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浙教版八年级数学下学期核心考点+重难点第4章平行四边形【单元提升卷】(原卷版+解析)
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这是一份浙教版八年级数学下学期核心考点+重难点第4章平行四边形【单元提升卷】(原卷版+解析)，共28页。试卷主要包含了本试卷含三个大题，共26题，下列图形中，是中心对称图形的是，若以A，已知等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷含三个大题，共26题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．
一、单选题
1．如图，□ABCD的对角线交于点O，OE⊥AC交BC于E，已知△ABE的周长为3cm，则□ABCD的周长为（ ）
A．4cmB．6cmC．9cmD．12cm
2．如图，小丽的一块四边形玩具片破了一角，小丽想知道破掉的∠C的度数，她量了∠A，∠B，∠D的度数，就知道了∠C的度数，其原因是（ ）
A．四边形外角和是360°B．四边形外角和是180°
C．四边形内角和是360°D．四边形内角和是180°
3．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．平行四边形
4．如图，的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=4，AC=6，则BD的长是（ ）
A．8B．9C．10D．12
5．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=150°，则∠A的大小为（ ）
A．150°B．130°C．120°D．100°
6．若平行四边形的一边长为2，面积为，则此边上的高介于
A．3与4之间B．4与5之间C．5与6之间D．6与7之间
7．若以A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时，第一步应先假设（ ）
A．三角形中有一个内角小于B．三角形中有一个内角大于
C．三角形的三个内角都小于D．三角形的三个内角都大于
9．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ADB=∠CBD，添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠ABD=∠CDB B．∠DAB=∠BCD
C．∠ABC=∠CDA D．∠DAC=∠BCA
10．已知：四边形ABCD中，AB=2，CD=3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（ ）
A．1＜MN＜5B．1＜MN≤5C．＜MN＜D．＜MN≤
二、填空题
11．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，且EF∥BC，DE∥BF，则图共有________个平行四边形．
12．如图，在周长为20cm的平行四边形ABCD中，AB≠AD，AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为_________cm．
13．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________.
14．用三种不同的正多边形地砖铺满地面，若其中有正三角形，正八边形，则另一个为正_______边形．
15．如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F．若AB=6，则BF的长为_______________．
16．如果某多边形的内角和与外角和的度数比为3：2，那么这个多边形的边数为_____．
17．如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需增加的一个条件是__________________（填一种情况即可）．
18．如图，在图1中，A1，B1，C1分别是△ABC的边BC，CA，AB的中点，在图2中，A2，B2，C2分别是△A1B1C1的边B1C1，C1A1，A1B1的中点，…，按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有___个．
三、解答题
19．如图，在▱ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：AE=CF．
20．如图，过正方形ABCD的顶点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．
（1）判断四边形ACED的形状，并说明理由；
（2）若BD=8cm，求线段BE的长．
21．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．得平行四边形ABDC
（1）直接写出点C，D的坐标；
（2）若在y轴上存在点 M，连接MA，MB，使S△MAB=S平行四边形ABDC ， 求出点M的坐标．
（3）若点P在直线BD上运动，连接PC，PO．
请画出图形，直接写出∠CPO、∠DCP、∠BOP的数量关系．
22．如图，在平行四边形ABCD中，BD=2AB，AC与BD相交于点O，点E、F、G分别是OC、OB、AD的中点．
(1)求证：DE⊥OC；
(2)求证：EG=EF．
23．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）求证：∠DHF=∠DEF．
24．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F是AD、BC的中点，EF分别交AC、BD于M、N，且OM=ON．
求证：AC=BD．
25．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图①，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB、AC于D、E，且CD⊥BE，CD=3，BE=5，试求BC+DE的值．
小明发现，过点E作EF∥DC，交BC的延长线于点F，构造△BEF，经过推理得到▱DCFE，再计算就能够使问题得到解决（如图②）．
(1)请你帮小明回答：BC+DE的值为________，并写出推理和计算过程．
(2)参考小明思考问题的方法，请你解决如下问题：
如图③，已知▱ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，AC=BF=DF，求∠AGF的度数．
26．如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC边上的点，AF=AD+FC，平行四边形ABCD的面积为S，由A、E、F三点确定的圆的周长为t．
（1）若△ABE的面积为30，直接写出S的值；
（2）求证：AE平分∠DAF；
（3）若AE=BE，AB=4，AD=5，求t的值．
第4章 平行四边形【单元提升卷】
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共26题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．
一、单选题
1．如图，□ABCD的对角线交于点O，OE⊥AC交BC于E，已知△ABE的周长为3cm，则□ABCD的周长为（ ）
A．4cmB．6cmC．9cmD．12cm
答案:B
分析：根据平行四边形的对角线互相平分得：OA=OC．又OE⊥AC，根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得：AE=CE．故△ABE的周长为AB+BC的长．最后根据平行四边形的对边相等得：▱ABCD的周长为2×3=6．
【详解】四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC.
∵OE⊥AC，
∴AE=CE.
故△ABE的周长为AB+BC=3，
根据平行四边形的对边相等得
▱ABCD的周长为2×3=6.
故选B.
【点睛】本题考查平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，将△ABE的周长转化为AB+BC是解题的关键.
2．如图，小丽的一块四边形玩具片破了一角，小丽想知道破掉的∠C的度数，她量了∠A，∠B，∠D的度数，就知道了∠C的度数，其原因是（ ）
A．四边形外角和是360°B．四边形外角和是180°
C．四边形内角和是360°D．四边形内角和是180°
答案:C
分析：根据四边形内角和定理,结合题意即可解答.
【详解】根据四边形内角和为360°可知:只要知道四边形任意三个角的度数即可求出另外一个角的度数.
故选C.
【点睛】本题考查四边形的内角和定理，熟练掌握内角和定理是解题的关键.
3．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．平行四边形
答案:D
分析：根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】A. 等腰三角形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B. 直角三角形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C. 等边三角形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D. 平行四边形是中心对称图形，故本选项符合题意.
故选D.
【点睛】本题考查中心对称图形的概念，熟练掌握概念是解题的关键.
4．如图，的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=4，AC=6，则BD的长是（ ）
A．8B．9C．10D．12
答案:C
分析：通过平行四边形性质，可计算得；再结合AB⊥AC推导得为直角三角形，通过勾股定理计算得，再结合平行四边形性质，计算得到答案．
【详解】∵平行四边形且AC=6
∴
∵AB⊥AC
∴
∴为直角三角形
∴
又∵平行四边形
∴
故选C．
【点睛】本题考查了平行四边形、勾股定理的知识；求解的关键是熟练掌握平行四边形和勾股定理的性质，从而完成求解．
5．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=150°，则∠A的大小为（ ）
A．150°B．130°C．120°D．100°
答案:C
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABE，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AB=AE，
∵∠BED=150°，
∴∠ABE=∠AEB=30°，
∴∠A=180°﹣∠ABE﹣∠AEB=120°．
故选：C．
6．若平行四边形的一边长为2，面积为，则此边上的高介于
A．3与4之间B．4与5之间C．5与6之间D．6与7之间
答案:B
分析：先根据四边形的面积公式列出算式，求出高的值，再估算出无理数，即可得出答案；
【详解】根据四边形的面积公式可得：此边上的高=．
∵，
∴此边上的高介于4与5之间．
故选B．
7．若以A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
答案:C
分析：首先画出平面直角坐标系，根据A、B、C三点的坐标找出其位置，然后再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形找出D的位置，进而可得答案．
【详解】如图所示：
第四个顶点不可能在第三象限．
故选C．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质，根据题意画出图形是解题的关键．
8．用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时，第一步应先假设（ ）
A．三角形中有一个内角小于B．三角形中有一个内角大于
C．三角形的三个内角都小于D．三角形的三个内角都大于
答案:C
分析：反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
【详解】解：用反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于60°”时，
第一步应假设这个三角形中三个内角内角都小于60°，
故选：C．
【点睛】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
9．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ADB=∠CBD，添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠ABD=∠CDB
B．∠DAB=∠BCD
C．∠ABC=∠CDA
D．∠DAC=∠BCA
答案:D
【详解】由∠ADB=∠CBD可得到AD∥BC，∴A、∠ABD=∠CDB能得到AB∥CD，所以能判定四边形ABCD是平行四边形；B、利用三角形的内角和定理能进一步得到∠ABD=∠CDB，从而能得到AB∥CD，所以能判定四边形ABCD是平行四边形；C、能进一步得到∠CDB=∠ABD，从而能得到AB∥CD，所以能判定四边形ABCD是平行四边形；D、不能进一步得到AB∥CD，所以不能判定四边形ABCD是平行四边形，
故选D．
10．已知：四边形ABCD中，AB=2，CD=3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（ ）
A．1＜MN＜5B．1＜MN≤5C．＜MN＜D．＜MN≤
答案:D
分析：当AB∥CD时，MN最短，利用中位线定理可得MN的最长值，作出辅助线，利用三角形中位线及三边关系可得MN的其他取值范围．
【详解】连接BD，过M作MG∥AB，连接NG．
∵M是边AD的中点，AB=2，MG∥AB，
∴MG是△ABD的中位线，BG=GD，MG=AB=×2=1；
∵N是BC的中点，BG=GD，CD=3，
∴NG是△BCD的中位线，NG=CD=×3=，
在△MNG中，由三角形三边关系可知MG-NG＜MN＜MG+NG，即-1＜MN＜+1，
∴＜MN＜，
当MN=MG+NG，即MN=时，四边形ABCD是梯形，
故线段MN长的取值范围是＜MN≤．
故选D．
【点睛】此题主要考查了三角形的中位线，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，利用三角形的中位线定理和三角形的三边关系求解.
二、填空题
11．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，且EF∥BC，DE∥BF，则图共有________个平行四边形．
答案:3
分析：根据平行四边形的判定及性质进行分析，从而可得到共有3个平行四边形，分别是：▱AEFD，▱EFCB，▱BEDF．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AD∥BC．
∵EF∥BC，
∴四边形AEFD是平行四边形，四边形EFCB是平行四边形．
又∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
综上所述，平行四边形的个数共有3个（平行四边形ABCD除外）．
故答案是：3．
【点睛】此题主要考查平行四边形的判定及性质的理解及运用，注意运用“有两组对边相互平行的四边形是平行四边形”的性质．
12．如图，在周长为20cm的平行四边形ABCD中，AB≠AD，AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为_________cm．
答案:10
【详解】解：根据平行四边形的性质得：OB=OD，
∵EO⊥BD，
∴EO为BD的垂直平分线，
根据线段的垂直平分线上的点到两个端点的距离相等得：BE=DE，
∴△ABE的周长=AB+AE+DE=AB+AD=×20=10cm．
故答案为：10
13．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________.
答案:8
分析：根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用可求得边数．
【详解】解：多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是，
即该正多边形的边数是8，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了多边形外角和以及多边形的边数，解题的关键是掌握正多边形的各个内角相等，各个外角也相等．
14．用三种不同的正多边形地砖铺满地面，若其中有正三角形，正八边形，则另一个为正_______边形．
答案:24
分析：分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．
【详解】∵正三角形的内角是60°，正八边形的内角是135°，
∴另一个正多边形的内角是165°，
∴另一个正多边形是24边形；
故答案为24．
【点睛】本题考查了平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
15．如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F．若AB=6，则BF的长为_______________．
答案:8.
【详解】试题解析：∵∠ACB=90°，D为AB的中点，AB=6，
∴CD=AB=3．
又∵CE=CD，
∴CE=1，
∴ED=CE+CD=4．
又∵BF∥DE，点D是AB的中点，
∴ED是△AFB的中位线，
∴BF=2ED=8．
16．如果某多边形的内角和与外角和的度数比为3：2，那么这个多边形的边数为_____．
答案:五
分析：设多边形的边数为n，根据多边形的内角和外角的关系，列方程求解即可．
【详解】解：设多边形的边数为n，依题意得：
180（n-2）：360=3：2，
解得n=5，
故答案为：五．
【点睛】本题考查多边形内角和与外角和定理，解题的关键是记住多边形的多边形内角公式(n-2)×180°和与外角和等于360°．
17．如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需增加的一个条件是__________________（填一种情况即可）．
答案:BE=DF
分析：根据平行四边形的判定添加条件即可．
【详解】解：如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∴当BE＝DF时，可得OE＝OF，则四边形AECF为平行四边形，
∴可增加BE＝DF，
故答案为：BE＝DF（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，是开放题，答案不唯一，熟练掌握判定定理是解题的关键．
18．如图，在图1中，A1，B1，C1分别是△ABC的边BC，CA，AB的中点，在图2中，A2，B2，C2分别是△A1B1C1的边B1C1，C1A1，A1B1的中点，…，按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有___个．
答案:3n
分析：在图１中，有3个平行四边形；在图2中，有6个平行四边形；.观察发现规律即可完成解答．.
【详解】解：在图1中，A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，
∴A1C1//AC,A1B1∥AB,BC //B1C , A1C1=AC,A1B1=AB,BC =B1C，
∴四边形A1B1AC1、A1B1C1B、A1C1B1C是平行四边形，共有3个；
同理，第2个图形有6个，第3个图形有9个，以此类推可得，第n个图形有3n个．
故答案为3n．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.掌握由特殊到一般的方法是解题的关键．.
三、解答题
19．如图，在▱ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：AE=CF．
答案:证明见解析.
分析：由全等三角形的判定定理AAS证得△ABE≌△CDF，则对应边相等：AE=CF．
【详解】如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCF．
又BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB=∠CFD=90°．
在△ABE与△CDF中，
，
∴得△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE=CF．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．
20．如图，过正方形ABCD的顶点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．
（1）判断四边形ACED的形状，并说明理由；
（2）若BD=8cm，求线段BE的长．
答案:（1）四边形ACED是平行四边形．理由如下见解析
（2）8cm．
分析：（1）根据正方形的对边互相平行可得AD∥BC，即为AD∥CE，然后根据两组对边互相平行的四边形是平行四边形解答.
（2）根据正方形的四条边都相等，平行四边形的对边相等可得BC=AD=CE，再根据正方形的边长等于对角线的倍求出BC，然后求出BE即可.
【详解】解：（1）四边形ACED是平行四边形.理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
即AD∥CE.
∵DE∥AC，
∴四边形ACED是平行四边形.
（2）由（1）知，BC=AD=CE=CD，
∵BD=8cm，
∴BC=BD=×8=4cm，
∴BE=BC+CE=4+4=8cm．
21．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．得平行四边形ABDC
（1）直接写出点C，D的坐标；
（2）若在y轴上存在点 M，连接MA，MB，使S△MAB=S平行四边形ABDC ， 求出点M的坐标．
（3）若点P在直线BD上运动，连接PC，PO．
请画出图形，直接写出∠CPO、∠DCP、∠BOP的数量关系．
答案:（1）C（0，2），D（4，2）；（2）（0，4）或（0，﹣4）；（3）①当点P在BD上，∠CPO=∠DCP+∠BOP，②当点P在线段BD的延长线上时，∠CPO=∠BOP﹣∠DCP，③当点P在线段DB的延长线上时，∠CPO=∠DCP﹣∠BOP
分析：（1）根据点的平移法则得出点C和点D的坐标；
（2）设M坐标为（0，m），然后求出平行四边形的性质的面积，根据面积相等得出m的值，从而得出点M的坐标；
（3）分当点P在BD上、当点P在线段BD的延长线上时和当点P在线段DB的延长线上时三种情况分别画出图形，然后得出答案．
【详解】解：（1）∵将A（﹣1，0），B（3，0）分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，
∴C（0，2），D（4，2）；
（2）∵AB=4，CO=2， ∴S平行四边形ABDC=AB•CO=4×2=8， 设M坐标为（0，m），
∴ ×4×|m|=8，解得m=±4， ∴M点的坐标为（0，4）或（0，﹣4）；
（3）①当点P在BD上，如图1， 由平移的性质得，AB∥CD，
过点P作PE∥AB，则PE∥CD， ∴∠DCP=∠CPE，∠BOP=∠OPE，
∴∠CPO=∠CPE+∠OPE=∠DCP+∠BOP，
②当点P在线段BD的延长线上时，如图2， 由平移的性质得，AB∥CD，
过点P作PE∥AB，则PE∥CD， ∴∠DCP=∠CPE，∠BOP=∠OPE，
∴∠CPO=∠OPE﹣∠CPE=∠BOP﹣∠DCP，
③当点P在线段DB的延长线上时，如图3， 同（2）的方法得出∠CPO=∠DCP﹣∠BOP．
【点睛】本题主要考查的是平行四边形的性质以及分类讨论思想的应用，属于基础题型．解决第三问时一定要注意进行分类讨论．
22．如图，在平行四边形ABCD中，BD=2AB，AC与BD相交于点O，点E、F、G分别是OC、OB、AD的中点．
(1)求证：DE⊥OC；
(2)求证：EG=EF．
答案:(1)证明见解析；
(2)证明见解析
分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，根据平行四边形的性质，即可得BD=2OD，AB=CD，AD=BC，又由BD=2AB，可得△ODC是等腰三角形，根据三线合一的性质，即可证得DE⊥OC；
（2）由DE⊥OC，点G是AD的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得EG=AD，又由三角形中位线的性质，求得EF=BC，则可证得EG=EF．
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，
∴BD=2OD，AB=CD，AD=BC．
∵BD=2AB，
∴OD=AB=CD．
∵点E是OC的中点，
∴DE⊥OC
（2）∵DE⊥OC，点G是AD的中点，
∴EG=AD；
∵点E、F分别是OC、OB的中点．
∴EF=BC．
∵AD=BC，
∴EG=EF．
【点睛】此题考查了平行线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
23．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）求证：∠DHF=∠DEF．
答案:（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】试题分析：（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥AB，DE∥AC，再根据平行四边形的定义证明即可.
（2）根据平行四边形的对角线相等可得∠DEF=∠BAC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DH=AD，FH=AF，再根据等边对等角可得∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，然后求出∠DHF=∠BAC，等量代换即可得到∠DHF=∠DEF．
试题解析：证明：（1）∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DE、EF都是△ABC的中位线.
∴EF∥AB，DE∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形.
（2）∵四边形ADEF是平行四边形，∴∠DEF=∠BAC.
∵D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高，∴DH=AD，FH=AF.
∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA.
∵∠DAH+∠FAH=∠BAC，∠DHA+∠FHA=∠DHF，
∴∠DHF=∠BAC.∴∠DHF=∠DEF．
考点：1.三角形中位线定理；2.直角三角形斜边上的中线性质；3.平行四边形的判定．
24．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F是AD、BC的中点，EF分别交AC、BD于M、N，且OM=ON．
求证：AC=BD．
答案:证明见解析
【详解】分析：取AB和CD的中点分别为G、H，连接EG、GF、FH、EH，根据中位线的性质得出OM=ON，从而得出∠4=∠EFH，即EH=HF，得出答案．
详解：证明：取AB和CD的中点分别为G、H，连接EG、GF、FH、EH，
则EH∥AC，EH=AC，HF∥BD，FH=BD，∴∠3=∠2，∠1=∠4，∵OM=ON，
∴∠1=∠2，∴∠4=∠3=∠1=∠2，同理∠EFH=∠GFE=∠1=∠2，∴∠4=∠EFH，
∴EH=HF，∵EH=AC，FH=BD，∴AC=BD．
点睛：本题主要考查的是三角形中位线的性质，属于中等难度的题型．解决这个问题的关键就是根据中位线的性质作出辅助线．
25．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图①，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB、AC于D、E，且CD⊥BE，CD=3，BE=5，试求BC+DE的值．
小明发现，过点E作EF∥DC，交BC的延长线于点F，构造△BEF，经过推理得到▱DCFE，再计算就能够使问题得到解决（如图②）．
(1)请你帮小明回答：BC+DE的值为________，并写出推理和计算过程．
(2)参考小明思考问题的方法，请你解决如下问题：
如图③，已知▱ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，AC=BF=DF，求∠AGF的度数．
答案:(1)，见解析
(2)60°
分析：（1）由DE∥BC，EF∥DC，可证得四边形DCFE是平行四边形，即可得EF=CD=3，CF=DE，即可得BC+DE=BF，然后利用勾股定理，求得BC+DE的值；
（2）首先连接AE，CE，由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABEF是矩形，易证得四边形DCEF是平行四边形，继而证得△ACE是等边三角形，则可求得答案．
【详解】（1）解：∵DE∥BC，EF∥DC，
∴四边形DCFE是平行四边形，
∴EF=CD=3，CF=DE，
∵CD⊥BE，
∴EF⊥BE，
∴BC+DE=BC+CF=BF=，
故答案为：；
（2）解：连接AE，CE，如图．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC．
∵四边形ABEF是矩形，
∴AB∥FE，BF=AE．
∴DC∥FE．
∴四边形DCEF是平行四边形．
∴CE∥DF．
∵AC=BF=DF，
∴AC=AE=CE．
∴△ACE是等边三角形．
∴∠ACE=60°．
∵CE∥DF，
∴∠AGF=∠ACE=60°．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法．
26．如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC边上的点，AF=AD+FC，平行四边形ABCD的面积为S，由A、E、F三点确定的圆的周长为t．
（1）若△ABE的面积为30，直接写出S的值；
（2）求证：AE平分∠DAF；
（3）若AE=BE，AB=4，AD=5，求t的值．
答案:（1）平行四边形ABCD的面积为60；（2）证明见解析；（3）△AEF的外接圆的周长t=π．
【详解】分析：（1）作EG⊥AB于点G，由S△ABE=×AB×EG=30得AB•EG=60，即可得出答案；
（2）延长AE交BC延长线于点H，先证△ADE≌△HCE得AD=HC、AE=HE及AD+FC=HC+FC，结合AF=AD+FC得∠FAE=∠CHE，根据∠DAE=∠CHE即可得证；
（3）先证∠ABF=90°，根据勾股定理可得出AF2=AB2+BF2=16+（5﹣FC）2=（FC+CH）2=（FC+5）2，据此求得FC的长，从而得出AF的长度，再由AE=HE、AF=FH知FE⊥AH，即AF是△AEF的外接圆直径，从而得出答案．
【详解】（1）如图，作EG⊥AB于点G，
则S△ABE=×AB×EG=30，则AB•EG=60，
∴平行四边形ABCD的面积为60；
（2）如图，延长AE交BC延长线于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE=∠HCE，∠DAE=∠CHE，
∵E为CD的中点，
∴CE=ED，
∴△ADE≌△HCE，
∴AD=HC、AE=HE，
∴AD+FC=HC+FC，
由AF=AD+FC和FH=HC+FC得AF=FH，
∴∠FAE=∠CHE，
又∵∠DAE=∠CHE，
∴∠DAE=∠FAE，
∴AE平分∠DAF；
（3）连接EF，
∵AE=BE、AE=HE，
∴AE=BE=HE，
∴∠BAE=∠ABE，∠HBE=∠BHE，
∵∠DAE=∠CHE，
∴∠BAE+∠DAE=∠ABE+∠HBE，即∠DAB=∠CBA，
由四边形ABCD是平行四边形得∠DAB+∠CBA=180°，
∴∠CBA=90°，
∴AF2=AB2+BF2=16+（5﹣FC）2=（FC+CH）2=（FC+5）2，
解得：FC=，
∴AF=FC+CH=，
∵AE=HE、AF=FH，
∴FE⊥AH，
∴AF是△AEF的外接圆直径，
∴△AEF的外接圆的周长t=π．
【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及到平行四边形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握和灵活运用相关的性质与定理是解题的关键.
1．本试卷含三个大题，共26题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．
一、单选题
1．如图，□ABCD的对角线交于点O，OE⊥AC交BC于E，已知△ABE的周长为3cm，则□ABCD的周长为（ ）
A．4cmB．6cmC．9cmD．12cm
2．如图，小丽的一块四边形玩具片破了一角，小丽想知道破掉的∠C的度数，她量了∠A，∠B，∠D的度数，就知道了∠C的度数，其原因是（ ）
A．四边形外角和是360°B．四边形外角和是180°
C．四边形内角和是360°D．四边形内角和是180°
3．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．平行四边形
4．如图，的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=4，AC=6，则BD的长是（ ）
A．8B．9C．10D．12
5．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=150°，则∠A的大小为（ ）
A．150°B．130°C．120°D．100°
6．若平行四边形的一边长为2，面积为，则此边上的高介于
A．3与4之间B．4与5之间C．5与6之间D．6与7之间
7．若以A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时，第一步应先假设（ ）
A．三角形中有一个内角小于B．三角形中有一个内角大于
C．三角形的三个内角都小于D．三角形的三个内角都大于
9．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ADB=∠CBD，添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠ABD=∠CDB B．∠DAB=∠BCD
C．∠ABC=∠CDA D．∠DAC=∠BCA
10．已知：四边形ABCD中，AB=2，CD=3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（ ）
A．1＜MN＜5B．1＜MN≤5C．＜MN＜D．＜MN≤
二、填空题
11．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，且EF∥BC，DE∥BF，则图共有________个平行四边形．
12．如图，在周长为20cm的平行四边形ABCD中，AB≠AD，AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为_________cm．
13．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________.
14．用三种不同的正多边形地砖铺满地面，若其中有正三角形，正八边形，则另一个为正_______边形．
15．如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F．若AB=6，则BF的长为_______________．
16．如果某多边形的内角和与外角和的度数比为3：2，那么这个多边形的边数为_____．
17．如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需增加的一个条件是__________________（填一种情况即可）．
18．如图，在图1中，A1，B1，C1分别是△ABC的边BC，CA，AB的中点，在图2中，A2，B2，C2分别是△A1B1C1的边B1C1，C1A1，A1B1的中点，…，按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有___个．
三、解答题
19．如图，在▱ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：AE=CF．
20．如图，过正方形ABCD的顶点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．
（1）判断四边形ACED的形状，并说明理由；
（2）若BD=8cm，求线段BE的长．
21．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．得平行四边形ABDC
（1）直接写出点C，D的坐标；
（2）若在y轴上存在点 M，连接MA，MB，使S△MAB=S平行四边形ABDC ， 求出点M的坐标．
（3）若点P在直线BD上运动，连接PC，PO．
请画出图形，直接写出∠CPO、∠DCP、∠BOP的数量关系．
22．如图，在平行四边形ABCD中，BD=2AB，AC与BD相交于点O，点E、F、G分别是OC、OB、AD的中点．
(1)求证：DE⊥OC；
(2)求证：EG=EF．
23．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）求证：∠DHF=∠DEF．
24．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F是AD、BC的中点，EF分别交AC、BD于M、N，且OM=ON．
求证：AC=BD．
25．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图①，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB、AC于D、E，且CD⊥BE，CD=3，BE=5，试求BC+DE的值．
小明发现，过点E作EF∥DC，交BC的延长线于点F，构造△BEF，经过推理得到▱DCFE，再计算就能够使问题得到解决（如图②）．
(1)请你帮小明回答：BC+DE的值为________，并写出推理和计算过程．
(2)参考小明思考问题的方法，请你解决如下问题：
如图③，已知▱ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，AC=BF=DF，求∠AGF的度数．
26．如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC边上的点，AF=AD+FC，平行四边形ABCD的面积为S，由A、E、F三点确定的圆的周长为t．
（1）若△ABE的面积为30，直接写出S的值；
（2）求证：AE平分∠DAF；
（3）若AE=BE，AB=4，AD=5，求t的值．
第4章 平行四边形【单元提升卷】
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共26题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．
一、单选题
1．如图，□ABCD的对角线交于点O，OE⊥AC交BC于E，已知△ABE的周长为3cm，则□ABCD的周长为（ ）
A．4cmB．6cmC．9cmD．12cm
答案:B
分析：根据平行四边形的对角线互相平分得：OA=OC．又OE⊥AC，根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得：AE=CE．故△ABE的周长为AB+BC的长．最后根据平行四边形的对边相等得：▱ABCD的周长为2×3=6．
【详解】四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC.
∵OE⊥AC，
∴AE=CE.
故△ABE的周长为AB+BC=3，
根据平行四边形的对边相等得
▱ABCD的周长为2×3=6.
故选B.
【点睛】本题考查平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，将△ABE的周长转化为AB+BC是解题的关键.
2．如图，小丽的一块四边形玩具片破了一角，小丽想知道破掉的∠C的度数，她量了∠A，∠B，∠D的度数，就知道了∠C的度数，其原因是（ ）
A．四边形外角和是360°B．四边形外角和是180°
C．四边形内角和是360°D．四边形内角和是180°
答案:C
分析：根据四边形内角和定理,结合题意即可解答.
【详解】根据四边形内角和为360°可知:只要知道四边形任意三个角的度数即可求出另外一个角的度数.
故选C.
【点睛】本题考查四边形的内角和定理，熟练掌握内角和定理是解题的关键.
3．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．平行四边形
答案:D
分析：根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】A. 等腰三角形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B. 直角三角形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C. 等边三角形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D. 平行四边形是中心对称图形，故本选项符合题意.
故选D.
【点睛】本题考查中心对称图形的概念，熟练掌握概念是解题的关键.
4．如图，的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=4，AC=6，则BD的长是（ ）
A．8B．9C．10D．12
答案:C
分析：通过平行四边形性质，可计算得；再结合AB⊥AC推导得为直角三角形，通过勾股定理计算得，再结合平行四边形性质，计算得到答案．
【详解】∵平行四边形且AC=6
∴
∵AB⊥AC
∴
∴为直角三角形
∴
又∵平行四边形
∴
故选C．
【点睛】本题考查了平行四边形、勾股定理的知识；求解的关键是熟练掌握平行四边形和勾股定理的性质，从而完成求解．
5．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=150°，则∠A的大小为（ ）
A．150°B．130°C．120°D．100°
答案:C
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABE，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AB=AE，
∵∠BED=150°，
∴∠ABE=∠AEB=30°，
∴∠A=180°﹣∠ABE﹣∠AEB=120°．
故选：C．
6．若平行四边形的一边长为2，面积为，则此边上的高介于
A．3与4之间B．4与5之间C．5与6之间D．6与7之间
答案:B
分析：先根据四边形的面积公式列出算式，求出高的值，再估算出无理数，即可得出答案；
【详解】根据四边形的面积公式可得：此边上的高=．
∵，
∴此边上的高介于4与5之间．
故选B．
7．若以A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
答案:C
分析：首先画出平面直角坐标系，根据A、B、C三点的坐标找出其位置，然后再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形找出D的位置，进而可得答案．
【详解】如图所示：
第四个顶点不可能在第三象限．
故选C．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质，根据题意画出图形是解题的关键．
8．用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时，第一步应先假设（ ）
A．三角形中有一个内角小于B．三角形中有一个内角大于
C．三角形的三个内角都小于D．三角形的三个内角都大于
答案:C
分析：反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
【详解】解：用反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于60°”时，
第一步应假设这个三角形中三个内角内角都小于60°，
故选：C．
【点睛】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
9．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ADB=∠CBD，添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠ABD=∠CDB
B．∠DAB=∠BCD
C．∠ABC=∠CDA
D．∠DAC=∠BCA
答案:D
【详解】由∠ADB=∠CBD可得到AD∥BC，∴A、∠ABD=∠CDB能得到AB∥CD，所以能判定四边形ABCD是平行四边形；B、利用三角形的内角和定理能进一步得到∠ABD=∠CDB，从而能得到AB∥CD，所以能判定四边形ABCD是平行四边形；C、能进一步得到∠CDB=∠ABD，从而能得到AB∥CD，所以能判定四边形ABCD是平行四边形；D、不能进一步得到AB∥CD，所以不能判定四边形ABCD是平行四边形，
故选D．
10．已知：四边形ABCD中，AB=2，CD=3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（ ）
A．1＜MN＜5B．1＜MN≤5C．＜MN＜D．＜MN≤
答案:D
分析：当AB∥CD时，MN最短，利用中位线定理可得MN的最长值，作出辅助线，利用三角形中位线及三边关系可得MN的其他取值范围．
【详解】连接BD，过M作MG∥AB，连接NG．
∵M是边AD的中点，AB=2，MG∥AB，
∴MG是△ABD的中位线，BG=GD，MG=AB=×2=1；
∵N是BC的中点，BG=GD，CD=3，
∴NG是△BCD的中位线，NG=CD=×3=，
在△MNG中，由三角形三边关系可知MG-NG＜MN＜MG+NG，即-1＜MN＜+1，
∴＜MN＜，
当MN=MG+NG，即MN=时，四边形ABCD是梯形，
故线段MN长的取值范围是＜MN≤．
故选D．
【点睛】此题主要考查了三角形的中位线，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，利用三角形的中位线定理和三角形的三边关系求解.
二、填空题
11．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，且EF∥BC，DE∥BF，则图共有________个平行四边形．
答案:3
分析：根据平行四边形的判定及性质进行分析，从而可得到共有3个平行四边形，分别是：▱AEFD，▱EFCB，▱BEDF．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AD∥BC．
∵EF∥BC，
∴四边形AEFD是平行四边形，四边形EFCB是平行四边形．
又∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
综上所述，平行四边形的个数共有3个（平行四边形ABCD除外）．
故答案是：3．
【点睛】此题主要考查平行四边形的判定及性质的理解及运用，注意运用“有两组对边相互平行的四边形是平行四边形”的性质．
12．如图，在周长为20cm的平行四边形ABCD中，AB≠AD，AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为_________cm．
答案:10
【详解】解：根据平行四边形的性质得：OB=OD，
∵EO⊥BD，
∴EO为BD的垂直平分线，
根据线段的垂直平分线上的点到两个端点的距离相等得：BE=DE，
∴△ABE的周长=AB+AE+DE=AB+AD=×20=10cm．
故答案为：10
13．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________.
答案:8
分析：根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用可求得边数．
【详解】解：多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是，
即该正多边形的边数是8，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了多边形外角和以及多边形的边数，解题的关键是掌握正多边形的各个内角相等，各个外角也相等．
14．用三种不同的正多边形地砖铺满地面，若其中有正三角形，正八边形，则另一个为正_______边形．
答案:24
分析：分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．
【详解】∵正三角形的内角是60°，正八边形的内角是135°，
∴另一个正多边形的内角是165°，
∴另一个正多边形是24边形；
故答案为24．
【点睛】本题考查了平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
15．如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F．若AB=6，则BF的长为_______________．
答案:8.
【详解】试题解析：∵∠ACB=90°，D为AB的中点，AB=6，
∴CD=AB=3．
又∵CE=CD，
∴CE=1，
∴ED=CE+CD=4．
又∵BF∥DE，点D是AB的中点，
∴ED是△AFB的中位线，
∴BF=2ED=8．
16．如果某多边形的内角和与外角和的度数比为3：2，那么这个多边形的边数为_____．
答案:五
分析：设多边形的边数为n，根据多边形的内角和外角的关系，列方程求解即可．
【详解】解：设多边形的边数为n，依题意得：
180（n-2）：360=3：2，
解得n=5，
故答案为：五．
【点睛】本题考查多边形内角和与外角和定理，解题的关键是记住多边形的多边形内角公式(n-2)×180°和与外角和等于360°．
17．如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需增加的一个条件是__________________（填一种情况即可）．
答案:BE=DF
分析：根据平行四边形的判定添加条件即可．
【详解】解：如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∴当BE＝DF时，可得OE＝OF，则四边形AECF为平行四边形，
∴可增加BE＝DF，
故答案为：BE＝DF（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，是开放题，答案不唯一，熟练掌握判定定理是解题的关键．
18．如图，在图1中，A1，B1，C1分别是△ABC的边BC，CA，AB的中点，在图2中，A2，B2，C2分别是△A1B1C1的边B1C1，C1A1，A1B1的中点，…，按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有___个．
答案:3n
分析：在图１中，有3个平行四边形；在图2中，有6个平行四边形；.观察发现规律即可完成解答．.
【详解】解：在图1中，A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，
∴A1C1//AC,A1B1∥AB,BC //B1C , A1C1=AC,A1B1=AB,BC =B1C，
∴四边形A1B1AC1、A1B1C1B、A1C1B1C是平行四边形，共有3个；
同理，第2个图形有6个，第3个图形有9个，以此类推可得，第n个图形有3n个．
故答案为3n．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.掌握由特殊到一般的方法是解题的关键．.
三、解答题
19．如图，在▱ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：AE=CF．
答案:证明见解析.
分析：由全等三角形的判定定理AAS证得△ABE≌△CDF，则对应边相等：AE=CF．
【详解】如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCF．
又BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB=∠CFD=90°．
在△ABE与△CDF中，
，
∴得△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE=CF．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．
20．如图，过正方形ABCD的顶点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．
（1）判断四边形ACED的形状，并说明理由；
（2）若BD=8cm，求线段BE的长．
答案:（1）四边形ACED是平行四边形．理由如下见解析
（2）8cm．
分析：（1）根据正方形的对边互相平行可得AD∥BC，即为AD∥CE，然后根据两组对边互相平行的四边形是平行四边形解答.
（2）根据正方形的四条边都相等，平行四边形的对边相等可得BC=AD=CE，再根据正方形的边长等于对角线的倍求出BC，然后求出BE即可.
【详解】解：（1）四边形ACED是平行四边形.理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
即AD∥CE.
∵DE∥AC，
∴四边形ACED是平行四边形.
（2）由（1）知，BC=AD=CE=CD，
∵BD=8cm，
∴BC=BD=×8=4cm，
∴BE=BC+CE=4+4=8cm．
21．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．得平行四边形ABDC
（1）直接写出点C，D的坐标；
（2）若在y轴上存在点 M，连接MA，MB，使S△MAB=S平行四边形ABDC ， 求出点M的坐标．
（3）若点P在直线BD上运动，连接PC，PO．
请画出图形，直接写出∠CPO、∠DCP、∠BOP的数量关系．
答案:（1）C（0，2），D（4，2）；（2）（0，4）或（0，﹣4）；（3）①当点P在BD上，∠CPO=∠DCP+∠BOP，②当点P在线段BD的延长线上时，∠CPO=∠BOP﹣∠DCP，③当点P在线段DB的延长线上时，∠CPO=∠DCP﹣∠BOP
分析：（1）根据点的平移法则得出点C和点D的坐标；
（2）设M坐标为（0，m），然后求出平行四边形的性质的面积，根据面积相等得出m的值，从而得出点M的坐标；
（3）分当点P在BD上、当点P在线段BD的延长线上时和当点P在线段DB的延长线上时三种情况分别画出图形，然后得出答案．
【详解】解：（1）∵将A（﹣1，0），B（3，0）分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，
∴C（0，2），D（4，2）；
（2）∵AB=4，CO=2， ∴S平行四边形ABDC=AB•CO=4×2=8， 设M坐标为（0，m），
∴ ×4×|m|=8，解得m=±4， ∴M点的坐标为（0，4）或（0，﹣4）；
（3）①当点P在BD上，如图1， 由平移的性质得，AB∥CD，
过点P作PE∥AB，则PE∥CD， ∴∠DCP=∠CPE，∠BOP=∠OPE，
∴∠CPO=∠CPE+∠OPE=∠DCP+∠BOP，
②当点P在线段BD的延长线上时，如图2， 由平移的性质得，AB∥CD，
过点P作PE∥AB，则PE∥CD， ∴∠DCP=∠CPE，∠BOP=∠OPE，
∴∠CPO=∠OPE﹣∠CPE=∠BOP﹣∠DCP，
③当点P在线段DB的延长线上时，如图3， 同（2）的方法得出∠CPO=∠DCP﹣∠BOP．
【点睛】本题主要考查的是平行四边形的性质以及分类讨论思想的应用，属于基础题型．解决第三问时一定要注意进行分类讨论．
22．如图，在平行四边形ABCD中，BD=2AB，AC与BD相交于点O，点E、F、G分别是OC、OB、AD的中点．
(1)求证：DE⊥OC；
(2)求证：EG=EF．
答案:(1)证明见解析；
(2)证明见解析
分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，根据平行四边形的性质，即可得BD=2OD，AB=CD，AD=BC，又由BD=2AB，可得△ODC是等腰三角形，根据三线合一的性质，即可证得DE⊥OC；
（2）由DE⊥OC，点G是AD的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得EG=AD，又由三角形中位线的性质，求得EF=BC，则可证得EG=EF．
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，
∴BD=2OD，AB=CD，AD=BC．
∵BD=2AB，
∴OD=AB=CD．
∵点E是OC的中点，
∴DE⊥OC
（2）∵DE⊥OC，点G是AD的中点，
∴EG=AD；
∵点E、F分别是OC、OB的中点．
∴EF=BC．
∵AD=BC，
∴EG=EF．
【点睛】此题考查了平行线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
23．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）求证：∠DHF=∠DEF．
答案:（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】试题分析：（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥AB，DE∥AC，再根据平行四边形的定义证明即可.
（2）根据平行四边形的对角线相等可得∠DEF=∠BAC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DH=AD，FH=AF，再根据等边对等角可得∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，然后求出∠DHF=∠BAC，等量代换即可得到∠DHF=∠DEF．
试题解析：证明：（1）∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DE、EF都是△ABC的中位线.
∴EF∥AB，DE∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形.
（2）∵四边形ADEF是平行四边形，∴∠DEF=∠BAC.
∵D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高，∴DH=AD，FH=AF.
∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA.
∵∠DAH+∠FAH=∠BAC，∠DHA+∠FHA=∠DHF，
∴∠DHF=∠BAC.∴∠DHF=∠DEF．
考点：1.三角形中位线定理；2.直角三角形斜边上的中线性质；3.平行四边形的判定．
24．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F是AD、BC的中点，EF分别交AC、BD于M、N，且OM=ON．
求证：AC=BD．
答案:证明见解析
【详解】分析：取AB和CD的中点分别为G、H，连接EG、GF、FH、EH，根据中位线的性质得出OM=ON，从而得出∠4=∠EFH，即EH=HF，得出答案．
详解：证明：取AB和CD的中点分别为G、H，连接EG、GF、FH、EH，
则EH∥AC，EH=AC，HF∥BD，FH=BD，∴∠3=∠2，∠1=∠4，∵OM=ON，
∴∠1=∠2，∴∠4=∠3=∠1=∠2，同理∠EFH=∠GFE=∠1=∠2，∴∠4=∠EFH，
∴EH=HF，∵EH=AC，FH=BD，∴AC=BD．
点睛：本题主要考查的是三角形中位线的性质，属于中等难度的题型．解决这个问题的关键就是根据中位线的性质作出辅助线．
25．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图①，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB、AC于D、E，且CD⊥BE，CD=3，BE=5，试求BC+DE的值．
小明发现，过点E作EF∥DC，交BC的延长线于点F，构造△BEF，经过推理得到▱DCFE，再计算就能够使问题得到解决（如图②）．
(1)请你帮小明回答：BC+DE的值为________，并写出推理和计算过程．
(2)参考小明思考问题的方法，请你解决如下问题：
如图③，已知▱ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，AC=BF=DF，求∠AGF的度数．
答案:(1)，见解析
(2)60°
分析：（1）由DE∥BC，EF∥DC，可证得四边形DCFE是平行四边形，即可得EF=CD=3，CF=DE，即可得BC+DE=BF，然后利用勾股定理，求得BC+DE的值；
（2）首先连接AE，CE，由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABEF是矩形，易证得四边形DCEF是平行四边形，继而证得△ACE是等边三角形，则可求得答案．
【详解】（1）解：∵DE∥BC，EF∥DC，
∴四边形DCFE是平行四边形，
∴EF=CD=3，CF=DE，
∵CD⊥BE，
∴EF⊥BE，
∴BC+DE=BC+CF=BF=，
故答案为：；
（2）解：连接AE，CE，如图．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC．
∵四边形ABEF是矩形，
∴AB∥FE，BF=AE．
∴DC∥FE．
∴四边形DCEF是平行四边形．
∴CE∥DF．
∵AC=BF=DF，
∴AC=AE=CE．
∴△ACE是等边三角形．
∴∠ACE=60°．
∵CE∥DF，
∴∠AGF=∠ACE=60°．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法．
26．如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC边上的点，AF=AD+FC，平行四边形ABCD的面积为S，由A、E、F三点确定的圆的周长为t．
（1）若△ABE的面积为30，直接写出S的值；
（2）求证：AE平分∠DAF；
（3）若AE=BE，AB=4，AD=5，求t的值．
答案:（1）平行四边形ABCD的面积为60；（2）证明见解析；（3）△AEF的外接圆的周长t=π．
【详解】分析：（1）作EG⊥AB于点G，由S△ABE=×AB×EG=30得AB•EG=60，即可得出答案；
（2）延长AE交BC延长线于点H，先证△ADE≌△HCE得AD=HC、AE=HE及AD+FC=HC+FC，结合AF=AD+FC得∠FAE=∠CHE，根据∠DAE=∠CHE即可得证；
（3）先证∠ABF=90°，根据勾股定理可得出AF2=AB2+BF2=16+（5﹣FC）2=（FC+CH）2=（FC+5）2，据此求得FC的长，从而得出AF的长度，再由AE=HE、AF=FH知FE⊥AH，即AF是△AEF的外接圆直径，从而得出答案．
【详解】（1）如图，作EG⊥AB于点G，
则S△ABE=×AB×EG=30，则AB•EG=60，
∴平行四边形ABCD的面积为60；
（2）如图，延长AE交BC延长线于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE=∠HCE，∠DAE=∠CHE，
∵E为CD的中点，
∴CE=ED，
∴△ADE≌△HCE，
∴AD=HC、AE=HE，
∴AD+FC=HC+FC，
由AF=AD+FC和FH=HC+FC得AF=FH，
∴∠FAE=∠CHE，
又∵∠DAE=∠CHE，
∴∠DAE=∠FAE，
∴AE平分∠DAF；
（3）连接EF，
∵AE=BE、AE=HE，
∴AE=BE=HE，
∴∠BAE=∠ABE，∠HBE=∠BHE，
∵∠DAE=∠CHE，
∴∠BAE+∠DAE=∠ABE+∠HBE，即∠DAB=∠CBA，
由四边形ABCD是平行四边形得∠DAB+∠CBA=180°，
∴∠CBA=90°，
∴AF2=AB2+BF2=16+（5﹣FC）2=（FC+CH）2=（FC+5）2，
解得：FC=，
∴AF=FC+CH=，
∵AE=HE、AF=FH，
∴FE⊥AH，
∴AF是△AEF的外接圆直径，
∴△AEF的外接圆的周长t=π．
【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及到平行四边形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握和灵活运用相关的性质与定理是解题的关键.
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