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北师大版七年级数学下册专题1.2幂的乘方与积的乘方专项提升训练(重难点培优)(原卷版+解析)
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这是一份北师大版七年级数学下册专题1.2幂的乘方与积的乘方专项提升训练(重难点培优)(原卷版+解析)，共13页。
注意事项：
本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023秋•苍溪县期末）x7可以表示为（ ）
A．x3+x4B．（x3）4C．x9﹣x2D．x3⋅x4
2．下列各题的计算，正确的是（ ）
A．（a5）3＝a15B．a5•a2＝a10
C．2a3﹣4a2＝﹣2aD．（﹣ab2）3＝a3b6
3．（2023秋•景谷县期中）计算（35）2022×（53）2023的结果为（ ）
A．−35B．35C．53D．−53
4．（2023秋•沙坪坝区校级月考）计算﹣（3x3）2的结果是（ ）
A．9x5B．9x6C．﹣9x5D．﹣9x6
5．（2023春•宁远县月考）若（xayb）3＝x6y15，则a，b的值分别为（ ）
A．2，5B．3，12C．5，2D．12，3
6．（2023秋•方城县期中）已知，a＝255，b＝344，c＝433，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．b＞c＞aB．a＞b＞cC．c＞a＞bD．c＞b＞a
7．（2023秋•辉县市校级月考）若k为正整数，则(k+k+k+⋯+k)k︸k个k=（ ）
A．k2kB．k2k+1C．2kkD．k2+k
8．（2023秋•安岳县期末）若xm＝3，xn＝2，则x2m+n的值是（ ）
A．11B．12C．18D．36
9．（2023秋•昭阳区校级期末）已知100a＝20，1000b＝50，则a+32b−32的值是（ ）
A．0B．52C．3D．92
10．（2023秋•柘城县期末）若m+2n＝3，则2m•4n的值等于（ ）
A．16B．9C．8D．6
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．（2023春•东台市月考）计算：（n3）2＝ ．
12．（2023春•宁远县月考）﹣x•（﹣x）4＝ ，（﹣3a2b3）3＝ ．
13．（2023秋•金山区期末）已知10n＝3，且10m＝4，则102m+n＝ ．
14．（2023秋•长宁区校级期中）计算：（﹣0.25）2019×42019＝ ．
15．（2023秋•密山市校级期末）如果10m＝a，10n＝b，则102m+n＝ ．
16．（2023秋•越秀区校级月考）已知10a＝20，100b＝50，则a+2b+2的值是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
（1）23×22+2×24；
（2）x5•x3﹣x4•x4+x7•x+x2•x6；
（3）（﹣x）9•x5•（﹣x）5•（﹣x）3．
18．计算：
（1）（﹣a）2•a3；
（2）xn•xn+1+x2n•x（n是正整数）；
（3）﹣a2•a4+（a2）3．
19．（1）（﹣2）10×（﹣2）13；
（2）a•a4•a5；
（3）x2•（﹣x）6；
（4）（﹣a3）•a3•（﹣a）．
20．（2023春•会宁县期末）根据已知求值：
（1）已知am＝2，an＝5，求a3m+2n的值；
（2）已知3×9m×27m＝321，求m的值．
21．（2023秋•江北区校级期中）（1）若10x＝3，10y＝2，求代数式103x+4y的值．
（2）已知：3m+2n﹣6＝0，求8m•4n的值．
22．（2023秋•思明区校级期中）基本事实：若am＝an（a＞0，且a≠1，m、n都是正整数），则m＝n．试利用上述基本事实解决下面的两个问题吗？试试看，相信你一定行！
①如果2×8x×16x＝222，求x的值；
②如果2x+2+2x+1＝24，求x的值．
23．（2023春•郏县期末）阅读下列材料：
若a3＝2，b5＝3，则a，b的大小关系是a b（填“＜”或“＞”）．
解：因为a15＝（a3）5＝25＝32，b15＝（b5）3＝33＝27，32＞27，所以a15＞b15，
所以a＞b．
解答下列问题：
（1）上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质
A．同底数幂的乘法
B．同底数幂的除法
C．幂的乘方
D．积的乘方
（2）已知x7＝2，y9＝3，试比较x与y的大小．
24．（2023春•秦淮区期中）规定两数a，b之间的一种运算记作a※b，如果ac＝b，那么a※b＝c．例如：因为32＝9，所以3※9＝2．
（1）根据上述规定，填空：2※16＝ ， ※36＝﹣2；
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：3n※4n＝3※4，小明给出了如下的证明；
设3n※4n＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，
所以3x＝4，即3※4＝x，
所以3n※4n＝3※4．
请你尝试运用这种方法解决下列问题：
①证明：5※7+5※9＝5※63；
②猜想：（x﹣2）n※（y+1）n+（x﹣2）n※（y﹣3）n＝ ※ （结果化成最简形式）．
【拔尖特训】2023-2024学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【北师大版】
专题1.2幂的乘方与积的乘方专项提升训练（重难点培优）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023秋•苍溪县期末）x7可以表示为（ ）
A．x3+x4B．（x3）4C．x9﹣x2D．x3⋅x4
分析：A．应用合并同类项法则进行计算即可得出答案；
B．应用幂的乘方法则进行计算即可得出答案；
C．应用合并同类项法则进行计算即可得出答案；
D．应用同底数幂乘法法则进行计算即可得出答案．
【解答】解：A．因为x3与x4不是同类项，所以A选项不能合并，故A选项不符合题意；
B．因为（x3）4＝x3×4＝x12，x12≠x7，故B选项不符合题意；
C．因为x9与x2不是同类项，所以C选项不能合并，故C选项不符合题意；
D．因为x3•x4＝x3+4＝x7，故D选项符合题意．
故选：D．
2．下列各题的计算，正确的是（ ）
A．（a5）3＝a15B．a5•a2＝a10
C．2a3﹣4a2＝﹣2aD．（﹣ab2）3＝a3b6
分析：利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、（a5）3＝a15，故A符合题意；
B、a5•a2＝a7，故B不符合题意；
C、2a3与﹣4a2不属于同类项，不能合并，故C不符合题意；
D、（﹣ab2）3＝﹣a3b6，故D不符合题意；
故选：A．
3．（2023秋•景谷县期中）计算（35）2022×（53）2023的结果为（ ）
A．−35B．35C．53D．−53
分析：利用积的乘方的法则进行运算即可．
【解答】解：（35）2022×（53）2023
＝（35）2022×（53）2022×53
＝（35×53）2022×53
＝12022×53
＝1×53
=53．
故选：C．
4．（2023秋•沙坪坝区校级月考）计算﹣（3x3）2的结果是（ ）
A．9x5B．9x6C．﹣9x5D．﹣9x6
分析：利用积的乘方的法则进行运算即可．
【解答】解：﹣（3x3）2＝﹣9x6．
故选：D．
5．（2023春•宁远县月考）若（xayb）3＝x6y15，则a，b的值分别为（ ）
A．2，5B．3，12C．5，2D．12，3
分析：利用幂的乘方与积的乘方的运算法则，进行计算即可解答．
【解答】解：∵（xayb）3＝x6y15，
∴x3ay3b＝x6y15，
∴3a＝6，3b＝15，
∴a＝2，b＝5，
故选：A．
6．（2023秋•方城县期中）已知，a＝255，b＝344，c＝433，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．b＞c＞aB．a＞b＞cC．c＞a＞bD．c＞b＞a
分析：利用幂的乘方的法则把各数的指数转为一样，再比较底数即可．
【解答】解：∵a＝255＝（25）11＝3211，
b＝344＝（34）11＝8111，
c＝433＝（43）11＝6411，
则8111＞6411＞3211，
∴b＞c＞a．
故选：A．
7．（2023秋•辉县市校级月考）若k为正整数，则(k+k+k+⋯+k)k︸k个k=（ ）
A．k2kB．k2k+1C．2kkD．k2+k
分析：根据乘法的定义以及幂的乘方与积的乘方的计算方法进行计算即可．
【解答】解：原式＝（k×k）k＝（k2）k＝k2k，
故选：A．
8．（2023秋•安岳县期末）若xm＝3，xn＝2，则x2m+n的值是（ ）
A．11B．12C．18D．36
分析：利用同底数幂的乘法和幂的乘方的法则进行求解即可．
【解答】解：∵xm＝3，xn＝2，
∴x2m+n＝x2m•xn＝（xm）2•xn＝32×2＝18．
故选：C．
9．（2023秋•昭阳区校级期末）已知100a＝20，1000b＝50，则a+32b−32的值是（ ）
A．0B．52C．3D．92
分析：利用幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可得出答案．
【解答】解：∵100a＝20，1000b＝50，
∴（102）a•（103）b＝20×50，
∴102a•103b＝1000，
∴102a+3b＝103，
∴2a+3b＝3，
∴a+32b=32，
∴a+32b−32=0．，
故选：A．
10．（2023秋•柘城县期末）若m+2n＝3，则2m•4n的值等于（ ）
A．16B．9C．8D．6
分析：先把2m•4n化为2m+2n，再把m+2n＝3代入计算．
【解答】解：∵2m•4n
＝2m•22n
＝2m+2n，
∵m+2n＝3，
∴原式＝23＝8，
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．（2023春•东台市月考）计算：（n3）2＝ n6 ．
分析：根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，进而得出答案．
【解答】解：（n3）2＝n6．
故答案为：n6．
12．（2023春•宁远县月考）﹣x•（﹣x）4＝ ﹣x5 ，（﹣3a2b3）3＝ ﹣27a6b9 ．
分析：利用幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法的法则，进行计算即可解答．
【解答】解：﹣x•（﹣x）4
＝﹣x•x4
＝﹣x5；
（﹣3a2b3）3＝﹣27a6b9；
故答案为：﹣x5；﹣27a6b9．
13．（2023秋•金山区期末）已知10n＝3，且10m＝4，则102m+n＝ 48 ．
分析：运用同底数幂的乘法和幂的乘方把原式化成已知代数式的形式，然后代值计算便可．
【解答】解：∵10n＝3，10m＝4，
∴102m+n＝102m×10n＝（10m）2×10n＝42×3＝16×3＝48，
故答案为：48．
14．（2023秋•长宁区校级期中）计算：（﹣0.25）2019×42019＝ ﹣1 ．
分析：利用积的乘方的法则进行运算即可．
【解答】解：（﹣0.25）2019×42019
＝（﹣0.25×4）2019
＝（﹣1）2019
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
15．（2023秋•密山市校级期末）如果10m＝a，10n＝b，则102m+n＝ a2b ．
分析：将102m+n转化为102m•10n，直接解答．
【解答】解：102m+n＝102m•10n＝a2b，
故答案为：a2b．
16．（2023秋•越秀区校级月考）已知10a＝20，100b＝50，则a+2b+2的值是 5 ．
分析：根据幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可．
【解答】解：∵10a＝20，100b＝50，
∴10a•100b＝20×50，
10a•（102）b＝1000，
10a•102b＝103，
10a+2b＝103，
∴a+2b＝3，
∴a+2b+2＝5，
故答案为：5．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
（1）23×22+2×24；
（2）x5•x3﹣x4•x4+x7•x+x2•x6；
（3）（﹣x）9•x5•（﹣x）5•（﹣x）3．
分析：（1）（2）根据同底数幂的乘法法则计算，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
（3）根据积的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则计算，积的乘方，等于每个因式乘方的积．
【解答】解：（1）原式＝25+25
＝2×25
＝26
＝64；
（2）原式＝x8﹣x8+x8+x8
＝2x8；
（3）原式＝﹣x9•x5•（﹣x5）•（﹣x3）
＝﹣x9•x5•x5•x3
＝﹣x22．
18．计算：
（1）（﹣a）2•a3；
（2）xn•xn+1+x2n•x（n是正整数）；
（3）﹣a2•a4+（a2）3．
分析：（1）根据幂的乘方和同底数幂的乘法可以解答本题；
（2）根据同底数幂的乘法和合并同类项即可解答本题；
（3）根据幂的乘方和同底数幂的乘法可以解答本题．
【解答】解：（1）（﹣a）2•a3
＝a2•a3
＝a5；
（2）xn•xn+1+x2n•x（n是正整数）
＝x2n+1+x2n+1
＝2x2n+1；
（3）﹣a2•a4+（a2）3
＝﹣a6+a6
＝0．
19．（1）（﹣2）10×（﹣2）13；
（2）a•a4•a5；
（3）x2•（﹣x）6；
（4）（﹣a3）•a3•（﹣a）．
分析：（1）直接利用同底数幂的乘法运算法则求出答案；
（2）直接利用同底数幂的乘法运算法则求出答案；
（3）直接利用同底数幂的乘法运算法则求出答案；
（4）直接利用同底数幂的乘法运算法则求出答案．
【解答】解：（1）（﹣2）10×（﹣2）13＝（﹣2）23＝﹣223；
（2）a•a4•a5＝a10；
（3）x2•（﹣x）6＝x8；
（4）（﹣a3）•a3•（﹣a）＝a7．
20．（2023春•会宁县期末）根据已知求值：
（1）已知am＝2，an＝5，求a3m+2n的值；
（2）已知3×9m×27m＝321，求m的值．
分析：（1）先根据同底数幂乘法的逆运算将a3m+2n变形为a3m•a2n，根据已知条件，再分别将a3m＝（am）3，a2n＝（an）2，最后代入计算即可；
（2）将已知等式的左边化为3的幂的形式，则对应指数相等，可列关于m的方程，解出即可．
【解答】解：（1）a3m+2n＝（am）3•（an）2＝23×52＝200；
（2）∵3×9m×27m＝321，
∴3×32m×33m＝321，
31+5m＝321，
∴1+5m＝21，
m＝4．
21．（2023秋•江北区校级期中）（1）若10x＝3，10y＝2，求代数式103x+4y的值．
（2）已知：3m+2n﹣6＝0，求8m•4n的值．
分析：（1）直接利用同底数幂的乘法运算法则将原式变形求出答案；
（2）直接利用同底数幂的乘法运算法则将原式变形求出答案．
【解答】解：（1）∵10x＝3，10y＝2，
∴代数式103x+4y＝（10x）3×（10y）4
＝33×24
＝432；
（2）∵3m+2n﹣6＝0，
∴3m+2n＝6，
∴8m•4n＝23m•22n＝23m+2n＝26＝64．
22．（2023秋•思明区校级期中）基本事实：若am＝an（a＞0，且a≠1，m、n都是正整数），则m＝n．试利用上述基本事实解决下面的两个问题吗？试试看，相信你一定行！
①如果2×8x×16x＝222，求x的值；
②如果2x+2+2x+1＝24，求x的值．
分析：①根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则把原式变形为21+7x＝222，得出1+7x＝22，求解即可；
②把2x+2+2x+1变形为2x（22+2），得出2x＝4，求解即可．
【解答】解：①∵2×8x×16x＝2×23x×24x＝21+3x+4x＝21+7x＝222，
∴1+7x＝22，
∴x＝3；
②∵2x+2+2x+1＝24，
∴2x（22+2）＝24，
∴2x＝4，
∴x＝2．
23．（2023春•郏县期末）阅读下列材料：
若a3＝2，b5＝3，则a，b的大小关系是a ＞ b（填“＜”或“＞”）．
解：因为a15＝（a3）5＝25＝32，b15＝（b5）3＝33＝27，32＞27，所以a15＞b15，
所以a＞b．
解答下列问题：
（1）上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质 C
A．同底数幂的乘法
B．同底数幂的除法
C．幂的乘方
D．积的乘方
（2）已知x7＝2，y9＝3，试比较x与y的大小．
分析：（1）根据幂的乘方进行解答即可；
（2）根据题目所给的求解方法，进行比较．
【解答】解：∵a15＝（a3）5＝25＝32，b15＝（b5）3＝33＝27，32＞27，所以a15＞b15，
所以a＞b，故答案为：＞；
（1）上述求解过程中，逆用了幂的乘方，故选C；
（2）∵x63＝（x7）9＝29＝512，y63＝（y9）7＝37＝2187，2187＞512，
∴x63＜y63，
∴x＜y．
24．（2023春•秦淮区期中）规定两数a，b之间的一种运算记作a※b，如果ac＝b，那么a※b＝c．例如：因为32＝9，所以3※9＝2．
（1）根据上述规定，填空：2※16＝ 4 ， ±16 ※36＝﹣2；
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：3n※4n＝3※4，小明给出了如下的证明；
设3n※4n＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，
所以3x＝4，即3※4＝x，
所以3n※4n＝3※4．
请你尝试运用这种方法解决下列问题：
①证明：5※7+5※9＝5※63；
②猜想：（x﹣2）n※（y+1）n+（x﹣2）n※（y﹣3）n＝ （x﹣2） ※ [（y+1）（y﹣3）] （结果化成最简形式）．
分析：（1）利用新定义，直接求得即可；
（2）①设间接未知数，利用新定义推导即可；
②利用前面的结论，直接运算即可．
【解答】解：（1）∵2c＝16＝24，
∴2※16＝4，
∵a※36＝﹣2，
∴a﹣2＝36，
∴a﹣2＝（±6）2=(±16)−2，
∴a＝±16．
（2）①∵设5※7＝x，5※9＝y，
∴5x＝7，5y＝9，
∴5x×5y＝7×9＝63，
∴5x+y＝63，
∴5※63＝x+y，
即5※7+5※9＝5※63；
②∵3n※4n＝3※4，
∴（x﹣2）n※（y+1）n+（x﹣2）n※（y﹣3）n
＝（x﹣2）※（y+1）+（x﹣2）※（y﹣3）
＝（x﹣2）※[（y+1）（y﹣3）]．
故答案为：（1）4，±16；（2）①证明见解析；②（x﹣2），[（y+1）（y﹣3）]．16；（2）①证明见解析；②（x﹣2），[（y+1）（y﹣3）]．
注意事项：
本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023秋•苍溪县期末）x7可以表示为（ ）
A．x3+x4B．（x3）4C．x9﹣x2D．x3⋅x4
2．下列各题的计算，正确的是（ ）
A．（a5）3＝a15B．a5•a2＝a10
C．2a3﹣4a2＝﹣2aD．（﹣ab2）3＝a3b6
3．（2023秋•景谷县期中）计算（35）2022×（53）2023的结果为（ ）
A．−35B．35C．53D．−53
4．（2023秋•沙坪坝区校级月考）计算﹣（3x3）2的结果是（ ）
A．9x5B．9x6C．﹣9x5D．﹣9x6
5．（2023春•宁远县月考）若（xayb）3＝x6y15，则a，b的值分别为（ ）
A．2，5B．3，12C．5，2D．12，3
6．（2023秋•方城县期中）已知，a＝255，b＝344，c＝433，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．b＞c＞aB．a＞b＞cC．c＞a＞bD．c＞b＞a
7．（2023秋•辉县市校级月考）若k为正整数，则(k+k+k+⋯+k)k︸k个k=（ ）
A．k2kB．k2k+1C．2kkD．k2+k
8．（2023秋•安岳县期末）若xm＝3，xn＝2，则x2m+n的值是（ ）
A．11B．12C．18D．36
9．（2023秋•昭阳区校级期末）已知100a＝20，1000b＝50，则a+32b−32的值是（ ）
A．0B．52C．3D．92
10．（2023秋•柘城县期末）若m+2n＝3，则2m•4n的值等于（ ）
A．16B．9C．8D．6
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．（2023春•东台市月考）计算：（n3）2＝ ．
12．（2023春•宁远县月考）﹣x•（﹣x）4＝ ，（﹣3a2b3）3＝ ．
13．（2023秋•金山区期末）已知10n＝3，且10m＝4，则102m+n＝ ．
14．（2023秋•长宁区校级期中）计算：（﹣0.25）2019×42019＝ ．
15．（2023秋•密山市校级期末）如果10m＝a，10n＝b，则102m+n＝ ．
16．（2023秋•越秀区校级月考）已知10a＝20，100b＝50，则a+2b+2的值是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
（1）23×22+2×24；
（2）x5•x3﹣x4•x4+x7•x+x2•x6；
（3）（﹣x）9•x5•（﹣x）5•（﹣x）3．
18．计算：
（1）（﹣a）2•a3；
（2）xn•xn+1+x2n•x（n是正整数）；
（3）﹣a2•a4+（a2）3．
19．（1）（﹣2）10×（﹣2）13；
（2）a•a4•a5；
（3）x2•（﹣x）6；
（4）（﹣a3）•a3•（﹣a）．
20．（2023春•会宁县期末）根据已知求值：
（1）已知am＝2，an＝5，求a3m+2n的值；
（2）已知3×9m×27m＝321，求m的值．
21．（2023秋•江北区校级期中）（1）若10x＝3，10y＝2，求代数式103x+4y的值．
（2）已知：3m+2n﹣6＝0，求8m•4n的值．
22．（2023秋•思明区校级期中）基本事实：若am＝an（a＞0，且a≠1，m、n都是正整数），则m＝n．试利用上述基本事实解决下面的两个问题吗？试试看，相信你一定行！
①如果2×8x×16x＝222，求x的值；
②如果2x+2+2x+1＝24，求x的值．
23．（2023春•郏县期末）阅读下列材料：
若a3＝2，b5＝3，则a，b的大小关系是a b（填“＜”或“＞”）．
解：因为a15＝（a3）5＝25＝32，b15＝（b5）3＝33＝27，32＞27，所以a15＞b15，
所以a＞b．
解答下列问题：
（1）上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质
A．同底数幂的乘法
B．同底数幂的除法
C．幂的乘方
D．积的乘方
（2）已知x7＝2，y9＝3，试比较x与y的大小．
24．（2023春•秦淮区期中）规定两数a，b之间的一种运算记作a※b，如果ac＝b，那么a※b＝c．例如：因为32＝9，所以3※9＝2．
（1）根据上述规定，填空：2※16＝ ， ※36＝﹣2；
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：3n※4n＝3※4，小明给出了如下的证明；
设3n※4n＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，
所以3x＝4，即3※4＝x，
所以3n※4n＝3※4．
请你尝试运用这种方法解决下列问题：
①证明：5※7+5※9＝5※63；
②猜想：（x﹣2）n※（y+1）n+（x﹣2）n※（y﹣3）n＝ ※ （结果化成最简形式）．
【拔尖特训】2023-2024学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【北师大版】
专题1.2幂的乘方与积的乘方专项提升训练（重难点培优）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023秋•苍溪县期末）x7可以表示为（ ）
A．x3+x4B．（x3）4C．x9﹣x2D．x3⋅x4
分析：A．应用合并同类项法则进行计算即可得出答案；
B．应用幂的乘方法则进行计算即可得出答案；
C．应用合并同类项法则进行计算即可得出答案；
D．应用同底数幂乘法法则进行计算即可得出答案．
【解答】解：A．因为x3与x4不是同类项，所以A选项不能合并，故A选项不符合题意；
B．因为（x3）4＝x3×4＝x12，x12≠x7，故B选项不符合题意；
C．因为x9与x2不是同类项，所以C选项不能合并，故C选项不符合题意；
D．因为x3•x4＝x3+4＝x7，故D选项符合题意．
故选：D．
2．下列各题的计算，正确的是（ ）
A．（a5）3＝a15B．a5•a2＝a10
C．2a3﹣4a2＝﹣2aD．（﹣ab2）3＝a3b6
分析：利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、（a5）3＝a15，故A符合题意；
B、a5•a2＝a7，故B不符合题意；
C、2a3与﹣4a2不属于同类项，不能合并，故C不符合题意；
D、（﹣ab2）3＝﹣a3b6，故D不符合题意；
故选：A．
3．（2023秋•景谷县期中）计算（35）2022×（53）2023的结果为（ ）
A．−35B．35C．53D．−53
分析：利用积的乘方的法则进行运算即可．
【解答】解：（35）2022×（53）2023
＝（35）2022×（53）2022×53
＝（35×53）2022×53
＝12022×53
＝1×53
=53．
故选：C．
4．（2023秋•沙坪坝区校级月考）计算﹣（3x3）2的结果是（ ）
A．9x5B．9x6C．﹣9x5D．﹣9x6
分析：利用积的乘方的法则进行运算即可．
【解答】解：﹣（3x3）2＝﹣9x6．
故选：D．
5．（2023春•宁远县月考）若（xayb）3＝x6y15，则a，b的值分别为（ ）
A．2，5B．3，12C．5，2D．12，3
分析：利用幂的乘方与积的乘方的运算法则，进行计算即可解答．
【解答】解：∵（xayb）3＝x6y15，
∴x3ay3b＝x6y15，
∴3a＝6，3b＝15，
∴a＝2，b＝5，
故选：A．
6．（2023秋•方城县期中）已知，a＝255，b＝344，c＝433，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．b＞c＞aB．a＞b＞cC．c＞a＞bD．c＞b＞a
分析：利用幂的乘方的法则把各数的指数转为一样，再比较底数即可．
【解答】解：∵a＝255＝（25）11＝3211，
b＝344＝（34）11＝8111，
c＝433＝（43）11＝6411，
则8111＞6411＞3211，
∴b＞c＞a．
故选：A．
7．（2023秋•辉县市校级月考）若k为正整数，则(k+k+k+⋯+k)k︸k个k=（ ）
A．k2kB．k2k+1C．2kkD．k2+k
分析：根据乘法的定义以及幂的乘方与积的乘方的计算方法进行计算即可．
【解答】解：原式＝（k×k）k＝（k2）k＝k2k，
故选：A．
8．（2023秋•安岳县期末）若xm＝3，xn＝2，则x2m+n的值是（ ）
A．11B．12C．18D．36
分析：利用同底数幂的乘法和幂的乘方的法则进行求解即可．
【解答】解：∵xm＝3，xn＝2，
∴x2m+n＝x2m•xn＝（xm）2•xn＝32×2＝18．
故选：C．
9．（2023秋•昭阳区校级期末）已知100a＝20，1000b＝50，则a+32b−32的值是（ ）
A．0B．52C．3D．92
分析：利用幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可得出答案．
【解答】解：∵100a＝20，1000b＝50，
∴（102）a•（103）b＝20×50，
∴102a•103b＝1000，
∴102a+3b＝103，
∴2a+3b＝3，
∴a+32b=32，
∴a+32b−32=0．，
故选：A．
10．（2023秋•柘城县期末）若m+2n＝3，则2m•4n的值等于（ ）
A．16B．9C．8D．6
分析：先把2m•4n化为2m+2n，再把m+2n＝3代入计算．
【解答】解：∵2m•4n
＝2m•22n
＝2m+2n，
∵m+2n＝3，
∴原式＝23＝8，
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．（2023春•东台市月考）计算：（n3）2＝ n6 ．
分析：根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，进而得出答案．
【解答】解：（n3）2＝n6．
故答案为：n6．
12．（2023春•宁远县月考）﹣x•（﹣x）4＝ ﹣x5 ，（﹣3a2b3）3＝ ﹣27a6b9 ．
分析：利用幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法的法则，进行计算即可解答．
【解答】解：﹣x•（﹣x）4
＝﹣x•x4
＝﹣x5；
（﹣3a2b3）3＝﹣27a6b9；
故答案为：﹣x5；﹣27a6b9．
13．（2023秋•金山区期末）已知10n＝3，且10m＝4，则102m+n＝ 48 ．
分析：运用同底数幂的乘法和幂的乘方把原式化成已知代数式的形式，然后代值计算便可．
【解答】解：∵10n＝3，10m＝4，
∴102m+n＝102m×10n＝（10m）2×10n＝42×3＝16×3＝48，
故答案为：48．
14．（2023秋•长宁区校级期中）计算：（﹣0.25）2019×42019＝ ﹣1 ．
分析：利用积的乘方的法则进行运算即可．
【解答】解：（﹣0.25）2019×42019
＝（﹣0.25×4）2019
＝（﹣1）2019
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
15．（2023秋•密山市校级期末）如果10m＝a，10n＝b，则102m+n＝ a2b ．
分析：将102m+n转化为102m•10n，直接解答．
【解答】解：102m+n＝102m•10n＝a2b，
故答案为：a2b．
16．（2023秋•越秀区校级月考）已知10a＝20，100b＝50，则a+2b+2的值是 5 ．
分析：根据幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可．
【解答】解：∵10a＝20，100b＝50，
∴10a•100b＝20×50，
10a•（102）b＝1000，
10a•102b＝103，
10a+2b＝103，
∴a+2b＝3，
∴a+2b+2＝5，
故答案为：5．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
（1）23×22+2×24；
（2）x5•x3﹣x4•x4+x7•x+x2•x6；
（3）（﹣x）9•x5•（﹣x）5•（﹣x）3．
分析：（1）（2）根据同底数幂的乘法法则计算，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
（3）根据积的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则计算，积的乘方，等于每个因式乘方的积．
【解答】解：（1）原式＝25+25
＝2×25
＝26
＝64；
（2）原式＝x8﹣x8+x8+x8
＝2x8；
（3）原式＝﹣x9•x5•（﹣x5）•（﹣x3）
＝﹣x9•x5•x5•x3
＝﹣x22．
18．计算：
（1）（﹣a）2•a3；
（2）xn•xn+1+x2n•x（n是正整数）；
（3）﹣a2•a4+（a2）3．
分析：（1）根据幂的乘方和同底数幂的乘法可以解答本题；
（2）根据同底数幂的乘法和合并同类项即可解答本题；
（3）根据幂的乘方和同底数幂的乘法可以解答本题．
【解答】解：（1）（﹣a）2•a3
＝a2•a3
＝a5；
（2）xn•xn+1+x2n•x（n是正整数）
＝x2n+1+x2n+1
＝2x2n+1；
（3）﹣a2•a4+（a2）3
＝﹣a6+a6
＝0．
19．（1）（﹣2）10×（﹣2）13；
（2）a•a4•a5；
（3）x2•（﹣x）6；
（4）（﹣a3）•a3•（﹣a）．
分析：（1）直接利用同底数幂的乘法运算法则求出答案；
（2）直接利用同底数幂的乘法运算法则求出答案；
（3）直接利用同底数幂的乘法运算法则求出答案；
（4）直接利用同底数幂的乘法运算法则求出答案．
【解答】解：（1）（﹣2）10×（﹣2）13＝（﹣2）23＝﹣223；
（2）a•a4•a5＝a10；
（3）x2•（﹣x）6＝x8；
（4）（﹣a3）•a3•（﹣a）＝a7．
20．（2023春•会宁县期末）根据已知求值：
（1）已知am＝2，an＝5，求a3m+2n的值；
（2）已知3×9m×27m＝321，求m的值．
分析：（1）先根据同底数幂乘法的逆运算将a3m+2n变形为a3m•a2n，根据已知条件，再分别将a3m＝（am）3，a2n＝（an）2，最后代入计算即可；
（2）将已知等式的左边化为3的幂的形式，则对应指数相等，可列关于m的方程，解出即可．
【解答】解：（1）a3m+2n＝（am）3•（an）2＝23×52＝200；
（2）∵3×9m×27m＝321，
∴3×32m×33m＝321，
31+5m＝321，
∴1+5m＝21，
m＝4．
21．（2023秋•江北区校级期中）（1）若10x＝3，10y＝2，求代数式103x+4y的值．
（2）已知：3m+2n﹣6＝0，求8m•4n的值．
分析：（1）直接利用同底数幂的乘法运算法则将原式变形求出答案；
（2）直接利用同底数幂的乘法运算法则将原式变形求出答案．
【解答】解：（1）∵10x＝3，10y＝2，
∴代数式103x+4y＝（10x）3×（10y）4
＝33×24
＝432；
（2）∵3m+2n﹣6＝0，
∴3m+2n＝6，
∴8m•4n＝23m•22n＝23m+2n＝26＝64．
22．（2023秋•思明区校级期中）基本事实：若am＝an（a＞0，且a≠1，m、n都是正整数），则m＝n．试利用上述基本事实解决下面的两个问题吗？试试看，相信你一定行！
①如果2×8x×16x＝222，求x的值；
②如果2x+2+2x+1＝24，求x的值．
分析：①根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则把原式变形为21+7x＝222，得出1+7x＝22，求解即可；
②把2x+2+2x+1变形为2x（22+2），得出2x＝4，求解即可．
【解答】解：①∵2×8x×16x＝2×23x×24x＝21+3x+4x＝21+7x＝222，
∴1+7x＝22，
∴x＝3；
②∵2x+2+2x+1＝24，
∴2x（22+2）＝24，
∴2x＝4，
∴x＝2．
23．（2023春•郏县期末）阅读下列材料：
若a3＝2，b5＝3，则a，b的大小关系是a ＞ b（填“＜”或“＞”）．
解：因为a15＝（a3）5＝25＝32，b15＝（b5）3＝33＝27，32＞27，所以a15＞b15，
所以a＞b．
解答下列问题：
（1）上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质 C
A．同底数幂的乘法
B．同底数幂的除法
C．幂的乘方
D．积的乘方
（2）已知x7＝2，y9＝3，试比较x与y的大小．
分析：（1）根据幂的乘方进行解答即可；
（2）根据题目所给的求解方法，进行比较．
【解答】解：∵a15＝（a3）5＝25＝32，b15＝（b5）3＝33＝27，32＞27，所以a15＞b15，
所以a＞b，故答案为：＞；
（1）上述求解过程中，逆用了幂的乘方，故选C；
（2）∵x63＝（x7）9＝29＝512，y63＝（y9）7＝37＝2187，2187＞512，
∴x63＜y63，
∴x＜y．
24．（2023春•秦淮区期中）规定两数a，b之间的一种运算记作a※b，如果ac＝b，那么a※b＝c．例如：因为32＝9，所以3※9＝2．
（1）根据上述规定，填空：2※16＝ 4 ， ±16 ※36＝﹣2；
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：3n※4n＝3※4，小明给出了如下的证明；
设3n※4n＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，
所以3x＝4，即3※4＝x，
所以3n※4n＝3※4．
请你尝试运用这种方法解决下列问题：
①证明：5※7+5※9＝5※63；
②猜想：（x﹣2）n※（y+1）n+（x﹣2）n※（y﹣3）n＝ （x﹣2） ※ [（y+1）（y﹣3）] （结果化成最简形式）．
分析：（1）利用新定义，直接求得即可；
（2）①设间接未知数，利用新定义推导即可；
②利用前面的结论，直接运算即可．
【解答】解：（1）∵2c＝16＝24，
∴2※16＝4，
∵a※36＝﹣2，
∴a﹣2＝36，
∴a﹣2＝（±6）2=(±16)−2，
∴a＝±16．
（2）①∵设5※7＝x，5※9＝y，
∴5x＝7，5y＝9，
∴5x×5y＝7×9＝63，
∴5x+y＝63，
∴5※63＝x+y，
即5※7+5※9＝5※63；
②∵3n※4n＝3※4，
∴（x﹣2）n※（y+1）n+（x﹣2）n※（y﹣3）n
＝（x﹣2）※（y+1）+（x﹣2）※（y﹣3）
＝（x﹣2）※[（y+1）（y﹣3）]．
故答案为：（1）4，±16；（2）①证明见解析；②（x﹣2），[（y+1）（y﹣3）]．16；（2）①证明见解析；②（x﹣2），[（y+1）（y﹣3）]．
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