四川省大数据精准教学联盟2024届高三第二次统一监测文科数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、考场/座位号用0．5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码贴码区”．
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0．5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效．
3．考试结束后由监考老师将答题卡收回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数z满足，则（ ）
A. B. C. D.
3. 甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶20次，命中环数的频率分布条形图如下．设甲、乙命中环数的众数分别为，，方差分别为，，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
4. 设，均为锐角，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 执行下图所示的程序框图，若输入N的值为5，则输出（ ）
A. 20B. 30C. 62D. 128
6. 已知，，则（ ）
A B. C. D.
7. 已知坐标原点在直线上的射影为点，则为，必然满足的关系是（ ）
A. B.
C. D.
8. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，表现出鲜明的艺术特色，蕴涵着极致的数学美．现有一幅下图所示的正三角形剪纸设计图（图中的圆为三角形内切圆，设计图的三个角的阴影部分均为菱形）．若在该正三角形设计图内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为（ ）
A. B. C. D.
9. 已知，分别为双曲线C的左、右焦点，过的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，若，，则（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函数的最小正周期为，给出下列三个结论：
①；②函数在上单调递减；
③将的图象向左平移个单位可得到的图象．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
11. 设球的直径为，球面上三个点，，确定的圆的圆心为，，，则面积的最大值为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
12. 已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，O为坐标原点，M，N为C上两个动点，且，面积的最大值为，过O作直线MN的垂线，垂足为H，则（ ）
A B. C. 1D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13 已知向量，，，若，则______．
14. 若，满足约束条件，则的最大值为______．
15. 已知的三内角，，满足，则的面积与外接圆的面积之比为______．
16. 已知PC是三棱锥外接球的直径，且，，三棱锥体积的最大值为8，则其外接球的表面积为______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 某公司为了解旗下的某产品的客户反馈情况，随机抽选了250名客户体验该产品并进行评价，评价结果为“喜欢”和“不喜欢”，整理得到如下列联表：
（1）是否有99%的把握认为客户对该产品评价结果与性别因素有关系?
（2）公司为进一步了解客户对产品的反馈，现从评价结果为“喜欢”的客户中，按性别用分层抽样的方法选取6人，收集对该产品改进建议．若在这6人中随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有1名女性的概率．
附：，
18. 已知数列满足，．
（1）证明数列是等差数列，并求的通项公式；
（2）若数列满足，，求的前n项和．
19. 如图，三棱台中，与相交于点，平面，，，，，，且平面．
（1）求线段的长；
（2）求三棱锥的体积．
20. 已知函数．
（1）若有3个极值点，求a的取值范围；
（2）若，，证明：．
21. 已知与圆P：内切，且与直线：相切的动圆Q的圆心轨迹为曲线C，直线l与曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，延长AO，BO分别与直线：相交于点M，N．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点A作于，若，O，B三点共线，试探究线段MN的长度是否存在最小值．如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
［选修4-4：坐标系与参数方程］
22. 在直角坐标系xOy中，图形的方程为．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，图形的极坐标方程为．
（1）求的直角坐标方程；
（2）已知点P的直角坐标为，图形与交于A，B两点，直线AB上异于点P的点Q满足，求点Q的直角坐标．
［选修4-5：不等式选讲］
23. 已知．
（1）设函数，若函数与的图象无公共点，求m的取值范围；
（2）令最小值为T．若，证明：．
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合计
男
50
100
150
女
50
50
100
合计
100
150
250
0．10
0．05
0．010
0．001
k
2．706
3．841
6．635
10．828