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    2023湖北省高中名校联盟高三第一次联合测评数学试卷(含答案)

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    这是一份2023湖北省高中名校联盟高三第一次联合测评数学试卷(含答案),共9页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    湖北省高中名校联盟2023届高三第一次联合测评

    数学试卷

    第 I 卷(选择题)

    一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.

    1. 若集合 , 则

    A.

    B.

    C.

    D.

    2. 设 , 则

    A.

    B.

    C. 1

    D. 2

    3.平面向量满足 , 则 的最小值为

    A. 1

    B.

    C. 2

    D. 3

    4. 二项式 的展开式中含有常数项, 则的最小值等于

    A. 2

    B. 3

    C. 4

    D. 5

    5. 已知函数 是偶函数, 则 的值可能是

    A.

    B.

    C.

    D.

    6. 如图, 是自行车前轮外边沿上的一点, 前轮半径为0.25m, 若单车向前直行6.80m时(车轮向前顺时针滚动,无滑动),下列描述正确的是

    A.点在前轮的左下位置,距离地面约为0.125m

    B.点在前轮的右下位置,距离地面约为0.125m

    C.点在前轮的左上位置, 距离地面约为0.375m

    D.点在前轮的右上位置, 距离地面约为0.375m

    7. 对于正方体6个面的中心,甲, 乙两人分别从这6个点中任意选两个点连成直线, 则所得的两条直线相互垂直的概率等于

    A.

    B.

    C.

    D.

    8. 已知函数的定义域为 , 若对于任意的 , 都存在, 使得, 则的取值范围是

    A.

    B.

    C.

    D.

     

    二、选择题: 本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分, 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求,全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分.

    9. 已知 分别是三棱锥的棱上的点(不是端点), 则下列说法正确的是

    A. 若直线相交, 则交点一定在直线

    B. 若直线异面, 则直线中至少有一条与直线相交

    C. 若直线异面, 则直线中至少有一条与直线平行

    D. 若直线平行, 则直线与直线平行

    10.已知 , 圆 , 则

    A. 存在 3 个不同的, 使得圆轴或轴相切

    B. 存在 2 个不同的, 使得圆轴和轴上截得的线段相等

    C. 存在 2 个不同的, 使得圆过坐标原点

    D. 存在唯一的, 使得圆的面积被直线平分

    11.已知圆台的上下底面的圆周都在半径为 2 的球面上,圆台的下底面过球心,上底面半径为 , 设圆台的体积为 ,则下列选项中说法正确的是()

    A. 当时,

    B. 存在最大值

    C. 当在区间内变化时,逐渐淢小

    D. 当在区间内变化时,先增大后淢小

    12.已知抛物线 的焦点为,准线为, 过点且斜率大于0的直线交抛物线两点 (其中的上方), 为坐标原点, 过线段的中点且与轴平行的直线依次交直线 ,, 则

    A. 若, 则直线的斜率为

    B.

    C.若是线段的三等分点, 则直线的斜率为

    D. 若不是线段的三等分点, 则一定有

     

    第II(非选择题)

     

    三、填空题: 本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

    13.若直线与曲线 相切, 则的值为_____.

    14. 已知双曲线 的左右焦点分别为 , 过作圆的切线 切圆于点并与双曲线的右支交于点, 若, 则双曲线的离心率为_____.

    15. 若已知30个数 的平均数为6 ,方差为9 ; 现从原30个数中剔除 这 10个数,且剔除的这10个数的平均数为8,方差为5,则剩余的20个数 的方差为_____.

    16. 设, 则的大小关系是_____.

     

    四、解答题: 共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

    17.(本小題满分 10 分)

    已知数列 满足 .

    (I) 求数列的通项公式;

    (II) 设 , 求数列 的前项和为.

    18.(本小题满分 12 分)

    中, 上一点, .

    (I) 若的中点, , 求的面积;

    (II) 若 , 求的面积的最小值.

     

    19.(本小題满分 12 分)

    有9个外观相同的同规格砝码,其中1个由于生产瑕疵导致质量略有增加, 小明想通过托盘天平称量出这个有瑕疵的砝码,设计了如下两种方案:

    方案一:每次从待称量的砝码中随机选2个, 按个数平分后分别放在天平的左、右托盘上, 若天平平衡,则选出2个砝码是没有瑕疵的;否则,有瑕疵的砝码在下降一侧,按此方法,直到找出有瑕疵的砝码为止.

    方案二: 从待称量的砝码中随机选8个, 按个数平分后分别放在天平的左、右托盘上, 若天平平衡,则未被选出的那个砝码是有瑕疵;否则,有瑕疵的砝码在下降一侧,每次再将该侧砝码按个数平分,分别放在天平的左、右托盘上, , 直到找出有瑕疵的砝码为止.

    (I) 记方案一的称量次数为随机变量,求的概率分布;

    (II) 上述两种方案中, 小明应选择何种方案可使称量次数的期望较小? 并说明理由.

     

    20.(本小题满分 12 分)

    如图, 四棱锥的底面是菱形, 其对角线都与平面垂直, .

    (I ) 求二面角 的大小;

    (II) 求三棱锥四棱锥公共部分的体积.

     

    21.(本小题满分 12 分)

    已知椭圆, 过点而不过点的动直线与椭圆交于两点.

    (I) 求;

    (II) 若直线的斜率之和为 0 ,求的面积.

     

    22.(本小题满分 12 分)

    已知函数, 其中是自然对数的底数.

    (I) 设的极小值为, 求的最大值;

    (II) 若存在使得, 且, 求的取值范围.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    湖北省高中名校联盟2023届高三第一次联合测评

    数学试题参考答案

    一、选择题:

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    B

    A

    D

    B

    D

    C

    A

    D

    二、多项选择题:

    9.ABD

    10.ACD

    11.ABD

    12.ABC

    三、填空题:

    13.ABD

    14.

    15.8

    16.

    四、解答题

    17. (本小题满分 10 分)

    (1) 当 时, ,

    时 ,

    由① - ②得 , 即 .

    时也成立, 所以数列的通项公式为

    (2) 因为 ,

    所以 ,

    所以 .

    18. (本小题满分 12 分) (1) 因为 的中点,所以 ,

    . 记角 的对边分别为 ,

    因为 . 所以 ,

    又由余弦定理得

    两式联立解得: , 所以 .

    (2) ,

     

    (当且仅当时取得最小值) 所以

    9. (本小题满分 12 分) (1) 由题知: ,

    分布列为:

    1

    2

    3

    4

    (2) 由 (1) 知: ,

    设方案二的称量次数为随机变量为, 则

    所以小明应选择方案一可使称量次数的期望较小.

    20.(本小题满分 12 分) 试题解析: (1) 如图(1)连结 交于菱形的中心,过为垂足. 连结 .

    , 得 平面, 故. 于是 平面, 所以 为二面角的平面角.

    , 得 .

    , 得

    即二面角的大小为

    (2) 连 , 设直线 与平面 相交于点 ,

    则三棱锥 与四棱锥的公共部分为三棱锥.

    即为直线 的交点, 作 平面 , 因为平面平面,

    从而 由平面几何知识,得.

    又因为

    故三棱锥的体积

    21.(本小题满分 12 分) (1) 若直线斜率存在, 设其方程为.

    因为点 在直线上, 所以 .

    联立直线和椭圆的方程消去.

    . 则

    ,

    ,

    注意到 ,

    .

    $$

    显然三点互不相同.所以 .

     若直线斜率不存在, 则A 、B 两点的坐标为

    容易验证也成立.因此.

    (2) 由 (1) 知. 所以 .

    又因为 , 则不妨设

    则直线 方程为:

    联立 解得点

    则直线方程为: , 即

    到直线的距离为

    联立 , 解得弦长

    22. (本小题满分 12 分) 解: 因为单调递增, 又, 所以存在唯一 , 使 , 即 ,

    时,, 当 时, ,

    所以在区间上单调递减,在上单调递增,

    所以的极小值为 ,

    所以 ,

    ,

    所以上单调递增, 在上单调递减,

    所以 , 即的最大值为 2 ;

    (2) 解: 不妨设 , 所以关于的方程 有正实数解,

    所以 , 即 有正实数解, 设 ,

    , 所以 上单调递增,

    所以 ,

    (1) 当 时, , 所以单调递增, 所以 , 不合题意;

    (2) 当 时, 存在 , 使得 ,

    时, , 当 时, ,

    所以上单调递减, 在上单调递增, 所以 ,

    所以存在 , 使得 , 符合题意. 综上的取值范围为

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