2024届高三新高考数学模拟预测训练二

这是一份2024届高三新高考数学模拟预测训练二，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（本题5分）有一组样本数据：15，16，11，11，14，20，11，13，13，24，13，18，则这组样本数据的上四分位数是（ ）
A．11B．13C．16D．17
2．（本题5分）已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则（ ）
A．2B．C．D．
3．（本题5分）记数列的前项和为，若，则（ ）
A．590B．602C．630D．650
4．（本题5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是（ ）
A．若,,则 ；B．若,,,则 ；
C．若，，则 ；D．若，，，,则．
5．（本题5分）某学校高二年级开设 4 门校本选修课程，某班男生 201 寝室的 5 名同学选修，每人只选 1 门，恰有1门课程没有同学选修，则该寝室同学不同的选课方案有 （ ）
A．360种B．600种C．960种D．972种
6．（本题5分）已知是的外心，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
7．（本题5分）若函数在内恰好存在8个，使得，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．（本题5分）已知椭圆：（）的左焦点为，过焦点作圆的一条切线交椭圆的一个交点为A，切点为，且（为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（本题6分）在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（ ）
A．若，则是等腰三角形
B．若，则符合条件的有两个
C．若，则为等腰三角形
D．若，则为直角三角形
10．（本题6分）已知非零复数，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则存在实数，使得
11．（本题6分）已知函数的定义域为是奇函数，且，恒有，当时（其中），.若，则下列说法正确的是（ ）
A．图象关于点对称
B．图象关于点对称
C．
D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（本题5分）已知，，若，则实数的取值范围是 ．
13．（本题5分）在正四棱柱中，，，M，N分别是，的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为 ．
14．（本题5分）记表示在区间上的最大值，则取得最小值时， .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题13分）设函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)证明：．
16．（本题15分）如图，在三棱台中，与相交于点平面，，且平面．
(1)求的值；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
17．（本题15分）“九子游戏”是一种传统的儿童游戏，它包括打弹子、滚圈子、踢毽子、顶核子、造房子、拉扯铃子、刮片子、掼结子、抽陀子九种不同的游戏项目，某小学为丰富同学们的课外活动，举办了“九子游戏”比赛，所有的比赛项目均采用局胜的单败淘汰制，即先赢下局比赛者获胜.造房子游戏是同学们喜爱的项目之一，经过多轮淘汰后，甲、乙二人进入造房子游戏的决赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.
(1)若，，设比赛结束时比赛的局数为，求的分布列与数学期望；
(2)设采用3局2胜制时乙获胜的概率为，采用5局3胜制时乙获胜的概率为，若，求的取值范围.
18．（本题17分）彗星是太阳系大家庭里特殊的一族成员，它们以其明亮的尾巴和美丽的外观而闻名，它的运行轨道和行星轨道很不相同，一般为极扁的椭圆形、双曲线或抛物线.它们可以接近太阳，但在靠近太阳时，由于木星、土星等行星引力的微绕造成了轨道参数的偏差，使得它轨道的离心率由小于1变为大于或等于1，这使得少数彗星会出现“逃逸"现象，终生只能接近太阳一次，永不复返.通过演示，现有一颗彗星已经“逃逸”为以太阳为其中一个焦点离心率为的运行轨道，且慧星距离太阳的最近距离为.
(1)求彗星“逃逸”轨道的标准方程；
(2)设双曲线的两个顶点分别为，，过，作双曲线的切线，，若点P为双曲线上的动点，过P作双曲线的切线，交实轴于点Q，记直线与交于点M，直线交于点N.求证：M，N，Q三点共线.
19．（本题17分）随着大数据时代来临，数据传输安全问题引起了人们的高度关注，国际上常用的数据加密算法通常有AES、DES、RSA等，不同算法密钥长度也不同，其中RSA的密钥长度较长，用于传输敏感数据.在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用.设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素.对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为.
(1)试求，的值；
(2)设p，q是两个不同的素数，试用p，k表示（），并探究与和的关系；
(3)设数列的通项公式为（），求该数列的前m项的和.
参考答案：
1．D
【详解】将样本数据由小到大排列依次为：11，11，11，13，13，13，14，15，16，18，20，24，
因为，所以这组数据的上四分位数为.
故选：D
2．D
【详解】点在圆上，则，
设切线斜率为，
所以，则.
故选：D．
3．A
【详解】因为，
所以，
两式相减可得.
由，，解得，
所以，满足上式，故，
所以
.
故选：A
4．C
【详解】若，，则或与相交或与异面，故A错误；
若，，，则或与相交，故B错误；
若，，由直线与平面垂直的性质可得，故C正确；
若，，，，当与相交时，有，否则，与不一定平行，故D错误．
故选：C．
5．B
【详解】从4门课程中取出3门课程，有种方法，
把5名同学分成3组，按分组有种方法，按分组有种方法，
把3门课程分配给上述分成的每一组有种方法，
所以该寝室同学不同的选课方案有（种）.
故选：B
6．C
【详解】由，所以是的中点，又是的外心，
则，再由，，
则为正三角形，，
角度一：如图，过点作，垂足为，则，，
所以向量在向量上的投影向量等于.
角度二：设，则，所以，
所以向量在向量上的投影向量等于.
故选：C.
7．D
【详解】由题意可得：
，
由可得，
因为，，则，
由题意可得，解得，
所以的取值范围为．
故选：D．
8．A
【详解】由题意可知：圆的圆心为点，半径为，，
设椭圆的右焦点为，连接，
因为，可知点为的中点，
且点为的中点，则∥，，
由椭圆定义可知：，
因为为切点，可知，则，
可得，即，
解得，即，
所以椭圆的离心率.
故选：A.
9．ABD
【详解】对于A，由已知有，故，所以，故A正确；
对于B，我们只需要确定满足条件的的个数，由余弦定理知满足的方程是，即，而该方程有两个解，故B正确；
对于C，若，，，则，但不是等腰三角形，故C错误；
对于D，若，则有.
故，从而.
这表明或，即或，故D正确.
故选：ABD
10．BD
【详解】取，，此时，但是，故A错误；
设，，则，，
所以，，
又，所以，
整理得，所以，故B正确；
取，，此时，但是，故C错误；
因为，所以，
即，
整理得，所以，则存在实数使，
所以存在实数，使得，故D正确.
故选：BD.
11．ABC
【详解】对于A项，由是奇函数得，
所以函数关于点对称，故A项正确；
对于B项，由函数的定义域为且关于点对称，则，
所以，因，故解得.
由得点在函数图象上，
又点在函数图象上，
所以函数图象关于直线对称.
又由关于点对称，可得关于对称，故B项正确；
对于C项，由函数关于点对称得，
由函数关于点对称得，
故由可得.
①当时，，所以，，
因是增函数，又，故得；
②当时，由函数关于直线对称可知函数在内单减，
所以，又，所以，
这与题设矛盾，舍去.所以，又，即，故C项正确；
对于D项，由上分析，当时，，
显然，由函数关于对称，可知，
由关于点对称得，故D项错误.
故选：ABC.
12．
【详解】不等式化简可得，
所以，则，
因为，所以，所以，
即.
故答案为：.
13．
【详解】延长相交于点，连接交于点，连接，
因为正四棱柱中，，，M，N分别是，的中点，
所以，，，
因为∽，，故，，
在上取点，连接，则，
同理可知，所以四边形为平行四边形，
故四点共面，
则平面截该四棱柱所得的截面为五边形，
，，
同理，
故截面周长为.

故答案为：
14．
【详解】取得最小值，
即为在区间上的最大值取得最小值，
因为的对称轴，且，
所以的最大值为或，
当时，即，
所以 ，
当时，取最小值，最小值为.
故答案为：.
15．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）函数的定义域为，
将代入，解得，即，
由切线方程，可知切线斜率，
故，
解得；
（2）由（1）知，
要证，即证．
设，
则，
令，解得，或（舍去），
当时，单调递减；
当时，单调递增；
所以，
所以，即．
16．(1)
(2)
【详解】（1）连接，
因为平面平面，平面平面，
所以．因为，所以，
所以因此，
所以．
（2）由（1）可知，，
所以．
依题意，，
所以平面．
因此，以为坐标原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系．
则．
所以．
设平面的一个法向量为，
由
取，则，所以．
设与平面所成角为，
则．
即直线与平面所成角的正弦值为．
17．(1)分布列见解析，
(2)
【详解】（1）因为，所以比赛采用3局2胜制，的所有可能取值为2，3，
，
，
的分布列为
所以.
（2）由题意知，
.
由，得，
且，则，可得，
整理得，解得，
所以的取值范围为.
18．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）解：由题意知，彗星“逃逸”轨道的标准方程为双曲线，
不妨设双曲线的焦点在上，设其方程为，
因为双曲线的离心率为，可得，即，
又因为慧星距离太阳的最近距离为，可得，
解得，可得，
所以彗星“逃逸”轨道的标准方程.
（2）解：不妨设点在第一象限，
由双曲线，可得，则，
所以，即切线的斜率为，
则切线方程为且，可得，
令，可得，即点的坐标为，
又由过，可得切线，，
因为，
所以的方程为，的方程为，
联立方程组，解得，即，
再联立方程组，解得，即，
则，且，
所以，所以三点共线.
.
19．(1)，
(2)，
(3).
【详解】（1）易得，
不超过9且与9互素的正整数有1，2，4，5，7，8，则，
不超过7且与7互素的正整数有1，2，3，4，5，6，则，
不超过21且与21互素的正整数有1，2，4，5，8，10，11，13，16，17，19，20，则，
所以，.
（2）在不大于的正整数中，只有p的倍数不与互素，而p的倍数有个，
因此.
由p，q是两个不同的素数，得，，
在不超过的正整数中，p的倍数有个，q的倍数有个，
于是，
所以.
（3）根据（2）得，
所以，
，
两式相减，得，
所以，
故.
2
3