2024年人教版数学七年级下册-月考试卷（3月份）（原卷版+解析版）

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参考答案与试题解析
选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023下·上海静安·七年级统考期中）两直线被第三条直线所截，∠1与∠2是同旁内角，且∠1=30° ，则∠2的度数为（ ）
A．150°B．30°C．30° 或150°D．无法确定
【答案】D
【分析】两直线被第三条直线所截，只有当两条被截直线平行时，内错角相等，同位角相等，同旁内角互补．不平行时以上结论不成立．
【详解】解：因为两条直线的位置关系不明确，
所以无法判断∠1和∠2大小关系，
即∠2为不能确定．
故选：D．
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角．解题的关键是明确两直线平行时，同旁内角互补的性质．
2．（3分）（2023上·贵州毕节·八年级校考期中）如图，点A在数轴上表示的实数可能是（ ）
A．2B．5C．6D．7
【答案】A
【分析】本题考查实数与数轴，以及估计无理数的大小，根据数轴可得1【详解】解：由图可知，1A、∵1<2<4，∴1<2<2，即点A在数轴上表示的实数可能是2，符合题意；
B、∵4<5<9，∴2<5<3，即点A在数轴上表示的实数不可能是5，不符合题意；
C、∴点A在数轴上表示的实数不可能是6，不符合题意；
D、∵4<7<9，∴2<7<3，即点A在数轴上表示的实数不可能是7，不符合题意；
故选：A．
3．（3分）（2023下·湖北恩施·七年级校考期中）下列说法中正确的有（ ）
①8的立方根是±2；②16=±4；③125的平方根是±15；④3−8=2；⑤81的算术平方根是9；⑥−7是−72的算术平方根．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】此题主要考查了立方根以及平方根和算术平方根的定义，直接利用立方根以及平方根和算术平方根的定义进而分析得出答案．
【详解】解：①8的立方根是2，故本选项错误；
②16=4，故本选项错误；
③125的平方根是±15，正确；
④3−8=−2，故本选项错误；
⑤81=9，算术平方根是3，故本选项错误；
⑥7是−72的算术平方根，故本选项错误，
综上，正确的有③，共有1个，
故选：A．
4．（3分）（2023下·陕西西安·七年级校考期中）如图，下列条件中，不能判断直线AD∥BC的是（ ）
A．∠BCD+∠D=180°B．∠3=∠EC．∠B=∠2D．∠1=∠3
【答案】D
【分析】根据平行线的判定定理，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、∵∠BCD+∠D=180°，
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行），故A不符合题意；
B、∵∠3=∠E，
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），故B不符合题意；
C、∵∠B=∠2，
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行），故C不符合题意；
D、根据∠1=∠3不能判断直线AD∥BC，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平平行线的判定定理：同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行．
5．（3分）（2023上·浙江温州·七年级校联考期中）如图，一块面积为16平方米的正方形墙上镶嵌着一块正方形石雕，石雕四个角恰好分别在墙的四边的中点，请估计石雕边长的整数部分为（ ）

A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】本题考查算术平方根的估算．求出石雕的边长是解题的关键．
由于正方形的面积等于边长的平方，故边长等于面积的算术平方根，据此先求出正方形墙面的边长，进而利用割补法算出石雕的面积，再根据算术平方根求出石雕的边长，最后利用估算无理数大小的方法估算出石雕边长的取值范围即可．
【详解】解：∵正方形墙的面积为16cm2，
∴正方形墙的边长为4cm2，
∵石雕的四个角分别在墙的四边的中点，
∴石雕的面积为16−12×2×2×4=8cm2；
∴石雕的边长为8cm，
∵4<8<9，
∴2＜8＜3，
∴石雕边长的整数部分为2．
故答案为：B．
6．（3分）（2023下·浙江温州·七年级校联考期中）如图，已知AB ∥CD，点E，F分别在AB，CD上，点G，H在两条平行线AB，CD之间，∠AEG与∠FHG的平分线交于点M．若∠EGH=84°，∠HFD=20°，则∠M的度数为（ ）．
A．64°B．54°C．42°D．32°
【答案】D
【分析】过点G，M，H作AB的平行线，容易得出∠AEG+∠GHF=104°，EM和MH是角平分线，所以∠AEM+∠MHF=52°，进一步求∠M即可．
【详解】解：如图所示，过点G，M，H作GN∥AB，MP∥AB，KH∥AB，
∵AB∥CD．
∴AB∥GN∥MP∥KH∥CD，
∵GN∥AB．
∴∠AEG=∠EGN，
∵GN∥KH，
∴∠NGH=∠GHK，
∵KH∥CD，
∴∠HFD=∠KHF，
∵∠EGH=84°，∠HFD=20°，
∴∠AEG+∠GHF=104°，
∵EM和MH是角平分线，
∴∠AEM+∠MHF=52°，
∵∠HFD=∠KHF=20°，
∴∠AEM+∠MHK=32°，
∵MP∥AB∥KH，
∴∠EMP=∠AEM，∠PMH=∠MHK，
∴∠EMP+∠PMH=32°，
即∠EMH=32°．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质以及平角的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质，正确做出辅助线是解题的关键．
7．（3分）（2023下·山东滨州·七年级统考期中）如图，将三角形ABC向左平移4个单位长度，得到三角形DEF．若四边形ABFD的周长为20个单位长度，则三角形ABC的周长是（ ）

A．12个单位长度B．14个单位长度C．11个单位长度D．8个单位长度
【答案】A
【分析】由平移的性质可知，将四边形ABFD的周长转化为AB+BC+AC+4+4=20个单位长度即可．
【详解】解：由平移的性质可知，AB=DE，BC=EF，AC=DF，FC=AD=4个单位长度，
∵四边形ABFD的周长为20个单位长度，即AB+BC+FC+FD+AD=20个单位长度，
∴AB+BC+AC+4+4=20个单位长度，
∴AB+BC+AC=12个单位长度，即三角形ABC的周长是12个单位长度．
故选：A．
【点睛】本题考查平移的性质，掌握平移前后对应线段的数量和位置关系是解决本题的关键．
8．（3分）（2023下·河北衡水·九年级校考期中）如图，一艘快艇向正东方向行驶至点A时，接到指令向右转70°航行到B处，再向左转100°航行至C处．若该快艇到达点C后仍向正东方向行驶，则在点C处调整的航向是（ ）
A．向左转10°B．向左转30°C．向右转10°D．向右转30°
【答案】D
【分析】根据平行线的性质，可得∠EBF的度数，进而求得∠EBC,再运用平行线的性质可得∠NCG,最后根据角的和差即可解答．
【详解】解：如图：根据题意得：∠DAB=90°−70°=20°，
∵AD∥BE，
∴∠EBF=∠DAB=20°．
∴∠EBC=∠EBF+∠FBC=20°+100°=120°，
∵BE∥CG，
∴∠NCG=∠EBC=120°，
∴∠NCH=120°−90°=30°,即向右转30°．
故选：C．

【点睛】本题主要考查了方向角、平行线的性质等知识点，灵活利用平行线的性质得出∠ABC的度数是解题的关键．
9．（3分）（2023下·北京·七年级北京师大附中校考期中）已知mina,b,c表示取三个数中最小的那个数．例如：当x=−2时，min−2,−22,−23=−8，当minx,x2,x=116时，则x的值为（ ）
A．116B．18C．14D．12
【答案】C
【分析】本题分别计算x=116，x2=116，x=116的x值，找到满足条件的x值即可．
【详解】解：当x=116时，x=1256，x当x2=116时，x=±14，当x=−14时，x当x=14时，x=12，x2当x=116时，x2=1256，x2故选：C．
【点睛】本题主要考查了实数大小比较，算术平方根及其最值问题，解决此题时，注意分类思想的运用．
10．（3分）（2023下·福建福州·七年级校联考期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,∠BAD=90∘，CE平分∠BCD，∠CBF=6∠EBF，AG∥CE，点H在直线CE上，满足∠FBH=∠DAG. 若∠DAG=k∠EBH，则k的值是（ ）
A．23或79B．23或34C．75或79D．75或34
【答案】C
【分析】分类讨论：①当点H在点F的上方时，设∠DAG=x，根据时平行线的性质和垂直的性质可得∠D=90°，∠DGA=90°−x、∠DCE=∠CEB=90°−x，再根据角平分线的性质可得∠DCE=∠ECB=90°−x即∠EBC=2x，再结合∠CBF=6∠EBF可得∠EBF=27x，∠FBC=127x，然后可得∠EBH=27x+x=97x，再根据∠DAG=k∠EBH列式即可求得k；同理可求，②当点H在点F的下方时k的值．
【详解】解：如图，当点H在点F的上方时，设∠DAG=x，
∵CD∥AB，∠DAB=90°
∴∠D=90°，∠DGA=90°−x，
∵AG∥CE，
∴∠DGA=∠DCE=90°−x
∵AB∥CD，
∴∠DCE=∠CEB=90°−x
∵CE平分∠DCB，
∴∠DCE=∠ECB=90°−x，
∴∠EBC=180°−290°−x=2x，
∵∠CBF=6∠EBF，
∴∠EBF=27x，∠FBC=127x，
∵∠FBH=∠DAG=x，
∴∠EBH=27x+x=97x，
∵∠DAG=k∠EBH，
∴x=k⋅97x，
∴k=79；
当点H在点F的下方时，
∵CD∥AB，∠DAB=90°
∴∠D=90°，∠DGA=90°−x，
∵AG∥CE，
∴∠DGA=∠DCE=90°−x，
∴∠DCE=∠CEB=90°−x
∵CE平分∠DCB，
∴∠DCE=∠ECB=90°−x，
∴∠EBC=180°−290°−x=2x，
∵∠CBF=6∠EBF，
∴∠EBF=27x，∠FBC=127x，
∵∠FBH=∠DAG=x，
∴∠EBH=x−27x=57x，
∵∠DAG=k∠EBH，
∴x=k⋅57x，
∴k=75．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，正确作出辅助线和灵活运用分类讨论思想成为解答本题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023下·湖北十堰·七年级校考期中）已知：31−3y与34x−1互为相反数（其中y≠0），则2xy= ．
【答案】32
【分析】由题意可得：1−3y与4x−1互为相反数，即4x−1+1−3y=0，解得y=43x，代入求解即可．
【详解】解：由31−3y与34x−1互为相反数可得1−3y与4x−1互为相反数，
即4x−1+1−3y=0，解得y=43x
将y=43x代入2xy可得，原式2x43x=32
故答案为：32
【点睛】此题考查了相反数的定义，立方根的性质，代数式求值，解题的关键是正确的得到y=43x．
12．（3分）（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图1，当光线在空气进入水中时，会发生折射，满足入射角∠1与折射角∠2的度数比为4:3，如图2，在同一平面上，两条光线同时从空气进入水中，两条入射光线与水平面夹角度数分别为x，y，在水中两条折射光线的夹角度数为m，则m= ．（用含x，y的式子表示）．
【答案】135°−34x+y
【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质，能够正确的识别图形，找出角与角之间的关系．先过点B，D，F分别作水平线的垂线，证明PC∥DE∥QG，根据平行线的性质证明∠BDF=∠BDE+∠FDE=∠DBC+∠DFG，由∠1:∠2=4:3，则∠DBC=34∠ABP=3490°−x，∠DFG=34∠HFQ=3490°−y，进而求解．
【详解】如图所示：过点B，D，F分别作水平线的垂线，
∴PC∥DE∥QG，
∴∠BDF=∠BDE+∠FDE=∠DBC+∠DFG，
∵∠1:∠2=4:3，
∴∠DBC=34∠ABP=3490°−x，∠DFG=34∠HFQ=3490°−y，
∴∠BDF=3490°−x+3490°−y=135°−34x+y，
故答案为：135°−34x+y．
13．（3分）（2023上·北京大兴·七年级统考期中）顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务．每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：天）如下：
那么最短交货期为 天．
【答案】30
【分析】本题考查了逻辑推理，统筹方法，因为第一件进行粗加工时，工艺师什么都不能做，所以徒弟先完成原料B所用的总时间最短，累加后可得答案．
【详解】解：当徒弟先加工原料A时，所需时间为9+15+8=32（天），
当徒弟先加工原料B时，所需时间为6+9+15=30（天），
因为32>30，
所以最短交货期为30天．
故答案为：30．
14．（3分）（2023上·重庆沙坪坝·七年级统考期末）如图，直线AE、BF相交于点G，GC⊥GE，GD平分∠CGF，若∠DGE:∠EGF=1:4，则∠BGC= °．

【答案】30
【分析】本题考查了垂线，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据已知可设∠DGE=x°，∠EGF=4x°，从而可得∠DGF=5x°，然后根据垂直定义可得∠CGE=90°，从而可得∠CGD=90−x°，再利用角平分线的定义可得∠CGD=∠DGF，从而列出关于x的方程，进行计算可求出∠EGF=60°，最后利用平角定义进行计算，即可解答．
【详解】解：∵∠DGE:∠EGF=1:4，
∴设∠DGE=x°，∠EGF=4x°，
∴∠DGF=∠DGE+∠EGF=5x°，
∵GC⊥GE，
∴∠CGE=90°，
∴∠CGD=∠CGE−∠DGE=90−x°，
∵GD平分​∠CGF，
∴∠CGD=∠DGF，
∴90−x=5x，
解得：x=15，
∴∠EGF=4x°=60°，
∴∠BGC=180°−∠CGE−∠EGF=30°，
故答案为：30．
15．（3分）（2023上·重庆·八年级重庆市凤鸣山中学校考期中）若一个四位正整数abcd满足：a+d=b+c，我们就称该数是“等等数”．比如：四位数3478，∵3+8=4+7，∴ 3478是 “等等数”；四位数2354，∵2+4≠3+5，∴ 2354不是“等等数”．
（1）直接写出最小的“等等数” ．
（2）若一个“等等数”，满足个位上的数字是百位上的数字的两倍，且千位上的数字与十位上的数字之和为8，则所有满足条件的“等等数” ．
【答案】 1010 2468或3254或4040
【分析】本题主要考查了实数的运算，理解新定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键．
（1）根据a是千位上的数，以及最小的正整数是1和最小的四位数百位上是0，可求出a和b的值，结合题意即可求解
（2）根据题意得到：2b=d，a+c=8，结合题意推得2a+b=8，分别写出满足等式的所有情况，结合题意分析即可求解．
【详解】解：（1）∵a是四位正整数abcd中千位上的数字，故若使得四位正整数abcd是最小的“等等数”；
则a取最小的正整数1，b取最小的整数0，
∵a+d=b+c，
故d=0，c=1．
∴最小的“等等数”是1010．
故答案为：1010；
（2）根据题意知：2b=d，a+c=8，
∵a+d=b+c，
∴2a+b=8，
即当a=2，b=4，此时c=6，d=8；∵2+8=4+6，则这个“等等数”是2468；
或当a=3，b=2，此时c=5，d=4；∵3+4=2+5，则这个“等等数”是3254；
或当a=4，b=0，此时c=4，d=0；则这个“等等数”是4040；
∴满足条件的“等等数”是2468或3254或4040．
故答案为：2468或3254或4040．
16．（3分）（2023上·江西上饶·九年级统考期中）将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起（其中∠A=60°，∠D=30°，∠E=∠B=45°），若固定△ACD，改变△BCE的位置（其中点C位置始终不变），且∠ACE<135°，点E在直线AC的上方．当△ACD的一边与△BCE的某一边平行时，则∠ACE所有可能的度数为： ．
【答案】30°或45°或120°
【分析】本题考查的是平行线的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质，注意利用两角互余的性质，角的和差进行计算．
分4种情况进行讨论：①BC∥AD；②BE∥AC；③AD∥CE；④BE∥CD；结合平行线的判定与性质进行求解即可．
【详解】解：①当BC∥AD时，
∵BC∥AD，
∴∠BCD=∠D=30°，
∴∠ACB=90°+30°=120°，
∴∠ACE=∠ACB−∠BCE=120°−90°=30°；
②当BE∥AC时，如图，
∵BE∥AC，
∴∠ACE=∠E=45°；
③当AD∥CE时，如图，
∵AD∥CE，
∴∠DCE=∠D=30°，
∴∠ACE=90°+30°=120°；
④当BE∥CD时，如图，

∵BE∥CD，
∴∠DCE=∠E=45°，
∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=135°；
综上所述：当∠ACE=30°或45°或120°时，有一组边互相平行．
故答案为：30°或45°或120°．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023上·山东青岛·七年级统考期末）计算
(1)92−−52+3−27
(2)0.49−378−1−−32+1.32
【答案】(1)1；
(2)−0.5；
【分析】本题考查根式的混合运算，根据a2=a，a2=a，3(a)3=a求解即可得到答案；
【详解】（1）解：原式=9−5+−3
=1；
（2）解：原式=0.7−−12−3+1.3
=−0.5．
18．（6分）（2023上·甘肃定西·七年级校考期末）已知5m−4的两个平方根分别是±4，4n−m的立方根为2．
(1)求4m+3n的平方根；
(2)若p+2m的算术平方根是3，求−10m−9n+3p的立方根．
【答案】(1)±5
(2)−4
【分析】（1）根据平方根和立方根的意义求出字母的值，再求4m+3n的平方根即可；
（2）求出p的值，再求−10m−9n+3p的立方根即可．
【详解】（1）解：∵5m−4的两个平方根分别是±4，4n−m的立方根为2．
∴5m−4=(±4)2=16，4n−m=23=8，
解得，m=4，n=3，
4m+3n=4×4+3×3=25，
∵(±5)2=25，
∴4m+3n的平方根是±5．
（2）解：∵p+2m的算术平方根是3，
∴p+2m=32=9，
∵m=4，
∴p=1，
−10m−9n+3p=−10×4−9×3+3=−64，
∵(−4)3=−64，
∴−10m−9n+3p的立方根是−4．
【点睛】本题考查了平方根和立方根，解题关键是根据平方根和立方根的意义求出字母的值，会熟练求一个数的平方根和立方根．
19．（8分）（2023上·吉林长春·七年级校考期末）补全下面的解题过程：
如图，点A、B、C、D在同一条直线上，且∠1=∠A，EC∥DF．
求证：∠E=∠F．
证明：∵∠1=∠A（____）
∴AE∥__（____）
∴∠E=∠2（ ）
∵EC∥DF（ 己知）
∴∠2=∠__（__）
∴∠E=∠F（______）
【答案】见解析
【分析】此题考查了平行线的判定和性质，由同位角相等，两直线平行得到AE∥BF，则∠E=∠2，由两直线平行，内错角相等得到∠2=∠F，即可得到结论．
【详解】证明：∵∠1=∠A（已知）
∴AE∥BF（同位角相等，两直线平行）
∴∠E=∠2（两直线平行，内错角相等）
∵EC∥DF（已知）
∴∠2=∠F（两直线平行，内错角相等）
∴∠E=∠F（等量代换）
故答案为：已知；BF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；F；等量代换
20．（8分）（2023上·浙江杭州·七年级统考期末）直线AB，CD相交于点O，过点O作OE⊥CD．

(1)如图（1），若∠BOD=27°44′，求∠AOE的度数．
(2)如图（2），作射线OF使∠EOF=∠AOE，则OD是∠BOF的平分线．请说明理由．
(3)在图（1）上作OG⊥AB，写出∠COG与∠AOE的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)∠AOE=62°16′
(2)见解析
(3)∠COG+∠AOE=180°，理由见解析
【分析】本题考查垂线，角平分线，度分秒的计算以及对顶角、邻补角、同角的余角相等等知识．
（1）根据垂直的定义进行计算即可；
（2）根据垂直的定义，对顶角相等以及等角的余角相等可得答案；
（3）根据垂直的定义，平角的定义以及对顶角相等、同角的余角相等进行计算即可．
【详解】（1）解：∵OE⊥CD．
∴∠COE=90°，即∠AOC+∠AOE=90°，
∵∠BOD=27°44′=∠AOC，
∴∠AOE=90°−27°44′=62°16′；
（2）解：∵OE⊥CD．
∴∠COE=∠DOE=90°，即∠AOC+∠AOE=∠DOF+∠EOF=90°，
∵∠EOF=∠AOE，
∴∠AOC=∠DOF，
又∵∠AOC=∠BOD，
∴∠BOD=∠DOF，
即OD是∠BOF的平分线；
（3）解：∠COG+∠AOE=180°，理由如下：
如图，

∵OG⊥AB，
∴∠AOG=∠BOG=90°，即∠AOE+∠EOG=90°=∠DOG+∠BOD，
∵OE⊥CD．
∴∠COE=90°，即∠AOC+∠AOE=90°，
∵∠AOC=∠BOD，
∴∠AOE=∠DOG，
∵∠COG+∠DOG=180°，
∴∠COG+∠AOE=180°．
21．（8分）（2023上·四川凉山·八年级统考期末）阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于－1，记为i2=−1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a,b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算3−i+4+3i=3+4+−1+3i=7+2i；
1−i×2+i=1×2+i−2×i−i2=2+1−2i+1=3−i；
根据以上信息，完成下列问题：
(1)填空：i3=__________，i4=_________；
(2)计算：1−i×4−5i；
(3)计算：i+i2+i3+...+i2017．
【答案】(1)−i，1
(2)−9i−1
(3)i
【分析】（1）把i3化为i2×i，把i3化为i2×i2，再结合i2=−1进行计算；
（2）根据复数的乘法法则变形可得4−5i−4i+5i2，再结合i2=−1进行计算；
（3）根据i2=−1可知i5=i，i6=i2，i7=i3……，则：i+i2+i3+...+i2017中含有504个（i-1-i+l），还有i，据此化简即可．
【详解】（1）解：∵i2=−1，
∴i3=i2×i=−i，i4=i2×i2=1，
故答案为：-i，1；
（2）1−i×4−5i=4−5i−4i+5i2
=4−9i+5×(−1)
=−9i−1；
（3）∵i+i2+i3+i4=i−1−i+1=0，i5+i6+i7+i8=i−1−i+1=0，……，
∴i+i2+i3+⋅⋅⋅+i2017
=(i+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+⋅⋅⋅+(i2013+i2014+i2015+i2016)+i2017
=i．
【点睛】此题考查了实数新定义运算问题的解决能力，关键是能根据定义和实数的运算方法进行准确计算．
22．（8分）（2023上·江苏无锡·七年级统考期末）如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上．
(1)过点A画直线BC的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线AB的垂线，交BC于点H（不写画法，保留画图痕迹）；
(2)线段______的长度是点A到直线BC的距离；
(3)线段AG、AH的大小关系为AG______AH．（填“>”“<”或“=”）
(4)点P为图中一格点，且△APH的面积与△AGH的面积相等，则满足要求的格点P有______个（点P不与点G重合）．
【答案】(1)见解析
(2)AG
(3)<
(4)5
【分析】此题主要考查了基本作图以及垂线的画法和平行线的画法，正确借助网格得出是解题关键．
（1）利用垂线的定义结合网格进而得出直线AG，AH；
（2）利用点到直线的距离得出答案；
（3）利用垂线段的性质进而得出答案；
（4）要使得△APH的面积与△AGH的面积相等，只需点P所在直线a于AH平行，直线a与AH的距离等于点G到AH的距离，过点G作直线a∥AH，可得符合题意的点P，同样，在AH上方，也有直线b∥AH，且直线b与AH的距离等于点G到AH的距离，也可得符合题意的点P．
【详解】（1）如图所示：AG，AH即为所求；
（2）线段AG的长度是点A到直线BC的距离；
故答案为：AG；
（3）由垂线段最短可知：AG故答案为：<；
（4）由作图可知点H为格点，
要使得△APH的面积与△AGH的面积相等，
只需点P所在直线a于AH平行，直线a与AH的距离等于点G到AH的距离，
∴直线a∥AH，
如图，过点G作直线a∥AH，直线上的格点P1，P2符合题意，
同样，在AH上方，也有直线b∥AH，且直线b与AH的距离等于点G到AH的距离，
直线上格点P3，P4，P5符合题意，
综上，满足要求的格点P有5个，
故答案为：5．
23．（3分）（2023上·福建泉州·七年级统考期末）如图，已知AD∥BE，AC平分∠BAD交BE于点C，点P、Q分别在射线AD、BE上运动（点Q不与点B、C重合），且满足∠APQ=∠B，连结CP．
(1)AB与PQ平行吗？请说明理由；
(2)设∠B=α，∠CPQ=β．
①当点Q在线段BC上，求∠ACP的度数；（用含α，β的代数式表示）
②当点Q在射线CE上，∠CPQ的平分线PF交射线BE于点F，连结AF，若α=60°，∠CAF=20°，试探索∠AFP与∠ACP的数量关系．
【答案】(1)AB∥PQ，理由见解析
(2)①∠ACP=90°−12α−β，②2∠AFP−∠ACP=100°
【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练的利用平行线的判定与性质进行证明或求解角的度数是解本题的关键．
（1）先证明∠BAD+∠B=180°，等量代换可得∠BAD+∠APQ=180°，从而可得结论；
（2）①证明∠BAD=180°−α，∠APC=∠PCE，∠DAC=∠ACB，表示∠ACB=∠DAC=90°−12α，表示∠PCE=∠APC=α+β，再利用角的和差关系可得答案；②如图， 证明∠BAD=120°，∠DAC=∠ACB，∠APC=∠PCE，∠APF=∠PFE，∠PAF=∠AFB，表示∠PCE=∠APC=60°−β，∠PFE=∠APF=60°−12β，可得∠ACP=60°+β，∠AFP=80°+12β，从而可得答案．
【详解】（1）解：∵AD∥BE，
∴∠BAD+∠B=180°，
∵∠APQ=∠B，
∴∠BAD+∠APQ=180°，
∴AB∥PQ；
（2）①∵AD∥BC，∠B=α，
∴∠BAD=180°−α，∠APC=∠PCE，∠DAC=∠ACB，
∵AC平分∠BAD交BE于点C，
∴∠BAC=∠DAC=12180°−α=90°−12α，
∴∠ACB=∠DAC=90°−12α，
∵∠APQ=∠B=α，∠CPQ=β，
∴∠PCE=∠APC=α+β，
∴∠ACP=180°−90°−12α−α+β=90°−12α−β；
②如图，∵α=60°，AD∥BC，∠APQ=∠B=60°，∠CPQ=β，
∴∠BAD=120°，∠DAC=∠ACB，∠APC=∠PCE，∠APF=∠PFE，∠PAF=∠AFB，
∵∵AC平分∠BAD交BE于点C，
∴∠BAC=∠DAC=60°，∠ACB=60°，
∵PF平分∠CPQ，
∴∠PCE=∠APC=60°−β，∠PFE=∠APF=60°−12β，
∴∠ACP=180°−60°−60°+β=60°+β，
∵∠CAF=20°，
∴∠PAF=120°−60°−20°=40°，
∴∠AFB=∠PAF=40°，
∴∠AFP=180°−40°−60°+12β=80°+12β，
∴2∠AFP=160°+β，
∴2∠AFP=160°+∠ACP−60°，
∴2∠AFP−∠ACP=100°．粗加工
精加工
原料A
9
15
原料B
6
8