四川省宜宾市宜宾三江新区第一高级中学校 2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

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数学科
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）
1. 下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式叫做一元一次方程）依次进行判断即可得．
【详解】解：A、不是方程，故此选项不符合题意；
B、含有分式，不是一元一次方程，故此选项不合题意；
C、是一元一次方程，故此选项符合题意；
D、是一元二次方程，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】题目主要考查一元一次方程的定义，深刻理解一元一次方程的定义是解题关键．
2. 已知x=﹣2是方程ax=3的解，则a值是（ ）
A. B. C. ﹣D. ﹣
【答案】C
【解析】
【分析】根据方程的解满足方程，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．
【详解】x=﹣2代入方程ax=3，
﹣2a=3．
解得a=﹣，
故选C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，利用方程的解满足方程得出关于a的方程是解题关键．
3. 下列做法正确的是（ ）
A. 由去括号、移项、合并同类项，得
B. 由去分母，得
C 由去括号，得
D. 由移项，得
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
【详解】、
去括号得：，
移项得：，
合并同类项，得；故此选项正确，符合题意；
、由去分母，得，故原选项错误，不符合题意；
、由去括号，得，故原选项错误，不符合题意；
、由移项，得，故原选项错误，不符合题意；
故选：．
4. 解不等式组时，将不等式①②的解来表示在同一条数轴上，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是解题关键．分别求出每一个不等式的解集，根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”确定不等式组的解集即可．
详解】解：，
解不等式①，可得 ，
解不等式②，可得 ，
将不等式①②的解来表示在同一条数轴上，如下图：
故选：C．
5. 若，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查不等式的基本性质，解题的关键是根据不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变逐项判定．
【详解】解：A、若，则，故不合题意；
B、若，则，故符合题意；
C、若，则，故不合题意；
D、若，则，故不合题意，
故选：B．
6. 解方程组时，一学生把c看错而得到，而正确的解是，那么a，b，c的值是（ ）
A. 不能确定B. ，，C. a、b不能确定，D. ，，
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组的方法，虽然看错了c，但题中两组解都符合方程①，代入方程①可得到一个关于a和b的二元一次方程组，用适当的方法解答即可求出a和b，至于c，可把正确结果代入方程②，直接求解即可，熟练掌握解方程组的方法是解决此题的关键．
【详解】把和分别代入，得，
得：，
将代入①解得：，
把代入得：，
∴，
故选：B．
7. 甲、乙两人在相距18千米的两地，若同时出发相向而行，经2小时相遇；若同向而行，且甲比乙先出发1小时追乙，那么在乙出发4小时后两人相遇，求甲、乙两人的速度．设甲的速度是千米/小时，乙的速度为千米/小时，依题意可列方程组（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是熟知行程问题的等量关系． 设甲的速度是千米/小时，乙的速度为千米/小时，根据题意可列出二元一次方程组即可．
【详解】解∶根据题意，得，即，
故选：B．
8. 在长方形中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积之和为（ ）
A. 48B. 44C. 36D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为，宽为，根据图中各边之间的关系，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题．
【详解】解：设小长方形的长为，宽为，
依题意得：，
解得：，
即小长方形的长为，宽为，
阴影部分的面积为．
故选：B．
9. 已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（ ）
A. 6B. 4C. 2D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，得，，结合题意，即可求解．
【详解】解：
得，
∵，
∴
解得：
故选：D．
10. 已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据题意得到必定有整数解0，再根据恰有3个整数解分类讨论，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
【详解】解：由于不等式组有解，则，必定有整数解0，
∵，
∴三个整数解不可能是．
若三个整数解为，则不等式组无解；
若三个整数解为0，1，2，则；
解得．
故选：B．
11. 非负数x，y满足，记，W的最大值为m，最小值n，则（ ）
A. 6B. 7C. 14D. 21
【答案】D
【解析】
【分析】设，用t表示出x、y的值，再由x，y为非负数即可求出t的取值范围，把所求代数式用t的形式表示出来，根据t的取值范围即可求解．
详解】解：设，
则x=2t+1，y=2-3t，
∵x≥0，y≥0，
∴2t+1≥0，2-3t≥0，
解得
∴
∵w=3x+4y，把x=2t+1，y=2-3t，代入得：w=-6t+11，
∴
解得，7≤w≤14，
∴w的最大值是14，最小值是7，
∴m+n=14+7=21．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，通过设参数的方法求出W的取值范围是解答此题的关键．
12. 春节来临之际，某花店老板购进大量的康乃馨、百合、玫瑰，打算采用三种不同方式搭配成花束，分别取名为“眷恋”、“永恒”、“守候”．三种花束的每一束成本分别为元、元和元．已知销售每束“眷恋”的利润率为，每束“永恒”的利润率为，每束“守候”的利润率为，当售出的三种花束数量之比为时，老板得到的总利润率为；当售出的三种花束数量之比为时，老板得到的总利润率为，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查利润、进价与利率关系，利用等式的基本性质求解未知数之间的等量关系，先根据三种花束的利润之和除以三种花束的进价之和等式，进行整理可得，，，即可求得，，进而可得答案．掌握利润、进价与利润率关系，列出等式是解决问题的关键．
【详解】解：三种花束的每一束成本分别为元、元和元，
则三种花束的每一束利润分别为，，，
当售出的三种花束数量之比为时，三种花束的数量分别为，，，
根据题意得：，
整理得：，
当售出的三种花束数量之比为时，三种花束的数量分别为，，，
根据题意：，
整理得：，则：，
将代入得：，则：，
∴，
故选：A．
二、填空题（每小题4分，共6题24分）
13. 若是关于的二元一次方程，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，只含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此得到，解之即可得到答案．
【详解】解：∵是关于的二元一次方程，
∴，
解得，
故答案为：．
14. “的4倍与1的差不大于3”用不等式表示为 ________________ ．
【答案】4x-13，
【解析】
【分析】的4倍与1的差即4x-1，不大于就是，据此列不等式．
【详解】由题意得4x-13，
故答案：4x-13．
【点睛】此题考查列不等式，正确理解语句是解题的关键．
15. 若关于x的方程的解与方程的解互为相反数，则a的值为____．
【答案】
【解析】
【分析】用含a的代数式表示出第一个方程的解，再求出第二个方程的解，然后根据两个方程的解互为相反数得关于a的方程，求解即可．
【详解】解：解方程，得，
解方程，得，
∵关于x的方程的解与方程的解互为相反数，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相反数、解一元一次方程．理解题意用含a的代数式表示出方程的解是解决本题的关键．
16. 植树节期间，市团委组织部分中学的团员去东岸湿地公园植树．三亚市第二中学七（3）班团支部领到一批树苗，若每人植4棵树，还剩37棵；若每人植6棵树，则最后一人有树植，但不足3棵，这批树苗共有_____棵．
【答案】121
【解析】
【分析】设共有x人，则有4x+37棵树，根据“若每人植4棵树，还剩37棵；若每人植6棵树，则最后一人有树植，但不足3棵”列不等式组求解可得．
【详解】设市团委组织部分中学的团员有x人,则树苗有(4x+37)棵,由题意得1(4x+37)-6(x-1)<3,去括号得:1-2x+43<3,移项得:-42-2x<-40,解得:20【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用,将现实生活中的事件与数学思想联系起来,读懂题列出不等式关系式即可求解.
17. 如图所示，运行程序规定：从“输入一个值”到“结果是否大于”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，那么的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据程序操作进行了两次才停止，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，根据运行程序正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，，
解得，
故答案为：．
18. 如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上一点，且．动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为．
（1）当________时，；
（2）若点表示的数是，当的值最小时，则的取值范围是________．
【答案】 ①. 2或 ②.
【解析】
【分析】本题考查的是绝对值的化简，一元一次方程的应用，熟练的化简绝对值是解本题的关键；
（1）先求解B对应的数，再由，再建立方程求解即可；
（2）分三种情况化简绝对值，再求解代数式的值，得到的最小值为，此时，再建立方程即可得到答案．
【详解】解：（1）∵点表示的数为8，是数轴上一点，且，
∴，即对应的数为，
而运动中对应的数为：，
∴，
∵，
∴，
∴或，
解得：或．
故答案为：2或；
（2）当时，
∴
，
当时，此时代数式有最小值；
当时，
∴
，
当时，
∴
，
当时，此时最小值为；
综上：最小值为，此时，
当时，解得，
当时，解得，
∴．
故答案为：．
三．解答题（共7小题78分）
19. 解下列方程（组）
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可；
（2）先整理方程组，然后再运用加减消元法解答即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
，
．
【小问2详解】
解：不等式组可化为
得：，解得：，
将代入①可得：，解得：．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组、解一元一次方程等知识点，掌握加减消元法是解答本题的关键．
20. 计算：
（1）解不等式：，并将解集表示在数轴上．
（2）解不等式组：．
【答案】（1），数轴见解析
（2）．
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式（组）、在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握一元一次不等式（组）的解法步骤并正确求解是解答的关键．
（1）根据一元一次不等式的解法步骤求解不等式的解集，然后将解集表示在数轴上即可；
（2）先求得每个不等式的解集，然后取它们的公共部分即为不等式组的解集．
【小问1详解】
解：去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得，
故不等式的解集为，
将解集表示在数轴上，如图：
；
【小问2详解】
解：不等式组，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴该不等式组的解集为．
21. 在手工制作课上，老师组织七年级班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒七年级班共有学生人，其中男生人数比女生人数多人，并且每名学生每小时剪筒身个或剪筒底个．
（1）七年级班男生、女生各有多少人?
（2）如果一个筒身需要配两个筒底，那么为使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身、多少名学生剪筒底?
【答案】（1）男生有人，女生有人
（2）名学生剪筒身，名学生剪筒底
【解析】
【分析】（1）根据题目中给出的已知条件理出数量关系和等量关系，列方程求解即可；
（2）根据题目中给出的已知条件理出数量关系和等量关系，列方程求解即可．
【小问1详解】
解：设七年级(1)班女生有人，则男生有人
由题意得
解得
所以
答:七年级(1)班男生有人，女生有人
【小问2详解】
解：设应该分配名学生剪筒身，则分配名学生剪筒底
由题意得
解得
所以
答:应该分配名学生剪筒身，名学生剪筒底
【点睛】本题考查了一元一次方程与实际问题，根据已知条件理清题意是解题的关键．
22. 某医药公司销售甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，其中成本、售价如表：
（1）直接填空：若该公司销售甲种型号的口罩万只，则总销售额为______万元．（用含的代数式表示）
（2）当所有口罩全部销售时，该公司可获利润8.8万元，求该公司销售甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？
（3）小明有16.2元的零花钱，打算购买甲和乙两种口罩（两种都要买），正好赶上口罩价格调整，其中甲型口罩售价上涨50%，乙型口罩按原价出售，则小明有多少种不同的购买方案可以使钱正好花完？请设计出这些方案．
【答案】（1）；
（2）甲型号口罩生产12万只，乙型口罩生产了8万只；
（3）该同学共有2种购买方案，方案1：购买4个甲型口罩，9个乙型口罩；方案2：购买2个甲型口罩，18个乙型口罩．
【解析】
【分析】（1）根据题意直接列出代数式即可；
（2）设该公司三月份生产甲种型号的防疫口罩万只，乙种型号的防疫口罩万只，根据该公司三月份生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只且全部售出后获得的总利润为8.8万元，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该同学购买只甲型口罩，只乙型口罩，利用总价单价数量，可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各购买方案．
【小问1详解】
由题意可得：若该公司销售甲种型号的口罩万只，则总销售额为（万元），
故答案为：；
【小问2详解】
设甲型号口罩生产x万只，乙型口罩生产了y万只，
由题意可得：
，
解得：，
答：甲型号口罩生产12万只，乙型口罩生产了8万只；
【小问3详解】
设该同学购买只甲型口罩，只乙型口罩，
根据题意得：，
．
又，均为正整数，
或，
该同学共有2种购买方案，
方案1：购买4个甲型口罩，9个乙型口罩；
方案2：购买2个甲型口罩，18个乙型口罩．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
23. 已知：关于、的方程组．
（1）求这个方程组的解；（用含的代数式表示）
（2）若这个方程组的解、都为负数，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）-3＜m＜3
【解析】
【分析】（1）利用加减消元法求解可得；
（2）根据方程组的解为负数，得到不等式组，解之即可．
【详解】解：（1），
①+②，得2x=m-3，
解得：x=，
①-②，得4y=-3-m，
解得：y=，
∴方程组的解为；
（2）∵方程组的解、都为负数，
∴，
解得：-3＜m＜3．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法和解一元一次不等式，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．
24. 如图，在长方形中，厘米，厘米，为的中点，动点从点开始，按的路径运动，速度为厘米/秒，设点的运动时间为秒．
（1）当点在边上运动时，请用含，的代数式表示的长；
（2）若，，则为何值时，直线把长方形的周长分成：两部分；
（3）连结，，，若时，三角形的面积恰好为长方形面积的五分之一，试探求，之间的关系式．
【答案】（1）
（2）秒或秒时，直线把长方形的周长分成：两部分
（3），之间的关系式为或或
【解析】
【分析】本题考查了代数式的表示，一元一次方程的应用，三角形的面积等知识；
（1）根据即可求出；
（2）分两种情况讨论：当点在边上运动时和当点在边上运动时，根据“直线把长方形的周长分成2:3两部分”列出方程，解方程即可求解；
（3）分点在边上、点在边上、点在边上、点在边上四种情况分类讨论，列出关系式即可求解．
【小问1详解】
解：当点在边上运动时，，，
．
【小问2详解】
当点在边上运动时，，
即，
；
当点在边上运动时，，
即，
；
秒或秒时，直线把长方形的周长分成：两部分．
【小问3详解】
当点在边上时，
，
整理得，
，故不成立；
当点在边上时，
由，
得；
当点在边上时，
由，
得；
当点在边上时，
由，
得；
综上，，之间的关系式为或或．
25. 我们定义：使方程(组)与不等式(组)同时成立的未知数的值称为此方程(组)和不等式(组)的“梦想解”．
例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”
（1）已知①，②，③，试判断方程解是否为它与它们中某个不等式的“梦想解”；
（2）若关于，的二元一次方程组的解是不等式组的梦想解，且为整数，求的值．
（3）若关于x的方程的解是关于x的不等式组的“梦想解”，且此时不等式组有7个整数解，试求m的取值范围．
【答案】（1）是不等式③的“梦想解”
（2）m为14或15 （3）m的取值范围是
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式（组），一元一次方程的解，
（1）先求出方程的解和不等式组的解集，即可判断；
（2）先求出方程组的解和不等式组的解集，根据题意得出，解不等式组即可；
（3）先求出不等式组的解集，不等式组有7个整数解，即可得出，然后解方程得：，，根据“梦想解”的定义得出，即可得出．
【小问1详解】
解方程得，
解①得：，故方程不是①的“梦想解”；
解②得：，故方程不是②“梦想解”；
解③得：，故方程是③的“梦想解”；
即方程的解是它与不等式③的“梦想解”；
【小问2详解】
解方程
得：
∴
∵方程组的解是不等式组的梦想解
∴
∴
m为整数，
∴m为14或15；
【小问3详解】
解不等式组得：，
不等式组的整数解有7个，
令整数的值为，，，，，，
则有：，．
故，
且，
，
，
，
，
解方程得：，
方程是关于的不等式组的“梦想解”，
，
解得，
综上的取值范围是．
甲
乙
成本
1.2元/只
0.4元/只
售价
1.8元/只
0.6元/只