湖北省高中名校联盟2024届高三下学期5月第四次联合测评（三模）数学试卷(含答案)

这是一份湖北省高中名校联盟2024届高三下学期5月第四次联合测评（三模）数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知复数z满足,则( )
A.B.C.D.
2．已知集合，集合B满足,则B可以为( )
A.B.C.D.
3．某校举行“云翔杯”学生篮球比赛,统计部分班级的得分数据如下：
则( )
A.得分的中位数为28B.得分的极差为8
C.得分的众数为31D.得分的平均数为91
4．已知m,n是不同的直线,,是不同的平面,则( )
A.若,,,则B.若,,,则
C.若,,则D.若,,,则
5．在中，若，则( )
A.B.C.D.
6．已知是各项均为正数的等比数列，，，则( )
A.2B.3C.4D.5
7．过抛物线的焦点F作直线，，其中与C交于M，N两点，与C交于P，Q两点，则( )
A.1B.2C.3D.4
8．若,,则实数的最大值为( )
A.1B.0C.D.
二、多项选择题
9．已知双曲线过点,则( )
A.双曲线E的实轴长为4
B.双曲线E的离心率为
C.双曲线E的渐近线方程为
D.过点P且与双曲线E仅有1个公共点的直线恰有1条
10．张同学从学校回家要经过2个路口，假设每个路口等可能遇到红灯或绿灯，每个路口遇到红绿灯相互独立，记事件A：“第1个路口遇到绿灯”，事件B：“第2个路口遇到绿灯”，则( )
A.B.C.D.
11．已知是定义在R上的函数,且任意x,，有，，则( )
A.为R上的单调递增函数
B.为奇函数
C.函数在处取极小值
D.函数只有一个非负零点
三、填空题
12．已知向量,，若,则实数______.
13．已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，且，，，则球O的半径为______.
14．已知直线与曲线和都相切，倾斜角为，直线与曲线和都相切，倾斜角为，则取最小时，实数a的值为______.
四、解答题
15．（1）求证：；
（2）求证：；
16．如图,平面ABCD,E,F在平面ABCD的同侧，，，，.
（1）若B,E,F,C四点在同一平面内.求线段EF的长；
（2）若,平面BEF与平面BCF的夹角为,求线段AE的长.
17．已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）若关于X的不等式恒成立，求实数a的取值范围.
18．已知椭圆,直线与E交于，两点，点P在线段MN上（不含端点），过点P的另一条直线与E交于A，B两点.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若，，点A在第二象限，求直线的斜率；
（3）若直线MA,MB的斜率之和为2，求直线的斜率的取值范围.
19．组合投资需要同时考虑风险与收益.为了控制风险需要组合低风险资产,为了扩大收益需要组合高收益资产.现有两个相互独立的投资项目A和B,单独投资100万元项目A的收益记为随机变量X,单独投资100万元项目B的收益记为随机变量Y.若将100万资金按进行组合投资,则投资收益的随机变量Z满足,其中.假设在组合投资中,可用随机变量的期望衡量收益,可用随机变量的方差衡量风险.
（1）若,,求Z的期望与方差;
（2)已知随机变量X满足分布列:
随机变量Y满足分布列：
且随机变量X与Y相互独立,即，，.
求证:;
（3）若投资项目X是高收益资产,其每年的收益满足:有的可能亏损当前资产的一半;有的可能增值当前资产的一倍.投资项目是低风险资产,满足.试问能否满足投资第1年的收益不低于17万,风险不高于500?请说明理由.
参考答案
1．答案：A
解析：，则
故.
故选：A
2．答案：C
解析：由集合或,则.
故选：C
3．答案：B
解析：数据排序为26,28,28,28,30,32,34,34，故选B
4．答案：C
解析：
5．答案：B
解析：设，，，
由，
则，
故选：B
6．答案：D
解析：因为是各项均为正数的等比数列，
，
又，
所以，
则
故选：D
7．答案：B
解析：抛物线的焦点为，
可设过焦点的直线l的参数方程为（t为参数，为倾斜角且，
代入抛物线的方程得，
可得，，
，
则，
所以
故选：B
8．答案：A
解析：若，恒成立,
所以，
由奇偶性及正弦函数的有界性可知，只需要时，
在[0,1]上恒成立,
所以，
由重要极限可知，，
所以.
故选：A
9．答案：AB
解析：双曲线过点，可得，解得，
所以双曲线E的实轴长为4，所以A正确;
双曲线E的离心率为：，所以B正确；双曲线E的渐近线方程为，所以C不正确；过点P且与双曲线E仅有1个公共点的直线有1条切线，2条平行渐近线的直线，所以D不正确.
故选：AB
10．答案：ABD
解析：根据题意，依次分析选项：
对于A，每个路口等可能遇到红灯或绿灯，则，A正确；
对于B，易得，则，B正确；
对于C，由于每个路口遇到红绿灯相互独立，则，C错误；
对于D，，D正确.
故选：ABD
11．答案：BCD
解析：令，得，令，得，
所以为奇函数，B正确；令，得，
所以，，
所以为R上的单调递减函数，A错误；
因为，所以，所以在处取极小值，C正确；因为，
，又，
所以，所以，所以在上存在一个零点，又因为为奇函数，所以只有一个非负零点，D正确.答案见上
故选BCD
12．答案：-1
解析：，，，
则，解得.
故答案为：-1
13．答案：
解析：将三棱锥补充为平行六面体，注意到三棱锥对棱相等，平行六面体为长方体，
设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，
，
长方体的体对角线长为，
设外接球的半径为R，从而外接球的直径为长方体的体对角线，即
14．答案：
解析：由和互为反函数，可得和的图象关于直线对称，
即有，，，，当且仅当，即直线的斜率为2，取得等号.
的导数为，的导数为，
设直线与曲线相切的切点为，与曲线的切点为，可得，，即有，，即，，
解得.
故答案为：
15．答案：（1）答案见解析；（2）答案见解析
解析：（1）证明：
；
（2）证明：
16．答案：（1）1；（2）
解析：（1）因为，又由于平面ABCD，面ADFE，故平面平面ABCD，且交线AD，
由于B，E，F，C四点在同一平面，且平面平面，
平面平面，.
又，所以四边形ADFE为平行四边形，故
（2）以A为坐标原点，，，分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，，，.设，.
那么，
故，，，
设，分别为平面BEF、平面BCF的法向量，故
，不妨令，
故，同理，不妨令，
故，.
故,
故
17．答案：（1）的单调减区间为，单调增区间为；
（2）
解析：（1）的定义域为R，，
又
当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增，
即的单调减区间为，单调增区间为；
（2）设，则，
关于对称，不妨研究时的图象性质，
，
，
令
时，，
下面证明时，，
，
，
则此时
在单调递增，则，
故时，均有，
在上单调递增，
，
即实数a的取值范围为.
18．答案：（1）；（2）；（3）
解析：（1）；（2）；（3）
19．答案：（1）3；2.91；（2）答案见解析；（3）答案见解析
解析：（1）由Y为二项分布可知:，
，，
当时，，，
故组合投资的期望为3，方差为2.91.
（2）证明:因为
，
.
因为
所以
，
因为
，
由于X，Y独立，所以
，
从而
，
而
，
同理，
故，
从而.
（3）由（1）得，，
所以，
，
于是
，
由于，
，
故满足投资第1年的收益不低于17万，风险不高于500.
班级
1
2
3
4
5
6
7
8
得分
28
34
34
30
26
28
28
32
X
...
...
...
...
Y
...
...
...
...