四川省大数据精准教学联盟2023届高三第二次统一监测文科数学试题

四川省大数据精准教学联盟2020级高三第二次统一监测

文科数学

注意事项：

1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”。

2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。

3．考试结束后由监考老师将答题卡收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数的虚部是（    ）

A．5 B． C． D．

2．已知全集为实数集，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

3．居民消费价格指数（Consumer Price Index，同称CPI）是度量居民生活消费品和服务价格水平随着时间变动的相对数，综合反映居民购买的生活消费品和服务价格水平的变动情况．下图为我国2022年1月～2023年3月CPI同比（与去年同月对比）涨跌幅统计图．

下列分析中，最为恰当的一项是（    ）

A．各月CPI同比涨跌幅的极差大于2.5%

B．各月CPI同比涨跌幅的中位数为2.5%

C．去年上半年各月CPI同比涨跌幅的方差小于下半年各月CPI同比涨跌幅的方差

D．今年第一季度各月CPI同比涨跌幅的方差大于去年第一季度各月CPI同比涨跌幅的方差

4．如图，在正中，点为边上一点，且，则实数（    ）

A． B． C． D．

5．如图所示的网格中小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（    ）

A．9 B．18 C．27 D．54

6．函数在上的图象大致为（    ）

A． B

C．  D．

7．若为锐角，且，则（    ）

A． B． C． D．

8．已知数列满足，则的通项公式为（    ）

A．  B．

C．  D．

9．已知三棱锥各顶点均在以为直径的球面上，，是以为斜边的直角三角形，则当面积最大时，该三棱锥体积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

10．已知点，分别为双曲线：的左、右焦点，点是双曲线的一条渐近线上一点，且．若的面积为，则双曲线的实轴长为（    ）

A． B．1 C．2 D．4

11．“勾股树”，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．如图所示，以正方形的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形，如此继续，若共得到127个正方形，且，则这127个正方形中，最小的正方形边长为（    ）

A．1 B． C．2 D．

12．若，则a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若，满足约束条件则的最大值为______．

14．为迎接大运盛会，全力争创全国文明典范城市，全面提升城市文明程度和市民文明素养．某社区随机选取了10名市民走访，并对其回答情况评分，结果分别记为，，，，，，，，，．则按如图的程序框图运行，输出的n为______．

15．抛物线有一条重要的光学性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线：，一条光线从点沿平行于轴的方向射出，与抛物线相交于点，经点反射后与交于另一点，则的面积为______．

16．已知函数的定义域为，若，均为奇函数，则______．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

党的二十大报告提出，从现在起，中国共产党的中心任务就是团结带领全国各族人民全面建成社会主义现代化强国、实现第二个百年奋斗目标，以中国式现代化全面推进中华民族伟大复兴．高质量发展是全面建设社会主义现代化国家的首要任务．加快实现高水平科技自立自强，才能为高质量发展注入强大动能．某科技公司积极响应，加大高科技研发投入，现对近十年来高科技研发投入情况分析调研，其研发投入（单位：亿元）的统计图如图1所示，其中年份代码分别指2013年，2014年，…，2022年．

现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程，并进行残差分析，得到图2所示的残差图．结合数据，计算得到如下值：

表中，．

（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；

（2）根据（1）中所选模型，求出关于的回归方程；根据所选摸型，求该公司2028年高科投研发投入的预报值．（回归系数精确到0.01）

附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．

18．（12分）

已知中，角，，的对边分别为a，，c，点为边的中点，，．

（1）求的值；

（2）求的周长．

19．（12分）

如图所示，直角梯形和三角形所在平面互相垂直，，，，，异面直线与所成角为45°．

（1）求证：平面平面；

（2）若点在上，当面积最小时，求三棱锥的体积．

20．（12分）

已知㮋圆：的离心京为，，分别为椭圆的左、右顶点，，分别为椭圆的左、右焦点，点是以为直径的圆上除去，的任意一点，直线交椭圆于另一点．当点为椭圆的短轴端点时，原点到直线的距离为1．

（1）求㮋圆的标准方程；

（2）求的最小值．

21．（12分）

已知函数．

（1）若单调递增，求a的值；

（2）判㿟（且）与的大小，并说明理由．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），．以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求的直角坐标方程；

（2）已知点，设与的交点为，．当时，求的极坐标方程．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知，，为正数，且．

（1）是否存在，，，使得？若存在，求，，的值；若不存在，说明理由．

（2）证明：．

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文科数学答案解析与评分标准

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．【答案】B

【命题意图】本小题设置课程知识情境，设计复数的乘法运算，主要考查复数的概念，复数的虚部，复数的代数运算等基础性知识；考查运算求解能力．

【解析】由，所以其虚部为．

2．【答案】C

【命题意图】本小题设置课程知识情境，设计不等式解法与集合运算问题，主要考查一元二次不等式的解法，集合的补集与交集运算，集合的表示方法等基础知识；考查运算求解能力．

【解析】集合，，所以．

3．【答案】D

【考查意图】本小题以居民消费价格指数问题为情境，设计概率统计相关问题，主要考查统计图表识别与应用、统计量意义等基础知识；考查概率统计思想；考查直观想象、数据分析素养．

【解析】结合图表分析，选项D的分析较为恰当．

4．【答案】C

【命题意图】本小题设置平面图形为情境，设计平面向量的线性运算问题，主要考查平面向量的平行四边形法则、平面几何图形的性质、平面向量的线性运算等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合思想，应用意识．

【解析】如图，过点，作，交于点，作，交于点，

由知，所以，故，所以，而，所以．

5．【答案】C

【考查意图】本小题考查空间几何体的三视图、直观图等基础知识；考查推理论证、空间想象、运算求解等能力；考查数形结合等思想方法．

【解析】由三视图可在长方体中还原出该几何体的直观图如上，易知该多面体的表面积为．

6．【答案】A

【考查意图】本小题通过设置函数图象探索情境，设计函数图象和性质相关的问题，主要考查函数奇偶性、单调性、零点等知识综合应用；考查函数与方程，数形结合思想；考查推理论证、估算等能力，考查直观想象、逻辑推理素养．

【解析】由解析式可知，则为偶函数，排除选项C，D；由于，由于，则．

7．【答案】D

【命题意图】本小题设置课程知识情境，设计三角恒等变形问题，主要考查同角三角函数关系，两角和差的正弦公式等基础知识；考查运算求解能力。

【解析】由为锐角，且，所以，则

．

8．【答案】B

【命题意图】本小题设置课程知识情境，设计递推数列问题，主要考查数列的前项和与通项公式等基础知识；考查运算求解能力，分类讨论思想，逻辑推理素养．

【解析】当时，有，所以，当时，由……（1），……（2），（2）－（1）得，此时，，也满足，所以的通项公式为．

9．【答案】A

【命题意图】本小题以球体为载体考查空间点、线、面位置关系、勾股定理等基础知识，考查学生直观想象、运算求解、推理论证等能力；考查数形结合、化归与转化等思想方法．

【解析】如图，设..为的外心，则为的中点．又设，中边上的高为．由已知，，，当且仅当等号成立，即当时，面积取得最大值4．此时，．显然，的最大值等于，故，即三棱锥体积的最大值为．

10．【答案】B

【命题意图】本小题考查双曲线的标准方程、双曲线的简单几何性质、锐角三角函数等基础知识；考查推理论证、运算求解等能力；考查数形结合、化归转化等思想方法．

【解析】双曲线的渐近线方程为．如图，由知，，，．所以．由得，故双曲线的实轴长为1．

11．【答案】C

【命题意图】本小题以毕达哥拉斯勾股树为情境，设计等比数列问题，主要考查等比数列的前项和，通项公式等基础知识，考查运算求解能力，逻辑推理素养．

【解析】依题意，不同边长的正方形的个数，构成以1为首项，2为公比的等比数列，所以，即，解得，即有7种边长不同的正方形；又正方形的边长构成以16为首项，为公比的等比数列．因此，最小的正方形边长．

12．【答案】A

【命题意图】本小题通过设置指数式与对数式大小探索性情景，设计函数与导数应用问题，主要考查利用导数研究函数性质等基础知识；考查推理论证、运算求解等数学能力，数学抽象、逻辑推理素养．

【解析】不等式，即，所以．设，则，可知时，，单调递减；时，，单调递增，所以．令，则．当时，，单调递增，则，则，故满足条件；当时，则在上单调递减；在上单调递增，则，设，则，则在单调递减，又，所以，，则，综上所述，的取值范围是．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．【答案】

【命题意图】本小题设置课程知识情境，设计线性规划问题，主要考查在约束条件确定的可行域内求目标函数的最值问题；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识．

【解析】由约束条件作出可行域为以三点，，为顶点的三角形及其内部，当直线过点时，取得最大值．

14．【答案】7

【命题意图】本小题设置实际生活情境，设计算法与统计量问题，主要考查数据的采集和处理，算法程序等基础知识；考查逻辑推理能力，应用意识．

【解析】根据程序框图知，是统计这10个评分中大于或等于95分的个数，则有7个．

15．【答案】

【考查意图】本小题考查抛物线的光学性质、过焦点弦的性质、三角形的面积等基础知识，考查学生直观想象、运算求解、推理论证等能力；考查数形结合、化归与转化等思想方法．

【解析】依题意，由抛物线性质知直线过焦点．而，，则：，设

，由得．所以，．则．

16．【答案】210

【命题意图】本小题以函数为知识探索情境，设计函数与导数综合问题，主要考查函数奇偶性、对称性、导数应用等基础知识；考查化归与转化等数学思想；考查抽象概括、推理论证等数学能力；考查数学抽象，逻辑推理等素养．

【解析】因为为奇函数，则，即，所以关于点对称，且；又为奇函数，则，所以，故关于点对称，且．于是，则；，则；，则，…，，所以．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．【考查意图】本小题利用回归模型的选择为情景，设置概率统计应用问题，考查回归方程及其应用等基础知识；考查推理论证、运算求解、数据处理能力和数学建模、数学运算素养．

【解析】（1）应该选择模型②．

由于模型②残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，所以模型②的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型②比较合适．

（2）根据模型②，令，研发投入与可用线性回归来拟合，有．

则，

所以，

则关于的线性回归方程为．

所以，关于的回归方程为．

2028年，即时，（亿元）．

所以，该公司2028年高科技研发投入的预报值为86.15（亿元）．

18．【命题意图】本小题设置课程知识情境，设计三角形边角关系问题，主要考查正弦定理、余弦定理、两角和差的三角公式、三角形周长等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，创新意识和应用意识．

【解析】（1）因为，

由正弦定理得，，

又，

所以，

所以，

所以，又，

所以．

（2）在中，设，，则，

在中，由余弦定理有，①

在中，由余弦定理有，②

联立①②得，，，即，．

所以的周长．

19．【命题意图】本题考查多面体的结构特征、面面垂直的判定定理、面面垂直的性质定理、异面直线所成的角、锥体体积等基础知识；考查空间想象、推理论证、运算求解等能力；考查化归与转化、数形结合等思想方法．

【解析】（1）证明：因为，

所以为锐角．

因为，

所以为异面直线与所成角，

所以．

所以为等腰直角三角形，所以．

则．

因为平面平面，，平面平面，平面，

所以平面，，

所以平面．

因为平面，

所以平面平面．

（2）取中点，连接，．如图：

因为，，，

所以．

因为，所以．

所以，．

所以，．

所以面积最小时，线段最短．

因为，

所以当点为中点时，，线段最短．

此时，．

20．【命题意图】本题考查椭圆的标准方程、椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系、圆的标准方程、向量的数量积、基本不等式等基础知识；考查推理论证、运算求解等能力；考查数形结合、函数与方程、化归转化等思想方法．

【解析】（1）因为当点为椭圆的短轴端点时，，

所以，．

所以．

因为，．

所以椭圆的标准方程为．

（2）设，则．

因为直线的方程为，

由得．

则

即，．

则．

所以

，

令，则

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为．

方法二：设直线的方程为，

则直线的方程为．

由得即．

由得．

则．

即，．

即，

所以

，

当且仅当，即时等号成立．

所以的最小值为．

21．【考查意图】本小题以函数与不等式为知识探索情景，设置函数性质，大小比较等问题，考查函数单调性、极值、导数应用等基础知识；考查化归与转化、函数与方程等数学思想；考查推理论证、运算求解等数学能力；考查数学抽象、逻辑推理、数学运算等素养．

【解析】（1）由得，，

由于函数单调递增，则恒成立，

设，则，

当时，，可知时，，不满足条件；

当时，，单调递增，

又，即，不满足条件；

当时，令，得，

则时，，单调递减，时，，单调递增，

所以时，取得极小值，

由，得，

令，则，

可知时，，单调递增；时，，单调递减，

则，由于恒成立，

所以，，当且仅当时取等号，

故单调递增时，的值为1．

（2）．

理由如下：

由（1）可知，当时，，即有，

则时，，

故当且时，

因为时，，

所以

则，

所以，．．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．【命题意图】本小题考查曲线的直角坐标方程与极坐标方程的互化，直线的参数方程，直线参数方程参数的几何意义，直线与圆的位置关系等基础知识；考查推理论证能力、运算求解等能力；考查化归与转化、数形结合等思想方法．

【解析】（1）由得，

将，代入上式得．

即的直角坐标方程为．

（2）将的参数方程代入的方程，

整理得．

由的几何意义可设，．

因点在内，方程必有两个实根．

所以…①，…②

因为，

所以．

因为，所以．

所以的普通方程为，

所以的极坐标方程．

23．【考查意图】本小题以不等式为知识探索情景，设置最值与不等式证明问题，考查均值不等式、不等式证明方法等基础知识；考查推理论证、运算求解等能力；考查逻辑推理、数学运算等素养．

【解析】（1）不存在，，，使．

由题，，即．

当且仅当，且，即，时“＝”成立，

所以的最小值为4．

所以不存在，，，使．

（2）

，

当且仅当取“＝”．

所以．