北师大版七年级数学下册专题1.8幂的运算大题提升训练(重难点培优30题)(原卷版+解析)

这是一份北师大版七年级数学下册专题1.8幂的运算大题提升训练(重难点培优30题)(原卷版+解析)，共22页。试卷主要包含了8幂的运算大题提升训练等内容，欢迎下载使用。

班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共30小题）
1．计算：
（1）x2•x5﹣x3•x4；
（2）m3•m3+m•m5；
（3）a•a3•a2+a2•a4；
（4）x2•x4+x3•x2•x．
2．计算：
（1）（﹣x）4•（﹣x）6；
（2）﹣a3•a；
（3）（﹣m）2•m3；
（4）﹣x•x2•x3．
3．计算：
（1）a3•（﹣a）5•a12；
（2）y2n+1•yn﹣1•y3n+2（n为大于1的整数）；
（3）（﹣2）n×（﹣2）n+1×2n+2（n为正整数）；
（4）（x﹣y）5•（y﹣x）3•（x﹣y）．
4．计算：
（1）（p﹣q）5•（q﹣p）2；
（2）（s﹣t）m•（s﹣t）m+n•（t﹣s）（m、n是正整数）；
（3）xn•xn+1+x2n•x（n是正整数）．
5．计算：
（1）（x2y）3；
（2）（﹣m3n）2；
（3）（﹣2a2b3）4．
6．（2023秋•西陵区校级期中）计算：
（1）a•a2•a3﹣a6；
（2）m•m7﹣（2m4）2．
7．幂的运算
（1）（﹣2ab）3．
（2）（x2y3）4+（﹣2x4y）2y10．
8．用简便方法计算：
（1）（−43）2018×（﹣0.75）2019；
（2）2018n×（24036）n+1．
9．计算：
（1）23×22+2×24；
（2）x5•x3﹣x4•x4+x7•x+x2•x6；
（3）（﹣x）9•x5•（﹣x）5•（﹣x）3．
10．计算：
（1）（﹣a）2•a3；
（2）xn•xn+1+x2n•x（n是正整数）；
（3）﹣a2•a4+（a2）3．
11．（2023春•会宁县期末）根据已知求值：
（1）已知am＝2，an＝5，求a3m+2n的值；
（2）已知3×9m×27m＝321，求m的值．
12．（2023秋•江北区校级期中）（1）若10x＝3，10y＝2，求代数式103x+4y的值．
（2）已知：3m+2n﹣6＝0，求8m•4n的值．
13．（2023春•龙岗区校级月考）已知n为正整数，且x2n＝4
（1）求xn﹣3•x3（n+1）的值；
（2）求9（x3n）2﹣13（x2）2n的值．
14．（2023春•高州市期中）（1）已知am＝2，an＝3，求a3m+2n的值；
（2）已知x3＝m，x5＝n，试用含m，n的代数式表示x14．
15．（2023秋•海珠区校级期中）计算题：
（1）若a2＝5，b4＝10，求（ab2）2；
（2）已知am＝4，an＝4，求am+n的值．
16．（2023秋•大石桥市期中）完成下列各题．
（1）已知（9a）2＝38，求a的值；
（2）已知am＝3，an＝4，求a2m+n的值为多少．
17．（2023春•高新区期中）（1）已知4x＝2x+3，求x的值；
（2）若a2n＝3，bn=14，求（﹣ab）2n．
18．（2023春•金湖县校级月考）已知ax＝3，ay＝2，分别求：
①ax+y的值；
②a3x﹣2y的值．
19．（2023•天津模拟）（1）已知am＝2，an＝3，求①am+n的值；②a3m﹣2n的值
（2）已知2×8x×16＝223，求x的值．
20．（2023•贵阳模拟）小松学习了“同底数幂的除法”后做这样一道题：若（2x﹣1）2x+1＝1，求x的值．小松解答过程如下：解：∵1的任何次幂为1，∴2x﹣1＝1，即x＝1，故（2x﹣1）2x+1＝13＝1，∴x＝1．老师说小松考虑问题不全面，聪明的你能帮助小松解决这个问题吗？请把他的解答补充完整．
21．（2023春•南海区校级月考）已知am＝2，an＝5、求下列各式的值：
（1）am+n；
（2）（2am）2；
（3）a3m﹣2n．
22．（2023秋•巴林左旗期末）（1）若3×27m÷9m＝316，求m的值；
（2）已知ax＝﹣2，ay＝3，求a3x﹣2y的值；
（3）若n为正整数，且x2n＝4，求（3x2n）2﹣4（x2）2n的值．
23．（2023秋•永春县期中）（1）若2x＝3，2y＝5，则2x+y＝ ．
（2）已知ax＝5，ax+y＝25，求ax+ay的值．
（2）已知x2a+b•x3a﹣b•xa＝x12，求﹣a100+2101的值．
24．（2023春•泰山区校级月考）计算下列各式：
（1）（﹣x）3•（﹣x）2﹣m3•m2•（﹣m）3；
（2）已知2x＝3，2y＝4，求2x+y的值．
25．（2023春•贾汪区校级月考）规定a*b＝3a×3b，求：
（1）求1*2；
（2）若2*（x+1）＝81，求x的值．
26．（2023秋•曲阜市期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．
例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：
（5，125）＝ ，（﹣2，4）＝ ，（﹣2，1）＝ ；
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）＝（3，4），他给出了如下的证明：
设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n
∴3x＝4，即（3，4）＝x，
∴（3n，4n）＝（3，4）．
请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由．
（4，7）+（4，8）＝（4，56）．
27．（2023秋•海淀区校级期中）在学习平方根的过程中，同学们总结出：在ax＝N中，已知底数a和指数x，求幂N的运算是乘方运算；已知幂N和指数x，求底数a的运算是开方运算，小明提出一个问题：“如果已知底数a和幂N，求指数x是否也对应着一种运算呢？”老师首先肯定了小明善于思考，继而告诉大家这是同学们进入高中将继续学习的对数，感兴趣的同学可以课下自主探究．小明课后借助网络查到了对数的定义：如果N＝ax（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数（lgarithm），记作：x＝lgaN，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．小明根据对数的定义，尝试进行了下列探究：
（1）∵21＝2，∴lg22＝1；∵22＝4，∴lg24＝2；∵23＝8，∴lg28＝3；∵24＝16，∴lg216＝ ；计算：lg232＝ ；
（2）计算后小明观察（1）中各个对数的真数和对数的值，发现一些对数之间有关系，例如：lg24+lg28＝ ；（用对数表示结果）
（3）于是他猜想：lgaM+lgaN＝ （a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），请你将小明的探究过程补充完整，并证明他的猜想．
（4）根据之前的探究，直接写出lgaM﹣lgaN＝ ．
28．（2023秋•鲤城区校级期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：f（m）•f（n）＝f（m+n）（其中m、n为正整数）．
例如，若f（3）＝2，则f（6）＝f（3+3）＝f（3）•f（3）＝2×2＝4．f（9）＝f（3+3+3）＝f（3）•f（3）•f（3）＝2×2×2＝8．
（1）若f（2）＝5，
①填空：f（6）＝ ；
②当f（2n）＝25，求n的值；
（2）若f（a）＝3，化简：f（a）•f（2a）•f（3a）•…•f（10a）．
29．（2023春•定远县校级期末）对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：x＝lgaN，比如指数式24＝16可转化为4＝lg216，对数式2＝lg525互转化为52＝25．
我们根据对数的定义可得对数的一个性质：lga（M•N）＝lgaM+lgaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）
解决以下问题：
（1）将指数43＝64转化为对数式 ；
（2）试说明lgaMN=lgaM−lgaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；
（3）拓展运用：计算lg32+lg36﹣lg34＝ ．
30．（2023春•兴化市校级月考）定义：如果2m＝n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D（n）．
（1）根据D数的定义，填空：D（2）＝ ，D（16）＝ ．
（2）D数有如下运算性质：D（s•t）＝D（s）+D（t），D（qp）＝D（q）﹣D（p），其中q＞p．
根据运算性质，计算：
①若D（a）＝1，求D（a3）；
②若已知D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+c，试求D（30），D(2512)的值（用含a、b、c的代数式表示）．
【拔尖特训】2023-2024学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【北师大版】
专题1.8幂的运算大题提升训练（重难点培优30题）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共30小题）
1．计算：
（1）x2•x5﹣x3•x4；
（2）m3•m3+m•m5；
（3）a•a3•a2+a2•a4；
（4）x2•x4+x3•x2•x．
分析：各小题直接利用同底数幂的乘法运算法则计算，再合并同类项得出答案．
【解答】解：（1）x2•x5﹣x3•x4
＝x7﹣x7
＝0；
（2）m3•m3+m•m5
＝m6+m6
＝2m6；
（3）a•a3•a2+a2•a4
＝a1+3+2+a2+4
＝a6+a6
＝2a6；
（4）x2•x4+x3•x2•x
＝x6+x6
＝2x6．
2．计算：
（1）（﹣x）4•（﹣x）6；
（2）﹣a3•a；
（3）（﹣m）2•m3；
（4）﹣x•x2•x3．
分析：各小题直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）（﹣x）4•（﹣x）6
＝x4•x6
＝x10；
（2）﹣a3•a＝﹣a4；
（3）（﹣m）2•m3
＝m2•m3
＝m5；
（4）﹣x•x2•x3
＝﹣x1+2+3
＝﹣x6．
3．计算：
（1）a3•（﹣a）5•a12；
（2）y2n+1•yn﹣1•y3n+2（n为大于1的整数）；
（3）（﹣2）n×（﹣2）n+1×2n+2（n为正整数）；
（4）（x﹣y）5•（y﹣x）3•（x﹣y）．
分析：直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）a3•（﹣a）5•a12＝﹣a20；
（2）y2n+1•yn﹣1•y3n+2（n为大于1的整数）＝y6n+2；
（3）（﹣2）n×（﹣2）n+1×2n+2（n为正整数）
＝﹣23n+3；
（4）（x﹣y）5•（y﹣x）3•（x﹣y）
＝﹣（x﹣y）5•（x﹣y）3•（x﹣y）
＝﹣（x﹣y）9．
4．计算：
（1）（p﹣q）5•（q﹣p）2；
（2）（s﹣t）m•（s﹣t）m+n•（t﹣s）（m、n是正整数）；
（3）xn•xn+1+x2n•x（n是正整数）．
分析：（1）（2）根据同底数幂的乘法法则解答即可．
（3）先根据同底数幂的乘法法则化简，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）原式＝（p﹣q）5•（p﹣q）2＝（p﹣q）7；
（2）原式＝﹣（s﹣t）m+m+n+1＝﹣（s﹣t）2m+n+1；
（3）原式＝x2n+1+x2n+1＝2x2n+1．
5．计算：
（1）（x2y）3；
（2）（﹣m3n）2；
（3）（﹣2a2b3）4．
分析：根据幂的乘方与积的乘方法则计算便可．
【解答】解：（1）（x2y）3
＝x2×3y3
＝x6y3；
（2）（﹣m3n）2
＝+m3×2n2
＝m6n2；
（3）（﹣2a2b3）4
＝+16a2×4b3×4
＝16a8b12．
6．（2023秋•西陵区校级期中）计算：
（1）a•a2•a3﹣a6；
（2）m•m7﹣（2m4）2．
分析：（1）根据整式的加减运算以及乘法运算即可求出答案．
（2）根据整式的加减运算、乘法运算以及积的乘方运算即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝a6﹣a6
＝0．
（2）原式＝m8﹣4m8
＝﹣3m8．
7．幂的运算
（1）（﹣2ab）3．
（2）（x2y3）4+（﹣2x4y）2y10．
分析：（1）积的乘方，等于每个因式乘方的积，据此计算即可；
（2）先根据积的乘方以及同底数幂的乘法法则化简，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）（﹣2ab）3＝（﹣2）3a3b3＝﹣8a3b3；
（2）（x2y3）4+（﹣2x4y）2y10＝x8y12+4x8y2•y10＝x8y12+4x8y12＝5x8y12．
8．用简便方法计算：
（1）（−43）2018×（﹣0.75）2019；
（2）2018n×（24036）n+1．
分析：（1）根据把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘解答即可；
（2）根据把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘解答即可．
【解答】解：（1）(−43)2018×(−0.75)2019
={−43×(−34)]2018×(−34)
=−34；
（2）2018n×(24036)n+1
=2018n×(12018)n+1
=(2018×12018)n×12018
=12018．
9．计算：
（1）23×22+2×24；
（2）x5•x3﹣x4•x4+x7•x+x2•x6；
（3）（﹣x）9•x5•（﹣x）5•（﹣x）3．
分析：（1）（2）根据同底数幂的乘法法则计算，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
（3）根据积的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则计算，积的乘方，等于每个因式乘方的积．
【解答】解：（1）原式＝25+25
＝2×25
＝26
＝64；
（2）原式＝x8﹣x8+x8+x8
＝2x8；
（3）原式＝﹣x9•x5•（﹣x5）•（﹣x3）
＝﹣x9•x5•x5•x3
＝﹣x22．
10．计算：
（1）（﹣a）2•a3；
（2）xn•xn+1+x2n•x（n是正整数）；
（3）﹣a2•a4+（a2）3．
分析：（1）根据幂的乘方和同底数幂的乘法可以解答本题；
（2）根据同底数幂的乘法和合并同类项即可解答本题；
（3）根据幂的乘方和同底数幂的乘法可以解答本题．
【解答】解：（1）（﹣a）2•a3
＝a2•a3
＝a5；
（2）xn•xn+1+x2n•x（n是正整数）
＝x2n+1+x2n+1
＝2x2n+1；
（3）﹣a2•a4+（a2）3
＝﹣a6+a6
＝0．
11．（2023春•会宁县期末）根据已知求值：
（1）已知am＝2，an＝5，求a3m+2n的值；
（2）已知3×9m×27m＝321，求m的值．
分析：（1）先根据同底数幂乘法的逆运算将a3m+2n变形为a3m•a2n，根据已知条件，再分别将a3m＝（am）3，a2n＝（an）2，最后代入计算即可；
（2）将已知等式的左边化为3的幂的形式，则对应指数相等，可列关于m的方程，解出即可．
【解答】解：（1）a3m+2n＝（am）3•（an）2＝23×52＝200；
（2）∵3×9m×27m＝321，
∴3×32m×33m＝321，
31+5m＝321，
∴1+5m＝21，
m＝4．
12．（2023秋•江北区校级期中）（1）若10x＝3，10y＝2，求代数式103x+4y的值．
（2）已知：3m+2n﹣6＝0，求8m•4n的值．
分析：（1）直接利用同底数幂的乘法运算法则将原式变形求出答案；
（2）直接利用同底数幂的乘法运算法则将原式变形求出答案．
【解答】解：（1）∵10x＝3，10y＝2，
∴代数式103x+4y＝（10x）3×（10y）4
＝33×24
＝432；
（2）∵3m+2n﹣6＝0，
∴3m+2n＝6，
∴8m•4n＝23m•22n＝23m+2n＝26＝64．
13．（2023春•龙岗区校级月考）已知n为正整数，且x2n＝4
（1）求xn﹣3•x3（n+1）的值；
（2）求9（x3n）2﹣13（x2）2n的值．
分析：（1）根据同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则将原式化简为（x2n）2，再把x2n＝4代入进行计算即可；
（2）根据同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则将原式化简为9（x2n）3﹣13（x2n）2，再把x2n＝4代入进行计算即可．
【解答】解：（1）∵x2n＝4，
∴xn﹣3•x3（n+1）＝xn﹣3•x3n+3＝x4n＝（x2n）2＝42＝16；
（2）∵x2n＝4，
∴9（x3n）2﹣13（x2）2n＝9x6n﹣13x4n＝9（x2n）3﹣13（x2n）2＝9×43﹣13×42＝576﹣208＝368．
14．（2023春•高州市期中）（1）已知am＝2，an＝3，求a3m+2n的值；
（2）已知x3＝m，x5＝n，试用含m，n的代数式表示x14．
分析：（1）由a3m+2n＝a3m•a2n＝（am）3•（an）2，即可求得答案；
（2）由x14＝（x3）3•x5，即可求得答案．
【解答】解：（1）∵am＝2，an＝3，
∴a3m+2n＝a3m•a2n＝（am）3•（an）2＝23×32＝72；
（2）∵x3＝m，x5＝n，
∴x14＝（x3）3•x5＝m3n．
15．（2023秋•海珠区校级期中）计算题：
（1）若a2＝5，b4＝10，求（ab2）2；
（2）已知am＝4，an＝4，求am+n的值．
分析：（1）直接利用积的乘方运算法则将原式变形进而得出答案；
（2）直接利用同底数幂的乘法运算法则将原式变形得出答案．
【解答】解：（1）∵a2＝5，b4＝10，
∴（ab2）2＝a2•b4＝5×10＝50；
（2）∵am＝4，an＝4，
∴am+n＝am•an＝4×4＝16．
16．（2023秋•大石桥市期中）完成下列各题．
（1）已知（9a）2＝38，求a的值；
（2）已知am＝3，an＝4，求a2m+n的值为多少．
分析：（1）结合幂的乘方与积的乘方的概念和运算法则进行求解即可；
（2）根据同底数幂的乘法法则进行计算即可．
【解答】解：（1）∵（9a）2＝38，
∴（32a）2＝38，
∴4a＝8，
a＝2；
（2）∵am＝3，an＝4，
∴a2m+n＝a2m•an＝（am）2•an＝32•4＝36．
17．（2023春•高新区期中）（1）已知4x＝2x+3，求x的值；
（2）若a2n＝3，bn=14，求（﹣ab）2n．
分析：根据幂的乘方与积的乘方运算法则解答即可．
【解答】解：（1）∵4x＝22x＝2x+3，
∴2x＝x+3，
∴x＝3；
（2）∵a2n＝3，bn=14，
∴（﹣ab）2n＝（ab）2n＝a2n•b2n＝a2n•（bn）2=3×(14)2=3×116=316．
18．（2023春•金湖县校级月考）已知ax＝3，ay＝2，分别求：
①ax+y的值；
②a3x﹣2y的值．
分析：①根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案；
②根据同底数幂的除法，可得要求的形式，再根据幂的乘方，可得答案．
【解答】解：①ax+y＝ax×ay＝
＝3×2
＝6；
②a3x﹣2y＝a3x÷a2y
＝（ax）3÷（ay）2
＝33÷22
=274．
19．（2023•天津模拟）（1）已知am＝2，an＝3，求①am+n的值；②a3m﹣2n的值
（2）已知2×8x×16＝223，求x的值．
分析：（1）根据同底数幂的乘法法则和除法法则求解即可；
（2）把各个数字化为以2为底数的形式，按照同底数幂的乘法法则，求解即可．
【解答】解：（1）①am+n＝am•an
＝2×3＝6；
②a3m﹣2n＝a3m÷a2n
＝（am）3÷（an）2
＝23÷32
=89；
（2）∵2×8x×16＝223
∴2×（23）x×24＝223，
∴2×23x×24＝223，
∴1+3x+4＝23，
解得：x＝6．
20．（2023•贵阳模拟）小松学习了“同底数幂的除法”后做这样一道题：若（2x﹣1）2x+1＝1，求x的值．小松解答过程如下：解：∵1的任何次幂为1，∴2x﹣1＝1，即x＝1，故（2x﹣1）2x+1＝13＝1，∴x＝1．老师说小松考虑问题不全面，聪明的你能帮助小松解决这个问题吗？请把他的解答补充完整．
分析：分别利用零指数幂的性质和有理数的乘方运算分别讨论得出答案．
【解答】解：（2x﹣1）2x+1＝1，
分三种情况：
①当2x﹣1＝1时，x＝1，
此时（2x﹣1）2x+1＝13＝1，符合题意；
②当2x+1＝0，x=−12，
此时（2x﹣1）2x+1＝（﹣2）0＝1，符合题意；
③当x＝0时，原式＝（﹣1）1＝﹣1，不合题意．
综上所述：x＝1或x=−12．
21．（2023春•南海区校级月考）已知am＝2，an＝5、求下列各式的值：
（1）am+n；
（2）（2am）2；
（3）a3m﹣2n．
分析：（1）根据同底数幂的乘法法则即可求解；
（2）根据幂的乘方与积的乘方法则即可求解；
（3）根据同底数幂的除法法则即可求解．
【解答】解：（1）∵am＝2，an＝5，
∴am+n＝am•an＝2×5＝10；
（2）∵am＝2，
∴（2am）2＝4×（am）2＝4×22＝4×4＝16；
（3）∵am＝2，an＝5，
∴a3m﹣2n
＝a3m÷a2n
＝（am）3÷（an）2
＝23÷52
＝8÷25
=825．
22．（2023秋•巴林左旗期末）（1）若3×27m÷9m＝316，求m的值；
（2）已知ax＝﹣2，ay＝3，求a3x﹣2y的值；
（3）若n为正整数，且x2n＝4，求（3x2n）2﹣4（x2）2n的值．
分析：（1）把代数式化为同底数幂的除法，再进行计算即可；
（2）先求出a3x与a2y的值，再进行计算即可；
（3）先把题中（x2）2n化为（x2n）2，再把x2n＝4代入进行计算即可．
【解答】解：（1）∵3×27m÷9m＝316，
∴3×33m÷32m＝316，
∴33m+1﹣2m＝316，
∴3m﹣2m+1＝16，解得m＝15；
（2）∵ax＝﹣2，ay＝3，
∴a3x＝﹣8，a2y＝9，
∴a3x﹣2y＝a3x÷a2y＝（﹣8）÷9=−89；
（3）∵x2n＝4，
∴（3x2n）2﹣4（x2）2n
＝（3x2n）2﹣4（x2n）2
＝（3×4）2﹣4×42
＝122﹣4×16
＝144﹣64
＝80．
23．（2023秋•永春县期中）（1）若2x＝3，2y＝5，则2x+y＝ 15 ．
（2）已知ax＝5，ax+y＝25，求ax+ay的值．
（2）已知x2a+b•x3a﹣b•xa＝x12，求﹣a100+2101的值．
分析：（1）根据同底数幂的乘法法则解决此题．
（2）根据同底数幂的乘法法则解决此题．
（3）根据同底数幂的乘法法则解决此题．
【解答】解：（1）∵2x＝3，2y＝5，
∴2x+y＝2x•2y＝3×5＝15．
故答案为：15．
（2）∵ax＝5，
∴ax+y＝ax•ay＝5ay＝25．
∴ay＝5．
∴ax+ay＝5+5＝10．
（3）∵x2a+b•x3a﹣b•xa＝x12，
∴x6a＝x12．
∴6a＝12．
∴a＝2．
∴﹣a100+2101＝﹣2100+2101＝﹣2100+2×2100＝2100．
24．（2023春•泰山区校级月考）计算下列各式：
（1）（﹣x）3•（﹣x）2﹣m3•m2•（﹣m）3；
（2）已知2x＝3，2y＝4，求2x+y的值．
分析：（1）根据同底数幂计算法则进行计算即可；
（2）先将2x+y转化为2x•2y，然后将2x＝3，2y＝4代入即可得出答案．
【解答】解：（1）原式＝﹣x3•x2﹣m5•（﹣m3）
＝﹣x5+m8；
（2）∵2x＝3，2y＝4，
∴2x+y＝2x•2y＝3×4＝12．
25．（2023春•贾汪区校级月考）规定a*b＝3a×3b，求：
（1）求1*2；
（2）若2*（x+1）＝81，求x的值．
分析：（1）根据所规定的运算进行作答即可；
（2）根据所规定的运算进行作答即可．
【解答】解：（1）∵a*b＝3a×3b，
∴1*2
＝31×32
＝3×9
＝27；
（2）∵2*（x+1）＝81，
∴32×3x+1＝34，
则2+x+1＝4，
解得：x＝1．
26．（2023秋•曲阜市期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．
例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：
（5，125）＝ 3 ，（﹣2，4）＝ 2 ，（﹣2，1）＝ 0 ；
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）＝（3，4），他给出了如下的证明：
设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n
∴3x＝4，即（3，4）＝x，
∴（3n，4n）＝（3，4）．
请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由．
（4，7）+（4，8）＝（4，56）．
分析：（1）根据新定义运算结合有理数乘方运算法则进行分析求解；
（2）根据新定义运算，结合同底数幂的乘法运算法则进行分析计算．
【解答】解：（1）∵53＝125，（﹣2）2＝4，（﹣2）0＝1，
∴（5，125）＝3，（﹣2，4）＝2，（﹣2，1）＝0，
故答案为：3、2、0；
（2）设（4，7）＝x，（4，8）＝y，
∴4x＝7，4y＝8，
∴4x•4y＝7×8＝56，
∵4x•4y＝4x+y，
∴4x+y＝56，
∴（4，56）＝x+y，
即（4，7）+（4，8）＝（4，56）．
∴等式成立．
27．（2023秋•海淀区校级期中）在学习平方根的过程中，同学们总结出：在ax＝N中，已知底数a和指数x，求幂N的运算是乘方运算；已知幂N和指数x，求底数a的运算是开方运算，小明提出一个问题：“如果已知底数a和幂N，求指数x是否也对应着一种运算呢？”老师首先肯定了小明善于思考，继而告诉大家这是同学们进入高中将继续学习的对数，感兴趣的同学可以课下自主探究．小明课后借助网络查到了对数的定义：如果N＝ax（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数（lgarithm），记作：x＝lgaN，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．小明根据对数的定义，尝试进行了下列探究：
（1）∵21＝2，∴lg22＝1；∵22＝4，∴lg24＝2；∵23＝8，∴lg28＝3；∵24＝16，∴lg216＝ 4 ；计算：lg232＝ 5 ；
（2）计算后小明观察（1）中各个对数的真数和对数的值，发现一些对数之间有关系，例如：lg24+lg28＝ lg232 ；（用对数表示结果）
（3）于是他猜想：lgaM+lgaN＝ lgaMN （a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），请你将小明的探究过程补充完整，并证明他的猜想．
（4）根据之前的探究，直接写出lgaM﹣lgaN＝ MN ．
分析：（1）根据对数与乘方之间的关系求解可得结论；
（2）利用对数的定义求解可得结论；
（3）根据所得结论进行推导可得结论；
（4）根据之前的探究，可得lgaM﹣lgaN=MN．
【解答】解：（1）∵24＝16，
∴lg216＝4；
∵25＝32，
∴lg232＝5；
故答案为：4，5；
（2）lg24+lg28＝2+3＝5＝lg232，
故答案为：lg232；
（3）lgaM+lgaN＝lgaMN，
验证：设lgaM＝x，lgaN＝y，则ax＝M，ay＝N，
∴ax▪ay＝ax+y＝MN，
∴lgaax+y=lgaMN＝x+y，
∴lgaMN＝lgaM+lgaN，
故答案为：lgaMN；
（4）根据之前的探究，可得lgaM﹣lgaN=MN．
故答案为：MN．
28．（2023秋•鲤城区校级期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：f（m）•f（n）＝f（m+n）（其中m、n为正整数）．
例如，若f（3）＝2，则f（6）＝f（3+3）＝f（3）•f（3）＝2×2＝4．f（9）＝f（3+3+3）＝f（3）•f（3）•f（3）＝2×2×2＝8．
（1）若f（2）＝5，
①填空：f（6）＝ 125 ；
②当f（2n）＝25，求n的值；
（2）若f（a）＝3，化简：f（a）•f（2a）•f（3a）•…•f（10a）．
分析：（1）①根据新的运算，再将相应的值代入运算即可；
②根据新的运算，再将相应的值代入运算即可；
（2）结合新的运算，利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可．
【解答】解：（1）①∵f（2）＝5，
∴f（6）＝f（2+2+2）
＝f（2）•f（2）•f（2）
＝5×5×5
＝125；
故答案为：125；
②∵25＝5×5
＝f（2）•f（2）
＝f（2+2），
f（2n）＝25，
∴f（2n）＝f（2+2），
∴2n＝4，
∴n＝2；
（2）∵f（2a）
＝f（a+a）
＝f（a）•f（a）
＝3×3
＝31+1
＝32，
f（3a）
＝f（a+a+a）
＝f（a）•f（a）•f（a）
＝3×3×3
＝31+1+1
＝33，
…，
f（10a）＝310，
∴f（a）•f（2a）•f（3a）•…•f（10a）
＝3×32×33×…×310
＝31+2+3+…+10
＝355．
29．（2023春•定远县校级期末）对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：x＝lgaN，比如指数式24＝16可转化为4＝lg216，对数式2＝lg525互转化为52＝25．
我们根据对数的定义可得对数的一个性质：lga（M•N）＝lgaM+lgaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）
解决以下问题：
（1）将指数43＝64转化为对数式 3＝lg464 ；
（2）试说明lgaMN=lgaM−lgaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；
（3）拓展运用：计算lg32+lg36﹣lg34＝ 1 ．
分析：（1）根据对数的定义转化即可；
（2）设设lgaM＝m，lgaN＝n，转化成指数式M＝am，N＝an，根据同底数幂除法的运算法则可得MN=am÷an＝am﹣n，再转化成对数形式即可；
（3）根据对数的定义计算即可．
【解答】解：（1）指数43＝64转化为对数式3＝lg464，
故答案为：3＝lg464；
（2）设lgaM＝m，lgaN＝n，
则M＝am，N＝an，
∴MN=am÷an＝am﹣n，
∴m﹣n=lgaMN
∴lgaMN=lgaM﹣lgaN；
（3）lg32+lg36﹣lg34
＝lg32×6÷4
＝lg33
＝1．
故答案为：1．
30．（2023春•兴化市校级月考）定义：如果2m＝n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D（n）．
（1）根据D数的定义，填空：D（2）＝ 1 ，D（16）＝ 4 ．
（2）D数有如下运算性质：D（s•t）＝D（s）+D（t），D（qp）＝D（q）﹣D（p），其中q＞p．
根据运算性质，计算：
①若D（a）＝1，求D（a3）；
②若已知D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+c，试求D（30），D(2512)的值（用含a、b、c的代数式表示）．
分析：本题属于阅读题，根据给出的定义进行运算或化简．
【解答】解：（1）∵21＝2，
∴D（2）＝1，
∵24＝16，
∴D（16）＝4，
故答案为：1，4；
（2）①∵D（a）＝1，
∴D（a3）
＝D（a•a•a）
＝D（a）+D（a）+D（a）
＝3；
②∵D（2）＝1，D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+c，
∴D（30）
＝D（2×3×5）
＝D（2）+D（3）+D（5）
＝1+2a﹣b+a+c
＝3a﹣b+c+1，
∴D(2512)
＝D（25）﹣D（12）
＝2D（5）﹣2D（2）﹣D（3）
＝2（a+c）﹣2×1﹣（2a﹣b）
＝b+2c﹣2．