平分线上时，△EGH面积最大，据此解答．
本题主要考查了三角形综合题，合理运用等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质是本题解题的关键．甲
乙
丙
丁
平均时间(s)
50.1
51.3
50.1
50.0
方差
0.9
0.9
1.3
57.8