2024年吉林省松原市前郭县南部学区九年级第三次中考模拟测试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份2024年吉林省松原市前郭县南部学区九年级第三次中考模拟测试数学试题（原卷版+解析版），文件包含2024年吉林省松原市前郭县南部学区九年级第三次中考模拟测试数学试题原卷版docx、2024年吉林省松原市前郭县南部学区九年级第三次中考模拟测试数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。

一、选择题（每小题2分，共12分）
1. 如果升高30米记作＋30米，那么－5米表示（ ）
A. 上升5米B. 下降5米C. 上升25米D. 下降35米
【答案】B
【解析】
【分析】根据正负数表示一对相反意义的量解答．
【详解】解：如果升高30米记作＋30米，那么－5米表示下降5米，
故选：B．
【点睛】此题考查了正负数表示一对相反意义的量，正确理解题意是解题的关键．
2. 如图是由7个相同的小正方体拼成的立体图形，若从标有①、②、③、④的四个小正方体中取走一个后，余下的几何体与原几何体的左视图相同，则取走的小正方体不可能是（ ）
A. ④B. ③C. ②D. ①
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：若取走标有④的小正方体，则左视图只有上下两个正方形，比原来少了右侧的一个正方形；只取走标有①或②或③的小正方体，左视图不变，
所以取走的正方体不可能是④．
故选：A．
3. 式子化简后的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，根据积的乘方运算法则、同底数幂的乘法法则分别计算即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
，
，
故选：．
4. 如图，用直角三角板经过直线l外一点P画直线l的垂线，这样的垂线只能画出一条，这里面蕴含的数学道理是（ ）
A. 两点之间，线段最短
B. 两点确定一条直线
C. 垂线段最短
D. 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了垂线，在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，根据垂线的性质可得答案；
【详解】解：这样的直线只能画出一条，理由是：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
故选：D．
5. 如图，，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，
首先根据平行线的性质得到，然后根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】∵，，
∴
∵
∴．
故选：C．
6. 如图，是的直径，E是的中点，，的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，三线合一定理，弧与圆心角之间的关系，先由三线合一定理得到，再证明得到，则由圆周角定理可得．
【详解】解：∵，，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7. 分解因式：__________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据完全平方公式：，原式化成二项式平方．
【详解】解：；
故答案为：．
【点睛】本题考查公式法因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
8. 世界上最大的沙漠撒哈拉沙漠，位于非洲北部，面积约9060000平方千米，数据9060000用科学记数法表示为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
【详解】数据9060000用科学记数法表示为．
故答案为：．
9. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据一元二次方程根判别式可进行求解．
【详解】解：由可得一般式为，则有关于x的方程有两个不相等的实数根可知：，
解得：；
故答案为．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
10. 某新能源汽车销售公司2021年盈利a万元，2021年至2023年盈利的年平均增长率为，则该公司2023年的盈利是______万元．（用含a的代数式表示）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查列代数式的相关知识，根据增长率问题列出代数式，即可解题．
【详解】解：由题意得，公司2023年的盈利是，
故答案为：．
11. 如图，如图，安装路灯的路面比种植树木的地面高，在路灯的照射下，路基留在地面上的影长为，通过测量知道的距离为，则路灯的高度是______m．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，中心投影，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
根据题意可得：，，，从而可得，，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【详解】解：由题意得：，，
∴，
由题意得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴路灯的高度是,
故答案为：．
12. 如图，在等腰直角中，，尺规作图如下：以点B为圆心，适当长为半径画弧，交边于点D，分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画两条弧，两弧分别交于点E，F，连接与分别交于点G，H，则___________．
【答案】##135度
【解析】
【分析】本题考查了作图−基本作图，线段垂直平分线的作法与性质，等腰直角三角形的性质，熟记线段垂直平分线的作法与性质是解题的关键．
由作图可知，垂直平分，由等腰直角三角形的性质结合三角形外角的性质即可得出结果．
【详解】解：由作图可知，垂直平分，
∴，
又∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 如图，在三角形 中，，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则为___．
【答案】
【解析】
【分析】根据直角三角形勾股定理，得BC的值；再根据轴对称的性质，得到AE=CE；再通过勾股定理计算，即可得到答案．
【详解】∵，，
∴
∵将折叠，使点与点重合，折痕为
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形勾股定理、轴对称的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、轴对称的性质，从而完成求解．
14. 边长均为5的正五边形与一个正六边形按如图所示的方式拼接在一起，连接，则以为半径的与六边形及重叠部分图形的面积之和为____________（结果保留）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正多边形的内角与外角、等腰三角形的性质，求扇形面积，熟练正五边形的内角，正六边形的内角是解题的关键．
根据正五边形的内角和和正六边形的内角和公式求得正五边形的内角和正六边形的内角，然后根据周角的定义和等腰三角形性质求出，然后利用扇形面积公式求解即可．
【详解】解：如图所示，
由题意得：正六边形每个内角都等于，
正五边形的每个内角都等于，
∴，
∵，
∴，
∴
∴．
故答案为：．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【解析】
【分析】根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式运算法则进行化简，然后再代入数据计算即可．
【详解】解：
，
把代入得：
原式．
【点睛】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式运算法则，准确计算．
16. 如图，在中，，平分，过点D作于点E，于点F，点H是的中点，连接、，求证：四边形是菱形．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】此题考查菱形的性质与判定，关键是利用菱形的判定解答．
根据角平分线的性质得出，进而利用直角三角形的性质得出，进而利用菱形的判定．
【详解】证明：∵平分，，，
∴，，
∵点H是的中点，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
17. 某单位食堂为全体职工提供了套餐服务，准备在甲、乙、丙、丁四名职工中选出两名担任“食品安全监督员”，用画树状图或列表的方法求甲被选中的概率．
【答案】图见解析，
【解析】
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求概率，先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到甲被选中的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下所示：
由树状图知一共有12种等可能性的结果数，其中甲被选中的结果数有6种，
∴甲被选中的概率为．
18. 小明准备抄写600个汉字练习书法，原计划每天抄写相同数量的汉字．在抄写100个汉字后，为了提前完成任务，每天的练字数量是原来的2倍，结果共用7天完成了任务．求小明原来每天抄写汉字的个数．
【答案】小明原来每天抄写汉字的个数为50个
【解析】
【分析】设小明原来每天抄写汉字的个数为x个，则抄写100个汉字需要天，则抄写剩下的汉字需要天，根据一共7天完成了任务列出方程求解即可．
【详解】解：设小明原来每天抄写汉字的个数为x个，
由题意得，，
解得，
检验，当时，，
∴是原方程的解，
∴小明原来每天抄写汉字的个数为50个．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19. 如图，在4×4的菱形网格中，每个小菱形的锐角内角都为，边长都为1，线段AB的两个端点都在格点上，请按下列要求作格点图形（顶点都在格点上的图形）．
（1）在图①中，作矩形；
（2）在图②中，作一个，使其面积为．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质，矩形的判定，等边三角形的判定和性质：
（1）取点右2下1的格点，右2下1的格点，四边形即为所求；
（2）取格点右侧第二个格点，连接，即为所求；
【小问1详解】
如图①，矩形即为所求．
由图可知：，
∴四边形为平行四边形，为等边三角形，
∴，
∴，
∴四边形为矩形；
【小问2详解】
如图，即为所求；
由图可知：，，
∴为等边三角形，
∴的面积为：；满足题意．
20. 三角形具有稳定性，很多展架利用该原理进行设计．如图为一个展架的侧面，展架底部与支架间的距离为，展架与地面的夹角为，若支架顶部C刚好支在展架的三分之一处（即），且，那么该展架的长为多少．（结果精确到；参考数据：，，）
【答案】该展架的长为约为
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，灵活运用锐角三角函数是解题关键．作于点E．由等腰三角形的性质，得到，再利用锐角三角函数，求得，然后结合，即可求出的长．
【详解】解：如图，作于点E．
，
，，
，
，．
，
解得：，
，
．
．
答：该展架的长为约为．
21. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，连接，过点作轴，垂足为，反比例函数的图像经过点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将沿轴向右平移个单位长度至处，交于点，交反比例函数的图像于点．
①求的长；
②直接写出图中阴影部分的面积．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）由反比例函数的图像经过点，得到，可得结论；
（2）①根据平移的性质得：，点的横坐标为，根据函数图像上点的坐标特征可得的坐标，即可得解；
②由平移的性质得到，证明，根据相似三角形的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【小问1详解】
解：∵点A的坐标为，轴，
∴，，，
∴
∵反比例函数的图像经过点，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
①∵将沿轴向右平移个单位长度至处，
∴，点的横坐标为，
把代入，得，
∴，
∴，
∴；
②∵将沿轴向右平移个单位长度至处，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，函数图像上点的坐标特征，平移的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积等知识点．正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．
22. 每年的4月15日是我国全民国家安全教育日，某中学为了解七年级学生对“国家安全法”知识的掌握情况，对七年级A、B两个班进行了“国家安全法”知识测试，满分10分，测试成绩都为整数，测试成绩不低于9分的为优秀．
【收集整理数据】测试结果显示所有学生成绩都不低于6分，随机从A、B两个班各抽取m名学生的测试成绩，抽取的成绩中A、B两班得8分的人数相同．
【描述数据】根据抽取的学生成绩，绘制出了如下统计图．
【分析数据】两个班样本数据的平均数、中位数、众数如下表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）_______，_________，_________；
（2）补全条形统计图：
（3）若A班共有50人参加测试，估计A班测试成绩优秀的有多少人？
（4）小明的成绩是9分，他的成绩在本班抽取的成绩之中，有4个成绩比他的低，则小明在______班（填“A”或“B”）．
【答案】（1）10；20；9 （2）见解析
（3）25人 （4）B
【解析】
【分析】（1）根据班得8分的人数2人，班得8分人数占，，两班级得8分的人数相同即可得出的值；进而可得班得6分人数为1人；得7分人数为人；得8分人数为2人；得9分人数为4人；得10分人数为2人，再根据得10分人数占可得出的值及众数的值；
（2）根据班得6分人数为1人，得7分人数为2人，得8分人数为2人，得9分人数为1人，则得10分人数为4人，据此可补全补全条形统计图；
（3）根据班得9分人数为1人，得10分人数为4人，则班的优秀率为，由此可得估计班测试成绩优秀的人数；
（4）根据班抽取的10人成绩为：6，7，7，8，8，9，10，10，10，10，班抽取的10人成绩为：6，7，8，8，9，9，9，9，10，10，由此可判定小明所在的班级．
【小问1详解】
由班抽取的学生条形统计图中可知：得8分的人数2人，
由班抽取的学生扇形统计图中可知：得8分人数占，
又，两班级得8分的人数相同，
抽取的学生数（人，
班抽取的学生扇形统计图中可知：
得6分人数占，得7分人数占，得8分人数占，
的9分人数占，得10分人数占
得6分人数为：（人；得7分人数为：（人；
得8分人数为：（人；得9分人数为：（人；
得10分人数为：（人，
，
，
班抽取的10人成绩为：6，7，8，8，9，9，9，9，10，10，
班的中位数，
即，，，
故答案为：10；20；9．
【小问2详解】
班得6分人数为1人，得7分人数为2人，得8分人数为2人，
得9分人数为1人，
得10分人数为：人，
补全条形统计图如图所示：
【小问3详解】
班得9分人数为1人，得10分人数为4人，
班的优秀率为：，
班共有50人参加测试，估计班测试成绩优秀的有：（人，
【小问4详解】
班抽取的10人成绩为：6，7，7，8，8，9，10，10，10，10，
比9分低的有5名学生，
又班抽取的10人成绩为：6，7，8，8，9，9，9，9，10，10，
比9分低的有4名学生，
小明在班．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查的是条形统计图和扇形统计图，求中位数，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中获得必要的解题的信息是解决问题的关键．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23. 现有一批游客分别乘坐甲、乙两辆旅游车同时从旅行社前往某个旅游景点，行驶过程中甲车因故停留一段时间后继续驶向景点，乙车全程以的速度匀速驶向景点．两辆车的行驶路程与时间之间的函数关系如图所示．
（1）甲车停留前行驶的速度是____________， _________；
（2）求甲车停留后继续行驶时的行驶路程y与时间x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）求甲车比乙车早多长时间到达旅游景点？
【答案】（1）80；
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了函数图像，求函数解析式，路程、速度与时间的关系，读懂函数图像并从中获取信息是解题的关键．
（1）由图像知，甲车出发后半小时行驶，由可求得此时甲车行驶的速度；由图像知，乙车以的速度匀速驶，则可求得行驶的时间，即m的值；
（2）根据即可列出函数表达式，进而可确定自变量的取值范围；
（3）分别两车到达终点的时间即可求解．
【小问1详解】
解：由图像知，甲车出发后半小时行驶，此时甲车行驶的速度为：；
由图像知，乙车在m小时内以的速度匀速驶，则；
故答案为：80；．
【小问2详解】
解：甲停留一段时间后继续行驶的速度为：
由得：，
整理得：；
当时，即，解得：，
所以自变量x的取值范围为：；
答：甲车停留后继续行驶时的行驶路程y与时间x之间的函数关系式为，自变量的取值范围为．
【小问3详解】
解：由（2）知，甲车到达终点的时间为，
乙车到达终点的时间为，
所以甲车比乙车早到达旅游景点的时间为．
24. 【基础巩固】
（1）如图①，在中，，，点D为延长线上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．求证：；
【尝试应用】
（2）如图②，在（1）的条件下，连接交于点F，若，，求线段的长；
拓展提高】
（3）如图③，在正方形中，点E是对角线延长线上的一点，连接，将绕点D逆时针旋转得到线段交于点F，交于点G，连接．若，，直接写出的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质得出，，根据可证明≌；
（2）证明，利用勾股定理求出的长，再证明，进而可得则可得出答案；
（3）延长至点，使得，证明，由相似三角形的性质得出，设，则，得出，，由比例线段求出，证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
详解】（1）证明：将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
在和中，

．
（2）解：，，
，
，
，，
，
，，
，
∵，
∴，
∴，
设，，
，
，
，
；
（3）解：延长至点，使得，

由（1）得，
，，
，
连接交于点，
，
，
，
，
，
设，则，
，，
，
解得，
，，
又，
，
，
，
．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25. 如图，在矩形中，，，的平分线交边于点E，点P从点A出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向终点E运动，过点P作于点Q，以为边向右侧作平行四边形，点N在射线上，且，设点P的运动时间为x秒．
（1） ____________（用含x的代数式表示）；
（2）当点M落在上时，求x的值；
（3）设平行四边形与矩形重合部分的面积为y，求y与x的函数关系式．
【答案】（1）
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查四边形综合题，矩形的性质，等腰直角三角形，学会分类讨论是解题的关键．
（1）判断出是等腰直角三角形即可得出结论；
（2）先判断出点是中点，进而求出，即可得出结论；
（3）分三种情况进行分类讨论，当时，当时，当时三种情况即可得到答案．
【小问1详解】
解：矩形，
，
的角平分线交边于点，
，
，
是等腰直角三角形，
由运动知，，
；
【小问2详解】
解：四边形是平行四边形，
，
点在上，（如图①）
图①
，
，
，
在中，，
，
；
【小问3详解】
解：当时，如图②，
图②
；
当时，如图③，
图③
；
当时，如图④，
图④
．
26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，点P在抛物线上，其横坐标为m．
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）当点P在y轴右侧且到x轴的距离是4时，求m的值；
（3）点Q是抛物线上一点，其横坐标为，抛物线上点P、Q之间的部分图象记为G（包括点P、点Q），当图象G上恰有2个点到直线的距离为1时，直接写出m的取值范围；
（4）设点，以为对角线作矩形，矩形的边分别与x轴、y轴平行，当矩形的边与抛物线有两个交点，且最高点与最低点的纵坐标之差为1时，直接写出m的值．
【答案】（1）
（2）m的值是或1
（3）m的取值范围是或
（4）或或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）由题意可得、，根据图象G上恰有2个点到直线的距离为1，可得，，或，，进行求解即可；
（3）根据点P与点M在同一象限，且点M在点P的上方，或点M 点P的下方，点P和点M在不同象限， 进行分类讨论即可．
【小问1详解】
解：把、代入，，解得
∴；
【小问2详解】
解：当时，，解得：，；
当时，，解得：，
∵点P在y轴右侧，
∴，
∴舍去，
综上所述，m的值是或1；
【小问3详解】
解：由题意可得，、，
①如图1，∵图象G上恰有2个点到直线的距离为1，
∴，，
解得：，或，
∴，

如图②，∵图象G上恰有2个点到直线的距离为1，
∴，，
解得：或，，
∴，
综上所述，m的取值范围是或；
【小问4详解】
解：如图③，∵、，轴，轴，
∴、，
∴，解得：（舍），，

如图④，∵、，轴，轴，
∴，，
∵时，，即抛物线与线段的交点坐标为：，
∴，解得：，

如图⑤，∵、，轴，轴，
∴、，
∴，解得：（舍），
综上所述，或或．
【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式、二次函数与几何问题、解一元二次方程、解一元二次不等式，熟练掌握相关知识，运用分类讨论思想是解题的关键．
班级
平均数
中位数
众数
A班
8.5
8.5
10
B班
8.5
p
9