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浙教版八年级数学下学期核心考点+重难点核心考点02一元二次方程(原卷版+解析)
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这是一份浙教版八年级数学下学期核心考点+重难点核心考点02一元二次方程(原卷版+解析)，共80页。试卷主要包含了2+k＝0的解是 ，解方程等内容，欢迎下载使用。
考点一：一元二次方程的定义 考点二：一元二次方程的一般形式
考点三：一元二次方程的解 考点四：解一元二次方程-直接开平方法
考点五：解一元二次方程-配方法 考点六：解一元二次方程-公式法
考点七：解一元二次方程-因式分解法 考点八：换元法解一元二次方程
考点九：根的判别式 考点十：根与系数的关系
考点十一：由实际问题抽象出一元二次方程 考点十二：一元二次方程的应用
考点十三：配方法的应用 考点十四：高次方程
考点十五：无理方程
考点考向
一．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
二．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
三．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
四．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
五．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
六．解一元二次方程-公式法
（1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
七．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
八．换元法解一元二次方程
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
九．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
十．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
十一．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
十二．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
十三．配方法的应用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用．
十四．高次方程
（1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程．
（2）高次方程的解法思想：
通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．
对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理． 换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解．
十五．无理方程
（1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．
（2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程． （3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程． 解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等． （4）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
考点精讲
一．一元二次方程的定义（共1小题）
1．（2023春•宁波期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．x﹣2y＝1B．x2﹣2x+1＝0C．x2﹣2y+4＝0D．x2+3＝
二．一元二次方程的一般形式（共2小题）
2．（2023春•嘉兴期末）把一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（ ）
A．x2﹣3x﹣1＝0B．x2﹣3x+1＝0C．x2+3x﹣1＝0D．x2+3x+1＝0
3．（2023秋•灵宝市期中）方程2x2＝3（x﹣6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．2，3，﹣6B．2，﹣3，18C．2，﹣3，6D．2，3，6
三．一元二次方程的解（共2小题）
4．（2023春•温州期中）已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0的一个根是x＝2，则m的值为（ ）
A．﹣10B．﹣2C．2D．10
5．（2023春•洞头区期中）《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如x（x+5）＝24的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为x+5，宽为x的长方形纸片（面积均为24）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为：24×4+25＝121，边长为11，故得x（x+5）＝24的正数解为x＝＝3．小明按此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，构造出同样的图形．已知大正方形的面积为12，小正方形的面积为4，则方程的正数解为（ ）
A．﹣1B．+1C．D．﹣1
四．解一元二次方程-直接开平方法（共2小题）
6．（2023春•西湖区期末）一元二次方程x2＝4的解是（ ）
A．±2B．2C．﹣2D．±
7．（2023春•嘉善县校级月考）若a（x﹣h）2+k＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，则a（x﹣h+3）2+k＝0的解是 ．
五．解一元二次方程-配方法（共4小题）
8．（2023春•临平区月考）解方程：
（1）（x+1）（x﹣1）＝1； （2）2x2﹣4x+1＝0．
9．（2023春•温州期中）解方程：x2﹣4x﹣5＝0（用配方法）
10．（2023春•舟山期末）在用配方法解一元二次方程4x2﹣12x﹣1＝0时，李明同学的解题过程如下：
解：方程4x2﹣12x﹣1＝0可化成（2x）2﹣6×2x﹣1＝0，
移项，得（2x）2﹣6×2x＝1．
配方，得（2x）2﹣6×2x+9＝1+9，
即（2x﹣3）2＝10．
由此可得2x﹣3＝±∴x1＝，x2＝．
晓强同学认为李明同学的解题过程是错误的，因为用配方法解一元二次方程时，首先把二次项系数化为1，然后再配方，你同意晓强同学的想法吗？你从中受到了什么启示？
11．（2023春•定海区期末）用配方法解一元二次方程：2x2+3x+1＝0．小明同学的解题过程如下：
解：x2+＝0
x+
x1＝﹣．
小明的解题过程是否正确？若正确，请回答“对”；若错误，请写出你的解题过程．
六．解一元二次方程-公式法（共2小题）
12．（2023春•鄞州区期中）解方程：
（1）x2﹣4x+1＝0 （2）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0
13．（2023春•拱墅区校级月考）解下列方程：
（1）x2﹣7x+1＝0； （2）2（2x﹣1）＝3（1﹣2x）．
七．解一元二次方程-因式分解法（共2小题）
14．（2023春•东阳市校级月考）用适当的方法解下列方程．
（1）x2﹣2x＝0； （2）2x2﹣3x﹣1＝0．
15．（2023春•吴兴区校级期中）解下列方程：
（1）2x2﹣7x+3＝0； （2）（7x+3）2＝2（7x+3）．
八．换元法解一元二次方程（共2小题）
16．（2023春•绍兴期中）解方程：
（1）x2﹣8x﹣1＝0 （2）（x﹣2）2﹣6（x﹣2）+8＝0
17．（2023春•南湖区校级期中）小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
九．根的判别式（共3小题）
18．（2023秋•镇海区校级期末）关于x的一元二次方程x2﹣4x+1＝2k有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（ ）
A．B．k＞1C．k＜1D．
19．（2023春•宁波期中）已知：关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0．
（1）判断方程的根的情况；
（2）若△ABC为等腰三角形，AB＝5cm，另外两条边长是该方程的根，求△ABC的周长．
20．（2023春•余杭区期中）已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．
（1）求证：无论实数m取何值时，方程总有实数根；
（2）若方程有一个根的平方等于4，求m的值．
一十．根与系数的关系（共3小题）
21．（2023秋•海曙区校级期末）一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两实数根之和等于（ ）
A．﹣2B．2C．﹣5D．5
22．（2023•海曙区开学）若关于x的方程（x﹣2）（x2﹣4x+m）＝0有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m的取值范围是 ．
23．（2023春•上虞区期末）解答下列各题：
（1）用配方法解方程：x2﹣12x＝﹣9．
（2）设x1，x2是一元二次方程5x2﹣7x﹣3＝0的两根，求的值．
一十一．由实际问题抽象出一元二次方程（共2小题）
24．（2023春•鹿城区校级期中）如图，在长为30m，宽20m的矩形田地中开辟两条宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为551m2，求道路的宽度．设道路的宽度为xm，则可列方程（ ）
A．（20+x）（30+x）＝551B．（20﹣x）（30﹣x）＝551
C．20×30﹣20x﹣30x＝551D．20×30﹣20x﹣30x﹣x2＝551
25．（2023春•西湖区期中）如图，面积为50m2的矩形试验田一面靠墙（墙的长度不限），另外三面用22m长的篱笆围成，平行于墙的一边开有一扇1m宽的门（门的材料另计）．设试验田垂直于墙的一边AB的长为x（m），则所列方程正确的是（ ）
A．（22+1﹣x）x＝50B．（22﹣1﹣x）x＝50
C．（22+1﹣2x）x＝50D．（22﹣1﹣2x）x＝50
一十二．一元二次方程的应用（共2小题）
26．（2023春•萧山区期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
27．（2023春•滨江区期末）某小区计划用40米的篱笆围一个矩形花坛，其中一边靠墙（墙足够长，篱笆要全部用完）．
（1）如图1，问AB为多少米时，矩形ABCD的面积为200平方米？
（2）如图2，矩形EMNF的面积比（1）中的矩形ABCD面积减小20平方米，小明认为只要此时矩形的长MN比图①中矩形的长BC少2米就可以了．请你通过计算，判断小明的想法是否正确．
一十三．配方法的应用（共2小题）
28．（2023春•杭州期中）已知a+b﹣2﹣4＝3﹣c﹣5，求a+b+c的值．
29．（2023春•上城区校级期中）请阅读下列材料：
我们可以通过以下方法求代数式x2+6x+5的最小值．
x2+6x+5＝x2+2•x•3+32﹣32+5＝（x+3）2﹣4，
∵（x+3）2≥0
∴当x＝﹣3时，x2+6x+5有最小值﹣4．
请根据上述方法，解答下列问题：
（Ⅰ）x2+4x﹣1＝x2+2•x•2+22﹣22﹣1＝（x+a）2+b，则ab的值是 ；
（Ⅱ）求证：无论x取何值，代数式x2+2x+7的值都是正数；
（Ⅲ）若代数式2x2+kx+7的最小值为2，求k的值．
一十四．高次方程（共1小题）
30．（2023•江北区开学）将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x⋅x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x3﹣2x2+2x+1的值为（ ）
A．B．C．D．
一十五．无理方程（共2小题）
31．（2023春•鄞州区校级期末）两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，例如，与，+1与﹣1，a+与a﹣等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：＝＝﹣；
（1）＝ ；＝ ；
（2）比较﹣与﹣的大小，并说明理由；
（3）解方程：+＝5（提示：利用互为有理化因式相关知识，可设﹣＝m）．
32．（2023春•柯桥区月考）小明在解方程﹣＝2时采用了下面的方法：由
（﹣）（+）＝（）2﹣（）2＝（24﹣x）﹣（8﹣x）＝16，
又有﹣＝2，可得+＝8，将这两式相加可得，将＝5两边平方可解得x＝﹣1，经检验x＝﹣1是原方程的解．
请你学习小明的方法，解下面的方程：
（1）方程+＝18的解是 ；
（2）解方程+＝4x．
巩固提升
一、单选题
1．（2023秋·浙江金华·八年级校考期中）下列方程中属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·八年级单元测试）方程化为一般形式后的一次项系数、常数项分别是（ ）．
A．，B．，10C．8，D．10，8
3．（2023春·浙江·八年级专题练习）观察下表，估计一元二次方程的正数解在（ ）
A．和0之间B．0和1之间C．1和2之间D．2和3之间
4．（2023春·浙江杭州·八年级校考阶段练习）若为任意实数，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．100D．
5．（2023春·浙江·八年级专题练习）中秋节当天，九年级数学组的老师每两人相互送一个月饼，共送出72个月饼，九年级数学组老师的人数为（ ）
A．9B．8C．7D．6
二、填空题
6．（2023春·八年级单元测试）是一元二次方程，则m=___________．
7．（2023春·八年级单元测试）已知是关于的方程的一个根，则______．
8．（2023春·浙江·八年级专题练习）为了加快发展新能源和清洁能源，助力实现“双碳”目标，大力发展高效光伏发电关键零部件制造．青岛某工厂今年第一季度生产某种零件的成本是20万元，由于技术升级改进，生产成本逐季度下降，第三季度的生产成本为万元，设该公司每个季度的下降率都相同．则该公司每个季度的下降率是__________．
9．（2023春·八年级课时练习）《念奴娇•赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”若设这位风流人物去世的年龄十位数字为x，则可列方程为____．
10．（2023秋·浙江宁波·八年级校考期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，．若，满足，则______．
11．（2023春·浙江·八年级专题练习）对于实数a，b，定义运算“*”：，例如：4*2，因为，所以，若、是一元二次方程的两个根，则的值是______．
三、解答题
12．（2023春·浙江·八年级专题练习）用适当的方法解下列一元二次方程．
(1) (2)（用配方法）
(3) (4)（用公式法）
13．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知关于x的一元二次方程
(1)若方程的一个根为，求a的值和另一个根；
(2)当时，
①若代数式，则___________；
②若代数式的值为正整数，且x为整数，求x的值；
(3)当时，方程的一个正根为；当时，方程的一个正根为；若，试比较与的大小．
14．（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：这个一元二次方程一定有两个实数根；
(2)设该一元二次方程的两根为a、b，且2、a、b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值．
15．（2023春·浙江·八年级专题练习）对于代数式，若存在实数，当时，代数式的值也等于，则称为这个代数式的不变值．例如：对于代数式，当时，代数式等于0；当时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作．特别地，当代数式只有一个不变值时，则．
(1)代数式的不变值是______，______．
(2)说明：代数式没有不变值；
(3)已知代数式，若，求的值．
16．（2023春·浙江·八年级专题练习）解方程，可以将看成一个整体，设，则原方程可化①，解得，，当时，即，解得，，当时，即，解得，所以原方程的解为，，，．
解答问题：
(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中利用____法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想．
(2)请利用上述这种方法解方程：．
(3)应用求值：已知实数，满足，则_____．
17．（2023春·浙江·八年级专题练习）请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：
已知，求的值；
解：设，则原方程可变形为．即
∴得，
∴或
已知，求的值．
18．（2023春·八年级单元测试）如图，有一段长为20米的篱笆，利用一面墙，围成一个长方形花圃，设花圃的宽AB为x米（其中．
(1)请你用含x的代数式表示BC的长．
(2)若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的宽AB的长度．
19．（2023春·八年级单元测试）某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y（千克）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图像如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)当每千克菠萝蜜降价4元时，超市获利多少元？
(3)若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？
20．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在中，厘米，厘米，点从点开始沿边向点以厘米秒的速度移动，点从点开始沿边向点以厘米秒的速度移动，如果，分别是从，同时出发，设时间为秒．
(1)经过几秒时，的面积等于平方厘米？
(2)经过几秒时，的面积等于直角三角形面积的？
21．（2023春·八年级课时练习）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万．
(1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米．
(2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多万元．求a的值．
22．（2023春·浙江·八年级专题练习）匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初始速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．现有一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动．
(1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？
(2)小球滚动约用了多少秒（结果保留小数点后一位，参考数据：？）
23．春·浙江绍兴·八年级统考期中）根据绍兴市某风景区的旅游信息：
A公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元．A公司参加这次旅游的员工有多少人？
24．（2023春·浙江·八年级专题练习）随着疫情管控的放开，甲、乙两支队伍计划自驾去西藏旅游．两队计划同一天出发，沿不同的路线前往目的地汇合．甲队走路线，全程2400千米，乙队走路线，全程3200千米，由于路线高速公路较多，乙队平均每天行驶的路程是甲队的2倍，这样乙队可以比甲队提前2天到达目的地．
(1)求甲、乙两队分别计划多少天到达目的地？
(2)在他们的旅行计划中，乙队每人每天的平均花费始终为135元．甲队最开始计划有8个人同行，计划每人每天花费300元，后来又有个人加入队伍，经过计算，甲队实际每增加1人时，每人每天的平均花费将减少30元．若最终甲、乙两队一起旅行的人数相同，且旅行天数与各自原计划天数一致，两队共需花费18720元，求的值．
25．（2023秋·浙江温州·八年级瑞安市安阳实验中学校考阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点B的坐标是，连接．若动点从点出发沿着线段以个单位每秒的速度向终点运动，设运动时间为秒．
(1)求线段的长．
(2)连接，当为等腰三角形时，过点作线段的垂线与直线交于点，求点的坐标；
(3)已知点为的中点，连接，点关于直线的对称点记为(如图2)，在整个运动过程中，若点恰好落在内部(不含边界)，请直接写出的取值范围．
26．（2023春·浙江·八年级专题练习）阅读理解以下内容，解决问题：
解方程：．
解：，
方程即为：，
设，原方程转化为：
解得，，，
当时，即，，；
当时，即，不成立．
综上所述，原方程的解是，．
以上解方程的过程中，将其中作为一个整体设成一个新未知数，从而将原方程化为关于的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）．
(1)已知方程：，若设，则利用“换元法”可将原方程化为关于的方程是______；
(2)仿照上述方法，解方程：．
27．（2023·浙江杭州·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13厘米，BC＝10厘米，AD⊥BC于点D，动点P从点A出发以每秒1厘米的速度在线段AD上向终点D运动，设动点运动时间为t秒.
(1)求AD的长；
(2)当P、C两点的距离为时，求t的值；
(3)动点M从点C出发以每秒2厘米的速度在射线CB上运动．点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动．是否存在t值，使得？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
备用图
小敏：
两边同除以（x﹣3），得
3＝x﹣3，
则x＝6．
小霞：
移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．
则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝0．
0
1
2
3
4
4
11
20
旅游人数
收费标准
不超过30人
人均收费80元
超过30人
每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于55元
核心考点02一元二次方程
目录
考点一：一元二次方程的定义 考点二：一元二次方程的一般形式
考点三：一元二次方程的解 考点四：解一元二次方程-直接开平方法
考点五：解一元二次方程-配方法 考点六：解一元二次方程-公式法
考点七：解一元二次方程-因式分解法 考点八：换元法解一元二次方程
考点九：根的判别式 考点十：根与系数的关系
考点十一：由实际问题抽象出一元二次方程 考点十二：一元二次方程的应用
考点十三：配方法的应用 考点十四：高次方程
考点十五：无理方程
考点考向
一．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
二．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
三．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
四．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
五．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
六．解一元二次方程-公式法
（1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
七．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
八．换元法解一元二次方程
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
九．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
十．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
十一．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
十二．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
十三．配方法的应用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用．
十四．高次方程
（1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程．
（2）高次方程的解法思想：
通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．
对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理． 换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解．
十五．无理方程
（1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．
（2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程． （3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程． 解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等． （4）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
考点精讲
一．一元二次方程的定义（共1小题）
1．（2023春•宁波期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．x﹣2y＝1B．x2﹣2x+1＝0C．x2﹣2y+4＝0D．x2+3＝
分析：直接根据一元二次方程的定义进行判断即可．
【解答】解：选项A，方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
选项B，方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的整式方程，是一元二次方程．该选项符合题意．
选项C，方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故该项不符合题意；
选项D，方程不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的整式方程是一元二次方程．
二．一元二次方程的一般形式（共2小题）
2．（2023春•嘉兴期末）把一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（ ）
A．x2﹣3x﹣1＝0B．x2﹣3x+1＝0C．x2+3x﹣1＝0D．x2+3x+1＝0
分析：先根据平方差公式进行计算，再移项，最后得出选项即可．
【解答】解：（x+1）（x﹣1）＝3x，
x2﹣1﹣3x＝0，
即x2﹣3x﹣1＝0，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程一般形式的特点是解此题的关键，一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）．
3．（2023秋•灵宝市期中）方程2x2＝3（x﹣6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．2，3，﹣6B．2，﹣3，18C．2，﹣3，6D．2，3，6
分析：要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．
【解答】解：方程2x2＝3（x﹣6），
去括号，得2x2＝3x﹣18，
整理，得2x2﹣3x+18＝0，
所以，二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，﹣3，18，
故选：B．
【点评】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
三．一元二次方程的解（共2小题）
4．（2023春•温州期中）已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0的一个根是x＝2，则m的值为（ ）
A．﹣10B．﹣2C．2D．10
分析：把x＝2代入求值即可．
【解答】解：把x＝2代入可得22+3×2﹣m＝0，
解得m＝10，
故选：D．
【点评】本题主要考查对一元二次方程的解，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能得到方程22+3×2﹣m＝0是解此题的关键．
5．（2023春•洞头区期中）《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如x（x+5）＝24的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为x+5，宽为x的长方形纸片（面积均为24）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为：24×4+25＝121，边长为11，故得x（x+5）＝24的正数解为x＝＝3．小明按此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，构造出同样的图形．已知大正方形的面积为12，小正方形的面积为4，则方程的正数解为（ ）
A．﹣1B．+1C．D．﹣1
分析：把方程变形得到x（x+m）＝n，设图中长方形的长为（x+m），宽为x，则图中小正方形的边长为x+m﹣x ＝m＝2，大正方形的边长为x+m+x ＝2x+m＝，解得x＝2，然后计算x（x+2）即可．
【解答】解：∵x2+mx﹣n＝0，
∴x（x+m）＝n，
∴图中长方形的长为（x+m），宽为x，
∴图中小正方形的边长为x+m﹣x ＝m＝＝2，
大正方形的边长为x+m+x ＝2x+m＝，
∴x＝＝﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
四．解一元二次方程-直接开平方法（共2小题）
6．（2023春•西湖区期末）一元二次方程x2＝4的解是（ ）
A．±2B．2C．﹣2D．±
分析：利用直接开平方法，将方程两边直接开平方即可．
【解答】解；x2＝4，
两边直接开平方得：
x＝±2，
∴x1＝2，x2＝﹣2，
故选：A．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
7．（2023春•嘉善县校级月考）若a（x﹣h）2+k＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，则a（x﹣h+3）2+k＝0的解是 x1＝﹣5，x2＝﹣2 ．
分析：把方程a（x﹣h+3）2+k＝0看作关于x+3的一元二次方程，根据题意得到x+3＝﹣2或x+3＝1，然后解一次方程即可．
【解答】解：把方程a（x﹣h+3）2+k＝0看作关于x+3的一元二次方程，
∵（x﹣h）2+k＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，
∴x+3＝﹣2或x+3＝1，
解得x1＝﹣5，x2＝﹣2，
即a（x﹣h+3）2+k＝0的解是x1＝﹣5，x2＝﹣2．
故答案为：x1＝﹣5，x2＝﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，运用换元法的思想是解决问题的关键．
五．解一元二次方程-配方法（共4小题）
8．（2023春•临平区月考）解方程：
（1）（x+1）（x﹣1）＝1；
（2）2x2﹣4x+1＝0．
分析：（1）方程整理后，利用直接开平方法求出解即可；
（2）方程整理后，利用配方法求出解即可．
【解答】解：（1）方程整理得：x2﹣1＝1，即x2＝2，
开方得：x1＝，x2＝﹣；
（2）方程整理得：x2﹣2x＝﹣，
配方得：x2﹣2x+1＝，即（x﹣1）2＝，
开方得：x﹣1＝±，
解得：x1＝，x2＝．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，以及配方法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
9．（2023春•温州期中）解方程：x2﹣4x﹣5＝0（用配方法）
分析：方程变形后，利用配方法求出解即可．
【解答】解：方程变形得：x2﹣4x＝5，即x2﹣4x+4＝9，
变形得：（x﹣2）2＝9，
开方得：x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，
解得：x1＝5，x2＝﹣1．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
10．（2023春•舟山期末）在用配方法解一元二次方程4x2﹣12x﹣1＝0时，李明同学的解题过程如下：
解：方程4x2﹣12x﹣1＝0可化成（2x）2﹣6×2x﹣1＝0，
移项，得（2x）2﹣6×2x＝1．
配方，得（2x）2﹣6×2x+9＝1+9，
即（2x﹣3）2＝10．
由此可得2x﹣3＝±∴x1＝，x2＝．
晓强同学认为李明同学的解题过程是错误的，因为用配方法解一元二次方程时，首先把二次项系数化为1，然后再配方，你同意晓强同学的想法吗？你从中受到了什么启示？
分析：晓强认为李明的解题过程错误，我不同意他的想法，说明理由即可．
【解答】解：不同意晓强的想法，
当二次项系数不为1时，有时也可以把系数的算术平方根与字母看成整体，再配方．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
11．（2023春•定海区期末）用配方法解一元二次方程：2x2+3x+1＝0．小明同学的解题过程如下：
解：x2+＝0
x+
x1＝﹣．
小明的解题过程是否正确？若正确，请回答“对”；若错误，请写出你的解题过程．
分析：根据解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
【解答】解：小明的解题过程不正确，
正确的解题过程如下：
2x2+3x+1＝0，
x2+x+＝0，
x2+x＝﹣，
x2+x+（）2＝﹣+（）2，
（x+）2＝，
x+＝±，
x+＝或x+＝﹣，
x1＝﹣，x2＝﹣1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．
六．解一元二次方程-公式法（共2小题）
12．（2023春•鄞州区期中）解方程：
（1）x2﹣4x+1＝0
（2）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0
分析：（1）根据配方法即可求出答案；
（2）根据因式分解法即可求出答案．
【解答】解：（1）∵x2﹣4x+1＝0，
∴x2﹣4x＝﹣1，
∴x2﹣4x+4＝3，
∴（x﹣2）2＝3，
∴x＝2±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣
（2）∵（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0，
∴（x﹣3）（x﹣3+2x）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣3+2x＝0，
∴x1＝3，x2＝1；
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
13．（2023春•拱墅区校级月考）解下列方程：
（1）x2﹣7x+1＝0；
（2）2（2x﹣1）＝3（1﹣2x）．
分析：（1）先计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解；
（2）先移项合并得到﹣5（1﹣2x）＝0，然后解方程即可．
【解答】解：（1）Δ＝（﹣7）2﹣4×1×1＝45＞0，
x＝＝，
所以x1＝，x2＝；
（2）2（2x﹣1）﹣3（1﹣2x）＝0，
﹣5（1﹣2x）＝0，
解得x＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．也考查了解一元一次方程．
七．解一元二次方程-因式分解法（共2小题）
14．（2023春•东阳市校级月考）用适当的方法解下列方程．
（1）x2﹣2x＝0；
（2）2x2﹣3x﹣1＝0．
分析：（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣2x＝0，
x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝0，x2＝2；
（2）∵x2+3x+1＝0，
∴a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝9+8＝17，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
15．（2023春•吴兴区校级期中）解下列方程：
（1）2x2﹣7x+3＝0；
（2）（7x+3）2＝2（7x+3）．
分析：（1）根据因式分解法可以解答此方程；
（2）先移项，然后根据因式分解法即可解答此方程．
【解答】解：（1）2x2﹣7x+3＝0，
（2x﹣1）（x﹣3）＝0，
∴2x﹣1＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝，x2＝3；
（2）（7x+3）2＝2（7x+3），
（7x+3）2﹣2（7x+3）＝0，
（7x+3）（7x+3﹣2）＝0，
∴7x+3＝0或7x+3﹣2＝0，
解得x1＝﹣，x2＝﹣．
【点评】本题考查解一元二次方程—因式分解法，解答本题的关键是会用因式分解法解一元二次方程．
八．换元法解一元二次方程（共2小题）
16．（2023春•绍兴期中）解方程：
（1）x2﹣8x﹣1＝0
（2）（x﹣2）2﹣6（x﹣2）+8＝0
分析：（1）移项，把方程的常数项移到方程右边，然后方程左右两边加上一次项系数一半的平方，则左边的完全平方式，右边是常数，即可开方求解；
（2）把x﹣2看作整体，因而可以用因式分解法求解，也可以设x﹣2＝a，利用换元法解方程即可．
【解答】解：（1）x2﹣8x＝1，
x2﹣8x+16＝17，
（x﹣4）2＝17，
，
∴，．
（2）解法一：将方程变形为：（x﹣2﹣2）（x﹣2﹣4）＝0，
∴x1＝6，x2＝4．
解法二：设x﹣2＝a，则原方程变为：a2﹣6a+8＝0，
（a﹣2）（a﹣4）＝0，
a1＝2，a2＝4，
∴x1＝4，x2＝6．
【点评】本题综合考查了解一元二次方程的多种方法，配方法、因式分解法，换元法，需同学们熟练掌握．
17．（2023春•南湖区校级期中）小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
分析：小敏：没有考虑x﹣3＝0的情况；
小霞：提取公因式时出现了错误．
利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：小敏：×；
小霞：×．
正确的解答方法：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x+3）＝0．
则x﹣3＝0或3﹣x+3＝0，
解得x1＝3，x2＝6．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程时可以采取公式法，因式分解法，配方法以及换元法等，至于选择哪一解题方法，需要根据方程的特点进行选择．
九．根的判别式（共3小题）
18．（2023秋•镇海区校级期末）关于x的一元二次方程x2﹣4x+1＝2k有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（ ）
A．B．k＞1C．k＜1D．
分析：先整理，再利用一元二次方程根的判别式，即可求解．
【解答】解：原方程整理得：x2﹣4x+1﹣2k＝0，
∵一元二次方程x2﹣4x+1＝2k有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，
即（﹣4）2﹣4（1﹣2k）＞0，
解得：，
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当Δ＝b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＝b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根是解题的关键．
19．（2023春•宁波期中）已知：关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0．
（1）判断方程的根的情况；
（2）若△ABC为等腰三角形，AB＝5cm，另外两条边长是该方程的根，求△ABC的周长．
分析：（1）先计算根的判别式的值得到△＝4＞0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况；
（2）先利用求根公式解方程得到x1＝m+1，x2＝m﹣1，根据等腰三角形的性质讨论：当m+1＝5时，解得m＝4，此时等腰三角形三边分别为5，5，3；当m﹣1＝5时，解得m＝6，此时等腰三角形三边分别为5，5，7，然后分别计算对应的三角形的周长．
【解答】解：（1）∵Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣1）＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）x＝＝m±1，
∴x1＝m+1，x2＝m﹣1，
当m+1＝5时，解得m＝4，此时等腰三角形三边分别为5，5，3，△ABC的周长为5+5+3＝13；
当m﹣1＝5时，解得m＝6，此时等腰三角形三边分别为5，5，7，△ABC的周长为5+5+7＝17；
综上所述，△ABC的周长为13或17．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了三角形三边的关系和等腰三角形的性质．
20．（2023春•余杭区期中）已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．
（1）求证：无论实数m取何值时，方程总有实数根；
（2）若方程有一个根的平方等于4，求m的值．
分析：（1）先根据方程有实数根列出关于m的一元二次方程，求出m的值即可；
（2）根据题意得到x＝±2是原方程的根，将其代入列出关于m的新方程，通过解新方程求得m的值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）＝（m+1）2≥0，
∴无论实数m取何值，方程总有实数根；
（2）解：∵方程有一个根的平方等于4，
∴x＝±2是原方程的根，
当x＝2时，4﹣2（m+3）+m+2＝0．
解得m＝0；
当x＝﹣2时，4+2（m+3）+m+2＝0，
解得m＝﹣4．
综上所述，m的值为0或﹣4．
【点评】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答（2）时要分类讨论，这是此题的易错点．
一十．根与系数的关系（共3小题）
21．（2023秋•海曙区校级期末）一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两实数根之和等于（ ）
A．﹣2B．2C．﹣5D．5
分析：根据一元二次方程根与系数的关系求出所求即可．
【解答】解：∵设一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝2．
故选：B．
【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
22．（2023•海曙区开学）若关于x的方程（x﹣2）（x2﹣4x+m）＝0有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m的取值范围是 3＜m≤4 ．
分析：根据原方程可知x﹣2＝0，和x2﹣4x+m＝0，因为关于x的方程（x﹣2）（x2﹣4x+m）＝0有三个根，所以x2﹣4x+m＝0的根的判别式Δ＞0，然后再由三角形的三边关系来确定m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的方程（x﹣2）（x2﹣4x+m）＝0有三个根，
∴①x﹣2＝0，解得x1＝2；
②x2﹣4x+m＝0，
∴Δ＝16﹣4m≥0，即m≤4，
∴x2＝2+，
x3＝2﹣，
又∵这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，
且最长边为x2，
∴x1+x3＞x2；
解得3＜m≤4，
∴m的取值范围是3＜m≤4．
故答案为：3＜m≤4．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式及三角形的三边关系．解答此题时，需注意，三角形任意两边和大于第三边．
23．（2023春•上虞区期末）解答下列各题：
（1）用配方法解方程：x2﹣12x＝﹣9．
（2）设x1，x2是一元二次方程5x2﹣7x﹣3＝0的两根，求的值．
分析：（1）利用配方法得到（x﹣6）2＝27，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先利用根与系数的关系得到x1+x2＝，x1x2＝﹣，再利用完全平方公式得到＝（x1+x2）2﹣2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：（1）x2﹣12x＝﹣9．
x2﹣12x+62＝﹣9+62．
（x﹣6）2＝27，
x﹣6＝±3，
所以x1＝6+3，x2＝6﹣3；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝，x1x2＝﹣，
∴＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（）2﹣2×（﹣）＝．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了配方法解方程．
一十一．由实际问题抽象出一元二次方程（共2小题）
24．（2023春•鹿城区校级期中）如图，在长为30m，宽20m的矩形田地中开辟两条宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为551m2，求道路的宽度．设道路的宽度为xm，则可列方程（ ）
A．（20+x）（30+x）＝551B．（20﹣x）（30﹣x）＝551
C．20×30﹣20x﹣30x＝551D．20×30﹣20x﹣30x﹣x2＝551
分析：由道路的宽度为xm，可得出剩余田地部分可合成长为（30﹣x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，根据剩余田地的面积为551m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵道路的宽度为xm，
∴剩余田地部分可合成长为（30﹣x）m，宽为（20﹣x）m的矩形．
依题意得：（20﹣x）（30﹣x）＝551．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．（2023春•西湖区期中）如图，面积为50m2的矩形试验田一面靠墙（墙的长度不限），另外三面用22m长的篱笆围成，平行于墙的一边开有一扇1m宽的门（门的材料另计）．设试验田垂直于墙的一边AB的长为x（m），则所列方程正确的是（ ）
A．（22+1﹣x）x＝50B．（22﹣1﹣x）x＝50
C．（22+1﹣2x）x＝50D．（22﹣1﹣2x）x＝50
分析：根据篱笆的总长及AB的长度，可得出BC＝（22+1﹣2x）m，利用矩形的面积计算公式，结合矩形试验田的面积为50m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵篱笆的总长为20m，且AB＝x m，平行于墙的一边开有一扇1m宽的门，
∴BC＝（22+1﹣2x）m．
依题意得：（22+1﹣2x）x＝50．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
一十二．一元二次方程的应用（共2小题）
26．（2023春•萧山区期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
分析：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据月销售利润＝每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论．
【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：150（1+x）2＝216，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意，得：（y﹣30）[600﹣10（y﹣40）]＝10000，
整理，得：y2﹣130y+4000＝0，
解得：y1＝80（不合题意，舍去），y2＝50，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
27．（2023春•滨江区期末）某小区计划用40米的篱笆围一个矩形花坛，其中一边靠墙（墙足够长，篱笆要全部用完）．
（1）如图1，问AB为多少米时，矩形ABCD的面积为200平方米？
（2）如图2，矩形EMNF的面积比（1）中的矩形ABCD面积减小20平方米，小明认为只要此时矩形的长MN比图①中矩形的长BC少2米就可以了．请你通过计算，判断小明的想法是否正确．
分析：（1）设AB＝x米，则BC＝（40﹣2x）米，根据矩形ABCD的面积为200平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）代入x＝10可求出BC的长，由MN＝BC﹣2，可求出MN的长，结合篱笆要全部用完，可求出EM的长，再利用矩形的面积计算公式，即可求出矩形EMNF的面积，将其与（200﹣20）比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设AB＝x米，则BC＝（40﹣2x）米，
依题意得：x（40﹣2x）＝200，
整理得：x2﹣20x+100＝0，
解得：x1＝x2＝10．
答：AB为10米时，矩形ABCD的面积为200平方米．
（2）由（1）可知：BC＝40﹣2x＝40﹣2×10＝20．
∵MN＝BC﹣2＝20﹣2＝18（米），
∴EM＝＝＝11（米），
∴矩形EMNF的面积＝MN•EM＝18×11＝198（平方米），200﹣20＝180≠198，
∴小明的想法不正确．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
一十三．配方法的应用（共2小题）
28．（2023春•杭州期中）已知a+b﹣2﹣4＝3﹣c﹣5，求a+b+c的值．
分析：根据非负数的性质列出方程求出a、b、c的值，代入所求代数式计算即可．
【解答】解：将等式整理配方，得++＝0，则
﹣1＝0，﹣2＝0，﹣3＝0，
∴a＝2，b＝6，c＝12，
∴a+b+c＝20．
【点评】本题考查了非负数的性质：初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．
29．（2023春•上城区校级期中）请阅读下列材料：
我们可以通过以下方法求代数式x2+6x+5的最小值．
x2+6x+5＝x2+2•x•3+32﹣32+5＝（x+3）2﹣4，
∵（x+3）2≥0
∴当x＝﹣3时，x2+6x+5有最小值﹣4．
请根据上述方法，解答下列问题：
（Ⅰ）x2+4x﹣1＝x2+2•x•2+22﹣22﹣1＝（x+a）2+b，则ab的值是 ﹣10 ；
（Ⅱ）求证：无论x取何值，代数式x2+2x+7的值都是正数；
（Ⅲ）若代数式2x2+kx+7的最小值为2，求k的值．
分析：（Ⅰ）根据配方的过程求得a、b的值代入求值即可；
（Ⅱ）先利用完全平方公式配方，再根据偶次方非负数的性质列式求解；
（Ⅲ）先利用完全平方公式配方，再根据偶次方非负数的性质列式求解．
【解答】解：（Ⅰ）∵x2+4x﹣1＝x2+2•x•2+22﹣22﹣1＝（x+2）2﹣5＝（x+a）2+b，
∴a＝2，b＝﹣5，
∴ab＝2×（﹣5）＝﹣10．
故答案是：﹣10；
（Ⅱ）证明：x2+2x+7＝x2+2x+（）2﹣（）2+7＝（x+）2+1．
∵（x+）2≥0，
∴x2+2x+7的最小值是1，
∴无论x取何值，代数式x2+2x+7的值都是正数；
（Ⅲ）2x2+kx+7＝（x）2+2•x•k+（k）2﹣（k）2+7＝（x+k）2﹣k2+7．
∵（x+k）2≥0，
∴（x+k）2﹣k2+7的最小值是﹣k2+7，
∴﹣k2+7＝2，
解得k＝±2．
【点评】考查了配方法的应用和非负数的性质．配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
一十四．高次方程（共1小题）
30．（2023•江北区开学）将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x⋅x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x3﹣2x2+2x+1的值为（ ）
A．B．C．D．
分析：由题可知x2＝x+1，将所求式子变形为x（x+1）﹣2（x+1）+2x+1再求解即可．
【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，
∴x2＝x+1，
∴x3﹣2x2+2x+1
＝x（x+1）﹣2（x+1）+2x+1
＝x2+x﹣2x﹣2+2x+1
＝x2+x﹣1
＝（x+1）+x﹣1
＝2x，
∵x2﹣x﹣1＝0的根为x＝或x＝，
∵x＞0，
∴x＝，
∴x3﹣2x2+2x+1＝1+，
故选：B．
【点评】本题考查高次方程的解，理解题中所给降次的方法，灵活降次，准确求一元二次方程的根是解题的关键．
一十五．无理方程（共2小题）
31．（2023春•鄞州区校级期末）两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，例如，与，+1与﹣1，a+与a﹣等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：＝＝﹣；
（1）＝ ；＝ 2﹣ ；
（2）比较﹣与﹣的大小，并说明理由；
（3）解方程：+＝5（提示：利用互为有理化因式相关知识，可设﹣＝m）．
分析：（1）分子，分母同乘分母的有理化因子化简．
（2）分子有理化后比较大小．
（3）利用有理化因子将方程转化为有理方程求解．
【解答】解：（1）＝．
＝＝2﹣．
故答案为：，2﹣．
（2）﹣＝＝．
﹣＝＝．
∵＜，
∴﹣＜﹣．
（3）∵+＝5＝（+）×（﹣）．
∴．
解得：．
∴x﹣2＝9．x﹣7＝4，
∴x＝11．
检验：x＝11时，x﹣2＞0，x﹣7＞0，符合题意．
∴原方程的解为：x＝11．
【点评】本题考查有理化因子，正确找到有理化因子是求解本题的关键．
32．（2023春•柯桥区月考）小明在解方程﹣＝2时采用了下面的方法：由
（﹣）（+）＝（）2﹣（）2＝（24﹣x）﹣（8﹣x）＝16，
又有﹣＝2，可得+＝8，将这两式相加可得，将＝5两边平方可解得x＝﹣1，经检验x＝﹣1是原方程的解．
请你学习小明的方法，解下面的方程：
（1）方程+＝18的解是 x＝±3 ；
（2）解方程+＝4x．
分析：（1）由所给方法，可得＝10，再解方程即可；
（2）由所给方法，可得＝2x+1，再解方程即可．
【解答】解：（1）（+）（﹣）＝x2+46﹣（x2+10）＝36，
∵+＝18，
∴﹣＝2，
将这两式相加可得＝10，
∴x2+46＝100，
解得x＝±3，
经检验，x＝±3是原方程的解，
故答案为：x＝±3；
（2）（+）（﹣）＝（4x2+6x﹣5）﹣（4x2﹣2x﹣5）＝8x，
∵+＝4x，
∴﹣＝2，
将这两式相加可得＝2x+1，
解得x＝3，
经检验，x＝3是原方程的解．
【点评】本题考查无理方程的解，熟练掌握无理方程的解法，准确计算是解题的关键．
巩固提升
一、单选题
1．（2023秋·浙江金华·八年级校考期中）下列方程中属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
答案:C
分析：我们从方程的限定词入手，“一元”的意思是等式中只含有一种未知数（不限定该未知数出现的次数）；“二次”的意思是未知数的最高次数是二．
【详解】解：A、是二元一次方程，故A错误；
B、是一元一次方程，故B错误；
C、属于一元二次方程，故C正确；
D、是分式方程，故D错误；
故选：C．
【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
2．（2023春·八年级单元测试）方程化为一般形式后的一次项系数、常数项分别是（ ）．
A．，B．，10C．8，D．10，8
答案:A
分析：先把方程化为一般式为，然后确定一次项系数和常数项．
【详解】解：方程化为一般式为，
所以一次项系数、常数项分别是，．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式：任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．
3．（2023春·浙江·八年级专题练习）观察下表，估计一元二次方程的正数解在（ ）
A．和0之间B．0和1之间C．1和2之间D．2和3之间
答案:C
分析：由表格可发现的值和4最接近0，再看对应的x的值即可得到答案．
【详解】解：由表可以看出，当x取1与2之间的某个数时，，即这个数是的一个根．
的一个解x的取值范围为1和2之间．
故选：C．
【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解，正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的．
4．（2023春·浙江杭州·八年级校考阶段练习）若为任意实数，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．100D．
答案:C
分析：利用配方法将配方即可解决问题；
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴，
的最大值为．
故选：C．
【点睛】本题考查配方法的应用、平方的非负性，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5．（2023春·浙江·八年级专题练习）中秋节当天，九年级数学组的老师每两人相互送一个月饼，共送出72个月饼，九年级数学组老师的人数为（ ）
A．9B．8C．7D．6
答案:A
分析：设老师共有人，则每人需要送出个月饼，根据共送出72个月饼，即可列出一元二次方程，解方程，得到正整数解即可．
【详解】解：设老师共有人，则每人需要送出个月饼，根据题意得
整理得
解得（不符合题意，舍去）
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题关键．
二、填空题
6．（2023春·八年级单元测试）是一元二次方程，则m=___________．
答案:4
分析：根据只含有一个未知数，且未知数的最高指数为2的整式方程为一元二次方程，则，然后选出合适的值即可．
【详解】解：是一元二次方程，
，，
或0，，
，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，结合一元二次方程的概念求出参数值是解题关键．
7．（2023春·八年级单元测试）已知是关于的方程的一个根，则______．
答案:2023
分析：先利用一元二次方程根的定义得到，然后利用整体代入的方法得到的值．
【详解】∵是关于的方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2023
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．
8．（2023春·浙江·八年级专题练习）为了加快发展新能源和清洁能源，助力实现“双碳”目标，大力发展高效光伏发电关键零部件制造．青岛某工厂今年第一季度生产某种零件的成本是20万元，由于技术升级改进，生产成本逐季度下降，第三季度的生产成本为万元，设该公司每个季度的下降率都相同．则该公司每个季度的下降率是__________．
答案:
分析：设该公司每个季度的下降率是x ，根据该公司第一季度及第三季度的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解∶设该公司每个季度的下降率是x，
依题意，得∶，
解得∶， （不符合题意，舍去）．
即该公司每个季度的下降率是，
故答案为∶ ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
9．（2023春·八年级课时练习）《念奴娇•赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”若设这位风流人物去世的年龄十位数字为x，则可列方程为____．
答案:
分析：根据“十位恰小个位三，个位平方与寿符”以及十位数字+各位数字=个位数字的平方，据此列方程可得答案．
【详解】解：设这位风流人物去世的年龄十位数字为x，
则根据题意：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．（2023秋·浙江宁波·八年级校考期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，．若，满足，则______．
答案:####
分析：由一元二次方程有两个实数根，．可得，，，则，同号，再分两种情况讨论即可．
【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根，．
∴，，，
∴，同号，
当，都为负数时，
∴，解得：，
∴，
整理得：，
∴，方程无解；
当，都为正数时，此时，
∴，解得：，
∴，
整理得：，
解得：，，
经检验：不符合题意，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系，一元二次方程的解法，清晰的分类讨论是解本题的关键．
11．（2023春·浙江·八年级专题练习）对于实数a，b，定义运算“*”：，例如：4*2，因为，所以，若、是一元二次方程的两个根，则的值是______．
答案:或
分析：求出一元二次方程的解，代入新定义对应的表达式即可求解．
【详解】∵，
∴，
∴，或，
∴，，或，，
当，时根据，
∴，
当，时根据，
∴，
故答案为：或
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，对新定义的正确理解是解题的关键．
三、解答题
12．（2023春·浙江·八年级专题练习）用适当的方法解下列一元二次方程．
(1)
(2)（用配方法）
(3)
(4)（用公式法）
答案:(1)
(2)
(3)
(4)
分析：（1）利用直接开平方法求解；
（2）利用配方法求解；
（3）利用因式分解法求解；
（4）利用公式法求解．
【详解】（1）
；
（2）
（3）
或
∴；
（4）
∵
∴
∴
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
13．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知关于x的一元二次方程
(1)若方程的一个根为，求a的值和另一个根；
(2)当时，
①若代数式，则___________；
②若代数式的值为正整数，且x为整数，求x的值；
(3)当时，方程的一个正根为；当时，方程的一个正根为；若，试比较与的大小．
答案:(1)，另一根为；
(2)①；②0或1
(3)
分析：（1）把代入方程求得a的值，再把a的值代入方程，解一元二次方程便可求得方程的另一根；
（2）①把代入方程，根据多项式恒等原理列出p、q的方程求得P、q，进而求得代数式的值；
②求出原式，由原式的值为正整数，得代数式的值为1，2，算出和的解即可；
（3）根据已知条件用m、n分别表示，，再得出，根据差的正负判断，的大小．
【详解】（1）解：把代入原方程，
得，
解得，
把代入原方程，
得，
，
解得，，，
∴方程的另一根为；
（2）①把代入，
得，
即，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：；
②原式
，
∵不论x为何值，
∴原式
∵代数式的值为正整数，
∴代数式的值为1，2，
当时，这时x的值不是整数，不符合题意，舍去；
当时，或1，
故x的值是0或1；
（3）解：当时，得，
∴，
当时，得，
∴，
∴
∵，，，
∴，，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，一元二次方程的解的应用，配方法的应用，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法，灵活应用配方法和差值法解题．
14．（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：这个一元二次方程一定有两个实数根；
(2)设该一元二次方程的两根为a、b，且2、a、b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值．
答案:(1)见解析
(2)或
分析：（1）利用根的判别式求出关于的代数式，整理成非负数的形式即可判定；
（2）把原方程因式分解，求出方程的两个根，分别探讨不同的数值为斜边，利用勾股定理解决问题．
【详解】（1）解：
；
又，
，
原方程有两个实数根；
（2）原方程可变为，
则方程的两根为，，
直角三角形三边为2，3，；
，
①若为直角三角形的斜边时，则：
，
；
②若3为直角三角形的斜边时，则：
．
综上，或．
【点睛】此题考查利用根的判别式探讨根的情况，以及用因式分解法解一元二次方程，勾股定理等知识点；注意分类讨论思想的渗透．
15．（2023春·浙江·八年级专题练习）对于代数式，若存在实数，当时，代数式的值也等于，则称为这个代数式的不变值．例如：对于代数式，当时，代数式等于0；当时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作．特别地，当代数式只有一个不变值时，则．
(1)代数式的不变值是______，______．
(2)说明：代数式没有不变值；
(3)已知代数式，若，求的值．
答案:(1)和4，7
(2)见解析
(3)1
分析：（1）根据不变值的定义可得出关于的一元二次方程，解之即可求出的值，再做差后可求出的值；
（2）由方程的系数结合根的判别式可得出方程没有实数根，进而可得出代数式没有不变值；
（3）由可得出方程有两个相等的实数根，进而可得出，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：依题意，得：，即
解得：，，
，
故答案为：和4，7；
（2）解：依题意，得：即，
，
没有实数根，
代数式没有不变值；
（3）解：依题意，得：即有两个相等的实数根，
，
整理得：，
解得．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，根据不变值的定义，求出一元二次方程的解是解题的关键．
16．（2023春·浙江·八年级专题练习）解方程，可以将看成一个整体，设，则原方程可化①，解得，，当时，即，解得，，当时，即，解得，所以原方程的解为，，，．
解答问题：
(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中利用____法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想．
(2)请利用上述这种方法解方程：．
(3)应用求值：已知实数，满足，则_____．
答案:(1)换元
(2)，
(3)
分析：（1）根据题目解题的过程，设，将二次换元为一次，由此即可求解；
（2）设，则原方程可化，因式分解法解一元二次方程即可求解；
（3）设，则原方程可化，因式分解法解一元二次方程即可求解；
【详解】（1）解：上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想，
故答案为：换元．
（2）解：设，则原方程可化，即
∴，，
当时，，方程无实数解；
当时，，解方程得，，，
∴原方程的解为：，．
（3）解：设，则原方程可化，则，
∴，，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，
∴的值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查解高次方程，掌握换元思想，进行降次方法解高次方程是解题的关键．
17．（2023春·浙江·八年级专题练习）请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：
已知，求的值；
解：设，则原方程可变形为．即
∴得，
∴或
已知，求的值．
答案:6
分析：设，将方程转化为一元二次方程，再进行求解即可．
【详解】解：设，则原方程可变形为，即
∴，
解得：；
又∵
∴．
【点睛】本题考查解一元二次方程．理解并掌握题目给出的解方程的方法，是解题的关键．注意：．
18．（2023春·八年级单元测试）如图，有一段长为20米的篱笆，利用一面墙，围成一个长方形花圃，设花圃的宽AB为x米（其中．
(1)请你用含x的代数式表示BC的长．
(2)若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的宽AB的长度．
答案:(1)
(2)3
分析：（1）根据题意，求解即可；
（2）根据题意，列出一元二次方程，求解即可．
【详解】（1）解：∵篱笆的全长为20米，花圃的宽AB为x米，
的长为米；
（2）解：根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去．
答：此时花圃的宽AB的长度是3米．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确列出方程．
19．（2023春·八年级单元测试）某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y（千克）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图像如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)当每千克菠萝蜜降价4元时，超市获利多少元？
(3)若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？
答案:(1)
(2)2240元
(3)12元
分析：(1)运用待定系数法求解即可．
(2)先计算每千克菠萝蜜的利润，乘以销售量即可．
(3)列方程求解，且取较大值．
【详解】（1）设y与x之间的函数关系式为，
将，代入，
得，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为．
（2）（元）．
答：当每千克菠萝蜜降价4元时，超市获利2240元．
（3）依题意，得，
整理，得，
解得，．
∵要让顾客获得更大实惠，∴．
答：这种菠萝蜜每千克应降价12元．
【点睛】本题考查了一次函数的解析式及其应用，一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法，解方程是解题的关键．
20．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在中，厘米，厘米，点从点开始沿边向点以厘米秒的速度移动，点从点开始沿边向点以厘米秒的速度移动，如果，分别是从，同时出发，设时间为秒．
(1)经过几秒时，的面积等于平方厘米？
(2)经过几秒时，的面积等于直角三角形面积的？
答案:(1)秒或秒
(2)秒或秒
分析：（1）设经过秒时，的面积等于8平方厘米，则厘米，厘米，根据三角形的面积公式结合的面积等于8平方厘米，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）设经过秒时，的面积等于矩形面积的，则厘米，，根据三角形、矩形的面积公式及的面积等于矩形面积的，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）设经过秒时，的面积等于8平方厘米，
则厘米 ，厘米，
根据题意，得，
整理，得 ，
解得 ， ．
故经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米．
（2）设经过秒时，的面积等于矩形面积的，
则厘米，厘米，
根据题意，得 ，
整理，得 ，
解得 ，．
故经过秒或秒时，的面积等于直角三角形面积．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．（2023春·八年级课时练习）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万．
(1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米．
(2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多万元．求a的值．
答案:(1)甲最多施工2500米
(2)a的值为6
分析：（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（2）根据总成本=每米施工成本×每天施工的长度结合甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，
依题意，得：12（5000-x）≥×10x，
解得：x≤2500，
答：甲最多施工2500米．
（2）依题意，得： ，
整理，得：，
解得：，，
当时，总成本为：（万元），
∵，
∴不符合题意舍去；
当时，总成本为：（万元），
∵，
∴符合题意；
答：a的值为6．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
22．（2023春·浙江·八年级专题练习）匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初始速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．现有一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动．
(1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？
(2)小球滚动约用了多少秒（结果保留小数点后一位，参考数据：？）
答案:(1)小球的滚动速度平均每秒减少
(2)小球滚动约用了秒
分析：（1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可；
（2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少，
答：小球的滚动速度平均每秒减少．
（2）解：设小球滚动约用了秒，
由题意得：，
整理得：，
解得：或，
当时，，不符题意，舍去，
，
答：小球滚动约用了秒．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．春·浙江绍兴·八年级统考期中）根据绍兴市某风景区的旅游信息：
A公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元．A公司参加这次旅游的员工有多少人？
答案:A公司参加这次旅游的员工有40人．
分析：设参加这次旅游的员工有人，由可得出，根据总价单价人数，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】设参加这次旅游的员工有x人，
∵30×80=2400<2800，∴x>30．
根据题意得：x[80-（x-30）]=2800，解得：x1=40，x2=70．
当x=40时，80-（x-30）=70>55，
当x=70时，80-（x-30）=40<55，舍去．
答：A公司参加这次旅游的员工有40人．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．（2023春·浙江·八年级专题练习）随着疫情管控的放开，甲、乙两支队伍计划自驾去西藏旅游．两队计划同一天出发，沿不同的路线前往目的地汇合．甲队走路线，全程2400千米，乙队走路线，全程3200千米，由于路线高速公路较多，乙队平均每天行驶的路程是甲队的2倍，这样乙队可以比甲队提前2天到达目的地．
(1)求甲、乙两队分别计划多少天到达目的地？
(2)在他们的旅行计划中，乙队每人每天的平均花费始终为135元．甲队最开始计划有8个人同行，计划每人每天花费300元，后来又有个人加入队伍，经过计算，甲队实际每增加1人时，每人每天的平均花费将减少30元．若最终甲、乙两队一起旅行的人数相同，且旅行天数与各自原计划天数一致，两队共需花费18720元，求的值．
答案:(1)甲队计划的天数为6天，则乙队计划天数为4天
(2)5
分析：（1）设甲队计划的天数为x天，则乙队计划天数为天，根据“乙队平均每天行驶的路程是甲队的2倍，这样乙队可以比甲队提前2天到达目的地”可列出分式方程，求解方程即可得出结果；
（2）设甲队后来总人数是个，乙队总人数是个，根据“两队共需花费18720元”列方程求解即可．
【详解】（1）设甲队计划的天数为x天，则乙队计划天数为天，根据题意得，
整理得，
解得，
经检验，是原方程的解，
所以，
所以，甲队计划的天数为6天，则乙队计划天数为4天
（2）设甲队后来总人数是个，乙队总人数是个，根据题意得，
整理得，
解得，或
∵
∴，即的值为5
【点睛】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时寻找方程的等量关系是关键．
25．（2023秋·浙江温州·八年级瑞安市安阳实验中学校考阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点B的坐标是，连接．若动点从点出发沿着线段以个单位每秒的速度向终点运动，设运动时间为秒．
(1)求线段的长．
(2)连接，当为等腰三角形时，过点作线段的垂线与直线交于点，求点的坐标；
(3)已知点为的中点，连接，点关于直线的对称点记为(如图2)，在整个运动过程中，若点恰好落在内部(不含边界)，请直接写出的取值范围．
答案:(1)
(2),,
(3)当时，点恰好落在内部(不含边界)
分析：（1）勾股定理直接求解即可；
（2）分三种情形，分别讨论，即可求解；
（3）当在上时，过点作轴于点，过点作，过点作轴于点，因为点为的中点，由（2）可知，，根据等面积法求得，进而得出, , ，根据轴对称的性质得出，，继而求得，在中，，即可求解．
【详解】（1）解：∵点的坐标为，点B的坐标是，
∴，
∴;
（2）当时，如图，过点作轴于点，轴于点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设,
在中，，
在中，，
∴
即
解得：，
∴；
当时，如图，过点作轴于点，轴于点，过点作于点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，，
在中，，
解得：，
即，
在中，，
在中，，
∴，
即，
解得：，
∴，
当时，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
综上所述，或或，
（3）如图，当在上时，过点作轴于点，过点作，过点作轴于点，
∵点为的中点，
由（2）可知，，
则，
∵， ，
∴，
∴，
∴,
∴，
∵，
∴，
∵对称，∴，，
∴，
即，
∴，
在中，
∴
解得（舍去）或
当点运动到点，此时重合，此时，解得，
∴当时，点恰好落在内部(不含边界) ．
【点睛】本题考查了勾股定理，解一元二次方程，坐标与图形，等腰三角形的性质，掌握勾股定理是解题的关键．
26．（2023春·浙江·八年级专题练习）阅读理解以下内容，解决问题：
解方程：．
解：，
方程即为：，
设，原方程转化为：
解得，，，
当时，即，，；
当时，即，不成立．
综上所述，原方程的解是，．
以上解方程的过程中，将其中作为一个整体设成一个新未知数，从而将原方程化为关于的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）．
(1)已知方程：，若设，则利用“换元法”可将原方程化为关于的方程是______；
(2)仿照上述方法，解方程：．
答案:(1)
(2)
分析：（1）根据完全平方公式由，得，再变形原方程便可；
（2）设，则，得，再解一元二次方程，最后代入所设代数式解方程便可．
【详解】（1）设，
则，
可化为：，
即，
故答案为：；
（2）设，则，
原方程可化为：，
整理得，
，
或，
或，
当时，，
解得，
当时，无解，
检验，当时，左边右边，
是原方程的解，
故原方程的解为：．
【点睛】本题主要考查了换元法，无理方程，关键掌握换元法的思想方法．
27．（2023·浙江杭州·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13厘米，BC＝10厘米，AD⊥BC于点D，动点P从点A出发以每秒1厘米的速度在线段AD上向终点D运动，设动点运动时间为t秒.
(1)求AD的长；
(2)当P、C两点的距离为时，求t的值；
(3)动点M从点C出发以每秒2厘米的速度在射线CB上运动．点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动．是否存在t值，使得？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
备用图
答案:（1）12cm（2）（3）t的值为或或
【详解】（1）∵ AB=AC，AD⊥BC；
∴ BD=BC=5cm，且∠ADB=90．
∴ ．
即AD的长为12cm．
（2）AP= t，PD="12" -t，
又由，得．
解得，．
（3）假设存在t，使得S△PMD＝S△ABC．
① 若点M在线段CD上，即时，PD=12－t，DM=5－2t；
由S△PMD＝S△ABC，即
解，得 （舍去）； ． ………………………… 8分
② 若点M在射线DB上，即．
由S△PMD＝S△ABC 得
解，得；. ………………………… 10分
综上，存在t的值为或或，使得S△PMD＝S△ABC．（11分）
（1）根据勾股定理求得AD的长；
（2）表示出PD=12-t，S△PDC=15，得 (12-t)=15，求得t的值即可；
（3）假设存在t，使得S△PMD= S△ABC．分两种情况进行讨论：①若点M在线段CD上，②若点M在射线DB上，从而求得t的值；
小敏：
两边同除以（x﹣3），得
3＝x﹣3，
则x＝6．
小霞：
移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．
则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝0．
0
1
2
3
4
4
11
20
旅游人数
收费标准
不超过30人
人均收费80元
超过30人
每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于55元
考点一：一元二次方程的定义 考点二：一元二次方程的一般形式
考点三：一元二次方程的解 考点四：解一元二次方程-直接开平方法
考点五：解一元二次方程-配方法 考点六：解一元二次方程-公式法
考点七：解一元二次方程-因式分解法 考点八：换元法解一元二次方程
考点九：根的判别式 考点十：根与系数的关系
考点十一：由实际问题抽象出一元二次方程 考点十二：一元二次方程的应用
考点十三：配方法的应用 考点十四：高次方程
考点十五：无理方程
考点考向
一．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
二．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
三．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
四．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
五．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
六．解一元二次方程-公式法
（1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
七．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
八．换元法解一元二次方程
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
九．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
十．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
十一．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
十二．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
十三．配方法的应用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用．
十四．高次方程
（1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程．
（2）高次方程的解法思想：
通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．
对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理． 换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解．
十五．无理方程
（1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．
（2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程． （3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程． 解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等． （4）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
考点精讲
一．一元二次方程的定义（共1小题）
1．（2023春•宁波期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．x﹣2y＝1B．x2﹣2x+1＝0C．x2﹣2y+4＝0D．x2+3＝
二．一元二次方程的一般形式（共2小题）
2．（2023春•嘉兴期末）把一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（ ）
A．x2﹣3x﹣1＝0B．x2﹣3x+1＝0C．x2+3x﹣1＝0D．x2+3x+1＝0
3．（2023秋•灵宝市期中）方程2x2＝3（x﹣6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．2，3，﹣6B．2，﹣3，18C．2，﹣3，6D．2，3，6
三．一元二次方程的解（共2小题）
4．（2023春•温州期中）已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0的一个根是x＝2，则m的值为（ ）
A．﹣10B．﹣2C．2D．10
5．（2023春•洞头区期中）《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如x（x+5）＝24的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为x+5，宽为x的长方形纸片（面积均为24）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为：24×4+25＝121，边长为11，故得x（x+5）＝24的正数解为x＝＝3．小明按此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，构造出同样的图形．已知大正方形的面积为12，小正方形的面积为4，则方程的正数解为（ ）
A．﹣1B．+1C．D．﹣1
四．解一元二次方程-直接开平方法（共2小题）
6．（2023春•西湖区期末）一元二次方程x2＝4的解是（ ）
A．±2B．2C．﹣2D．±
7．（2023春•嘉善县校级月考）若a（x﹣h）2+k＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，则a（x﹣h+3）2+k＝0的解是 ．
五．解一元二次方程-配方法（共4小题）
8．（2023春•临平区月考）解方程：
（1）（x+1）（x﹣1）＝1； （2）2x2﹣4x+1＝0．
9．（2023春•温州期中）解方程：x2﹣4x﹣5＝0（用配方法）
10．（2023春•舟山期末）在用配方法解一元二次方程4x2﹣12x﹣1＝0时，李明同学的解题过程如下：
解：方程4x2﹣12x﹣1＝0可化成（2x）2﹣6×2x﹣1＝0，
移项，得（2x）2﹣6×2x＝1．
配方，得（2x）2﹣6×2x+9＝1+9，
即（2x﹣3）2＝10．
由此可得2x﹣3＝±∴x1＝，x2＝．
晓强同学认为李明同学的解题过程是错误的，因为用配方法解一元二次方程时，首先把二次项系数化为1，然后再配方，你同意晓强同学的想法吗？你从中受到了什么启示？
11．（2023春•定海区期末）用配方法解一元二次方程：2x2+3x+1＝0．小明同学的解题过程如下：
解：x2+＝0
x+
x1＝﹣．
小明的解题过程是否正确？若正确，请回答“对”；若错误，请写出你的解题过程．
六．解一元二次方程-公式法（共2小题）
12．（2023春•鄞州区期中）解方程：
（1）x2﹣4x+1＝0 （2）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0
13．（2023春•拱墅区校级月考）解下列方程：
（1）x2﹣7x+1＝0； （2）2（2x﹣1）＝3（1﹣2x）．
七．解一元二次方程-因式分解法（共2小题）
14．（2023春•东阳市校级月考）用适当的方法解下列方程．
（1）x2﹣2x＝0； （2）2x2﹣3x﹣1＝0．
15．（2023春•吴兴区校级期中）解下列方程：
（1）2x2﹣7x+3＝0； （2）（7x+3）2＝2（7x+3）．
八．换元法解一元二次方程（共2小题）
16．（2023春•绍兴期中）解方程：
（1）x2﹣8x﹣1＝0 （2）（x﹣2）2﹣6（x﹣2）+8＝0
17．（2023春•南湖区校级期中）小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
九．根的判别式（共3小题）
18．（2023秋•镇海区校级期末）关于x的一元二次方程x2﹣4x+1＝2k有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（ ）
A．B．k＞1C．k＜1D．
19．（2023春•宁波期中）已知：关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0．
（1）判断方程的根的情况；
（2）若△ABC为等腰三角形，AB＝5cm，另外两条边长是该方程的根，求△ABC的周长．
20．（2023春•余杭区期中）已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．
（1）求证：无论实数m取何值时，方程总有实数根；
（2）若方程有一个根的平方等于4，求m的值．
一十．根与系数的关系（共3小题）
21．（2023秋•海曙区校级期末）一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两实数根之和等于（ ）
A．﹣2B．2C．﹣5D．5
22．（2023•海曙区开学）若关于x的方程（x﹣2）（x2﹣4x+m）＝0有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m的取值范围是 ．
23．（2023春•上虞区期末）解答下列各题：
（1）用配方法解方程：x2﹣12x＝﹣9．
（2）设x1，x2是一元二次方程5x2﹣7x﹣3＝0的两根，求的值．
一十一．由实际问题抽象出一元二次方程（共2小题）
24．（2023春•鹿城区校级期中）如图，在长为30m，宽20m的矩形田地中开辟两条宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为551m2，求道路的宽度．设道路的宽度为xm，则可列方程（ ）
A．（20+x）（30+x）＝551B．（20﹣x）（30﹣x）＝551
C．20×30﹣20x﹣30x＝551D．20×30﹣20x﹣30x﹣x2＝551
25．（2023春•西湖区期中）如图，面积为50m2的矩形试验田一面靠墙（墙的长度不限），另外三面用22m长的篱笆围成，平行于墙的一边开有一扇1m宽的门（门的材料另计）．设试验田垂直于墙的一边AB的长为x（m），则所列方程正确的是（ ）
A．（22+1﹣x）x＝50B．（22﹣1﹣x）x＝50
C．（22+1﹣2x）x＝50D．（22﹣1﹣2x）x＝50
一十二．一元二次方程的应用（共2小题）
26．（2023春•萧山区期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
27．（2023春•滨江区期末）某小区计划用40米的篱笆围一个矩形花坛，其中一边靠墙（墙足够长，篱笆要全部用完）．
（1）如图1，问AB为多少米时，矩形ABCD的面积为200平方米？
（2）如图2，矩形EMNF的面积比（1）中的矩形ABCD面积减小20平方米，小明认为只要此时矩形的长MN比图①中矩形的长BC少2米就可以了．请你通过计算，判断小明的想法是否正确．
一十三．配方法的应用（共2小题）
28．（2023春•杭州期中）已知a+b﹣2﹣4＝3﹣c﹣5，求a+b+c的值．
29．（2023春•上城区校级期中）请阅读下列材料：
我们可以通过以下方法求代数式x2+6x+5的最小值．
x2+6x+5＝x2+2•x•3+32﹣32+5＝（x+3）2﹣4，
∵（x+3）2≥0
∴当x＝﹣3时，x2+6x+5有最小值﹣4．
请根据上述方法，解答下列问题：
（Ⅰ）x2+4x﹣1＝x2+2•x•2+22﹣22﹣1＝（x+a）2+b，则ab的值是 ；
（Ⅱ）求证：无论x取何值，代数式x2+2x+7的值都是正数；
（Ⅲ）若代数式2x2+kx+7的最小值为2，求k的值．
一十四．高次方程（共1小题）
30．（2023•江北区开学）将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x⋅x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x3﹣2x2+2x+1的值为（ ）
A．B．C．D．
一十五．无理方程（共2小题）
31．（2023春•鄞州区校级期末）两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，例如，与，+1与﹣1，a+与a﹣等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：＝＝﹣；
（1）＝ ；＝ ；
（2）比较﹣与﹣的大小，并说明理由；
（3）解方程：+＝5（提示：利用互为有理化因式相关知识，可设﹣＝m）．
32．（2023春•柯桥区月考）小明在解方程﹣＝2时采用了下面的方法：由
（﹣）（+）＝（）2﹣（）2＝（24﹣x）﹣（8﹣x）＝16，
又有﹣＝2，可得+＝8，将这两式相加可得，将＝5两边平方可解得x＝﹣1，经检验x＝﹣1是原方程的解．
请你学习小明的方法，解下面的方程：
（1）方程+＝18的解是 ；
（2）解方程+＝4x．
巩固提升
一、单选题
1．（2023秋·浙江金华·八年级校考期中）下列方程中属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·八年级单元测试）方程化为一般形式后的一次项系数、常数项分别是（ ）．
A．，B．，10C．8，D．10，8
3．（2023春·浙江·八年级专题练习）观察下表，估计一元二次方程的正数解在（ ）
A．和0之间B．0和1之间C．1和2之间D．2和3之间
4．（2023春·浙江杭州·八年级校考阶段练习）若为任意实数，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．100D．
5．（2023春·浙江·八年级专题练习）中秋节当天，九年级数学组的老师每两人相互送一个月饼，共送出72个月饼，九年级数学组老师的人数为（ ）
A．9B．8C．7D．6
二、填空题
6．（2023春·八年级单元测试）是一元二次方程，则m=___________．
7．（2023春·八年级单元测试）已知是关于的方程的一个根，则______．
8．（2023春·浙江·八年级专题练习）为了加快发展新能源和清洁能源，助力实现“双碳”目标，大力发展高效光伏发电关键零部件制造．青岛某工厂今年第一季度生产某种零件的成本是20万元，由于技术升级改进，生产成本逐季度下降，第三季度的生产成本为万元，设该公司每个季度的下降率都相同．则该公司每个季度的下降率是__________．
9．（2023春·八年级课时练习）《念奴娇•赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”若设这位风流人物去世的年龄十位数字为x，则可列方程为____．
10．（2023秋·浙江宁波·八年级校考期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，．若，满足，则______．
11．（2023春·浙江·八年级专题练习）对于实数a，b，定义运算“*”：，例如：4*2，因为，所以，若、是一元二次方程的两个根，则的值是______．
三、解答题
12．（2023春·浙江·八年级专题练习）用适当的方法解下列一元二次方程．
(1) (2)（用配方法）
(3) (4)（用公式法）
13．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知关于x的一元二次方程
(1)若方程的一个根为，求a的值和另一个根；
(2)当时，
①若代数式，则___________；
②若代数式的值为正整数，且x为整数，求x的值；
(3)当时，方程的一个正根为；当时，方程的一个正根为；若，试比较与的大小．
14．（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：这个一元二次方程一定有两个实数根；
(2)设该一元二次方程的两根为a、b，且2、a、b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值．
15．（2023春·浙江·八年级专题练习）对于代数式，若存在实数，当时，代数式的值也等于，则称为这个代数式的不变值．例如：对于代数式，当时，代数式等于0；当时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作．特别地，当代数式只有一个不变值时，则．
(1)代数式的不变值是______，______．
(2)说明：代数式没有不变值；
(3)已知代数式，若，求的值．
16．（2023春·浙江·八年级专题练习）解方程，可以将看成一个整体，设，则原方程可化①，解得，，当时，即，解得，，当时，即，解得，所以原方程的解为，，，．
解答问题：
(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中利用____法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想．
(2)请利用上述这种方法解方程：．
(3)应用求值：已知实数，满足，则_____．
17．（2023春·浙江·八年级专题练习）请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：
已知，求的值；
解：设，则原方程可变形为．即
∴得，
∴或
已知，求的值．
18．（2023春·八年级单元测试）如图，有一段长为20米的篱笆，利用一面墙，围成一个长方形花圃，设花圃的宽AB为x米（其中．
(1)请你用含x的代数式表示BC的长．
(2)若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的宽AB的长度．
19．（2023春·八年级单元测试）某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y（千克）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图像如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)当每千克菠萝蜜降价4元时，超市获利多少元？
(3)若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？
20．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在中，厘米，厘米，点从点开始沿边向点以厘米秒的速度移动，点从点开始沿边向点以厘米秒的速度移动，如果，分别是从，同时出发，设时间为秒．
(1)经过几秒时，的面积等于平方厘米？
(2)经过几秒时，的面积等于直角三角形面积的？
21．（2023春·八年级课时练习）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万．
(1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米．
(2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多万元．求a的值．
22．（2023春·浙江·八年级专题练习）匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初始速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．现有一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动．
(1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？
(2)小球滚动约用了多少秒（结果保留小数点后一位，参考数据：？）
23．春·浙江绍兴·八年级统考期中）根据绍兴市某风景区的旅游信息：
A公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元．A公司参加这次旅游的员工有多少人？
24．（2023春·浙江·八年级专题练习）随着疫情管控的放开，甲、乙两支队伍计划自驾去西藏旅游．两队计划同一天出发，沿不同的路线前往目的地汇合．甲队走路线，全程2400千米，乙队走路线，全程3200千米，由于路线高速公路较多，乙队平均每天行驶的路程是甲队的2倍，这样乙队可以比甲队提前2天到达目的地．
(1)求甲、乙两队分别计划多少天到达目的地？
(2)在他们的旅行计划中，乙队每人每天的平均花费始终为135元．甲队最开始计划有8个人同行，计划每人每天花费300元，后来又有个人加入队伍，经过计算，甲队实际每增加1人时，每人每天的平均花费将减少30元．若最终甲、乙两队一起旅行的人数相同，且旅行天数与各自原计划天数一致，两队共需花费18720元，求的值．
25．（2023秋·浙江温州·八年级瑞安市安阳实验中学校考阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点B的坐标是，连接．若动点从点出发沿着线段以个单位每秒的速度向终点运动，设运动时间为秒．
(1)求线段的长．
(2)连接，当为等腰三角形时，过点作线段的垂线与直线交于点，求点的坐标；
(3)已知点为的中点，连接，点关于直线的对称点记为(如图2)，在整个运动过程中，若点恰好落在内部(不含边界)，请直接写出的取值范围．
26．（2023春·浙江·八年级专题练习）阅读理解以下内容，解决问题：
解方程：．
解：，
方程即为：，
设，原方程转化为：
解得，，，
当时，即，，；
当时，即，不成立．
综上所述，原方程的解是，．
以上解方程的过程中，将其中作为一个整体设成一个新未知数，从而将原方程化为关于的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）．
(1)已知方程：，若设，则利用“换元法”可将原方程化为关于的方程是______；
(2)仿照上述方法，解方程：．
27．（2023·浙江杭州·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13厘米，BC＝10厘米，AD⊥BC于点D，动点P从点A出发以每秒1厘米的速度在线段AD上向终点D运动，设动点运动时间为t秒.
(1)求AD的长；
(2)当P、C两点的距离为时，求t的值；
(3)动点M从点C出发以每秒2厘米的速度在射线CB上运动．点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动．是否存在t值，使得？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
备用图
小敏：
两边同除以（x﹣3），得
3＝x﹣3，
则x＝6．
小霞：
移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．
则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝0．
0
1
2
3
4
4
11
20
旅游人数
收费标准
不超过30人
人均收费80元
超过30人
每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于55元
核心考点02一元二次方程
目录
考点一：一元二次方程的定义 考点二：一元二次方程的一般形式
考点三：一元二次方程的解 考点四：解一元二次方程-直接开平方法
考点五：解一元二次方程-配方法 考点六：解一元二次方程-公式法
考点七：解一元二次方程-因式分解法 考点八：换元法解一元二次方程
考点九：根的判别式 考点十：根与系数的关系
考点十一：由实际问题抽象出一元二次方程 考点十二：一元二次方程的应用
考点十三：配方法的应用 考点十四：高次方程
考点十五：无理方程
考点考向
一．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
二．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
三．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
四．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
五．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
六．解一元二次方程-公式法
（1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
七．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
八．换元法解一元二次方程
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
九．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
十．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
十一．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
十二．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
十三．配方法的应用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用．
十四．高次方程
（1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程．
（2）高次方程的解法思想：
通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．
对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理． 换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解．
十五．无理方程
（1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．
（2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程． （3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程． 解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等． （4）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
考点精讲
一．一元二次方程的定义（共1小题）
1．（2023春•宁波期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．x﹣2y＝1B．x2﹣2x+1＝0C．x2﹣2y+4＝0D．x2+3＝
分析：直接根据一元二次方程的定义进行判断即可．
【解答】解：选项A，方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
选项B，方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的整式方程，是一元二次方程．该选项符合题意．
选项C，方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故该项不符合题意；
选项D，方程不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的整式方程是一元二次方程．
二．一元二次方程的一般形式（共2小题）
2．（2023春•嘉兴期末）把一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（ ）
A．x2﹣3x﹣1＝0B．x2﹣3x+1＝0C．x2+3x﹣1＝0D．x2+3x+1＝0
分析：先根据平方差公式进行计算，再移项，最后得出选项即可．
【解答】解：（x+1）（x﹣1）＝3x，
x2﹣1﹣3x＝0，
即x2﹣3x﹣1＝0，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程一般形式的特点是解此题的关键，一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）．
3．（2023秋•灵宝市期中）方程2x2＝3（x﹣6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．2，3，﹣6B．2，﹣3，18C．2，﹣3，6D．2，3，6
分析：要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．
【解答】解：方程2x2＝3（x﹣6），
去括号，得2x2＝3x﹣18，
整理，得2x2﹣3x+18＝0，
所以，二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，﹣3，18，
故选：B．
【点评】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
三．一元二次方程的解（共2小题）
4．（2023春•温州期中）已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0的一个根是x＝2，则m的值为（ ）
A．﹣10B．﹣2C．2D．10
分析：把x＝2代入求值即可．
【解答】解：把x＝2代入可得22+3×2﹣m＝0，
解得m＝10，
故选：D．
【点评】本题主要考查对一元二次方程的解，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能得到方程22+3×2﹣m＝0是解此题的关键．
5．（2023春•洞头区期中）《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如x（x+5）＝24的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为x+5，宽为x的长方形纸片（面积均为24）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为：24×4+25＝121，边长为11，故得x（x+5）＝24的正数解为x＝＝3．小明按此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，构造出同样的图形．已知大正方形的面积为12，小正方形的面积为4，则方程的正数解为（ ）
A．﹣1B．+1C．D．﹣1
分析：把方程变形得到x（x+m）＝n，设图中长方形的长为（x+m），宽为x，则图中小正方形的边长为x+m﹣x ＝m＝2，大正方形的边长为x+m+x ＝2x+m＝，解得x＝2，然后计算x（x+2）即可．
【解答】解：∵x2+mx﹣n＝0，
∴x（x+m）＝n，
∴图中长方形的长为（x+m），宽为x，
∴图中小正方形的边长为x+m﹣x ＝m＝＝2，
大正方形的边长为x+m+x ＝2x+m＝，
∴x＝＝﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
四．解一元二次方程-直接开平方法（共2小题）
6．（2023春•西湖区期末）一元二次方程x2＝4的解是（ ）
A．±2B．2C．﹣2D．±
分析：利用直接开平方法，将方程两边直接开平方即可．
【解答】解；x2＝4，
两边直接开平方得：
x＝±2，
∴x1＝2，x2＝﹣2，
故选：A．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
7．（2023春•嘉善县校级月考）若a（x﹣h）2+k＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，则a（x﹣h+3）2+k＝0的解是 x1＝﹣5，x2＝﹣2 ．
分析：把方程a（x﹣h+3）2+k＝0看作关于x+3的一元二次方程，根据题意得到x+3＝﹣2或x+3＝1，然后解一次方程即可．
【解答】解：把方程a（x﹣h+3）2+k＝0看作关于x+3的一元二次方程，
∵（x﹣h）2+k＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，
∴x+3＝﹣2或x+3＝1，
解得x1＝﹣5，x2＝﹣2，
即a（x﹣h+3）2+k＝0的解是x1＝﹣5，x2＝﹣2．
故答案为：x1＝﹣5，x2＝﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，运用换元法的思想是解决问题的关键．
五．解一元二次方程-配方法（共4小题）
8．（2023春•临平区月考）解方程：
（1）（x+1）（x﹣1）＝1；
（2）2x2﹣4x+1＝0．
分析：（1）方程整理后，利用直接开平方法求出解即可；
（2）方程整理后，利用配方法求出解即可．
【解答】解：（1）方程整理得：x2﹣1＝1，即x2＝2，
开方得：x1＝，x2＝﹣；
（2）方程整理得：x2﹣2x＝﹣，
配方得：x2﹣2x+1＝，即（x﹣1）2＝，
开方得：x﹣1＝±，
解得：x1＝，x2＝．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，以及配方法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
9．（2023春•温州期中）解方程：x2﹣4x﹣5＝0（用配方法）
分析：方程变形后，利用配方法求出解即可．
【解答】解：方程变形得：x2﹣4x＝5，即x2﹣4x+4＝9，
变形得：（x﹣2）2＝9，
开方得：x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，
解得：x1＝5，x2＝﹣1．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
10．（2023春•舟山期末）在用配方法解一元二次方程4x2﹣12x﹣1＝0时，李明同学的解题过程如下：
解：方程4x2﹣12x﹣1＝0可化成（2x）2﹣6×2x﹣1＝0，
移项，得（2x）2﹣6×2x＝1．
配方，得（2x）2﹣6×2x+9＝1+9，
即（2x﹣3）2＝10．
由此可得2x﹣3＝±∴x1＝，x2＝．
晓强同学认为李明同学的解题过程是错误的，因为用配方法解一元二次方程时，首先把二次项系数化为1，然后再配方，你同意晓强同学的想法吗？你从中受到了什么启示？
分析：晓强认为李明的解题过程错误，我不同意他的想法，说明理由即可．
【解答】解：不同意晓强的想法，
当二次项系数不为1时，有时也可以把系数的算术平方根与字母看成整体，再配方．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
11．（2023春•定海区期末）用配方法解一元二次方程：2x2+3x+1＝0．小明同学的解题过程如下：
解：x2+＝0
x+
x1＝﹣．
小明的解题过程是否正确？若正确，请回答“对”；若错误，请写出你的解题过程．
分析：根据解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
【解答】解：小明的解题过程不正确，
正确的解题过程如下：
2x2+3x+1＝0，
x2+x+＝0，
x2+x＝﹣，
x2+x+（）2＝﹣+（）2，
（x+）2＝，
x+＝±，
x+＝或x+＝﹣，
x1＝﹣，x2＝﹣1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．
六．解一元二次方程-公式法（共2小题）
12．（2023春•鄞州区期中）解方程：
（1）x2﹣4x+1＝0
（2）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0
分析：（1）根据配方法即可求出答案；
（2）根据因式分解法即可求出答案．
【解答】解：（1）∵x2﹣4x+1＝0，
∴x2﹣4x＝﹣1，
∴x2﹣4x+4＝3，
∴（x﹣2）2＝3，
∴x＝2±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣
（2）∵（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0，
∴（x﹣3）（x﹣3+2x）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣3+2x＝0，
∴x1＝3，x2＝1；
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
13．（2023春•拱墅区校级月考）解下列方程：
（1）x2﹣7x+1＝0；
（2）2（2x﹣1）＝3（1﹣2x）．
分析：（1）先计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解；
（2）先移项合并得到﹣5（1﹣2x）＝0，然后解方程即可．
【解答】解：（1）Δ＝（﹣7）2﹣4×1×1＝45＞0，
x＝＝，
所以x1＝，x2＝；
（2）2（2x﹣1）﹣3（1﹣2x）＝0，
﹣5（1﹣2x）＝0，
解得x＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．也考查了解一元一次方程．
七．解一元二次方程-因式分解法（共2小题）
14．（2023春•东阳市校级月考）用适当的方法解下列方程．
（1）x2﹣2x＝0；
（2）2x2﹣3x﹣1＝0．
分析：（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣2x＝0，
x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝0，x2＝2；
（2）∵x2+3x+1＝0，
∴a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝9+8＝17，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
15．（2023春•吴兴区校级期中）解下列方程：
（1）2x2﹣7x+3＝0；
（2）（7x+3）2＝2（7x+3）．
分析：（1）根据因式分解法可以解答此方程；
（2）先移项，然后根据因式分解法即可解答此方程．
【解答】解：（1）2x2﹣7x+3＝0，
（2x﹣1）（x﹣3）＝0，
∴2x﹣1＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝，x2＝3；
（2）（7x+3）2＝2（7x+3），
（7x+3）2﹣2（7x+3）＝0，
（7x+3）（7x+3﹣2）＝0，
∴7x+3＝0或7x+3﹣2＝0，
解得x1＝﹣，x2＝﹣．
【点评】本题考查解一元二次方程—因式分解法，解答本题的关键是会用因式分解法解一元二次方程．
八．换元法解一元二次方程（共2小题）
16．（2023春•绍兴期中）解方程：
（1）x2﹣8x﹣1＝0
（2）（x﹣2）2﹣6（x﹣2）+8＝0
分析：（1）移项，把方程的常数项移到方程右边，然后方程左右两边加上一次项系数一半的平方，则左边的完全平方式，右边是常数，即可开方求解；
（2）把x﹣2看作整体，因而可以用因式分解法求解，也可以设x﹣2＝a，利用换元法解方程即可．
【解答】解：（1）x2﹣8x＝1，
x2﹣8x+16＝17，
（x﹣4）2＝17，
，
∴，．
（2）解法一：将方程变形为：（x﹣2﹣2）（x﹣2﹣4）＝0，
∴x1＝6，x2＝4．
解法二：设x﹣2＝a，则原方程变为：a2﹣6a+8＝0，
（a﹣2）（a﹣4）＝0，
a1＝2，a2＝4，
∴x1＝4，x2＝6．
【点评】本题综合考查了解一元二次方程的多种方法，配方法、因式分解法，换元法，需同学们熟练掌握．
17．（2023春•南湖区校级期中）小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
分析：小敏：没有考虑x﹣3＝0的情况；
小霞：提取公因式时出现了错误．
利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：小敏：×；
小霞：×．
正确的解答方法：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x+3）＝0．
则x﹣3＝0或3﹣x+3＝0，
解得x1＝3，x2＝6．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程时可以采取公式法，因式分解法，配方法以及换元法等，至于选择哪一解题方法，需要根据方程的特点进行选择．
九．根的判别式（共3小题）
18．（2023秋•镇海区校级期末）关于x的一元二次方程x2﹣4x+1＝2k有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（ ）
A．B．k＞1C．k＜1D．
分析：先整理，再利用一元二次方程根的判别式，即可求解．
【解答】解：原方程整理得：x2﹣4x+1﹣2k＝0，
∵一元二次方程x2﹣4x+1＝2k有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，
即（﹣4）2﹣4（1﹣2k）＞0，
解得：，
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当Δ＝b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＝b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根是解题的关键．
19．（2023春•宁波期中）已知：关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0．
（1）判断方程的根的情况；
（2）若△ABC为等腰三角形，AB＝5cm，另外两条边长是该方程的根，求△ABC的周长．
分析：（1）先计算根的判别式的值得到△＝4＞0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况；
（2）先利用求根公式解方程得到x1＝m+1，x2＝m﹣1，根据等腰三角形的性质讨论：当m+1＝5时，解得m＝4，此时等腰三角形三边分别为5，5，3；当m﹣1＝5时，解得m＝6，此时等腰三角形三边分别为5，5，7，然后分别计算对应的三角形的周长．
【解答】解：（1）∵Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣1）＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）x＝＝m±1，
∴x1＝m+1，x2＝m﹣1，
当m+1＝5时，解得m＝4，此时等腰三角形三边分别为5，5，3，△ABC的周长为5+5+3＝13；
当m﹣1＝5时，解得m＝6，此时等腰三角形三边分别为5，5，7，△ABC的周长为5+5+7＝17；
综上所述，△ABC的周长为13或17．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了三角形三边的关系和等腰三角形的性质．
20．（2023春•余杭区期中）已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．
（1）求证：无论实数m取何值时，方程总有实数根；
（2）若方程有一个根的平方等于4，求m的值．
分析：（1）先根据方程有实数根列出关于m的一元二次方程，求出m的值即可；
（2）根据题意得到x＝±2是原方程的根，将其代入列出关于m的新方程，通过解新方程求得m的值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）＝（m+1）2≥0，
∴无论实数m取何值，方程总有实数根；
（2）解：∵方程有一个根的平方等于4，
∴x＝±2是原方程的根，
当x＝2时，4﹣2（m+3）+m+2＝0．
解得m＝0；
当x＝﹣2时，4+2（m+3）+m+2＝0，
解得m＝﹣4．
综上所述，m的值为0或﹣4．
【点评】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答（2）时要分类讨论，这是此题的易错点．
一十．根与系数的关系（共3小题）
21．（2023秋•海曙区校级期末）一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两实数根之和等于（ ）
A．﹣2B．2C．﹣5D．5
分析：根据一元二次方程根与系数的关系求出所求即可．
【解答】解：∵设一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝2．
故选：B．
【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
22．（2023•海曙区开学）若关于x的方程（x﹣2）（x2﹣4x+m）＝0有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m的取值范围是 3＜m≤4 ．
分析：根据原方程可知x﹣2＝0，和x2﹣4x+m＝0，因为关于x的方程（x﹣2）（x2﹣4x+m）＝0有三个根，所以x2﹣4x+m＝0的根的判别式Δ＞0，然后再由三角形的三边关系来确定m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的方程（x﹣2）（x2﹣4x+m）＝0有三个根，
∴①x﹣2＝0，解得x1＝2；
②x2﹣4x+m＝0，
∴Δ＝16﹣4m≥0，即m≤4，
∴x2＝2+，
x3＝2﹣，
又∵这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，
且最长边为x2，
∴x1+x3＞x2；
解得3＜m≤4，
∴m的取值范围是3＜m≤4．
故答案为：3＜m≤4．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式及三角形的三边关系．解答此题时，需注意，三角形任意两边和大于第三边．
23．（2023春•上虞区期末）解答下列各题：
（1）用配方法解方程：x2﹣12x＝﹣9．
（2）设x1，x2是一元二次方程5x2﹣7x﹣3＝0的两根，求的值．
分析：（1）利用配方法得到（x﹣6）2＝27，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先利用根与系数的关系得到x1+x2＝，x1x2＝﹣，再利用完全平方公式得到＝（x1+x2）2﹣2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：（1）x2﹣12x＝﹣9．
x2﹣12x+62＝﹣9+62．
（x﹣6）2＝27，
x﹣6＝±3，
所以x1＝6+3，x2＝6﹣3；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝，x1x2＝﹣，
∴＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（）2﹣2×（﹣）＝．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了配方法解方程．
一十一．由实际问题抽象出一元二次方程（共2小题）
24．（2023春•鹿城区校级期中）如图，在长为30m，宽20m的矩形田地中开辟两条宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为551m2，求道路的宽度．设道路的宽度为xm，则可列方程（ ）
A．（20+x）（30+x）＝551B．（20﹣x）（30﹣x）＝551
C．20×30﹣20x﹣30x＝551D．20×30﹣20x﹣30x﹣x2＝551
分析：由道路的宽度为xm，可得出剩余田地部分可合成长为（30﹣x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，根据剩余田地的面积为551m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵道路的宽度为xm，
∴剩余田地部分可合成长为（30﹣x）m，宽为（20﹣x）m的矩形．
依题意得：（20﹣x）（30﹣x）＝551．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．（2023春•西湖区期中）如图，面积为50m2的矩形试验田一面靠墙（墙的长度不限），另外三面用22m长的篱笆围成，平行于墙的一边开有一扇1m宽的门（门的材料另计）．设试验田垂直于墙的一边AB的长为x（m），则所列方程正确的是（ ）
A．（22+1﹣x）x＝50B．（22﹣1﹣x）x＝50
C．（22+1﹣2x）x＝50D．（22﹣1﹣2x）x＝50
分析：根据篱笆的总长及AB的长度，可得出BC＝（22+1﹣2x）m，利用矩形的面积计算公式，结合矩形试验田的面积为50m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵篱笆的总长为20m，且AB＝x m，平行于墙的一边开有一扇1m宽的门，
∴BC＝（22+1﹣2x）m．
依题意得：（22+1﹣2x）x＝50．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
一十二．一元二次方程的应用（共2小题）
26．（2023春•萧山区期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
分析：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据月销售利润＝每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论．
【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：150（1+x）2＝216，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意，得：（y﹣30）[600﹣10（y﹣40）]＝10000，
整理，得：y2﹣130y+4000＝0，
解得：y1＝80（不合题意，舍去），y2＝50，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
27．（2023春•滨江区期末）某小区计划用40米的篱笆围一个矩形花坛，其中一边靠墙（墙足够长，篱笆要全部用完）．
（1）如图1，问AB为多少米时，矩形ABCD的面积为200平方米？
（2）如图2，矩形EMNF的面积比（1）中的矩形ABCD面积减小20平方米，小明认为只要此时矩形的长MN比图①中矩形的长BC少2米就可以了．请你通过计算，判断小明的想法是否正确．
分析：（1）设AB＝x米，则BC＝（40﹣2x）米，根据矩形ABCD的面积为200平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）代入x＝10可求出BC的长，由MN＝BC﹣2，可求出MN的长，结合篱笆要全部用完，可求出EM的长，再利用矩形的面积计算公式，即可求出矩形EMNF的面积，将其与（200﹣20）比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设AB＝x米，则BC＝（40﹣2x）米，
依题意得：x（40﹣2x）＝200，
整理得：x2﹣20x+100＝0，
解得：x1＝x2＝10．
答：AB为10米时，矩形ABCD的面积为200平方米．
（2）由（1）可知：BC＝40﹣2x＝40﹣2×10＝20．
∵MN＝BC﹣2＝20﹣2＝18（米），
∴EM＝＝＝11（米），
∴矩形EMNF的面积＝MN•EM＝18×11＝198（平方米），200﹣20＝180≠198，
∴小明的想法不正确．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
一十三．配方法的应用（共2小题）
28．（2023春•杭州期中）已知a+b﹣2﹣4＝3﹣c﹣5，求a+b+c的值．
分析：根据非负数的性质列出方程求出a、b、c的值，代入所求代数式计算即可．
【解答】解：将等式整理配方，得++＝0，则
﹣1＝0，﹣2＝0，﹣3＝0，
∴a＝2，b＝6，c＝12，
∴a+b+c＝20．
【点评】本题考查了非负数的性质：初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．
29．（2023春•上城区校级期中）请阅读下列材料：
我们可以通过以下方法求代数式x2+6x+5的最小值．
x2+6x+5＝x2+2•x•3+32﹣32+5＝（x+3）2﹣4，
∵（x+3）2≥0
∴当x＝﹣3时，x2+6x+5有最小值﹣4．
请根据上述方法，解答下列问题：
（Ⅰ）x2+4x﹣1＝x2+2•x•2+22﹣22﹣1＝（x+a）2+b，则ab的值是 ﹣10 ；
（Ⅱ）求证：无论x取何值，代数式x2+2x+7的值都是正数；
（Ⅲ）若代数式2x2+kx+7的最小值为2，求k的值．
分析：（Ⅰ）根据配方的过程求得a、b的值代入求值即可；
（Ⅱ）先利用完全平方公式配方，再根据偶次方非负数的性质列式求解；
（Ⅲ）先利用完全平方公式配方，再根据偶次方非负数的性质列式求解．
【解答】解：（Ⅰ）∵x2+4x﹣1＝x2+2•x•2+22﹣22﹣1＝（x+2）2﹣5＝（x+a）2+b，
∴a＝2，b＝﹣5，
∴ab＝2×（﹣5）＝﹣10．
故答案是：﹣10；
（Ⅱ）证明：x2+2x+7＝x2+2x+（）2﹣（）2+7＝（x+）2+1．
∵（x+）2≥0，
∴x2+2x+7的最小值是1，
∴无论x取何值，代数式x2+2x+7的值都是正数；
（Ⅲ）2x2+kx+7＝（x）2+2•x•k+（k）2﹣（k）2+7＝（x+k）2﹣k2+7．
∵（x+k）2≥0，
∴（x+k）2﹣k2+7的最小值是﹣k2+7，
∴﹣k2+7＝2，
解得k＝±2．
【点评】考查了配方法的应用和非负数的性质．配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
一十四．高次方程（共1小题）
30．（2023•江北区开学）将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x⋅x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x3﹣2x2+2x+1的值为（ ）
A．B．C．D．
分析：由题可知x2＝x+1，将所求式子变形为x（x+1）﹣2（x+1）+2x+1再求解即可．
【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，
∴x2＝x+1，
∴x3﹣2x2+2x+1
＝x（x+1）﹣2（x+1）+2x+1
＝x2+x﹣2x﹣2+2x+1
＝x2+x﹣1
＝（x+1）+x﹣1
＝2x，
∵x2﹣x﹣1＝0的根为x＝或x＝，
∵x＞0，
∴x＝，
∴x3﹣2x2+2x+1＝1+，
故选：B．
【点评】本题考查高次方程的解，理解题中所给降次的方法，灵活降次，准确求一元二次方程的根是解题的关键．
一十五．无理方程（共2小题）
31．（2023春•鄞州区校级期末）两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，例如，与，+1与﹣1，a+与a﹣等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：＝＝﹣；
（1）＝ ；＝ 2﹣ ；
（2）比较﹣与﹣的大小，并说明理由；
（3）解方程：+＝5（提示：利用互为有理化因式相关知识，可设﹣＝m）．
分析：（1）分子，分母同乘分母的有理化因子化简．
（2）分子有理化后比较大小．
（3）利用有理化因子将方程转化为有理方程求解．
【解答】解：（1）＝．
＝＝2﹣．
故答案为：，2﹣．
（2）﹣＝＝．
﹣＝＝．
∵＜，
∴﹣＜﹣．
（3）∵+＝5＝（+）×（﹣）．
∴．
解得：．
∴x﹣2＝9．x﹣7＝4，
∴x＝11．
检验：x＝11时，x﹣2＞0，x﹣7＞0，符合题意．
∴原方程的解为：x＝11．
【点评】本题考查有理化因子，正确找到有理化因子是求解本题的关键．
32．（2023春•柯桥区月考）小明在解方程﹣＝2时采用了下面的方法：由
（﹣）（+）＝（）2﹣（）2＝（24﹣x）﹣（8﹣x）＝16，
又有﹣＝2，可得+＝8，将这两式相加可得，将＝5两边平方可解得x＝﹣1，经检验x＝﹣1是原方程的解．
请你学习小明的方法，解下面的方程：
（1）方程+＝18的解是 x＝±3 ；
（2）解方程+＝4x．
分析：（1）由所给方法，可得＝10，再解方程即可；
（2）由所给方法，可得＝2x+1，再解方程即可．
【解答】解：（1）（+）（﹣）＝x2+46﹣（x2+10）＝36，
∵+＝18，
∴﹣＝2，
将这两式相加可得＝10，
∴x2+46＝100，
解得x＝±3，
经检验，x＝±3是原方程的解，
故答案为：x＝±3；
（2）（+）（﹣）＝（4x2+6x﹣5）﹣（4x2﹣2x﹣5）＝8x，
∵+＝4x，
∴﹣＝2，
将这两式相加可得＝2x+1，
解得x＝3，
经检验，x＝3是原方程的解．
【点评】本题考查无理方程的解，熟练掌握无理方程的解法，准确计算是解题的关键．
巩固提升
一、单选题
1．（2023秋·浙江金华·八年级校考期中）下列方程中属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
答案:C
分析：我们从方程的限定词入手，“一元”的意思是等式中只含有一种未知数（不限定该未知数出现的次数）；“二次”的意思是未知数的最高次数是二．
【详解】解：A、是二元一次方程，故A错误；
B、是一元一次方程，故B错误；
C、属于一元二次方程，故C正确；
D、是分式方程，故D错误；
故选：C．
【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
2．（2023春·八年级单元测试）方程化为一般形式后的一次项系数、常数项分别是（ ）．
A．，B．，10C．8，D．10，8
答案:A
分析：先把方程化为一般式为，然后确定一次项系数和常数项．
【详解】解：方程化为一般式为，
所以一次项系数、常数项分别是，．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式：任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．
3．（2023春·浙江·八年级专题练习）观察下表，估计一元二次方程的正数解在（ ）
A．和0之间B．0和1之间C．1和2之间D．2和3之间
答案:C
分析：由表格可发现的值和4最接近0，再看对应的x的值即可得到答案．
【详解】解：由表可以看出，当x取1与2之间的某个数时，，即这个数是的一个根．
的一个解x的取值范围为1和2之间．
故选：C．
【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解，正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的．
4．（2023春·浙江杭州·八年级校考阶段练习）若为任意实数，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．100D．
答案:C
分析：利用配方法将配方即可解决问题；
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴，
的最大值为．
故选：C．
【点睛】本题考查配方法的应用、平方的非负性，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5．（2023春·浙江·八年级专题练习）中秋节当天，九年级数学组的老师每两人相互送一个月饼，共送出72个月饼，九年级数学组老师的人数为（ ）
A．9B．8C．7D．6
答案:A
分析：设老师共有人，则每人需要送出个月饼，根据共送出72个月饼，即可列出一元二次方程，解方程，得到正整数解即可．
【详解】解：设老师共有人，则每人需要送出个月饼，根据题意得
整理得
解得（不符合题意，舍去）
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题关键．
二、填空题
6．（2023春·八年级单元测试）是一元二次方程，则m=___________．
答案:4
分析：根据只含有一个未知数，且未知数的最高指数为2的整式方程为一元二次方程，则，然后选出合适的值即可．
【详解】解：是一元二次方程，
，，
或0，，
，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，结合一元二次方程的概念求出参数值是解题关键．
7．（2023春·八年级单元测试）已知是关于的方程的一个根，则______．
答案:2023
分析：先利用一元二次方程根的定义得到，然后利用整体代入的方法得到的值．
【详解】∵是关于的方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2023
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．
8．（2023春·浙江·八年级专题练习）为了加快发展新能源和清洁能源，助力实现“双碳”目标，大力发展高效光伏发电关键零部件制造．青岛某工厂今年第一季度生产某种零件的成本是20万元，由于技术升级改进，生产成本逐季度下降，第三季度的生产成本为万元，设该公司每个季度的下降率都相同．则该公司每个季度的下降率是__________．
答案:
分析：设该公司每个季度的下降率是x ，根据该公司第一季度及第三季度的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解∶设该公司每个季度的下降率是x，
依题意，得∶，
解得∶， （不符合题意，舍去）．
即该公司每个季度的下降率是，
故答案为∶ ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
9．（2023春·八年级课时练习）《念奴娇•赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”若设这位风流人物去世的年龄十位数字为x，则可列方程为____．
答案:
分析：根据“十位恰小个位三，个位平方与寿符”以及十位数字+各位数字=个位数字的平方，据此列方程可得答案．
【详解】解：设这位风流人物去世的年龄十位数字为x，
则根据题意：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．（2023秋·浙江宁波·八年级校考期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，．若，满足，则______．
答案:####
分析：由一元二次方程有两个实数根，．可得，，，则，同号，再分两种情况讨论即可．
【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根，．
∴，，，
∴，同号，
当，都为负数时，
∴，解得：，
∴，
整理得：，
∴，方程无解；
当，都为正数时，此时，
∴，解得：，
∴，
整理得：，
解得：，，
经检验：不符合题意，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系，一元二次方程的解法，清晰的分类讨论是解本题的关键．
11．（2023春·浙江·八年级专题练习）对于实数a，b，定义运算“*”：，例如：4*2，因为，所以，若、是一元二次方程的两个根，则的值是______．
答案:或
分析：求出一元二次方程的解，代入新定义对应的表达式即可求解．
【详解】∵，
∴，
∴，或，
∴，，或，，
当，时根据，
∴，
当，时根据，
∴，
故答案为：或
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，对新定义的正确理解是解题的关键．
三、解答题
12．（2023春·浙江·八年级专题练习）用适当的方法解下列一元二次方程．
(1)
(2)（用配方法）
(3)
(4)（用公式法）
答案:(1)
(2)
(3)
(4)
分析：（1）利用直接开平方法求解；
（2）利用配方法求解；
（3）利用因式分解法求解；
（4）利用公式法求解．
【详解】（1）
；
（2）
（3）
或
∴；
（4）
∵
∴
∴
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
13．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知关于x的一元二次方程
(1)若方程的一个根为，求a的值和另一个根；
(2)当时，
①若代数式，则___________；
②若代数式的值为正整数，且x为整数，求x的值；
(3)当时，方程的一个正根为；当时，方程的一个正根为；若，试比较与的大小．
答案:(1)，另一根为；
(2)①；②0或1
(3)
分析：（1）把代入方程求得a的值，再把a的值代入方程，解一元二次方程便可求得方程的另一根；
（2）①把代入方程，根据多项式恒等原理列出p、q的方程求得P、q，进而求得代数式的值；
②求出原式，由原式的值为正整数，得代数式的值为1，2，算出和的解即可；
（3）根据已知条件用m、n分别表示，，再得出，根据差的正负判断，的大小．
【详解】（1）解：把代入原方程，
得，
解得，
把代入原方程，
得，
，
解得，，，
∴方程的另一根为；
（2）①把代入，
得，
即，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：；
②原式
，
∵不论x为何值，
∴原式
∵代数式的值为正整数，
∴代数式的值为1，2，
当时，这时x的值不是整数，不符合题意，舍去；
当时，或1，
故x的值是0或1；
（3）解：当时，得，
∴，
当时，得，
∴，
∴
∵，，，
∴，，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，一元二次方程的解的应用，配方法的应用，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法，灵活应用配方法和差值法解题．
14．（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：这个一元二次方程一定有两个实数根；
(2)设该一元二次方程的两根为a、b，且2、a、b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值．
答案:(1)见解析
(2)或
分析：（1）利用根的判别式求出关于的代数式，整理成非负数的形式即可判定；
（2）把原方程因式分解，求出方程的两个根，分别探讨不同的数值为斜边，利用勾股定理解决问题．
【详解】（1）解：
；
又，
，
原方程有两个实数根；
（2）原方程可变为，
则方程的两根为，，
直角三角形三边为2，3，；
，
①若为直角三角形的斜边时，则：
，
；
②若3为直角三角形的斜边时，则：
．
综上，或．
【点睛】此题考查利用根的判别式探讨根的情况，以及用因式分解法解一元二次方程，勾股定理等知识点；注意分类讨论思想的渗透．
15．（2023春·浙江·八年级专题练习）对于代数式，若存在实数，当时，代数式的值也等于，则称为这个代数式的不变值．例如：对于代数式，当时，代数式等于0；当时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作．特别地，当代数式只有一个不变值时，则．
(1)代数式的不变值是______，______．
(2)说明：代数式没有不变值；
(3)已知代数式，若，求的值．
答案:(1)和4，7
(2)见解析
(3)1
分析：（1）根据不变值的定义可得出关于的一元二次方程，解之即可求出的值，再做差后可求出的值；
（2）由方程的系数结合根的判别式可得出方程没有实数根，进而可得出代数式没有不变值；
（3）由可得出方程有两个相等的实数根，进而可得出，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：依题意，得：，即
解得：，，
，
故答案为：和4，7；
（2）解：依题意，得：即，
，
没有实数根，
代数式没有不变值；
（3）解：依题意，得：即有两个相等的实数根，
，
整理得：，
解得．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，根据不变值的定义，求出一元二次方程的解是解题的关键．
16．（2023春·浙江·八年级专题练习）解方程，可以将看成一个整体，设，则原方程可化①，解得，，当时，即，解得，，当时，即，解得，所以原方程的解为，，，．
解答问题：
(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中利用____法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想．
(2)请利用上述这种方法解方程：．
(3)应用求值：已知实数，满足，则_____．
答案:(1)换元
(2)，
(3)
分析：（1）根据题目解题的过程，设，将二次换元为一次，由此即可求解；
（2）设，则原方程可化，因式分解法解一元二次方程即可求解；
（3）设，则原方程可化，因式分解法解一元二次方程即可求解；
【详解】（1）解：上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想，
故答案为：换元．
（2）解：设，则原方程可化，即
∴，，
当时，，方程无实数解；
当时，，解方程得，，，
∴原方程的解为：，．
（3）解：设，则原方程可化，则，
∴，，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，
∴的值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查解高次方程，掌握换元思想，进行降次方法解高次方程是解题的关键．
17．（2023春·浙江·八年级专题练习）请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：
已知，求的值；
解：设，则原方程可变形为．即
∴得，
∴或
已知，求的值．
答案:6
分析：设，将方程转化为一元二次方程，再进行求解即可．
【详解】解：设，则原方程可变形为，即
∴，
解得：；
又∵
∴．
【点睛】本题考查解一元二次方程．理解并掌握题目给出的解方程的方法，是解题的关键．注意：．
18．（2023春·八年级单元测试）如图，有一段长为20米的篱笆，利用一面墙，围成一个长方形花圃，设花圃的宽AB为x米（其中．
(1)请你用含x的代数式表示BC的长．
(2)若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的宽AB的长度．
答案:(1)
(2)3
分析：（1）根据题意，求解即可；
（2）根据题意，列出一元二次方程，求解即可．
【详解】（1）解：∵篱笆的全长为20米，花圃的宽AB为x米，
的长为米；
（2）解：根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去．
答：此时花圃的宽AB的长度是3米．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确列出方程．
19．（2023春·八年级单元测试）某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y（千克）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图像如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)当每千克菠萝蜜降价4元时，超市获利多少元？
(3)若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？
答案:(1)
(2)2240元
(3)12元
分析：(1)运用待定系数法求解即可．
(2)先计算每千克菠萝蜜的利润，乘以销售量即可．
(3)列方程求解，且取较大值．
【详解】（1）设y与x之间的函数关系式为，
将，代入，
得，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为．
（2）（元）．
答：当每千克菠萝蜜降价4元时，超市获利2240元．
（3）依题意，得，
整理，得，
解得，．
∵要让顾客获得更大实惠，∴．
答：这种菠萝蜜每千克应降价12元．
【点睛】本题考查了一次函数的解析式及其应用，一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法，解方程是解题的关键．
20．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在中，厘米，厘米，点从点开始沿边向点以厘米秒的速度移动，点从点开始沿边向点以厘米秒的速度移动，如果，分别是从，同时出发，设时间为秒．
(1)经过几秒时，的面积等于平方厘米？
(2)经过几秒时，的面积等于直角三角形面积的？
答案:(1)秒或秒
(2)秒或秒
分析：（1）设经过秒时，的面积等于8平方厘米，则厘米，厘米，根据三角形的面积公式结合的面积等于8平方厘米，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）设经过秒时，的面积等于矩形面积的，则厘米，，根据三角形、矩形的面积公式及的面积等于矩形面积的，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）设经过秒时，的面积等于8平方厘米，
则厘米 ，厘米，
根据题意，得，
整理，得 ，
解得 ， ．
故经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米．
（2）设经过秒时，的面积等于矩形面积的，
则厘米，厘米，
根据题意，得 ，
整理，得 ，
解得 ，．
故经过秒或秒时，的面积等于直角三角形面积．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．（2023春·八年级课时练习）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万．
(1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米．
(2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多万元．求a的值．
答案:(1)甲最多施工2500米
(2)a的值为6
分析：（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（2）根据总成本=每米施工成本×每天施工的长度结合甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，
依题意，得：12（5000-x）≥×10x，
解得：x≤2500，
答：甲最多施工2500米．
（2）依题意，得： ，
整理，得：，
解得：，，
当时，总成本为：（万元），
∵，
∴不符合题意舍去；
当时，总成本为：（万元），
∵，
∴符合题意；
答：a的值为6．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
22．（2023春·浙江·八年级专题练习）匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初始速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．现有一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动．
(1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？
(2)小球滚动约用了多少秒（结果保留小数点后一位，参考数据：？）
答案:(1)小球的滚动速度平均每秒减少
(2)小球滚动约用了秒
分析：（1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可；
（2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少，
答：小球的滚动速度平均每秒减少．
（2）解：设小球滚动约用了秒，
由题意得：，
整理得：，
解得：或，
当时，，不符题意，舍去，
，
答：小球滚动约用了秒．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．春·浙江绍兴·八年级统考期中）根据绍兴市某风景区的旅游信息：
A公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元．A公司参加这次旅游的员工有多少人？
答案:A公司参加这次旅游的员工有40人．
分析：设参加这次旅游的员工有人，由可得出，根据总价单价人数，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】设参加这次旅游的员工有x人，
∵30×80=2400<2800，∴x>30．
根据题意得：x[80-（x-30）]=2800，解得：x1=40，x2=70．
当x=40时，80-（x-30）=70>55，
当x=70时，80-（x-30）=40<55，舍去．
答：A公司参加这次旅游的员工有40人．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．（2023春·浙江·八年级专题练习）随着疫情管控的放开，甲、乙两支队伍计划自驾去西藏旅游．两队计划同一天出发，沿不同的路线前往目的地汇合．甲队走路线，全程2400千米，乙队走路线，全程3200千米，由于路线高速公路较多，乙队平均每天行驶的路程是甲队的2倍，这样乙队可以比甲队提前2天到达目的地．
(1)求甲、乙两队分别计划多少天到达目的地？
(2)在他们的旅行计划中，乙队每人每天的平均花费始终为135元．甲队最开始计划有8个人同行，计划每人每天花费300元，后来又有个人加入队伍，经过计算，甲队实际每增加1人时，每人每天的平均花费将减少30元．若最终甲、乙两队一起旅行的人数相同，且旅行天数与各自原计划天数一致，两队共需花费18720元，求的值．
答案:(1)甲队计划的天数为6天，则乙队计划天数为4天
(2)5
分析：（1）设甲队计划的天数为x天，则乙队计划天数为天，根据“乙队平均每天行驶的路程是甲队的2倍，这样乙队可以比甲队提前2天到达目的地”可列出分式方程，求解方程即可得出结果；
（2）设甲队后来总人数是个，乙队总人数是个，根据“两队共需花费18720元”列方程求解即可．
【详解】（1）设甲队计划的天数为x天，则乙队计划天数为天，根据题意得，
整理得，
解得，
经检验，是原方程的解，
所以，
所以，甲队计划的天数为6天，则乙队计划天数为4天
（2）设甲队后来总人数是个，乙队总人数是个，根据题意得，
整理得，
解得，或
∵
∴，即的值为5
【点睛】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时寻找方程的等量关系是关键．
25．（2023秋·浙江温州·八年级瑞安市安阳实验中学校考阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点B的坐标是，连接．若动点从点出发沿着线段以个单位每秒的速度向终点运动，设运动时间为秒．
(1)求线段的长．
(2)连接，当为等腰三角形时，过点作线段的垂线与直线交于点，求点的坐标；
(3)已知点为的中点，连接，点关于直线的对称点记为(如图2)，在整个运动过程中，若点恰好落在内部(不含边界)，请直接写出的取值范围．
答案:(1)
(2),,
(3)当时，点恰好落在内部(不含边界)
分析：（1）勾股定理直接求解即可；
（2）分三种情形，分别讨论，即可求解；
（3）当在上时，过点作轴于点，过点作，过点作轴于点，因为点为的中点，由（2）可知，，根据等面积法求得，进而得出, , ，根据轴对称的性质得出，，继而求得，在中，，即可求解．
【详解】（1）解：∵点的坐标为，点B的坐标是，
∴，
∴;
（2）当时，如图，过点作轴于点，轴于点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设,
在中，，
在中，，
∴
即
解得：，
∴；
当时，如图，过点作轴于点，轴于点，过点作于点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，，
在中，，
解得：，
即，
在中，，
在中，，
∴，
即，
解得：，
∴，
当时，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
综上所述，或或，
（3）如图，当在上时，过点作轴于点，过点作，过点作轴于点，
∵点为的中点，
由（2）可知，，
则，
∵， ，
∴，
∴，
∴,
∴，
∵，
∴，
∵对称，∴，，
∴，
即，
∴，
在中，
∴
解得（舍去）或
当点运动到点，此时重合，此时，解得，
∴当时，点恰好落在内部(不含边界) ．
【点睛】本题考查了勾股定理，解一元二次方程，坐标与图形，等腰三角形的性质，掌握勾股定理是解题的关键．
26．（2023春·浙江·八年级专题练习）阅读理解以下内容，解决问题：
解方程：．
解：，
方程即为：，
设，原方程转化为：
解得，，，
当时，即，，；
当时，即，不成立．
综上所述，原方程的解是，．
以上解方程的过程中，将其中作为一个整体设成一个新未知数，从而将原方程化为关于的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）．
(1)已知方程：，若设，则利用“换元法”可将原方程化为关于的方程是______；
(2)仿照上述方法，解方程：．
答案:(1)
(2)
分析：（1）根据完全平方公式由，得，再变形原方程便可；
（2）设，则，得，再解一元二次方程，最后代入所设代数式解方程便可．
【详解】（1）设，
则，
可化为：，
即，
故答案为：；
（2）设，则，
原方程可化为：，
整理得，
，
或，
或，
当时，，
解得，
当时，无解，
检验，当时，左边右边，
是原方程的解，
故原方程的解为：．
【点睛】本题主要考查了换元法，无理方程，关键掌握换元法的思想方法．
27．（2023·浙江杭州·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13厘米，BC＝10厘米，AD⊥BC于点D，动点P从点A出发以每秒1厘米的速度在线段AD上向终点D运动，设动点运动时间为t秒.
(1)求AD的长；
(2)当P、C两点的距离为时，求t的值；
(3)动点M从点C出发以每秒2厘米的速度在射线CB上运动．点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动．是否存在t值，使得？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
备用图
答案:（1）12cm（2）（3）t的值为或或
【详解】（1）∵ AB=AC，AD⊥BC；
∴ BD=BC=5cm，且∠ADB=90．
∴ ．
即AD的长为12cm．
（2）AP= t，PD="12" -t，
又由，得．
解得，．
（3）假设存在t，使得S△PMD＝S△ABC．
① 若点M在线段CD上，即时，PD=12－t，DM=5－2t；
由S△PMD＝S△ABC，即
解，得 （舍去）； ． ………………………… 8分
② 若点M在射线DB上，即．
由S△PMD＝S△ABC 得
解，得；. ………………………… 10分
综上，存在t的值为或或，使得S△PMD＝S△ABC．（11分）
（1）根据勾股定理求得AD的长；
（2）表示出PD=12-t，S△PDC=15，得 (12-t)=15，求得t的值即可；
（3）假设存在t，使得S△PMD= S△ABC．分两种情况进行讨论：①若点M在线段CD上，②若点M在射线DB上，从而求得t的值；
小敏：
两边同除以（x﹣3），得
3＝x﹣3，
则x＝6．
小霞：
移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．
则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝0．
0
1
2
3
4
4
11
20
旅游人数
收费标准
不超过30人
人均收费80元
超过30人
每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于55元
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