沪科版七年级数学下册专题8.2整式的乘法【十大题型】(原卷版+解析)

这是一份沪科版七年级数学下册专题8.2整式的乘法【十大题型】(原卷版+解析)，共31页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc24494" 【题型1 整式乘法中的求值问题】 PAGEREF _Tc24494 \h 1
\l "_Tc25412" 【题型2 整式乘法中的不含某项问题】 PAGEREF _Tc25412 \h 2
\l "_Tc1011" 【题型3 整式乘法中的错看问题】 PAGEREF _Tc1011 \h 2
\l "_Tc13122" 【题型4 整式乘法中的遮挡问题】 PAGEREF _Tc13122 \h 2
\l "_Tc30257" 【题型5 整式乘法的计算】 PAGEREF _Tc30257 \h 3
\l "_Tc27652" 【题型6 整式乘法的应用】 PAGEREF _Tc27652 \h 3
\l "_Tc31513" 【题型7 整式除法的运算与求值】 PAGEREF _Tc31513 \h 4
\l "_Tc14044" 【题型8 整式除法的应用】 PAGEREF _Tc14044 \h 5
\l "_Tc22651" 【题型9 整式乘法中的新定义】 PAGEREF _Tc22651 \h 6
\l "_Tc1308" 【题型10 整式乘法中的规律探究】 PAGEREF _Tc1308 \h 7
【知识点1 整式的乘法】
【题型1 整式乘法中的求值问题】
【例1】（x+m）（x﹣n）＝x2+ax+7（m，n为整数），则a的值可能是（ ）
A．7B．﹣7C．8D．﹣9
【变式1-1】（2023春•汝州市校级月考）若（5x+2）（3﹣x）＝﹣5x2+kx+p，则代数式（k﹣p）2的值为（ ）
A．98B．49C．14D．7
【变式1-2】（2023春•诸暨市期末）若A、B、C均为整式，如果A•B＝C，则称A能整除C，例如由（x+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6，可知x﹣2能整除x2+x﹣6．若已知x﹣3能整除x2+kx﹣7，则k的值为（ ）
A．−73B．−23C．43D．23
【变式1-3】（2023春•江都区期中）如果（x+a）（x+b）＝x2+mx﹣12（其中a，b都是整数），那么m可取的值共有（ ）
A．2个B．4个C．6个D．8个
【题型2 整式乘法中的不含某项问题】
【例2】（2023秋•黔江区期末）要使（x2﹣x+5）（2x2﹣ax﹣4）展开式中不含x2项，则a的值等于（ ）
A．﹣6B．6C．14D．﹣14
【变式2-1】（2023春•双流区校级期中）关于x的代数式（ax﹣3）（2x+1）﹣4x2+m化简后不含有x2项和常数项，且an+mn＝﹣5，求﹣4n2+3m的值．
【变式2-2】（2023秋•耒阳市校级月考）已知多项式M＝x2+5x﹣a，N＝﹣x+2，P＝x3+3x2+5，且M•N+P的值与x的取值无关，求字母a的值．
【变式2-3】（2023春•上城区期末）若多项式x2﹣（x﹣a）（x+2b）+4的值与x的取值大小无关，那么a，b一定满足（ ）
A．a＝0且b＝0B．a＝2bC．ab＝0D．a=b2
【题型3 整式乘法中的错看问题】
【例3】（2023春•潍坊期末）小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以（x﹣2y）错抄成除以（x﹣2y），结果得到（3x﹣y），则正确的结果是（ ）
A．3x2﹣7xy+2y2B．3x2+7xy+2y2
C．3x3﹣13x2y+16xy2﹣4y3D．3x3﹣13x2y+16xy2+4y3
【变式3-1】（2023春•芦溪县期中）某同学在计算一个多项式乘以﹣2a时，因抄错运算符号，算成了加上﹣2a，得到的结果是a2+2a﹣1，那么正确的计算结果是多少？
【变式3-2】（2023秋•云县期末）在计算（x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到结果x2+8x+12；乙错把a看成了﹣a，得到结果x2+x﹣6．你能正确计算（x+a）（x+b）吗？（a、b都是常数）
【变式3-3】（2023春•河源期末）甲、乙两人共同计算一道整式：（x+a）（2x+b），由于甲抄错了a的符号，得到的结果是2x2﹣7x+3，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x﹣3．
（1）求（﹣2a+b）（a+b）的值；
（2）若整式中的a的符号不抄错，且a＝3，请计算这道题的正确结果．
【题型4 整式乘法中的遮挡问题】
【例4】（2023秋•天津期末）在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3+□+3x，“□”的地方被墨水污染了，你认为“□”内应填写（ ）
A．9x2B．﹣9x2C．9xD．﹣9x
【变式4-1】（2023秋•河南月考）今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（ ）
A．+21xyB．﹣21xyC．﹣3D．﹣10xy
【变式4-2】（2023春•江都区期中）今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题3x2y（2xy2﹣xy﹣1）＝6x3y3 ﹣3x2y，空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写 ．
【变式4-3】（2023秋•岳麓区校级期中）已知x3﹣6x2+11x﹣6＝（x﹣1）（x2+mx+n），其中m、n是被墨水弄脏了看不清楚的两处，请求出m2+6mn+9n2的值．
【题型5 整式乘法的计算】
【例5】（2023春•冠县期中）计算：
（1）（x﹣2y）（x+2y﹣1）+4y2
（2）（a2b）[（ab2）2+（2ab）3+3a2]．
【变式5-1】（2023春•西城区校级期中）求（x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2）的值，其中x＝﹣2．
【变式5-2】（2023秋•长宁区校级期中）12x(4−2x)−2（3﹣2x）（4x+1）．
【变式5-3】（2023春•海陵区校级月考）计算：
（1）﹣3x2（2x﹣4y）+2x（x2﹣xy）．
（2）（3x+2y）（2x﹣3y）﹣3x（3x﹣2y）．
【题型6 整式乘法的应用】
【例6】（2023春•杭州期中）如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（2a+3b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为（ ）
A．2，8，5B．3，8，6C．3，7，5D．2，6，7
【变式6-1】（2023春•吴江区期末）从前，古希腊一位庄园主把一块长为a米，宽为b米（a＞b＞100）的长方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加10米，宽减少10米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（ ）
A．变小了B．变大了C．没有变化D．无法确定
【变式6-2】（2023秋•安溪县期中）如图1，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为（4a+3b）米，宽为（2a+3b）米的长方形草坪上修建一横一竖，宽度均为b米的通道．
（1）通道的面积共有多少平方米？
（2）若修两横一竖，宽度均为b米的通道（如图2），已知a＝2b，剩余草坪的面积是162平方米，求通道的宽度是多少米？
【变式6-3】（2023春•莲湖区期末）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，面积分别为S1，S2．
（1）S1与S2的大小关系为：S1 S2．
（2）若一个正方形的周长与甲的周长相等．
①求该正方形的边长（用含m的代数式表示）．
②若该正方形的面积为S3，试探究：S3与S2的差（即S3﹣S2）是否为常数？若为常数，求出这个常数，如果不是，请说明理由．
【知识点2 整式的除法】
【题型7 整式除法的运算与求值】
【例7】（2023•襄都区校级开学）先化简，再求值：[（xy+2）（xy﹣2）﹣2x2y2+4]÷xy，其中x＝﹣10，y=125．
【变式7-1】（2023春•秀洲区校级月考）若等式（6a3+3a2）÷（6a）＝（a+1）（a+2）成立，则a的值为 ．
【变式7-2】（2023春•萧山区月考）若A与−12ab的积为−4a3b3+3a2b2−12ab，则A为（ ）
A．﹣8a2b2+6ab﹣1B．−2a2b2+32ab+14
C．8a2b2﹣6ab+1D．2a2b2−32ab+1
【变式7-3】（2023·四川·石室佳兴外国语学校七年级阶段练习）已知多项式2x2﹣4x﹣1除以一个多项式A，得商式为2x，余式为x﹣1，则这个多项式A＝_____．
【题型8 整式除法的应用】
【例8】（2023秋•渝中区校级期中）某玩具加工厂要制造如图所示的两种形状的玩具配件，其中，配件①是由大、小两个长方体构成的，大长方体的长、宽、高分别为：52a、2a、32a，小长方体的长、宽、高分别为：2a、a、a2；配件②是一个正方体，其棱长为a
（1）生产配件①与配件②分别需要多长体积的原材料（不计损耗）？
（2）若两个配件①与一个配件②可以用于加工一个玩具，每个玩具在市场销售后可获利30元，则1000a3体积的这种原材料可使该厂最多获利多少元？
【变式8-1】（2023春•抚州期末）如图1，将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，制成如图2的无盖纸盒，若该纸盒的容积为4a2b，则图2中纸盒底部长方形的周长为（ ）
A．4abB．8abC．4a+bD．8a+2b
【变式8-2】（2023春•蜀山区期中）爱动脑筋的丽丽与娜娜在做数学小游戏，两人各报一个整式，丽丽报的整式A作被除式，娜娜报的整式B作除式，要求商式必须为﹣3xy（即A÷B＝﹣3xy）
（1）若丽丽报的是x3y﹣6xy2，则娜娜应报什么整式？
（2）若娜娜也报x3y﹣6xy2，则丽丽能报一个整式吗？若能，则是个什么整式？说说你的理由．
【变式8-3】（2023秋•思明区校级期中）【阅读材料】多项式除以多项式，可用竖式进行演算，步骤如下：
①把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐（或留出空白）；
②用被除式的第一项去除除式第一项，得到商式的第一项，写再被除式的同次幂上方；
③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），从被除式中减去这个积；
④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式＝除式×商式+余式，若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除．
例如：计算2x5+3x3+5x2﹣2x+10除以x2+1的商式和余式，可以用竖式演算如图．
所以2x5+3x3+5x2﹣2x+10除以x2+1的商式为2x3+x+5，余式为﹣3x+5．
（1）计算（2x3﹣3x2+4x﹣5）÷（x+2）的商式为 ，余式为 ；
（2）2x4﹣4x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，求a、b的值．
【题型9 整式乘法中的新定义】
【例9】（2023秋•夏津县期中）阅读并解决其后的问题：
我们将四个有理数a，b，c，d写成abcd|的形式，称它为由有理数a，b，c，d组成的二阶矩阵，a，b，c，d为构成这个矩阵的元素，我们定义矩阵的运算为：abcd|=ad﹣bc，对于两个矩阵相加我们定义为：abcd|+mnxy|=a+mb+nc+xd+y|，下面是两个二阶矩阵的加法运算过程：2−335|+−2−41−1|=2+(−2)(−3)+(−4)3+15+(−1)|=0−744|=0×4﹣4×（﹣7）＝28．
（1）计算17−562|+−151216−8|+−151216−8的值；
（2）计算2x−3x+225x−7|+−2x4x+862x+3|+−2x4x+862x+3．
【变式9-1】（2023秋•兰陵县期中）定义：若A﹣B＝1，则称A与B是关于1的单位数．
（1）3与 是关于1的单位数，x﹣3与 是关于1的单位数．（填一个含x的式子）
（2）若A＝3x（x+2）﹣1，B=2(32x2+3x−1)，判断A与B是否是关于1的单位数，并说明理由．
【变式9-2】（2023•顺平县二模）如果一个两位数a的个位数字与十位数字都不是零，且互不相同，我们称这个两位数为“跟斗数”，定义新运算：将一个“跟斗数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记ω（a），例如：a＝13，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的和，31+13＝44，和与11的商44÷11＝4，所以ω（13）＝4．根据以上定义，回答下列问题：
（1）计算：ω（23）＝ ．
（2）若一个“跟斗数”b的十位数字是k，个位数字是2（k+1），且ω（b）＝8，则“跟斗数”b＝ ．
（3）若m，n都是“跟斗数”，且m+n＝100，则ω（m）+ω（n）＝ ．
【变式9-3】（2023•渝中区校级模拟）阅读以下材料：
材料一：如果两个两位数ab，cd，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后得到两个完全不同的新数ba，dc，这两个两位数的乘积与交换后的两个两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为一对“有缘数对”．
例如：46×96＝64×69＝4416，所以，46和96是一对“有缘数对”，
材料二：在进行一些数学式计算时，我们可以把某一单项式或多项式看作一个整体，运用整体换元，使得运算更简单．
例如：计算（x2+3x﹣1）（x2+3x﹣8），令：（x2+3x）＝A，
原式＝（A﹣1）（A﹣8）＝A2﹣9A+8＝（x2+3x）2﹣9（x2+3x）+8
＝x4+6x3﹣27x+8
解决如下问题：
（1）①请任写一对“有缘数对” 和 ．
②并探究“有缘数对”ab和cd，a，b，c，d之间满足怎样的等量关系．并写出证明过程．
（2）若两个两位数（x2+2x+3）（x2﹣2x+4）与（x2﹣2x+5）（x2+2x+5）是一对“有缘数对”，请求出这两个两位数．
【题型10 整式乘法中的规律探究】
【例10】（2023春•江都区期中）探究规律，并回答问题：
（1）运用多项式乘法，计算下列各题：
①（x+2）（x+3）＝ ；
②（x+2）（x﹣3）＝ ；
③（x﹣3）（x﹣1）＝ ；
（2）若（x+a）（x+b）＝x2+px+q，则p＝ ，q＝ ；
（3）根据此规律，直接写出以下结果：
①（x+5）（x+7）＝ ；
②（t+2）（t﹣1）＝ ．
【变式10-1】（2023春•永丰县期末）探究发现：在数学中，有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决．
阅读解答：比较20182019×20182016与20182017×20182018的大小．
解：设20182017＝a，那么20182019×20182016＝（a+2）（a﹣1）＝a2+a﹣2；20182017×20182018＝a2+a．
因为a2+a﹣2 a2+a（填＜＞、或＝），
所以20182019×20182016 20182017×20182018（填＜、＞、或＝）．
问题解决：化简求代数式的值．
（m+22.2018）（m+14.2018）﹣（m+18.2018）（m+17.2018），其中m＝2016．
【变式10-2】（2023春•包河区期末）探究规律，解决问题：
（1）化简：（m﹣1）（m+1）＝ ，（m﹣1）（m2+m+1）＝ ．
（2）化简：（m﹣1）（m3+m2+m+1），写出化简过程．
（3）化简：（m﹣1）（mn+mn﹣1+mn﹣2+…+1）＝ ．（n为正整数，mn+mn﹣1+mn﹣2+…+1为n+1项多项式）
（4）利用以上结果，计算1+3+32+33+…+3100的值．
【变式10-3】（2023春•雅安期末）已知x≠1．观察下列等式：
（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2；
（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3；
（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4；
…
（1）猜想：（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+xn﹣1）＝ ；
（2）应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值：
①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25+26）＝ ；
②（x﹣1）（x2022+x2021+x2020+…+x2+x+1）＝ ．
（3）判断2100+299+298+…+22+2+1的值的个位数是几？并说明你的理由．单项式×单项式：系数相乘，字母相乘．
单项式×多项式：乘法分配律．
多项式×多项式：乘法分配律．
单项式÷单项式：系数相除，字母相除．
多项式÷单项式：除法性质．
多项式÷多项式：大除法．
专题8.2 整式的乘法【十大题型】
【沪科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc24494" 【题型1 整式乘法中的求值问题】 PAGEREF _Tc24494 \h 1
\l "_Tc25412" 【题型2 整式乘法中的不含某项问题】 PAGEREF _Tc25412 \h 3
\l "_Tc1011" 【题型3 整式乘法中的错看问题】 PAGEREF _Tc1011 \h 4
\l "_Tc13122" 【题型4 整式乘法中的遮挡问题】 PAGEREF _Tc13122 \h 6
\l "_Tc30257" 【题型5 整式乘法的计算】 PAGEREF _Tc30257 \h 7
\l "_Tc27652" 【题型6 整式乘法的应用】 PAGEREF _Tc27652 \h 8
\l "_Tc31513" 【题型7 整式除法的运算与求值】 PAGEREF _Tc31513 \h 11
\l "_Tc14044" 【题型8 整式除法的应用】 PAGEREF _Tc14044 \h 13
\l "_Tc22651" 【题型9 整式乘法中的新定义】 PAGEREF _Tc22651 \h 16
\l "_Tc1308" 【题型10 整式乘法中的规律探究】 PAGEREF _Tc1308 \h 20
【知识点1 整式的乘法】
【题型1 整式乘法中的求值问题】
【例1】（x+m）（x﹣n）＝x2+ax+7（m，n为整数），则a的值可能是（ ）
A．7B．﹣7C．8D．﹣9
分析：根据多项式乘多项式的乘法法则（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd解决此题．
【解答】解：（x+m）（x﹣n）＝x2﹣nx+mx﹣mn＝x2+（m﹣n）x﹣mn．
∵（x+m）（x﹣n）＝x2+ax+7（m，n为整数），
∴m﹣n＝a，﹣mn＝7．
∴m＝1，n＝﹣7或m＝﹣1，n＝7或m＝7，n＝﹣1或m＝﹣7，n＝1．
∴a＝m﹣n＝8或﹣8．
故选：C．
【变式1-1】（2023春•汝州市校级月考）若（5x+2）（3﹣x）＝﹣5x2+kx+p，则代数式（k﹣p）2的值为（ ）
A．98B．49C．14D．7
分析：根据多项式乘多项式的法则把等式的左边进行计算后，与等式的右边对比，即可求出k和p的值，进而即可得出答案．
【解答】解：∵（5x+2）（3﹣x）＝﹣5x2+kx+p，
∴15x﹣5x2+6﹣2x＝﹣5x2+kx+p，
∴﹣5x2+13x+6＝﹣5x2+kx+p，
∴k＝13，p＝6，
∴（k﹣p）2＝（13﹣6）2＝72＝49，
故选：B．
【变式1-2】（2023春•诸暨市期末）若A、B、C均为整式，如果A•B＝C，则称A能整除C，例如由（x+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6，可知x﹣2能整除x2+x﹣6．若已知x﹣3能整除x2+kx﹣7，则k的值为（ ）
A．−73B．−23C．43D．23
分析：利用给出的定义进行整式的相关运算，求出k的值．
【解答】解：由题意可令（x﹣3）（x+a）＝x2+kx﹣7，
∴x2+（a﹣3）x﹣3a＝x2+kx﹣7，
∴﹣3a＝﹣7，a=73，
a﹣3＝k，k=73−3=−23．
故选：B．
【变式1-3】（2023春•江都区期中）如果（x+a）（x+b）＝x2+mx﹣12（其中a，b都是整数），那么m可取的值共有（ ）
A．2个B．4个C．6个D．8个
分析：直接利用多项式乘以多项式分析得出答案．
【解答】解：∵（x+a）（x+b）＝x2+mx﹣12，
∴当a＝1，b＝﹣12时，m＝﹣11；
当a＝﹣1，b＝12时，m＝11；
当a＝2，b＝﹣6时，m＝﹣4；
当a＝﹣2，b＝6时，m＝4；
当a＝3，b＝﹣4时，m＝﹣1；
当a＝﹣3，b＝4时，m＝1；
故m的值共6个．
故选：C．
【题型2 整式乘法中的不含某项问题】
【例2】（2023秋•黔江区期末）要使（x2﹣x+5）（2x2﹣ax﹣4）展开式中不含x2项，则a的值等于（ ）
A．﹣6B．6C．14D．﹣14
分析：根据多项式乘以多项式的法则进行展开，然后按照x的降序排列，使x的二次项的系数为0即可．
【解答】解：（x2﹣x+5）（2x2﹣ax﹣4）
＝2x4﹣ax3﹣4x2﹣2x3+ax2+4x+10x2﹣5ax﹣20
＝2x4﹣（a+2）x3+（a+6）x2+（4﹣5a）x﹣20，
∵展开式中不含x2项，
∴a+6＝0，
∴a＝﹣6，
故选：A．
【变式2-1】（2023春•双流区校级期中）关于x的代数式（ax﹣3）（2x+1）﹣4x2+m化简后不含有x2项和常数项，且an+mn＝﹣5，求﹣4n2+3m的值．
分析：先利用多项式乘多项式法则化简整式，再根据化简后不含有x2项和常数项求出a、m，代入方程an+mn＝﹣5求出n，最后求出﹣4n2+3m的值．
【解答】解：（ax﹣3）（2x+1）﹣4x2+m
＝2ax2﹣6x+ax﹣3﹣4x2+m
＝（2a﹣4）x2+（a﹣6）x+m﹣3．
∵化简后不含有x2项和常数项，
∴2a﹣4＝0，m﹣3＝0．
∴a＝2，m＝3．
∵an+mn＝﹣5，
∴2n+3n＝﹣5．
∴n＝﹣1．
∴﹣4n2+3m
＝﹣4×（﹣1）2+3×3
＝﹣4×1+9
＝﹣4+9
＝5．
【变式2-2】（2023秋•耒阳市校级月考）已知多项式M＝x2+5x﹣a，N＝﹣x+2，P＝x3+3x2+5，且M•N+P的值与x的取值无关，求字母a的值．
分析：根据多项式与多项式相乘的法则计算，根据题意列出方程，解方程即可．
【解答】解：M•N+P＝（x2+5x﹣a）（﹣x+2）+（x3+3x2+5）
＝﹣x3+2x2﹣5x2+10x+ax﹣2a+x3+3x2+5
＝（10+a）x﹣2a+5，
由题意得，10+a＝0，
解得，a＝﹣10．
【变式2-3】（2023春•上城区期末）若多项式x2﹣（x﹣a）（x+2b）+4的值与x的取值大小无关，那么a，b一定满足（ ）
A．a＝0且b＝0B．a＝2bC．ab＝0D．a=b2
分析：根据多项式与多项式相乘的法则进行计算，根据题意列出算式，计算即可．
【解答】解：x2﹣（x﹣a）（x+2b）+4
＝x2﹣x2﹣2bx+ax+2ab+4
＝（a﹣2b）x+2ab+4，
∵多项式x2﹣（x﹣a）（x+2b）+4的值与x的取值大小无关，
∴a﹣2b＝0，即a＝2b，
故选：B．
【题型3 整式乘法中的错看问题】
【例3】（2023春•潍坊期末）小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以（x﹣2y）错抄成除以（x﹣2y），结果得到（3x﹣y），则正确的结果是（ ）
A．3x2﹣7xy+2y2B．3x2+7xy+2y2
C．3x3﹣13x2y+16xy2﹣4y3D．3x3﹣13x2y+16xy2+4y3
分析：直接利用多项式乘多项式运算法则计算得出答案．
【解答】解：∵小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以（x﹣2y）错抄成除以（x﹣2y），结果得到（3x﹣y），
∴原式＝（3x﹣y）（x﹣2y）
＝3x2﹣6xy﹣xy+2y2
＝3x2﹣7xy+2y2，
则正确计算结果为：（3x2﹣7xy+2y2）（x﹣2y）
＝3x3﹣7x2y+2xy2﹣6x2y+14xy2﹣4y3
＝3x3﹣13x2y+16xy2﹣4y3．
故选：C．
【变式3-1】（2023春•芦溪县期中）某同学在计算一个多项式乘以﹣2a时，因抄错运算符号，算成了加上﹣2a，得到的结果是a2+2a﹣1，那么正确的计算结果是多少？
分析：根据题意首先求出多项式，进而利用单项式乘以多项式运算法则求出即可．
【解答】解：∵计算一个多项式乘以﹣2a时，因抄错运算符号，算成了加上﹣2a，得到的结果是a2+2a﹣1，
∴这个多项式为：a2+2a﹣1+2a＝a2+4a﹣1，
∴正确的计算结果是：﹣2a（a2+4a﹣1）＝﹣2a3﹣8a2+2a．
【变式3-2】（2023秋•云县期末）在计算（x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到结果x2+8x+12；乙错把a看成了﹣a，得到结果x2+x﹣6．你能正确计算（x+a）（x+b）吗？（a、b都是常数）
分析：根据甲的做法求出a的值，根据乙的做法求出b的值，代入原式中计算即可．
【解答】解：∵（x+a）（a+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+8x+12，
∴6+a＝8，
∴a＝2；
∵（x﹣a）（x+b）＝x2+（b﹣a）x﹣ab＝x2+x﹣6，
∴b﹣a＝1，
∴b＝3，
∴（x+a）（a+b）
＝（x+2）（x+3）
＝x2+5x+6．
【变式3-3】（2023春•河源期末）甲、乙两人共同计算一道整式：（x+a）（2x+b），由于甲抄错了a的符号，得到的结果是2x2﹣7x+3，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x﹣3．
（1）求（﹣2a+b）（a+b）的值；
（2）若整式中的a的符号不抄错，且a＝3，请计算这道题的正确结果．
分析：（1）按甲乙错误的说法计算得出的系数的数值求出a，b的值；
（2）将a，b的值代入原式求出整式乘法的正确结果．
【解答】解：（1）甲抄错了a的符号的计算结果为：（x﹣a）（2x+b）＝2x2+（﹣2a+b）x﹣ab＝2x2﹣7x+3，
故：对应的系数相等，﹣2a+b＝﹣7，ab＝﹣3；
乙漏抄了第二个多项式中x的系数，计算结果为：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab＝x2+2x﹣3．
故：对应的系数相等，a+b＝2，ab＝﹣3，
∴−2a+b=−7a+b=2，
解得：a=3b=−1，
∴（﹣2a+b）（a+b）＝[（﹣2）×3﹣1]（3﹣1）＝﹣7×2＝﹣14；
（2）由（1）可知，b＝﹣1正确的计算结果：（x+3）（2x﹣1）＝2x2+5x﹣3．
【题型4 整式乘法中的遮挡问题】
【例4】（2023秋•天津期末）在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3+□+3x，“□”的地方被墨水污染了，你认为“□”内应填写（ ）
A．9x2B．﹣9x2C．9xD．﹣9x
分析：根据单项式与多项式相乘的运算法则计算可得出答案．
【解答】解：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3﹣9x2+3x，
故选：B．
【变式4-1】（2023秋•河南月考）今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（ ）
A．+21xyB．﹣21xyC．﹣3D．﹣10xy
分析：先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论．
【解答】解：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y+21xy．
故选：A．
【变式4-2】（2023春•江都区期中）今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题3x2y（2xy2﹣xy﹣1）＝6x3y3 ﹣3x3y2 ﹣3x2y，空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写 ﹣3x3y3 ．
分析：直接利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案．
【解答】解：∵3x2y（2xy2﹣xy﹣1）＝6x3y3﹣3x3y2﹣3x2y，
∴横线上应填写﹣3x3y2，
故答案为：﹣3x3y2，﹣3x3y2．
【变式4-3】（2023秋•岳麓区校级期中）已知x3﹣6x2+11x﹣6＝（x﹣1）（x2+mx+n），其中m、n是被墨水弄脏了看不清楚的两处，请求出m2+6mn+9n2的值．
分析：将（x﹣1）（x2+mx+n）展开求得m和n的值后代入代数式即可求得其值．
【解答】解：∵x3﹣6x2+11x﹣6＝（x﹣1）（x2+mx+n）＝x3+（m﹣1）x2+（n﹣m）x﹣n，
∴m﹣1＝﹣6，n＝6，
∴m＝﹣5，
∴m2+6mn+9n2＝（﹣5）2+6×（﹣5）×6+9×62＝25﹣180+324＝169．
【题型5 整式乘法的计算】
【例5】（2023春•冠县期中）计算：
（1）（x﹣2y）（x+2y﹣1）+4y2
（2）（a2b）[（ab2）2+（2ab）3+3a2]．
分析：（1）原式利用多项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到结果；
（2）原式先利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘以多项式法则计算即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝（x﹣2y）（x+2y）﹣x+2y+4y2＝x2﹣4y2﹣x+2y+4y2＝x2﹣x+2y；
（2）原式＝a2b（a2b4+8a3b3+3a2）＝a4b5+8a5b4+3a4b．
【变式5-1】（2023春•西城区校级期中）求（x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2）的值，其中x＝﹣2．
分析：根据多项式乘多项式的运算法则把要求的式子进行整理，然后代值计算即可．
【解答】解：（x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2）
＝2x2﹣x﹣1﹣2（x2﹣3x﹣10）
＝2x2﹣x﹣1﹣2x2+6x+20
＝5x+19，
把x＝﹣2代入原式得：
原式＝5×（﹣2）+19＝﹣10+19＝9．
【变式5-2】（2023秋•长宁区校级期中）12x(4−2x)−2（3﹣2x）（4x+1）．
分析：利用单项式乘多项式、多项式乘多项式法则，先算乘方，再加减．
【解答】解：原式=12x•4−12x•2x﹣2（3•4x+3•1﹣2x•4x﹣2x•1）
＝2x﹣x2﹣2（12x+3﹣8x2﹣2x）
＝2x﹣x2﹣24x﹣6+16x2+4x
＝15x2﹣18x﹣6．
【变式5-3】（2023春•海陵区校级月考）计算：
（1）﹣3x2（2x﹣4y）+2x（x2﹣xy）．
（2）（3x+2y）（2x﹣3y）﹣3x（3x﹣2y）．
分析：（1）根据多项式乘多项式，多项式乘单项式进行计算即可；
（2）根据多项式乘多项式，多项式乘单项式进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣6x3+12x2y+2x3﹣2x2y
＝﹣4x3+10x2y；
（2）原式＝6x2﹣9xy+4xy﹣6y2﹣9x2+6xy
＝﹣3x2+xy﹣6y2．
【题型6 整式乘法的应用】
【例6】（2023春•杭州期中）如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（2a+3b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为（ ）
A．2，8，5B．3，8，6C．3，7，5D．2，6，7
分析：由（2a+3b）×（a+2b）＝2a2+7ab+6b2，得A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为b2，C类卡片的面积为ab，因此需要A类卡片2张，B类卡片6张，C类卡片7张．
【解答】解：长为（2a+3b），宽为（a+2b）的大长方形的面积为：（2a+3b）×（a+2b）＝2a2+7ab+6b2，
∵A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为b2，C类卡片的面积为ab，
∴需要A类卡片2张，B类卡片6张，C类卡片7张．
故选：D．
【变式6-1】（2023春•吴江区期末）从前，古希腊一位庄园主把一块长为a米，宽为b米（a＞b＞100）的长方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加10米，宽减少10米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（ ）
A．变小了B．变大了C．没有变化D．无法确定
分析：原面积可列式为ab，第二年按照庄园主的想法则面积变为（a+10）（b﹣10），又a＞b，通过计算可知租地面积变小了．
【解答】解：由题意可知：原面积为ab（平方米），
第二年按照庄园主的想法则面积变为（a+10）（b﹣10）＝ab﹣10a+10b﹣100＝[ab﹣10（a﹣b）﹣100]平方米，
∵a＞b，
∴ab﹣10（a﹣b）﹣100＜ab，
∴面积变小了，
故选：A．
【变式6-2】（2023秋•安溪县期中）如图1，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为（4a+3b）米，宽为（2a+3b）米的长方形草坪上修建一横一竖，宽度均为b米的通道．
（1）通道的面积共有多少平方米？
（2）若修两横一竖，宽度均为b米的通道（如图2），已知a＝2b，剩余草坪的面积是162平方米，求通道的宽度是多少米？
分析：（1）根据通道的面积＝两个长方形面积﹣中间重叠部分的正方形的面积计算即可；
（2）根据剩余草坪的面积＝大长方形面积﹣通道的面积，求得剩余草坪的面积，再根据a＝2b，剩余草坪的面积是162平方米，列出方程求解即可．
【解答】解：（1）S通道＝b（2a+3b）+b（4a+3b）﹣b2
＝2ab+3b2+4ab+3b2﹣b2
＝（6ab+5b2）平方米，
答：通道的面积共有（6ab+5b2）平方米；
（2）S草坪＝（4a+3b）（2a+3b）﹣[2b（2a+3b）+b（4a+3b）﹣2b2]
＝8a2+18ab+9b2﹣（4ab+6b2+4ab+3b2﹣2b2）
＝8a2+18ab+9b2﹣8ab﹣7b2
＝8a2+10ab+2b2，
∵a＝2b，
∴8a2+10ab+2b2
＝8×（2b）2+10×2b•b+2b2
＝32b2+20b2+2b2
＝54b2
＝162，
∴b2＝3，
∴b＝±3（负值舍去）（米）．
答：通道的宽度是3米．
【变式6-3】（2023春•莲湖区期末）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，面积分别为S1，S2．
（1）S1与S2的大小关系为：S1 ＜ S2．
（2）若一个正方形的周长与甲的周长相等．
①求该正方形的边长（用含m的代数式表示）．
②若该正方形的面积为S3，试探究：S3与S2的差（即S3﹣S2）是否为常数？若为常数，求出这个常数，如果不是，请说明理由．
分析：（1）根据长方形的面积公式列式，然后根据整式的混合运算法则进行计算求解；
（2）①根据正方形和长方形的周长公式计算求解；
②根据正方形和长方形的面积公式列式，然后利用整式的混合运算法则进行计算求解．
【解答】解：（1）由题意：
S1＝（m+2）（m+6）＝m2+6m+2m+12＝m2+8m+12，
S2＝（m+5）（m+3）＝m2+5m+3m+15＝m2+8m+15，
∵S1﹣S2＝（m2+8m+12）﹣（m2+8m+15）＝m2+8m+12﹣m2﹣8m﹣15＝﹣3＜0，
∴S1＜S2，
故答案为：＜，
（2）①甲的周长为2（m+2+m+6）＝4m+16，
∵正方形的周长与甲的周长相等，
∴正方形的边长为4m+164=m+4，
②由①可得，正方形的面积S3＝（m+4）2，
∴S3﹣S2＝（m+4）2﹣（m2+8m+15）
＝m2+8m+16﹣m2﹣8m﹣15
＝1，
∴S3与S2的差（即S3﹣S2）是常数，这个常数是1．
【知识点2 整式的除法】
【题型7 整式除法的运算与求值】
【例7】（2023•襄都区校级开学）先化简，再求值：[（xy+2）（xy﹣2）﹣2x2y2+4]÷xy，其中x＝﹣10，y=125．
分析：先根据平方差公式进行计算，再合并同类项，算除法，最后代入求出答案即可．
【解答】解：[（xy+2）（xy﹣2）﹣2x2y2+4]÷xy
＝（x2y2﹣4﹣2x2y2+4）÷xy
＝﹣x2y2÷xy
＝﹣xy，
当x＝﹣10，y=125时，原式＝﹣（﹣10）×125=25．
【变式7-1】（2023春•秀洲区校级月考）若等式（6a3+3a2）÷（6a）＝（a+1）（a+2）成立，则a的值为 −45 ．
分析：根据多项式除以单项式，多项式乘以多项式的法则计算，再解关于a的方程即可求解．
【解答】解：（6a3+3a2）÷（6a）＝（a+1）（a+2）
a2+12a＝a2+3a+2，
−52a＝2，
解得a=−45．
故答案为：−45．
【变式7-2】（2023春•萧山区月考）若A与−12ab的积为−4a3b3+3a2b2−12ab，则A为（ ）
A．﹣8a2b2+6ab﹣1B．−2a2b2+32ab+14
C．8a2b2﹣6ab+1D．2a2b2−32ab+1
分析：由题意可得所求的式子为：（−4a3b3+3a2b2−12ab）÷（−12ab），利用整式的除法的法则进行运算即可．
【解答】解：由题意得：
（−4a3b3+3a2b2−12ab）÷（−12ab）
＝﹣4a3b3÷（−12ab）+3a2b2÷（−12ab）−12ab÷（−12ab）
＝8a2b2﹣6ab+1．
故选：C．
【变式7-3】（2023·四川·石室佳兴外国语学校七年级阶段练习）已知多项式2x2﹣4x﹣1除以一个多项式A，得商式为2x，余式为x﹣1，则这个多项式A＝_____．
分析：根据“除式=（被除式-余式）÷商”列式，再利用多项式除单项式，先把多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，计算即可．
【解答】解：由题意可得：
A=(2x2−4x−1)−(x−1)÷2x
=(2x2−5x)÷2x
=x−52
故答案为：x−52
【题型8 整式除法的应用】
【例8】（2023秋•渝中区校级期中）某玩具加工厂要制造如图所示的两种形状的玩具配件，其中，配件①是由大、小两个长方体构成的，大长方体的长、宽、高分别为：52a、2a、32a，小长方体的长、宽、高分别为：2a、a、a2；配件②是一个正方体，其棱长为a
（1）生产配件①与配件②分别需要多长体积的原材料（不计损耗）？
（2）若两个配件①与一个配件②可以用于加工一个玩具，每个玩具在市场销售后可获利30元，则1000a3体积的这种原材料可使该厂最多获利多少元？
分析：（1）先算出两个长方体的体积，再相加，即可得出配件①的体积，求出棱长为a的正方体体积，即可得出配件②的体积；
（2）根据题意列出算式1000a3÷（2×172a3+a3）×30，求出即可．
【解答】解：（1）生产配件①需要的原材料的体积是：52a•2a•32a+2a•a•a2=172a3；
生产配件②需要的原材料的体积是：a•a•a＝a3；
（2）根据题意得：1000a3÷（2×172a3+a3）×30=50003（元），
答：1000a3体积的这种原材料可使该厂最多获利50003元．
【变式8-1】（2023春•抚州期末）如图1，将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，制成如图2的无盖纸盒，若该纸盒的容积为4a2b，则图2中纸盒底部长方形的周长为（ ）
A．4abB．8abC．4a+bD．8a+2b
分析：根据长方体纸盒的容积等于底面积乘以高，底面积等于底面长方形的长与宽的乘积可以先求出宽，再计算纸盒底部长方形的周长即可．
【解答】解：根据题意，得
纸盒底部长方形的宽为4a2bab=4a，
∴纸盒底部长方形的周长为：2（4a+b）＝8a+2b．
故选：D．
【变式8-2】（2023春•蜀山区期中）爱动脑筋的丽丽与娜娜在做数学小游戏，两人各报一个整式，丽丽报的整式A作被除式，娜娜报的整式B作除式，要求商式必须为﹣3xy（即A÷B＝﹣3xy）
（1）若丽丽报的是x3y﹣6xy2，则娜娜应报什么整式？
（2）若娜娜也报x3y﹣6xy2，则丽丽能报一个整式吗？若能，则是个什么整式？说说你的理由．
分析：根据A÷B＝﹣3xy，可知：
（1）B＝（x3y﹣6xy2）÷（﹣3xy）=−13x2+2y；
（2）A＝（x3y﹣6xy2）（﹣3xy）＝﹣3x4y2+18x2y3；
【解答】解：（1）A＝x3y﹣6xy2，
∴B＝（x3y﹣6xy2）÷（﹣3xy）=−13x2+2y；
（2）A＝（x3y﹣6xy2）（﹣3xy）＝﹣3x4y2+18x2y3；
【变式8-3】（2023秋•思明区校级期中）【阅读材料】多项式除以多项式，可用竖式进行演算，步骤如下：
①把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐（或留出空白）；
②用被除式的第一项去除除式第一项，得到商式的第一项，写再被除式的同次幂上方；
③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），从被除式中减去这个积；
④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式＝除式×商式+余式，若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除．
例如：计算2x5+3x3+5x2﹣2x+10除以x2+1的商式和余式，可以用竖式演算如图．
所以2x5+3x3+5x2﹣2x+10除以x2+1的商式为2x3+x+5，余式为﹣3x+5．
（1）计算（2x3﹣3x2+4x﹣5）÷（x+2）的商式为 2x2﹣7x+18 ，余式为 ﹣41 ；
（2）2x4﹣4x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，求a、b的值．
分析：（1）根据整式除法的竖式计算方法，整体进行计算即可；
（2）根据整式除法的竖式计算方法，要使x3﹣x2+ax+b能被x2+2x+2整除，即余式为0，可以得到a、b的值．
【解答】解：（1）（2x3﹣3x2+4x﹣5）÷（x+2）＝2x2﹣7x+18……﹣41，
故答案为：2x2﹣7x+18，﹣41；
（2）由题意得：
∵2x4﹣4x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，
∴﹣5﹣（a+10）＝0，b+2（a+10）＝0
即：a＝﹣15，b＝10．
【题型9 整式乘法中的新定义】
【例9】（2023秋•夏津县期中）阅读并解决其后的问题：
我们将四个有理数a，b，c，d写成abcd|的形式，称它为由有理数a，b，c，d组成的二阶矩阵，a，b，c，d为构成这个矩阵的元素，我们定义矩阵的运算为：abcd|=ad﹣bc，对于两个矩阵相加我们定义为：abcd|+mnxy|=a+mb+nc+xd+y|，下面是两个二阶矩阵的加法运算过程：2−335|+−2−41−1|=2+(−2)(−3)+(−4)3+15+(−1)|=0−744|=0×4﹣4×（﹣7）＝28．
（1）计算17−562|+−151216−8|+−151216−8的值；
（2）计算2x−3x+225x−7|+−2x4x+862x+3|+−2x4x+862x+3．
分析：（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）原式利用题中的新定义化简，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：
原式=17−15−5+126+162−8
=2722−6
＝2×（﹣6）﹣7×22
＝﹣12﹣154
＝﹣166；
（2）根据题中的新定义得：
原式=2x−3−2xx+2+4x+82+65x−7+2x+3
=−35x+1087x−4
＝﹣3（7x﹣4）﹣8（5x+10）
＝﹣21x+12﹣40x﹣80
＝﹣61x﹣68．
【变式9-1】（2023秋•兰陵县期中）定义：若A﹣B＝1，则称A与B是关于1的单位数．
（1）3与 4或2 是关于1的单位数，x﹣3与 x﹣4 是关于1的单位数．（填一个含x的式子）
（2）若A＝3x（x+2）﹣1，B=2(32x2+3x−1)，判断A与B是否是关于1的单位数，并说明理由．
分析：（1）根据关于1的单位数的定义，计算和确定3与x﹣3的单位数；
（2）计算A﹣B，根据关于1的单位数的定义判断．
【解答】解：（1）因为4﹣3＝1，3﹣2＝1，
所以3与4、2是关于1的单位数．
设x﹣3与M是关于1的单位数，
即x﹣3﹣M＝1，或M﹣（x﹣3）＝1
所以M＝x﹣4或M＝x﹣2．
故答案为：4或2；x﹣4．
（2）A与B是关于1的单位数．
∵A﹣B＝3x（x+2）﹣1﹣2（32x2+3x﹣1）
＝3x2+6x﹣1﹣3x2﹣6x+2
＝1
∴A与B是关于1的单位数．
【变式9-2】（2023•顺平县二模）如果一个两位数a的个位数字与十位数字都不是零，且互不相同，我们称这个两位数为“跟斗数”，定义新运算：将一个“跟斗数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记ω（a），例如：a＝13，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的和，31+13＝44，和与11的商44÷11＝4，所以ω（13）＝4．根据以上定义，回答下列问题：
（1）计算：ω（23）＝ 5 ．
（2）若一个“跟斗数”b的十位数字是k，个位数字是2（k+1），且ω（b）＝8，则“跟斗数”b＝ 26 ．
（3）若m，n都是“跟斗数”，且m+n＝100，则ω（m）+ω（n）＝ 19 ．
分析：（1）根据题目中“跟斗数”的定义，可以计算出f（23）的值；
（2）根据题意，可以得到关于k的方程，从而可以求得k的值，然后即可得到b的值；
（3）根据题意，可以表示出m、n，然后即可计算出f（m）+f（n）的值．
【解答】解：（1）ω(23)=23+3211=5．
故答案为：5；
（2）∵一个“跟斗数”b的十位数字是k，个位数字是2（k+1），且ω（b）＝8，
∴[10k+2(k+1)]+[10×2(k+1)+k]11=8，
解得k＝2，
∴2（k+1）＝6，
∴b＝26．
故答案为：26；
（3）∵m，n都是“跟斗数”，且m+n＝100，设m＝10x+y，则n＝10（9﹣x）+（10﹣y），
∴ω（m）+ω（n）
=(10x+y)+(10y+x)11+[10(9−x)+(10−y)]+[10(10−y)+(9−x)]11
=10x+y+10y+x11+90−10x+10−y+100−10y+9−x11
=11x+11y11+209−11x−11y11
＝x+y+19﹣x﹣y
＝19．
故答案为：19．
【变式9-3】（2023•渝中区校级模拟）阅读以下材料：
材料一：如果两个两位数ab，cd，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后得到两个完全不同的新数ba，dc，这两个两位数的乘积与交换后的两个两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为一对“有缘数对”．
例如：46×96＝64×69＝4416，所以，46和96是一对“有缘数对”，
材料二：在进行一些数学式计算时，我们可以把某一单项式或多项式看作一个整体，运用整体换元，使得运算更简单．
例如：计算（x2+3x﹣1）（x2+3x﹣8），令：（x2+3x）＝A，
原式＝（A﹣1）（A﹣8）＝A2﹣9A+8＝（x2+3x）2﹣9（x2+3x）+8
＝x4+6x3﹣27x+8
解决如下问题：
（1）①请任写一对“有缘数对” 43 和 68 ．
②并探究“有缘数对”ab和cd，a，b，c，d之间满足怎样的等量关系．并写出证明过程．
（2）若两个两位数（x2+2x+3）（x2﹣2x+4）与（x2﹣2x+5）（x2+2x+5）是一对“有缘数对”，请求出这两个两位数．
分析：（1）①根据ac＝bd写出一对“有缘数对”；
②根据定义得：（10a+b）（10c+d）＝（10b+a）（10d+c），化简得ac＝bd；
（2）根据定义列等式，化简解方程可得x的值，可得这两个两位数．
【解答】解：（1）①∵43×68＝2924，34×86＝2924，
∴43和68是一对“有缘数对”，
故答案为：43，68；
②“有缘数对”ab和cd，a，b，c，d之间满足：ac＝bd，
理由是：由题意得：（10a+b）（10c+d）＝（10b+a）（10d+c），
100ac+10bc+10ad+bd＝100bd+10bc+10ad+ac，
99ac＝99bd，
ac＝bd；
（2）∵两位数（x2+2x+3）（x2﹣2x+4）与（x2﹣2x+5）（x2+2x+5）是一对“有缘数对”，
∴（x2+2x+3）•（x2﹣2x+5）＝（x2﹣2x+4）•（x2+2x+5），
（x2+2x）（x2﹣2x）+5（x2+2x）+3（x2﹣2x）+15＝（x2﹣2x）（x2+2x）+5（x2﹣2x）+4（x2+2x）+20，
x2+2x﹣2x2+4x﹣5＝0，
x2﹣6x+5＝0，
x＝1或5，
当x＝1时，x2+2x+3＝6，x2﹣2x+4＝3，x2﹣2x+5＝4，x2+2x+5＝8，
当x＝5时，x2+2x+3＝38，不符合题意，
∴这两个两位数分别是63和48．
【题型10 整式乘法中的规律探究】
【例10】（2023春•江都区期中）探究规律，并回答问题：
（1）运用多项式乘法，计算下列各题：
①（x+2）（x+3）＝ x2+5x+6 ；
②（x+2）（x﹣3）＝ x2﹣x﹣6 ；
③（x﹣3）（x﹣1）＝ x2﹣4x+3 ；
（2）若（x+a）（x+b）＝x2+px+q，则p＝ a+b ，q＝ ab ；
（3）根据此规律，直接写出以下结果：
①（x+5）（x+7）＝ x2+12x+35 ；
②（t+2）（t﹣1）＝ t2+t﹣2 ．
分析：根据多项式与多项式相乘的运算法则计算即可．
【解答】解：①（x+2）（x+3）＝x2+5x+6；
②（x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6；
③（x﹣3）（x﹣1）＝x2﹣4x+3；
故答案为：x2+5x+6；x2﹣x﹣6；x2﹣4x+3；
（2）若（x+a）（x+b）＝x2+px+q，则p＝a+b，q＝ab；
故答案为：a+b，ab；
（3）①（x+5）（x+7）＝x2+12x+35；
②（t+2）（t﹣1）＝t2+t﹣2．
故答案为：x2+12x+35；t2+t﹣2．
【变式10-1】（2023春•永丰县期末）探究发现：在数学中，有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决．
阅读解答：比较20182019×20182016与20182017×20182018的大小．
解：设20182017＝a，那么20182019×20182016＝（a+2）（a﹣1）＝a2+a﹣2；20182017×20182018＝a2+a．
因为a2+a﹣2 ＜ a2+a（填＜＞、或＝），
所以20182019×20182016 ＜ 20182017×20182018（填＜、＞、或＝）．
问题解决：化简求代数式的值．
（m+22.2018）（m+14.2018）﹣（m+18.2018）（m+17.2018），其中m＝2016．
分析：解：（1）根据a2+a＞0，可得a2+a﹣2＜a2+a，从而得到20182019×20182016＜20182017×20182018即可；
（2）设a＝m+17.2018,可得（a+5）（a﹣3）﹣（a+3）（a+2），再化简计算即可．
【解答】解：由题知：a2+a＞0；
∴a2+a﹣2＜a2+a；
∴20182019×20182016＜20182017×20182018；
故答案为：＜；＜．
设a＝m+17.2018,
∴原式＝（a+5）（a﹣3）﹣a（a+1)
＝a2+2a﹣15﹣a2﹣a
＝a﹣15
＝m+17.2018﹣15
＝m+2.2018，
∵m＝2016，
∴m+2.2018＝2018.2018．
【变式10-2】（2023春•包河区期末）探究规律，解决问题：
（1）化简：（m﹣1）（m+1）＝ m2﹣1 ，（m﹣1）（m2+m+1）＝ m3﹣1 ．
（2）化简：（m﹣1）（m3+m2+m+1），写出化简过程．
（3）化简：（m﹣1）（mn+mn﹣1+mn﹣2+…+1）＝ mn+1﹣1 ．（n为正整数，mn+mn﹣1+mn﹣2+…+1为n+1项多项式）
（4）利用以上结果，计算1+3+32+33+…+3100的值．
分析：（1）（2）根据多项式乘多项式的运算法则进行计算即可；
（3）根据（1）（2）得出的规律可直接得出答案；
（4）根据（3）的出的规律可直接代数进行计算即可．
【解答】解：（1）（m﹣1）（m+1）＝m2﹣1；
（m﹣1）（m2+m+1）＝m3﹣1；
故答案为：m2﹣1；m3﹣1；
（2）（m﹣1）（m3+m2+m+1）
＝m4+m3+m2+m﹣m3﹣m2﹣m﹣1
＝m4﹣1；
（3）（m﹣1）（mn﹣1+mn﹣2+…m2+m+1）＝mn+1﹣1；
故答案为：mn+1﹣1；
（4）根据（3）得出的规律可得：
1+3+32+33+…+3100
=3101−13−1，
=3101−12．
【变式10-3】（2023春•雅安期末）已知x≠1．观察下列等式：
（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2；
（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3；
（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4；
…
（1）猜想：（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+xn﹣1）＝ 1﹣xn ；
（2）应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值：
①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25+26）＝ ﹣127 ；
②（x﹣1）（x2022+x2021+x2020+…+x2+x+1）＝ x2023﹣1 ．
（3）判断2100+299+298+…+22+2+1的值的个位数是几？并说明你的理由．
分析：（1）根据所给的等式，不难得出结果；
（2）①利用（1）中的结论进行求解即可；
②利用（1）中的结论进行求解即可；
（3）先利用（1）的结论进行求解，再判断其个位数即可．
【解答】解：（1）∵（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2；
（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3；
（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4
…
∴（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+xn﹣1）＝1﹣xn；
故答案为：1﹣xn；
（2）①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25+26）
＝1﹣27
＝1﹣128
＝﹣127；
故答案为：﹣127；
（2）②（x﹣1）（x2022+x2021+x2020+…+x2+x+1）
＝﹣（1﹣x）（1+x+x2+…+x2022）
＝﹣（1﹣x2023）
＝x2023﹣1．
故答案为：x2023﹣1；
（3）1，理由如下：
2100+299+298+…+22+2+1
＝﹣（1﹣2）×（1+2+22+…+2100）
＝﹣（1﹣2101）
＝2101﹣1．
∵21的个位数是2，
22的个位数是4，
23的个位数是8，
24的个位数是6，
25的个位数是2，
…
∴其个位数以2，4，8，6不断循环出现，
∵101÷4＝25……1，
∴2101的个位数字是2，
∴2101﹣1的个位数是1．单项式×单项式：系数相乘，字母相乘．
单项式×多项式：乘法分配律．
多项式×多项式：乘法分配律．
单项式÷单项式：系数相除，字母相除．
多项式÷单项式：除法性质．
多项式÷多项式：大除法．