苏科版八年级数学下册专题10.2分式的运算【十大题型】(原卷版+解析)

这是一份苏科版八年级数学下册专题10.2分式的运算【十大题型】(原卷版+解析)，共38页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc27964" 【题型1 含乘方的分式乘除混合运算】 PAGEREF _Tc27964 \h 2
\l "_Tc19221" 【题型2 分式的加减混合运算】 PAGEREF _Tc19221 \h 2
\l "_Tc5486" 【题型3 整式与分式的相加减运算】 PAGEREF _Tc5486 \h 3
\l "_Tc13540" 【题型4 分式加减的实际应用】 PAGEREF _Tc13540 \h 3
\l "_Tc7277" 【题型5 比较分式的大小】 PAGEREF _Tc7277 \h 4
\l "_Tc4034" 【题型6 分式的混合运算及化简求值】 PAGEREF _Tc4034 \h 4
\l "_Tc1254" 【题型7 分式中的新定义问题】 PAGEREF _Tc1254 \h 5
\l "_Tc4413" 【题型8 分式运算的规律探究】 PAGEREF _Tc4413 \h 6
\l "_Tc23906" 【题型9 整数指数幂的运算】 PAGEREF _Tc23906 \h 8
\l "_Tc18471" 【题型10 科学计数法表示小数】 PAGEREF _Tc18471 \h 8
【知识点1 分式的乘除法法则】
分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似：
1）分式的乘法：分子的积为积的分子，分母的积为积的分母，能约分的约分。即：ab×cd=acbd
2）分式的除法：除式的分子、分母颠倒位置后，与被除数相乘。即：ab÷cd=ab×dc=adbc
3）分式的乘方：分子、分母分别乘方。（ab）n=anbn
4）运算顺序：先乘方，后乘除，最后加减。同级从左至右依次计算。有括号的，先算括号中的，在算括号外的。
注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式
【知识点2 分式的加减法则】
1）同分母分式：分母不变，分子相加减ac±bc=a±bc
2）异分母分式：先通分，变为同分母分式，再加减ab±dc=acbc±bdbc=ac±bdbc
注： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①计算结果中，分子、分母若能约分，要约分; = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②运算顺序中，加减运算等级较低。若混合运算种有乘除或乘方运算，先算乘除、乘方运算，最后算加减运算。
【题型1 含乘方的分式乘除混合运算】
【例1】（2023·全国·八年级课时练习）a+ba−b2÷a+ba−b2×a+ba−b的结果是（ ）
A．a−ba+bB．a+ba−bC．a+ba−b2D．1
【变式1-1】（2023·全国·八年级课时练习）（1）−n22m⋅4m25n3=________；
（2）(a2−b)5⋅(b2−a)6⋅(1ab)7=________；
（3）(−3ab3c2)2÷(−3b2ca)3=________；
（4）(−y2x)2⋅(−3x2y)3÷(−3x2ay)2=________；
（5）(c3a2b)2÷(c4a3b)2÷(ac)4=________．
【变式1-2】（2023·全国·八年级专题练习）[−a7b23(a+b)]⋅(a2−b2)4a2÷[a2(b−a)2]3
【变式1-3】（2023·湖南长沙·七年级阶段练习）已知a，b，c，d，x，y，z，w是互不相等的非零实数，且a2b2a2y2+b2x2=b2c2b2z2+c2y2=c2d2c2w2+d2z2=abcdxyzw，则a2x2+b2y2+c2z2+d2w2的值为______ ．
【题型2 分式的加减混合运算】
【例2】（2023·浙江杭州·九年级专题练习）对于任意的x值都有2x+7x2+x−2=Mx+2+Nx−1，则M，N值为（ ）
A．M＝1，N＝3B．M＝﹣1，N＝3C．M＝2，N＝4D．M＝1，N＝4
【变式2-1】（2023·上海市久隆模范中学七年级期中）计算：2y2+3y+2y+1−y2−y−5y+2−3y2−4y−5y−2+2y2−8y+5y−3
【变式2-2】（2023·全国·中考模拟）计算下列各式：
（1）1a−b+1a+b+2aa2+b2+4a3a4+b4 ；
（2）x2+yzx2+(y−z)x−yz+y2−zxy2+(z+x)y+zx+z2+xyz2−(x−y)z−xy ；
（3）x3−1x3+2x2+2x+1+x3+1x3−2x2+2x−1−2(x2+1)x2−1
（4）(y−x)(z−x)(x−2y+z)(x+y−2z)+(z−y)(x−y)(x+y−2z)(y+z−2x)+(x−z)(y−z)(y+z−2x)(x−2y+z) ．
【变式2-3】（2023·河南省淮滨县第一中学八年级期末）已知实数x，y，z满足1x+y+1y+z+1z+x＝76，且zx+y+xy+z+yz+x＝11，则x+y+z的值为（ ）
A．12B．14C．727D．9
【题型3 整式与分式的相加减运算】
【例3】（2023·贵州铜仁·八年级期末）计算：11−x−1−x的结果是________．
【变式3-1】（2023·山东临沂·中考模拟）化简：（a+2+52−a）⋅2a−4a+3=_______．
【变式3-2】（2023·福建福州·八年级期末）已知：P=x+1，Q= 4xx+1．
(1)当x>0时，判断P-Q与0的大小关系，并说明理由；
(2)设y=3P−Q2，若x是整数，求y的整数值．
【变式3-3】（2023·河北·中考真题）由1+c2+c−12值的正负可以比较A=1+c2+c与12的大小，下列正确的是（ ）
A．当c=−2时，A=12B．当c=0时，A≠12
C．当c<−2时，A>12D．当c<0时，A<12
【题型4 分式加减的实际应用】
【例4】（2023·全国·八年级单元测试）某飞行器在相距为m的甲、乙两站间往返飞行．在没有风时，飞行器的速度为v，往返所需时间为t1；如果风速度为p0A．t1【变式4-1】（2023·全国·八年级单元测试）课本中有一探究活动如下：“商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设A种糖的单价为a元/千克，B种糖的单价为b元/千克，则m千克A种糖和n千克B种糖混合而成的什锦糖的单价为ma+nbm+n（平均价）．现有甲乙两种什锦糖，均由A，B两种糖混合而成．其中甲种什锦糖由10千克A种糖和10千克B种糖混合而成；乙种什锦糖由100元A种糖和100元B种糖混合而成．你认为哪一种什锦糖的单价较高？为什么？”请你完成下面小明同学的探究：
(1)小明同学根据题意，求出甲、乙两种什锦糖的单价分别记为x甲和x乙（用a、b的代数式表示）；
(2)为了比较甲、乙两种什锦糖的单价，小明想到了将x甲与x乙进行作差比较，即计算x甲−x乙的差与0比较来确定大小；
(3)经过此探究活动，小明终于悟出了建议父亲选择哪种方式加油比较合算的道理（若石油价格经常波动．方式一：每次都加满；方式二：每次加200元）．选择哪种方式？请简要说明理由．
【变式4-2】（2023·浙江杭州·七年级期末）甲､乙两人同时从A地出发到B地，距离为100千米．
（1）若甲从A地出发，先以20千米/小时的速度到达中点，再以25千米/小时的速度到达B地，求走完全程所用的时间．
（2）若甲从A地出发，先以12V千米/小时的速度到达中点，再以2V千米/小时的速度到达B地．乙从A地出发到B地的速度始终保持V千米/小时不变，请问甲､乙谁先到达B地?
（3）若甲以a千米/时的速度行走x小时，乙以b千米/时的速度行走x小时，此时甲距离终点为100−ax千米，乙距离终点为100−bx千米．分式100−ax100−bx对一切有意义的x值都有相同的值，请探索a，b应满足的条件．
【变式4-3】（2023·重庆·模拟预测）一个自然数能分解成A×B，其中A，B均为两位数，A的十位数字比B的十位数字大1，且A，B的个位数字之和为10，则称这个自然数为“分解数”．
例如：∵4819=79×61，7比6大1，1+9=10，∴4819是“分解数”；
又如：∵1496=44×34，4比3大1，4+4≠10，∴1496不是“分解数”．
(1)判断325，851是否是“分解数”，并说明理由；
(2)自然数M=A×B为“分解数”，若A的十位数字与B的个位数字的和为PM，A的个位数字与B的十位数字的和FM，令GM=PMFM，当GM为整数时，则称M为“整分解数”．若B的十位数字能被2整除，求所有满足条件的“整分解数”M．
【题型5 比较分式的大小】
【例5】（2023·全国·七年级单元测试）设M=y+1x+1，N=yx，当x>y>0时，M和N的大小关系是（ ）
A．M>NB．M=NC．M【变式5-1】（2023·河北秦皇岛·八年级期末）已知n>1，M=nn−1，N=n−1n，P=nn+1，则M、N、P的大小关系为_____________．
【变式5-2】（2023·全国·九年级竞赛）已知x，y，z是三个互不相同的非零实数，设a=x2+y2+z2，b=xy+yz+zx，c=1x2+1y2+1z2，d=1xy+1yz+1zx．则a与b的大小关系是_______；c与d的大小关系是______．
【变式5-3】（2023·内蒙古·呼和浩特市国飞中学八年级期末）若a＞0，M=a+1a+2，N=a+2a+3．
（1）当a=3时，计算M与N的值；
（2）猜想M与N的大小关系，并证明你的猜想．
【题型6 分式的混合运算及化简求值】
【例6】（2023·天津东丽·八年级期末）计算
（1）4a3b⋅b2a4÷1a2
（2）aa−1÷a2−aa2−1−1a−1
【变式6-1】（2023·广东惠州·模拟预测）先化简，再求值：1﹣x−2yx+y÷x2−4xy+4y2x2−y2，其中x＝﹣2，y＝12．
【变式6-2】（2023·江苏·南京玄武外国语学校八年级期中）已知分式 A (a+1−3a−1)÷a2−4a+4a−1
（1）化简这个分式；
（2）当 a＞2 时，把分式 A 化简结果的分子与分母同时加上 4 后得到分式 B，问：分式 B 的值较原来分式 A 的值是变大了还是变小了？试说明理由；
（3）若 A 的值是整数，且 a 也为整数，求出符合条件的所有 a 值的和．
【变式6-3】（2023·全国·八年级单元测试）已知 x,y 为整数，且满足 1x+1y1x2+1y2=−231x4−1y4 ，求 x+y 的值．
【题型7 分式中的新定义问题】
【例7】（2023·北京昌平·八年级期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：x+1x−1=x−1+2x−1=x−1x−1+2x−1=1+2x−1，则x+1x−1是“和谐分式”．
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是 （填序号）；
①x+33 ② x−5x ③ x−1x+2 ④x+1x2
(2)请将“和谐分式”x2+6x+3x+3化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，并写出化简过程；
(3)应用：先化简x−xx+1÷x2−3xx2−9⋅x+1x2+6x，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
【变式7-1】（2023·江苏·八年级）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如分式3x+1与3x1+x互为“3阶分式”.
（1）分式10x3+2x与 互为“5阶分式”；
（2）设正数x,y互为倒数，求证：分式2xx+y2与2yy+x2互为“2阶分式”；
（3）若分式aa+4b2与2ba2+2b互为“1阶分式”（其中a,b为正数），求ab的值.
【变式7-2】（2023·江苏·灌南县扬州路实验学校八年级阶段练习）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即M−N=MN，则称分式N是分式M的“关联分式”．如1x+1与1x+2，因为1x+1−1x+2=1x+1x+2，1x+1×1x+2=1x+1x+2，所以1x+2是1x+1的“关联分式”．
(1)已知分式2a2−1，则2a2+1______2a2−1的“关联分式”（填“是”或“不是”）；
(2)小明在求分式1x2+y2的“关联分式”时，用了以下方法：
设1x2+y2的“关联分式”为N，则1x2+y2−N=1x2+y2×N，
∴1x2+y2+1N=1x2+y2，
∴N=1x2+y2+1．
请你仿照小明的方法求分式a−b2a+3b的“关联分式”．
(3)①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式yx的“关联分式”：______；
②用发现的规律解决问题：
若4n−2mx+m是4m+2mx+n的“关联分式”，求实数m，n的值．
【变式7-3】（2023·江西南昌·八年级期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n和分式”．例如：5x+1+5xx+1=5，我们称两个分式5x+1与5xx+1互为“5和分式”．解答下列问题：
（1）分式4x+1与分式________互为“4和分式”；
（2）分式2xx+y与分式2yx+y互为“________和分式”；
（3）已知xy=1，两个分式1x+1与1y+1是否是“n和分式”？如果是，请求出n的值；如果不是，请说明理由；
（4）若分式3xx+y2与3yx2+y互为“3和分式”（其中x，y为正数），求xy的值．
【题型8 分式运算的规律探究】
【例8】（2023·江苏·苏州市吴江区铜罗中学八年级期中）对于正数x，规定f（x）＝11+x，例如：f（3）＝11+3=14，f（13）=131+13=1−14，计算：f（12006）+ f（12005）+ f（12004）+ …f（13）+ f（12）+ f（1）+ f（1）+ f（2）+ f（3）+ … + f（2004）+ f（2005）+ f（2006）＝______．
【变式8-1】（2023·安徽安庆·七年级期末）观察以下等式：
第1个等式：232−4×2−1−41=21；
第2个等式：442−4×2−2−42=22；
第3个等式：652−4×2−3−43=23；
第4个等式：862−4×2−4−44=24；
第5个等式：1072−4×2−5−45=25；……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：___________；
(2)写出你猜想的第n个等式：__________（用含n的等式表示），并证明．
【变式8-2】（2023·江苏泰州·八年级期中）【探究思考】
（1）探究一：
观察分式x−1x的变形过程和结果，x−1x=xx+−1x=1−1x．
填空：若x为小于10的正整数，则当x=_______时，分式x−1x的值最大．
（2）探究二：
观察分式a2+2a−2a−1的变形过程和结果，
a2+2a−2a−1=a−12+4a−3a−1=a−12+4a−1+1a−1=a−1+4+1a−1=a+3+1a−1．
模仿以上分式的变形过程和结果求出分式x2+2x−1x−1的变形结果．
【问题解决】
（3）当−2【变式8-3】（2023·安徽·合肥市第四十五中学七年级阶段练习）知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等．
例1：分解因式x2+2xx2+2x+2+1
解：将“x2+2x”看成一个整体，令x2+2x=y
原式=yy+2+1=y2+2y+1=y+12=x2+2x+12=x+14
例2：已知ab=1，求11+a+11+b的值．
解：11+a+11+b=abab+a+11+b=b1+b+11+b=1
请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题：
(1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式x2−6x+8x2−6x+10+1进行因式分解；
(2)计算：1−2−3−⋯−2021×2+3+⋯+2022−1−2−3−⋯−2022×2+3+⋯+2021=______
(3)①已知ab=1，求11+a2+11+b2的值；
②若abc=1，直接写出5aab+a+1+5bbc+b+1+5cca+c+1的值．
【知识点3 整数指数幂的运算】
1.整数负指数幂：。
2.若，且a≠0，则m=n；反之，若a≠0，且m=n，则。据此，可解决某些条件求值问题。
【题型9 整数指数幂的运算】
【例9】（2023·湖南师大附中博才实验中学八年级期末）（1）计算：4x2y⋅−xy23÷y；
（2）化简：xy2⋅y34x2．
【变式9-1】（2023·甘肃陇南·八年级期末）计算：（﹣2a﹣2b）2÷2a﹣8b﹣3＝_____．
【变式9-2】（2023·河北·唐山市第三十三中学八年级阶段练习）已知a2⋅am3=a−4，则m的值为______．
【变式9-3】（2023·贵州铜仁伟才学校八年级阶段练习）化简下列式子，使结果只含有正整数指数幂：（-2a﹣2b3）2（﹣2a4b﹣3）=________（a≠0，b≠0）．
【题型10 科学计数法表示小数】
【例10】（2023·辽宁锦州·七年级期中）生活在海洋中的蓝鲸，又叫长须鲸或剃刀鲸，它的体重达到150吨，它体重的万亿分之一用科学记数法可表示为（ ）
A．1.5×10−10吨B．1.5×10−11吨C．15×10−12吨D．1.5×10−9吨
【变式10-1】（2023·江苏盐城·七年级阶段练习）某种细菌直径约为0.00000067mm，若将0.00000067mm用科学记数法表示为6.7×10nmm（n为负整数），则n的值为（ ）
A．-5B．-6C．-7D．-8
【变式10-2】（2023·河北·卢龙县教育和体育局教研室七年级期末）把0.00258写成a×10n（1≤a<10，n为整数）的形式，则a+n为（ ）
A．2.58B．5.58C．−0.58D．−0.42
【变式10-3】（2023·全国·九年级专题练习）地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米，地球的体积约是太阳体积的倍数是_____（用科学记数法表示，保留2位有效数字）
专题10.2 分式的运算【十大题型】
【苏科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc27964" 【题型1 含乘方的分式乘除混合运算】 PAGEREF _Tc27964 \h 2
\l "_Tc19221" 【题型2 分式的加减混合运算】 PAGEREF _Tc19221 \h 4
\l "_Tc5486" 【题型3 整式与分式的相加减运算】 PAGEREF _Tc5486 \h 7
\l "_Tc13540" 【题型4 分式加减的实际应用】 PAGEREF _Tc13540 \h 10
\l "_Tc7277" 【题型5 比较分式的大小】 PAGEREF _Tc7277 \h 14
\l "_Tc4034" 【题型6 分式的混合运算及化简求值】 PAGEREF _Tc4034 \h 16
\l "_Tc1254" 【题型7 分式中的新定义问题】 PAGEREF _Tc1254 \h 19
\l "_Tc4413" 【题型8 分式运算的规律探究】 PAGEREF _Tc4413 \h 24
\l "_Tc23906" 【题型9 整数指数幂的运算】 PAGEREF _Tc23906 \h 29
\l "_Tc18471" 【题型10 科学计数法表示小数】 PAGEREF _Tc18471 \h 30
【知识点1 分式的乘除法法则】
分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似：
1）分式的乘法：分子的积为积的分子，分母的积为积的分母，能约分的约分。即：ab×cd=acbd
2）分式的除法：除式的分子、分母颠倒位置后，与被除数相乘。即：ab÷cd=ab×dc=adbc
3）分式的乘方：分子、分母分别乘方。（ab）n=anbn
4）运算顺序：先乘方，后乘除，最后加减。同级从左至右依次计算。有括号的，先算括号中的，在算括号外的。
注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式
【知识点2 分式的加减法则】
1）同分母分式：分母不变，分子相加减ac±bc=a±bc
2）异分母分式：先通分，变为同分母分式，再加减ab±dc=acbc±bdbc=ac±bdbc
注： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①计算结果中，分子、分母若能约分，要约分; = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②运算顺序中，加减运算等级较低。若混合运算种有乘除或乘方运算，先算乘除、乘方运算，最后算加减运算。
【题型1 含乘方的分式乘除混合运算】
【例1】（2023·全国·八年级课时练习）a+ba−b2÷a+ba−b2×a+ba−b的结果是（ ）
A．a−ba+bB．a+ba−bC．a+ba−b2D．1
答案:B
分析：先计算分式的乘方，再把除法转换为乘法，约分后即可得解．
【详解】解：a+ba−b2÷a+ba−b2×a+ba−b
=(a+b)2(a−b)2×(a−b)2(a+b)2×a+ba−b
=a+ba−b
故选：B．
【点睛】此题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
【变式1-1】（2023·全国·八年级课时练习）（1）−n22m⋅4m25n3=________；
（2）(a2−b)5⋅(b2−a)6⋅(1ab)7=________；
（3）(−3ab3c2)2÷(−3b2ca)3=________；
（4）(−y2x)2⋅(−3x2y)3÷(−3x2ay)2=________；
（5）(c3a2b)2÷(c4a3b)2÷(ac)4=________．
答案: −2m5n −1a3 −a5c3 −3ya28x c2a2
分析：（1）根据分式的乘法法则计算即可；
（2）先算乘方，再算乘法即可；
（3）先算乘方，再算除法即可；
（4）先算乘方，再算乘除法即可；
（5）先算乘方，再算除法即可；
【详解】解：（1）−n22m⋅4m25n3=−2m5n
（2）(a2−b)5⋅(b2−a)6⋅(1ab)7=−a10b5⋅b12a6⋅1a7b7=−1a3；
（3）原式=9a2b6c4÷(−27b6c3a3)=9a2b6c4·(−a327b6c3)=−a5c3；
（4）原式=y24x2⋅(−27x38y3)÷9x24a2y2=y24x2⋅(−27x38y3)⋅4a2y29x2=−3ya28x；
（5）(c3a2b)2÷(c4a3b)2÷(ac)4=c6a4b2÷c8a6b2÷a4c4=c6a4b2·a6b2c8·c4a4=c2a2；
故答案为：−2m5n，−1a3，−a5c3，−3ya28x，c2a2
【点睛】本题考查了分式的乘、除、乘方的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键
【变式1-2】（2023·全国·八年级专题练习）[−a7b23(a+b)]⋅(a2−b2)4a2÷[a2(b−a)2]3
答案:8(a+b)3b2(a−b)3a
分析：先计算乘方，再把除法转化成乘法，再把分子、分母分解因式，然后约分得结果．
【详解】[−a7b23(a+b)]⋅(a2−b2)4a2÷[a2(b−a)2]3，
=−a7b23(a+b)•(a+b)4(a−b)4a2•8a6(b−a)3，
=8(a+b)3b2(a−b)3a.
【点睛】本题考查了分式的乘除法，把分子分母因式分解是解决本题的关键．
【变式1-3】（2023·湖南长沙·七年级阶段练习）已知a，b，c，d，x，y，z，w是互不相等的非零实数，且a2b2a2y2+b2x2=b2c2b2z2+c2y2=c2d2c2w2+d2z2=abcdxyzw，则a2x2+b2y2+c2z2+d2w2的值为______ ．
答案:2
分析：设a2b2a2y2+b2x2=b2c2b2z2+c2y2=c2d2c2w2+d2z2=abcdxyzw=1k，即有：a2y2a2b2+b2x2a2b2=b2z2b2c2+c2y2b2c2=c2w2c2d2+d2z2c2d2=xyzwabcd=k，化简：y2b2+x2a2=z2c2+y2b2=w2d2+z2c2=xyzwabcd=k，则有：x2a2=z2c2，y2b2=w2d2，xyzwabcd=k，设x2a2=z2c2=m，y2b2=w2d2=n，即a2x2=c2z2=1m，b2y2=d2w2=1n，m+n=z2c2+w2d2=k， k=xyzwabcd=mn，则问题即可得解．
【详解】结合a，b，c，d，x，y，z，w是互不相等的非零实数进行下述运算，
设a2b2a2y2+b2x2=b2c2b2z2+c2y2=c2d2c2w2+d2z2=abcdxyzw=1k，
则有：a2y2+b2x2a2b2=b2z2+c2y2b2c2=c2w2+d2z2c2d2=xyzwabcd=k，
即有：a2y2a2b2+b2x2a2b2=b2z2b2c2+c2y2b2c2=c2w2c2d2+d2z2c2d2=xyzwabcd=k，
化简：y2b2+x2a2=z2c2+y2b2=w2d2+z2c2=xyzwabcd=k，
则有：x2a2=z2c2，y2b2=w2d2，xyzwabcd=k，
设x2a2=z2c2=m，y2b2=w2d2=n，
即a2x2=c2z2=1m，b2y2=d2w2=1n，m+n=z2c2+w2d2=k，
则有：m2=x2a2⋅z2c2，n2=y2b2⋅w2d2，
即有：k=xyzwabcd=mn，
则有：a2x2+b2y2+c2z2+d2w2=2m+2n=2m+nmn=2kk=2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则和性质是解题的关键．
【题型2 分式的加减混合运算】
【例2】（2023·浙江杭州·九年级专题练习）对于任意的x值都有2x+7x2+x−2=Mx+2+Nx−1，则M，N值为（ ）
A．M＝1，N＝3B．M＝﹣1，N＝3C．M＝2，N＝4D．M＝1，N＝4
答案:B
分析：先计算Mx+2+Nx−1=M+Nx+(−M+2N)x2+x−2 ,根据已知可得关于M、N的二元一次方程组M+N＝2−M+2N＝7 ，解之可得．
【详解】解：Mx+2+Nx−1
=M(x−1)+Nx+2x+2(x−1)
=M+Nx+(−M+2N)x2+x−2
∴2x+7x2+x−2=M+Nx+(−M+2N)x2+x−2
∴M+N＝2−M+2N＝7，
解得：M＝−1N=3，
故选B．
【点睛】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握分式的加减法则，并根据已知等式得出关于M、N的方程组．
【变式2-1】（2023·上海市久隆模范中学七年级期中）计算：2y2+3y+2y+1−y2−y−5y+2−3y2−4y−5y−2+2y2−8y+5y−3
答案:−8y+4y4−2y3−7y2+8y+12
分析：先对每一个分式进行拆分化简，然后再进行分式的加减计算即可.
【详解】解：2y2+3y+2y+1=2y2+2y+y+1+1y+1=2y+1+1y+1，
y2−y−5y+2=y2+2y−3y+6+1y+2=y−3+1y+2，
3y2−4y−5y−2=3y2−6y+2y−4−1y−2=3y+2−1y−2，
2y2−8y+5y−3=2y2−6y−2y−6−1y−3=2y−2−1y−3，
∴原式=2y+1+1y+1−y−3+1y+2−3y+2−1y−2+2y−2−1y−3
=2y+1+1y+1−y+3−1y+2−3y−2+1y−2+2y−2−1y−3
=1y+1−1y+2+1y−2−1y−3
=1y+1−1y−3+1y−2−1y+2
=−4y+1y−3+4y−2y+2
=−8y+4y+1y−3y−2y+2
=−8y+4y4−2y3−7y2+8y+12.
【点睛】本题考查分式的加减计算，熟练掌握各运算法则是解题的关键.
【变式2-2】（2023·全国·中考模拟）计算下列各式：
（1）1a−b+1a+b+2aa2+b2+4a3a4+b4 ；
（2）x2+yzx2+(y−z)x−yz+y2−zxy2+(z+x)y+zx+z2+xyz2−(x−y)z−xy ；
（3）x3−1x3+2x2+2x+1+x3+1x3−2x2+2x−1−2(x2+1)x2−1
（4）(y−x)(z−x)(x−2y+z)(x+y−2z)+(z−y)(x−y)(x+y−2z)(y+z−2x)+(x−z)(y−z)(y+z−2x)(x−2y+z) ．
答案:（1）8a7a8−b8（2）0（3）0（4）1
【详解】试题分析：（1）先根据异分母的分式的加减法，先把前两个分式通分，再求和，依次计算下去即可；
（2）先把分子添项，构成能分组分解因式的式子，把分母利用整式的乘法展开，然后把分母分子分解因式，利用同分母的分式相加减的逆运算约分化简即可；
（3）根据立方差和立方和公式进行分子分母的因式分解，然后再约分化简即可；
（4）设x﹣y=a，y﹣z=b，z﹣x=c，利用换元法进行约分化简即可.
试题解析：（1）
=++
=+
=；
（2）
=++
=++﹣﹣﹣
=0；
（3）
=+﹣
=+﹣
=0；
（4）设x﹣y=a，y﹣z=b，z﹣x=c，则
=﹣﹣﹣
=﹣
=
=1．
【变式2-3】（2023·河南省淮滨县第一中学八年级期末）已知实数x，y，z满足1x+y+1y+z+1z+x＝76，且zx+y+xy+z+yz+x＝11，则x+y+z的值为（ ）
A．12B．14C．727D．9
答案:A
分析：把zx+y+xy+z+yz+x=11两边加上3，变形可得x+y+zx+y+x+y+zy+z+x+y+zz+x=14，两边除以x+y+z得到1x+y+1y+z+1z+x=14x+y+z，则14x+y+z=76，从而得到x+y+z的值．
【详解】解：∵zx+y+xy+z+yz+x=11，
∴1+zx+y+1+xy+z+1+yz+x=14，
即x+y+zx+y+x+y+zy+z+x+y+zz+x=14，
∴1x+y+1y+z+1z+x=14x+y+z，
而1x+y+1y+z+1z+x=76，
∴14x+y+z=76，
∴x+y+z=12．
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的加减法，解题的关键是掌握同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减，同时解决问题的关键也是从后面的式子变形出x+y+z.
【题型3 整式与分式的相加减运算】
【例3】（2023·贵州铜仁·八年级期末）计算：11−x−1−x的结果是________．
答案:x21−x．
分析：先把分式化成同分母，再根据同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，即可得出答案．
【详解】解：11−x−1−x
=11−x−1−x1−x−x1−x1−x
=1−1+x−x+x21−x
=x21−x
故答案为x21−x．
【点睛】本题考查了分式的加减．熟练掌握运算法则是解题的关键．
【变式3-1】（2023·山东临沂·中考模拟）化简：（a+2+52−a）⋅2a−4a+3=_______．
答案:2a﹣6
分析：先计算括号，进行通分，后按同分母加减计算，再计算乘除，约分即可．
【详解】原式=(a2−4a−2−5a−2)⋅2a−4a+3
=a2−9a−2⋅2(a−2)a+3
=(a+3)(a−3)a−2⋅2(a−2)a+3
=2（a﹣3）
=2a﹣6．
故答案为2a﹣6．
【点睛】本题考查分式的混合运算，解题的关键是记住分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
【变式3-2】（2023·福建福州·八年级期末）已知：P=x+1，Q= 4xx+1．
(1)当x>0时，判断P-Q与0的大小关系，并说明理由；
(2)设y=3P−Q2，若x是整数，求y的整数值．
答案:(1)P-Q≥0，理由见解析；
(2)y的整数值为：-7，-3，-1，3．
分析：（1）先求差，再比较差与0的大小关系；
（2）先表示y，再求y的整数值．
(1)
解：P-Q≥0，理由如下：
P-Q= x+1−4xx+1=(x+1)2x+1−4xx+1
=x2+2x+1−4xx+1
=(x−1)2x+1，
∵x＞0，
∴x+1＞0，（x-1）2≥0．
∴P-Q≥0；
(2)
解：y=3x+1−2xx+1=3−2xx+1=−2(x+1)+5x+1
=−2+5x+1，
∵x，y是整数，
∴x+1是5的因数．
∴x+1=±1，±5．对应的y值为：
∴y=-2+5=3或y=-2+（-5）=-7或y=-2+1=-1或y=-2+（-1）=-3．
∴y的整数值为：-7，-3，-1，3．
【点睛】本题考查分式运算和比较大小，正确进行分式的加减运算是求解本题的关键．
【变式3-3】（2023·河北·中考真题）由1+c2+c−12值的正负可以比较A=1+c2+c与12的大小，下列正确的是（ ）
A．当c=−2时，A=12B．当c=0时，A≠12
C．当c<−2时，A>12D．当c<0时，A<12
答案:C
分析：先计算1+c2+c−12的值，再根c的正负判断1+c2+c−12的正负，再判断A与12的大小即可．
【详解】解：1+c2+c−12=c4+2c，
当c=−2时，2+c=0，A无意义，故A选项错误，不符合题意；
当c=0时，c4+2c=0，A=12，故B选项错误，不符合题意；
当c<−2时，c4+2c>0，A>12，故C选项正确，符合题意；
当−20，A>12，故D选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的运算和比较大小，解题关键是熟练运用分式运算法则进行计算，根据结果进行准确判断．
【题型4 分式加减的实际应用】
【例4】（2023·全国·八年级单元测试）某飞行器在相距为m的甲、乙两站间往返飞行．在没有风时，飞行器的速度为v，往返所需时间为t1；如果风速度为p0A．t1答案:A
分析：直接根据题意表示出t1，t2的值，进而利用分式的性质的计算求出答案．
【详解】解：∵t1=2mv，t2=mv+p+mv−p=2mvv2−p2，
∴t1 − t2=2mv−2mvv2−p2=−2mp2v(v2−p2)，
∵0∴t1 − t2 <0，
∴t1 < t2．
故选：A．
【点睛】本题考查了列代数式，熟练的掌握正确的分式加减运算是解题的关键．
【变式4-1】（2023·全国·八年级单元测试）课本中有一探究活动如下：“商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设A种糖的单价为a元/千克，B种糖的单价为b元/千克，则m千克A种糖和n千克B种糖混合而成的什锦糖的单价为ma+nbm+n（平均价）．现有甲乙两种什锦糖，均由A，B两种糖混合而成．其中甲种什锦糖由10千克A种糖和10千克B种糖混合而成；乙种什锦糖由100元A种糖和100元B种糖混合而成．你认为哪一种什锦糖的单价较高？为什么？”请你完成下面小明同学的探究：
(1)小明同学根据题意，求出甲、乙两种什锦糖的单价分别记为x甲和x乙（用a、b的代数式表示）；
(2)为了比较甲、乙两种什锦糖的单价，小明想到了将x甲与x乙进行作差比较，即计算x甲−x乙的差与0比较来确定大小；
(3)经过此探究活动，小明终于悟出了建议父亲选择哪种方式加油比较合算的道理（若石油价格经常波动．方式一：每次都加满；方式二：每次加200元）．选择哪种方式？请简要说明理由．
答案:(1)x甲 =12(a+b)，x乙 =2aba+b
(2)甲糖的单价较高，理由见解析
(3)方式二更合算
分析：（1）根据单价=总价÷数量分别求出甲糖单价和乙糖单价；
（2）根据作差法比较大小即可求解；
（3）由探究的结果进行分析即可．
（1）
解：甲糖单价为：x甲=(10a+10b)÷20=12(a+b)（元），
乙糖单价为：x乙=(100+100)÷(100a+100b)=2aba+b（元）；
（2）
12(a+b)−2aba+b
=(a+b)2−4ab2(a+b)
=(a−b)22(a+b)
∵甲、乙两种什锦糖，均由A，B两种单价不同的糖混合而成，
∴(a−b)22(a+b)>0，
∴甲糖的单价较高．
（3）
由探究可知方式一相当于甲种什锦糖，方式二相当于乙种什锦糖，
故选择方式二更合算．
【点睛】本题考查了列代数式（分式），分式的加减法.注意代数式的正确书写：出现除号的时候，用分数线代替．
【变式4-2】（2023·浙江杭州·七年级期末）甲､乙两人同时从A地出发到B地，距离为100千米．
（1）若甲从A地出发，先以20千米/小时的速度到达中点，再以25千米/小时的速度到达B地，求走完全程所用的时间．
（2）若甲从A地出发，先以12V千米/小时的速度到达中点，再以2V千米/小时的速度到达B地．乙从A地出发到B地的速度始终保持V千米/小时不变，请问甲､乙谁先到达B地?
（3）若甲以a千米/时的速度行走x小时，乙以b千米/时的速度行走x小时，此时甲距离终点为100−ax千米，乙距离终点为100−bx千米．分式100−ax100−bx对一切有意义的x值都有相同的值，请探索a，b应满足的条件．
答案:（1）4.5小时；（2）乙先到；（3）a，b应满足的条件是a=b．
分析：（1）根据“时间=路程÷速度”分别求出两段路程的时间，再求和即可得；
（2）根据“时间=路程÷速度”分别求出甲、乙走完全程所用的时间，再比较大小即可得；
（3）设100−ax100−bx=k，从而可得100−100k+(kb−a)x=0，再根据无关型问题求解即可得．
【详解】（1）由题意得：t=1002÷20+1002÷25，
=2.5+2，
=4.5（小时），
答：走完全程所用的时间为4.5小时；
（2）甲走完全程所用的时间为100212V+10022V=100V+25V=125V，
乙走完全程所用的时间为100V，
因为100V<125V，
所以乙先到；
（3）设100−ax100−bx=k，则100−ax=k(100−bx)，
整理得：100−100k+(kb−a)x=0，
∵分式100−ax100−bx对一切有意义的x值都有相同的值，
∴k的值与x的取值无关，
∴kb−a=0，即a=kb，
∴100−100k=0，
解得k=1，
∴a=b，
故a，b应满足的条件是a=b．
【点睛】本题考查了分式加减的应用等知识点，依据题意，正确列出各运算式子是解题关键．
【变式4-3】（2023·重庆·模拟预测）一个自然数能分解成A×B，其中A，B均为两位数，A的十位数字比B的十位数字大1，且A，B的个位数字之和为10，则称这个自然数为“分解数”．
例如：∵4819=79×61，7比6大1，1+9=10，∴4819是“分解数”；
又如：∵1496=44×34，4比3大1，4+4≠10，∴1496不是“分解数”．
(1)判断325，851是否是“分解数”，并说明理由；
(2)自然数M=A×B为“分解数”，若A的十位数字与B的个位数字的和为PM，A的个位数字与B的十位数字的和FM，令GM=PMFM，当GM为整数时，则称M为“整分解数”．若B的十位数字能被2整除，求所有满足条件的“整分解数”M．
答案:(1)325不是“分解数”， 851是“分解数”，理由见解析
(2)899，891，8099
分析：（1）325=25×13，851=37×23，根据定义进行求解判断即可；
（2）令B=10x+y，A=10x+1+10−y，（1≤x≤8，1≤y≤9，且x，y为整数），可得PM=x+y+1，Fm=x−y+10，GM=x+y+1x−y+10，由x2为整数，可知x=2，4，6，8，然后分情况，求出符合题意的x,y的值，计算M即可．
(1)
解：∵325=25×13，2比1大1，5+3≠10，∴325不是“分解数”；
∵851=37×23，3比2大1，7+3=10，∴851是“分解数”．
(2)
解：令B=10x+y，A=10x+1+10−y，（1≤x≤8，1≤y≤9，且x，y为整数）
∵PM=x+y+1，FM=x−y+10
∴GM=x+y+1x−y+10
∵x2为整数
∴x=2，4，6，8
当x=2时，GM=y+3−y+12=−1+15−y+12为整数
∴−y+12的值为3或5
∴解得y=9或7
∴M1=31×29=899
M2=33×27=891
∵x=4或x=6时，不存在GM为整数
∴舍去
当x=8时，GM=y+9−y+18=−1+27−y+18为整数
∴−y+18=9
∴解得y=9
∴M3=91×89=8099
综上所述，M的值为899，891，8099．
【点睛】本题考查了新定义下的是实数运算．解题的关键与难点在于理解题意并根据要求进行求解．
【题型5 比较分式的大小】
【例5】（2023·全国·七年级单元测试）设M=y+1x+1，N=yx，当x>y>0时，M和N的大小关系是（ ）
A．M>NB．M=NC．M答案:A
分析：用差值法比较大小，M−N=y+1x+1−yx，进行通分，由x>y>0可判断M、N的大小.
【详解】M−N=y+1x+1−yx
=x(y+1)−y(x+1)x(x+1)
=xy+x−xy−yx(x+1)
=x−yx(x+1).
∵x>y>0
∴x(x+1)>0，x−y>0
∴M−N>0
故M>N.选A.
【点睛】本题考查分式加减的实际应用.异分母分式相减，先通分，再按照同分母分数减法法则进行计算.还需注意本题最终计算结果是分式，可分别判断分子和分母的符号，根据两数相除，同号为正，异号为负判断结果的符号.
【变式5-1】（2023·河北秦皇岛·八年级期末）已知n>1，M=nn−1，N=n−1n，P=nn+1，则M、N、P的大小关系为_____________．
答案:M>P>N
分析：根据n>1可得M>1,0【详解】解：∵n>1，
∴n−1>0,n>n−1，
∴M>1,0∴M最大；
∵P−N=nn+1−n−1n=1nn+1>0，
∴P>N,
∴M>P>N，
故答案为：M>P>N．
【点睛】本题考查了不等式的性质和利用作差法比较两个代数式的大小，作差法比较大小的方法是：如果a−b>0，那么a>b；如果a−b=0，那么a=b；如果a−b<0，那么ab,b>c，那么a>b>c．
【变式5-2】（2023·全国·九年级竞赛）已知x，y，z是三个互不相同的非零实数，设a=x2+y2+z2，b=xy+yz+zx，c=1x2+1y2+1z2，d=1xy+1yz+1zx．则a与b的大小关系是_______；c与d的大小关系是______．
答案: a>b c>d
分析：根据题意利用作差法进行整式与分式的加减运算，并将结果与0比较大小即可确定两数间的大小关系.
【详解】解：∵x，y，z是三个互不相同的非零实数，
∴a−b=x2+y2+z2−xy+yz+zx=12x−y2+y−z2+z−x2>0．
∴a>b．
又c−d=1x2+1y2+1z2−1xy+1yz+1zx=121x−1y2+1y−1z2+1z−1x2>0，
∴c>d．
故答案为：a>b和c>d.
【点睛】本题考查式子的大小比较，用作差法得到代数式，运用完全平方公式配成完全平方的形式，根据x，y，z是互不相等的非零实数，证明代数式大于0，得到a与b，c与d的大小关系．
【变式5-3】（2023·内蒙古·呼和浩特市国飞中学八年级期末）若a＞0，M=a+1a+2，N=a+2a+3．
（1）当a=3时，计算M与N的值；
（2）猜想M与N的大小关系，并证明你的猜想．
答案:（1）M＝45，N＝56；（2）M＜N；证明见解析.
分析：（1）直接将a=3代入原式求出M，N的值即可；
（2）直接利用分式的加减以及乘除运算法则，进而合并求出即可．
【详解】（1）当a=3时，M=3+13+2=45，N=3+23+3=56；
（2）方法一：猜想：M＜N．理由如下：
M﹣N=a+1a+2−a+2a+3 =(a+1)(a+3)−（a+2）2(a+2)(a+3) =−1（a+2）（a+3）．
∵a＞0，∴a+2＞0，a+3＞0，∴−1（a+2）（a+3）＜0，∴M﹣N＜0，∴M＜N；
方法二：猜想：M＜N．理由如下：
MN=a+1a+2⋅a+3a+2=a2+4a+3a2+4a+4．
∵a＞0，∴M＞0，N＞0，a2+4a+3＞0，∴a2+4a+3a2+4a+4＜1，∴MN＜1，∴M＜N．
【点睛】本题考查了分式的加减以及乘除运算，正确通分得出是解题的关键．
【题型6 分式的混合运算及化简求值】
【例6】（2023·天津东丽·八年级期末）计算
（1）4a3b⋅b2a4÷1a2
（2）aa−1÷a2−aa2−1−1a−1
答案:（1）23a；（2）aa−1
分析：（1）先将除法写成乘法，再计算乘法，分子、分母约分化为最简分式；
（2）先将除法写成乘法，计算乘法得到最简分式，再与后一项相减即可得到答案.
【详解】（1）原式＝4a3b⋅b2a4⋅a2＝23a；
（2）原式＝aa−1⋅(a+1)(a−1)a(a−1)−1a−1=a+1a−1−1a−1=aa−1.
【点睛】此题考查分式的混合运算，先将除法化为乘法，再约分结果，再计算加减法.
【变式6-1】（2023·广东惠州·模拟预测）先化简，再求值：1﹣x−2yx+y÷x2−4xy+4y2x2−y2，其中x＝﹣2，y＝12．
答案:﹣yx−2y，16．
分析：原式利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，之后将x、y代入计算即可求得答案．
【详解】解：原式＝1﹣x−2yx+y⋅x+yx−yx−2y2=1−x−yx−2y＝﹣yx−2y，
当x＝﹣2，y＝12时，原式＝16．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练的掌握分式的运算法则是解本题的关键，在解题的时候，要注意式子的整理和约分．
【变式6-2】（2023·江苏·南京玄武外国语学校八年级期中）已知分式 A (a+1−3a−1)÷a2−4a+4a−1
（1）化简这个分式；
（2）当 a＞2 时，把分式 A 化简结果的分子与分母同时加上 4 后得到分式 B，问：分式 B 的值较原来分式 A 的值是变大了还是变小了？试说明理由；
（3）若 A 的值是整数，且 a 也为整数，求出符合条件的所有 a 值的和．
答案:（1）a+2a−2；（2）原分式值变小了，见解析；（3）11
分析：（1）根据分式混合运算顺序和运算法则化简即可得；
（2）根据题意列出算式A−B=a+2a−2−a+6a+2，化简可得A−B=16(a−2)(a+2)，结合a的范围判断结果与0的大小即可得；
（3）由A=a+2a−2=1+4a−2可知，a−2=±1、±2、±4，结合a的取值范围可得．
【详解】解：（1）A=(a+1−3a−1)÷a2−4a+4a−1
=a2−1−3a−1×a−1(a−2)2
=(a+2)(a−2)a−1×a−1(a−2)2
=a+2a−2；
（2）变小了，理由如下：
∵A=a+2a−2，
∴B=a+6a+2，
∴A−B=a+2a−2−a+6a+2=16(a−2)(a+2)；
∵a>2，
∴a−2>0，a+2>4，
∴A−B>0，
∴分式的值变小了；
（3）∵A是整数，a是整数，
则A=a+2a−2=1+4a−2，
∴a−2=±1、±2、±4，
∵a≠1，
∴a的值可能为：3、0、4、6、-2；
∴3+0+4+6+(−2)=11；
∴符合条件的所有a值的和为11．
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
【变式6-3】（2023·全国·八年级单元测试）已知 x,y 为整数，且满足 1x+1y1x2+1y2=−231x4−1y4 ，求 x+y 的值．
答案:x+y的值为0或±1.
分析：根据平方差公式和约分法则把原式化简，根据取整法则解答即可．
【详解】解：∵(1x+1y)(1x2+1y2)=−23(1x4−1y4)，
∴(1x+1y)(1x2+1y2)=−23(1x2+1y2)(1x2−1y2)，
∴(1x+1y)=−23(1x2−1y2)，
∴(1x+1y)1+23(1x−1y)=0，
∴1x+1y=0或1+231x−1y=0，
∴x+y=0或1x−1y=−32，
由1x−1y=−32，得x=2y2−3y=22y−3，
由于 x，y 为整数，
当y=1时，x为整数-2，则x+y=-1；
当y=-1时，x为-25，不是整数，不符合题意，舍去；
当y=2时，x为整数-1，则x+y=1；
当y=-2时，x为-12，不是整数，不符合题意，舍去；
综上，x+y的值为0或±1．
【点睛】本题考查的是分式的混合运算，掌握平方差公式是解题的关键．
【题型7 分式中的新定义问题】
【例7】（2023·北京昌平·八年级期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：x+1x−1=x−1+2x−1=x−1x−1+2x−1=1+2x−1，则x+1x−1是“和谐分式”．
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是 （填序号）；
①x+33 ② x−5x ③ x−1x+2 ④x+1x2
(2)请将“和谐分式”x2+6x+3x+3化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，并写出化简过程；
(3)应用：先化简x−xx+1÷x2−3xx2−9⋅x+1x2+6x，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
答案:(1)②③
(2)x+3−6x+3，过程见解析
(3)1−3x+6，当x=−5,−7,−9，该式的值是整数，
分析：（1）由“和谐分式”的定义对①②③④变形即可得；
（2）根据“和谐分式”的定义进行变形即可求解；
（3）将原式变形为1−3x+6，根据题意求得x的值，根据分式有意义的条件取舍即可求解．
【详解】（1）解：①x+33=1+x3，不是“和谐分式”，
②x−5x=1−5x，是“和谐分式”，
③x−1x+2=x+2−3x+2=1−3x+2，是“和谐分式”，
④x+1x2 =1x+1x2，不是“和谐分式”，
故答案为：②③；
（2）解：x2+6x+3x+3
=x+32−6x+3
=x+3−6x+3；
（3）解：x−xx+1÷x2−3xx2−9⋅x+1x2+6x
=xx+1−xx+1·x+3x−3xx−3·x+1xx+6
=x2x+1x+3x−3x2x+1x−3x+6
=x+3x+6
=x+6−3x+6
=1−3x+6，
∵1−3x+6为整数，
∴x+6 =±1,±3，
∴当x=−3,−5,−7,−9时，1−3x+6是整数，
又∵x≠0,−1,3,−3,−6．
∴x=−5,−7,−9时，原式的值是整数．
【点睛】本题主要考查分式的化简及分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则及对和谐分式的定义的理解．
【变式7-1】（2023·江苏·八年级）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如分式3x+1与3x1+x互为“3阶分式”.
（1）分式10x3+2x与 互为“5阶分式”；
（2）设正数x,y互为倒数，求证：分式2xx+y2与2yy+x2互为“2阶分式”；
（3）若分式aa+4b2与2ba2+2b互为“1阶分式”（其中a,b为正数），求ab的值.
答案:（1）153+2x；（2）详见解析；（3）12
分析：（1）根据分式的加法，设所求分式为A，然后进行通分求解即可；
（2）根据题意首先利用倒数关系，将x，y进行消元，然后通过分式的加法化简即可得解；
（3）根据1阶分式的要求对两者相加进行分式加法化简，通过通分化简即可得解.
【详解】（1）依题意，所求分式为A，即：10x3+2x+A=5，
∴A=5−10x3+2x=15+10x3+2x−10x3+2x=153+2x；
（2）∵正数x,y互为倒数
∴xy=1，即x=1y
∴2xx+y2+2yy+x2=21y1y+y2+2yy+1y2=21+y3+2y3y3+1=2(1+y3)1+y3=2
∴分式2xx+y2与2yy+x2互为“2阶分式”；
（3）由题意得aa+4b2+2ba2+2b=1，等式两边同乘(a+4b2)(a2+2b)
化简得： a(a2+2b)+2b(a+4b2)=(a2+2b)(a+4b2)
即：2ab+8b3=4a2b2+8b3
∴4a2b2−2ab=0，即2ab(2ab−1)=0
∴ab=12或0
∵a,b为正数
∴ab=12.
【点睛】本题主要考查了分式的加减，熟练掌握分式的通分约分运算知识是解决此类问题的关键.
【变式7-2】（2023·江苏·灌南县扬州路实验学校八年级阶段练习）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即M−N=MN，则称分式N是分式M的“关联分式”．如1x+1与1x+2，因为1x+1−1x+2=1x+1x+2，1x+1×1x+2=1x+1x+2，所以1x+2是1x+1的“关联分式”．
(1)已知分式2a2−1，则2a2+1______2a2−1的“关联分式”（填“是”或“不是”）；
(2)小明在求分式1x2+y2的“关联分式”时，用了以下方法：
设1x2+y2的“关联分式”为N，则1x2+y2−N=1x2+y2×N，
∴1x2+y2+1N=1x2+y2，
∴N=1x2+y2+1．
请你仿照小明的方法求分式a−b2a+3b的“关联分式”．
(3)①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式yx的“关联分式”：______；
②用发现的规律解决问题：
若4n−2mx+m是4m+2mx+n的“关联分式”，求实数m，n的值．
答案:(1)是
(2)a−b3a+2b
(3)①yx+y；②m=−34n=14
分析：（1）根据关联分式的定义进行判断；
（2）仿照题目中给到的方法进行求解；
（3）①根据（1）（2）找规律求解；
②由①推出的结论，类比形式求解即可.
（1）
解：∵2a2−1-2a2+1=4(a2−1)(a2+1)，2a2−1×2a2+1=4(a2−1)(a2+1)
∴2a2+1是2a2−1的“关联分式”
故答案为：是
（2）
解：设a−b2a+3b的“关联分式”为N，则a−b2a+3b−N=a−b2a+3b×N，
∴a−b2a+3b+1N=a−b2a+3b，
∴N=a−b3a+2b．
（3）
解：①设yx的“关联分式”为N，则yx−N=yx×N，
∴yx+1N=yx，
∴N=yx+y．
故答案为：yx+y；
②由题意，可得4m+2=4n−2mx+m=mx+n+4m+2，
整理得n−m=1,n+3m=−2.
解得m=−34n=14．
【点睛】本题是创新探究类题目，读懂题目中的新定义并熟练地掌握分式的混合运算是解决本题的关键.
【变式7-3】（2023·江西南昌·八年级期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n和分式”．例如：5x+1+5xx+1=5，我们称两个分式5x+1与5xx+1互为“5和分式”．解答下列问题：
（1）分式4x+1与分式________互为“4和分式”；
（2）分式2xx+y与分式2yx+y互为“________和分式”；
（3）已知xy=1，两个分式1x+1与1y+1是否是“n和分式”？如果是，请求出n的值；如果不是，请说明理由；
（4）若分式3xx+y2与3yx2+y互为“3和分式”（其中x，y为正数），求xy的值．
答案:（1）4xx+1；（2）2；（3）是，1x+1与1y+1是“1和分式”，即n=1；（4）xy=1
分析：（1）设这个分式为W，根据题意可知W+4x+1=4，然后求解即可得到答案；
（2）根据2xx+y+2yx+y=2，即可求解；
（3）根据xy=1，则1y+1=11x+1=x1+x，即可得到1x+1+1y+1=1；
（4）由题意可得3xx+y2+3yx2+y=3然后求解xy即可.
【详解】解：（1）设这个分式为W，
根据题意可知W+4x+1=4
W=4−4x+1=4x+4−4x+1=4xx+1
（2）2xx+y+2yx+y=2x+2yx+y=2
∴2xx+y与2yx+y互为“2和分式”
（3）∵xy=1，
∴y=1x
∴1y+1=11x+1=x1+x
∴1x+1+1y+1=1x+1+xx+1=x+1x+1=1
∴1x+1与1y+1互为“1和分式”
∴n=1
（4）∵3xx+y2与3yx2+y互为“3和分式”
3xx+y2+3yx2+y=3
3xx+y2+3yx2+y=3x+y2x2+y
3x2y2=3xy
xy=1
【点睛】本题主要考查了分式的加法运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
【题型8 分式运算的规律探究】
【例8】（2023·江苏·苏州市吴江区铜罗中学八年级期中）对于正数x，规定f（x）＝11+x，例如：f（3）＝11+3=14，f（13）=131+13=1−14，计算：f（12006）+ f（12005）+ f（12004）+ …f（13）+ f（12）+ f（1）+ f（1）+ f（2）+ f（3）+ … + f（2004）+ f（2005）+ f（2006）＝______．
答案:2006
分析：首先根据fx=11+x可以得到f1x=x1+x=1−11+x，分别把f(12006)，f(12005)以及f(12)表示出来，其余的f1,f2,用fx=x1+x表示即可求解．
【详解】∵fx=11+x
∴f1x=11+1x=11+xx=x1+x=1−11+x
原式=1-12007+1-12006+1-+1−13+12+12+13++12005+12006+12007
=−12007+12007+−12006+12006+−12005+12005++−13+13+12+12+2005
=2006
故答案是：2006．
【点睛】本题主要考查分式的计算以及分式的代数求值，准确的根据已知条件表示出f1x=1−11+x是求解本题的关键．
【变式8-1】（2023·安徽安庆·七年级期末）观察以下等式：
第1个等式：232−4×2−1−41=21；
第2个等式：442−4×2−2−42=22；
第3个等式：652−4×2−3−43=23；
第4个等式：862−4×2−4−44=24；
第5个等式：1072−4×2−5−45=25；……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：___________；
(2)写出你猜想的第n个等式：__________（用含n的等式表示），并证明．
答案:(1)1282−4×2−6−46=26
(2)2n(n+2)2−4×2−n−4n=2n，证明见解析
分析：（1）根据题目中前5个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第6个等式；
（2）把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等便可．
(1)
解： 1282−4×2−6−46=26；
(2)
解：2n(n+2)2−4×2−n−4n=2n，理由如下：
左边=2nn2+4n×n+4n=2n+4×n+4n=2n=右边，
∴等式成立．
【点睛】本题考查数字的变化类，明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式，并证明猜想的正确性是解答本题的关键．
【变式8-2】（2023·江苏泰州·八年级期中）【探究思考】
（1）探究一：
观察分式x−1x的变形过程和结果，x−1x=xx+−1x=1−1x．
填空：若x为小于10的正整数，则当x=_______时，分式x−1x的值最大．
（2）探究二：
观察分式a2+2a−2a−1的变形过程和结果，
a2+2a−2a−1=a−12+4a−3a−1=a−12+4a−1+1a−1=a−1+4+1a−1=a+3+1a−1．
模仿以上分式的变形过程和结果求出分式x2+2x−1x−1的变形结果．
【问题解决】
（3）当−2答案:（1）9；（2）x+3+2x−1；（3）12
分析：（1）可以利用探究一求出；
（2）可以利用探究二解决；
（3）分类讨论，利用（1）（2）的方法解决即可．
【详解】（1）∵x−1x=xx+−1x=1−1x，
∵x为小于10的正整数，
∴当x=9时，分式x−1x的值最大；
故答案为：9．
（2）x2+2x−1x−1=x2−x+3x−3+2x−1=x+3+2x−1；
（3）解：当-2＜x≤0时，x2−2x−1x−2=x2+2x−1−x−2=−x+1x+2，
∴当x=0时，原分式有最小值为12；
当0≤x≤1时，原式=x2−2x−1x−2=x−1x−2=x+12−x，
∴当x=0时，原分式有最小值为12；
∴当-2＜x≤1时，分式x2−2x−1x−2的最小值为12．
【点睛】本题主要考查了分式的复杂运算，综合性比较强，对于学生的能力要求比较高．
【变式8-3】（2023·安徽·合肥市第四十五中学七年级阶段练习）知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等．
例1：分解因式x2+2xx2+2x+2+1
解：将“x2+2x”看成一个整体，令x2+2x=y
原式=yy+2+1=y2+2y+1=y+12=x2+2x+12=x+14
例2：已知ab=1，求11+a+11+b的值．
解：11+a+11+b=abab+a+11+b=b1+b+11+b=1
请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题：
(1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式x2−6x+8x2−6x+10+1进行因式分解；
(2)计算：1−2−3−⋯−2021×2+3+⋯+2022−1−2−3−⋯−2022×2+3+⋯+2021=______
(3)①已知ab=1，求11+a2+11+b2的值；
②若abc=1，直接写出5aab+a+1+5bbc+b+1+5cca+c+1的值．
答案:(1)x−34；
(2)2022；
(3)①1，②5．
分析：（1）将x2−6x+8看成一个整体，令x2−6x+8=y，代入计算即可；
（2）将1−2−3−⋯−2021看成一个整体，令1−2−3−⋯−2021=x，将2+3+⋯+2022看成一个整体，令2+3+⋯+2022=y，代入计算即可；
（3）①将ab=1代入11+a2求解即可；②将abc=1，代入5aab+a+1中得到原式=51+bb+1+bc+5cca+c+1，再将abc=1代入51+bb+1+bc，进一步得到原式=5abc+bb+abc+bc+5cca+c+1，计算即可．
(1)
解：将x2−6x+8看成一个整体，令x2−6x+8=y，
则原式=yy+2+1=y2+2y+1=y+12=x2−6x+8+12=x−34．
(2)
解：将1−2−3−⋯−2021看成一个整体，令1−2−3−⋯−2021=x，将2+3+⋯+2022看成一个整体，令2+3+⋯+2022=y，
则原式=xy−x−2022y−2022=2022x+y−2022
=20221−2−3−⋯−2021+2+3+⋯+2022−2022
=2022．
(3)
解：①∵ab=1，
∴11+a2+11+b2
=abab+a2+abab+b2
=bb+a+aa+b
=1．
②∵abc=1，
∴5aab+a+1+5bbc+b+1+5cca+c+1
=5aab+a+abc+5bbc+b+1+5cca+c+1
=5b+1+bc+5bbc+b+1+5cca+c+1
=51+bb+1+bc+5cca+c+1
=5abc+bb+abc+bc+5cca+c+1
=5ac+11+ac+c+5cca+c+1
=5ac+1+c1+ac+c
=5．
【点睛】本题考查整体思想，完全平方公式，整式的运算，分式运算法则，解题的关键是掌握整体思想，看懂例题．
【知识点3 整数指数幂的运算】
1.整数负指数幂：。
2.若，且a≠0，则m=n；反之，若a≠0，且m=n，则。据此，可解决某些条件求值问题。
【题型9 整数指数幂的运算】
【例9】（2023·湖南师大附中博才实验中学八年级期末）（1）计算：4x2y⋅−xy23÷y；
（2）化简：xy2⋅y34x2．
答案:（1）−4x5y6；（2）y4
分析：（1）先根据积的乘方和幂的乘方法则计算括号内的算式，再根据同底数幂的乘法和除法法则进行计算即可；
（2）先计算乘方，再进行约分即可．
【详解】（1）4x2y⋅−xy23÷y
=4x2y⋅(−x3y6)÷y
=−4x5y7÷y
=−4x5y6；
（2）xy2⋅y34x2
=x2y2⋅y34x2
=y4．
【点睛】本题考查幂的混合运算，含乘方的分式的乘法运算．掌握幂的混合运算法则和分式的乘方和分式的乘法运算法则是解题关键．
【变式9-1】（2023·甘肃陇南·八年级期末）计算：（﹣2a﹣2b）2÷2a﹣8b﹣3＝_____．
答案:2a4b5．
分析：直接利用积的乘方运算法则化简，再利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【详解】解：（﹣2a﹣2b）2÷2a﹣8b﹣3
＝4a﹣4b2÷2a﹣8b﹣3
＝2a-4-(-8)b2-(-3)，
=2a4b5．
故答案为：2a4b5．
【点睛】本题考查了整数指数幂的运算，熟练应用法则是解题关键．
【变式9-2】（2023·河北·唐山市第三十三中学八年级阶段练习）已知a2⋅am3=a−4，则m的值为______．
答案:-2
分析：由已知可以得到关于m的方程，解方程即可得到m的值．
【详解】解：由已知可得：a2×a3m=a−4,
即a2+3m=a−4，
∴2+3m=-4，
解之得：m=-2．
故答案为-2．
【点睛】本题考查整数指数幂与一元一次方程的综合运用，熟练掌握整数指数幂的运算法则和一元一次方程的解法是解题关键．
【变式9-3】（2023·贵州铜仁伟才学校八年级阶段练习）化简下列式子，使结果只含有正整数指数幂：（-2a﹣2b3）2（﹣2a4b﹣3）=________（a≠0，b≠0）．
答案:-8b3
分析：同底数幂的乘法，底数不变，指数相加；同底数幂的除法，底数不变，指数相减；同底数幂的乘方，底数不变，指数相乘；计算即可．
【详解】解：原式=4a−4b6×(−2a4b−3)，
=−8a−4+4b6−3，
=−8b3；
故答案为：−8b3．
【点睛】本题考查同底数幂的乘除法运算，正确理解同底数幂的乘除法运算法则才是解题关键．
【题型10 科学计数法表示小数】
【例10】（2023·辽宁锦州·七年级期中）生活在海洋中的蓝鲸，又叫长须鲸或剃刀鲸，它的体重达到150吨，它体重的万亿分之一用科学记数法可表示为（ ）
A．1.5×10−10吨B．1.5×10−11吨C．15×10−12吨D．1.5×10−9吨
答案:A
分析：解答时，分两步走，把150写成1.5×102吨；把1万亿写成104×108=1012，
根据题意，列式计算即可．
【详解】∵150＝1.5×102吨；1万亿＝104×108=1012，
∴它体重的万亿分之一为1.5×1021012＝1.5×102−12＝1.5×10−10（吨），
故选A．
【点睛】本题考查了科学记数法的综合计算，同底数幂的除法，熟练掌握科学记数法和同底数幂的除法法则是解题的关键．
【变式10-1】（2023·江苏盐城·七年级阶段练习）某种细菌直径约为0.00000067mm，若将0.00000067mm用科学记数法表示为6.7×10nmm（n为负整数），则n的值为（ ）
A．-5B．-6C．-7D．-8
答案:C
【详解】解：∵0.000 000 67mm=6.7×10-7
∴n=-7
故选：C
【变式10-2】（2023·河北·卢龙县教育和体育局教研室七年级期末）把0.00258写成a×10n（1≤a<10，n为整数）的形式，则a+n为（ ）
A．2.58B．5.58C．−0.58D．−0.42
答案:D
分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：将0.00258用科学记数法表示为：2.58×10-3．
故a=2.58，n=-3，
则a+n=-0.42．
故选：D．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【变式10-3】（2023·全国·九年级专题练习）地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米，地球的体积约是太阳体积的倍数是_____（用科学记数法表示，保留2位有效数字）
答案:7.1×10-7
分析：直接利用整式的除法运算法则结合科学记数法求出答案．
【详解】∵地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米，
∴地球的体积约是太阳体积的倍数是：1012÷(1.4×1018)≈7.1×10-7．
故答案是：7.1×10-7．
【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示数的除法与有效数字，正确掌握运算法则是解题关键．