福建省福州第三中学2024届高三下学期第十六次检测（三模）数学试题（Word版附解析）

这是一份福建省福州第三中学2024届高三下学期第十六次检测（三模）数学试题（Word版附解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 的展开式中的系数为，则（ ）
A. 2B. C. 4D.
2. 设是等比数列的前项和，若，则（ ）
A. 2B. C. D.
3. 某学校运动会男子100m决赛中，八名选手的成绩（单位：）分别为：，，，，，，，则下列说法错误的是（ ）
A. 若该八名选手成绩的第百分位数为，则
B. 若该八名选手成绩的众数仅为，则
C. 若该八名选手成绩的极差为，则
D. 若该八名选手成绩的平均数为，则
4. 在中，，，，则的面积为（ ）
A B. C. D.
5. 已知，则（ ）
A. 0B. C. D. 1
6. 第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆时，场馆仅有2名志愿者的概率为（ ）
A B. C. D.
7. 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（ ）
A. B.
C. D.
8. 曲线是平面内与三个定点，和的距离的和等于的点的轨迹.给出下列四个结论：
①曲线关于轴、轴均对称；
②曲线上存在点，使得；
③若点在曲线上，则的面积最大值是1；
④曲线上存在点，使得钝角.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ②③④B. ②③C. ③④D. ①②③④
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 当时，的值域为
C. 将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
D. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
10. 已知是两个虚数，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，则与均为实数B. 若与均为实数，则
C. 若均为纯虚数，则为实数D. 若为实数，则均为纯虚数
11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，，且对任意，，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，若，则的最小值为__________．
13. 已知三个实数a、b、c，当时，且，则的取值范围是____________．
14. 已知棱长为8正四面体，沿着四个顶点的方向各切下一个棱长为2的小正四面体（如图），剩余中间部分的八面体可以装入一个球形容器内（容器壁厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数．
（1）当时，求的图象在点处的切线方程；
（2）若，求实数的取值范围．
16. 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且其离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求证：（为坐标原点）为定值.
17. 如图，在正四棱台中，.

（1）求证：平面平面；
（2）若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的正弦值.
18. 某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙餐厅在北区各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求.
（1）现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？
（2）张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为；如果前一天在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为，；如果前一天在丙餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为.张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为，，.
（ⅰ）求第2天他去乙餐厅用餐的概率；
（ⅱ）求第（）天他去甲餐厅用餐的概率.
附：，；
19. 已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质.
（1）判断函数否具有性质；（直接写出结论）
（2）已知函数，判断是否存在，使函数具有性质？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
（3）设函数具有性质，且在区间上的值域为.函数，满足，且在区间上有且只有一个零点.求证：.性别
就餐区域
合计
南区
北区
男
33
10
43
女
38
7
45
合计
71
17
88
0.100
0.050
0.025
0.010
2.706
3.841
5.024
6.635
福州三中2023-2024学年高三第十六次质量检测
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 的展开式中的系数为，则（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】写出展开式的通项，再令，即可求出展开式中的系数，从而得解.
【详解】二项式展开式的通项为（其中且），
令可得，
所以，解得.
故选：B
2. 设是等比数列的前项和，若，则（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】成等比数列，得到方程，求出，得到答案.
【详解】由题意得，，
因为成等比数列，故，
即，解得，
故.
故选：B
3. 某学校运动会男子100m决赛中，八名选手的成绩（单位：）分别为：，，，，，，，则下列说法错误的是（ ）
A. 若该八名选手成绩的第百分位数为，则
B. 若该八名选手成绩的众数仅为，则
C. 若该八名选手成绩的极差为，则
D. 若该八名选手成绩的平均数为，则
【答案】A
【解析】
【分析】举反例判断A,利用众数和平均数定义判断B、D,分情况讨论x判断C.
【详解】对A,因为，当,八名选手成绩从小到大排序，故该八名选手成绩的第百分位数为，但，故A错误；
对B,由众数是出现次数最多的数据，B正确；
对C,当，极差为，不符合题意舍去；
当，极差为，符合题意
当，极差为不符合题意舍去，综上，，C正确；
对D,平均数为解得，故D正确.
故选：A
4. 在中，，，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据余弦定理可求解，由面积公式即可求解.
【详解】在中，，，，
由余弦定理可得，解得，
所以，
故选：A
5. 已知，则（ ）
A. 0B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】由两角和与差的三角函数，结合求解.
【详解】已知，
则，
，
，，
则，，
则
.
故选：A.
6. 第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆时，场馆仅有2名志愿者的概率为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先得甲去场馆或的总数为，进一步由组合数排列数即可得所求概率.
【详解】不考虑甲是否去场馆，所有志愿者分配方案总数为，
甲去场馆的概率相等，所以甲去场馆或的总数为，
甲不去场馆，分两种情况讨论，
情形一，甲去场馆，场馆有两名志愿者共有种；
情形二，甲去场馆，场馆场馆均有两人共有种，
场馆场馆均有两人共有种，所以甲不去场馆时，
场馆仅有2名志愿者的概率为.
故选：B．
7. 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
分析】根据题意进行类比，利用平面法向量与面内任意向量垂直，即可求得结论．
【详解】根据题意进行类比，在空间任取一点，
则
平面法向量为，
故选：A．
8. 曲线是平面内与三个定点，和的距离的和等于的点的轨迹.给出下列四个结论：
①曲线关于轴、轴均对称；
②曲线上存在点，使得；
③若点在曲线上，则的面积最大值是1；
④曲线上存在点，使得为钝角.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ②③④B. ②③C. ③④D. ①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得曲线的方程为，可判断①错误；②假设结论成立，推得曲线不存在；当点P为点时，的面积最大，最大值是1，故③正确；在曲线上再寻找一个特殊点P（0，y），验证即可判断④正确．
【详解】设曲线上任意一点，由题意可知的方程为
.
①错误，在此方程中用取代，方程不变，可知关于轴对称；
同理用取代，方程改变，可知不关于轴对称，故①错误.
②错误，若，则
曲线不存在，故②错误.
③正确，
P应该在椭圆D：内（含边界），
曲线与椭圆D有唯一的公共点，此时
当点P为点时，的面积最大，最大值是1，故③正确；
④正确，由 ③可知，取曲线上点，此时，
下面在曲线上再寻找一个特殊点，，
则，
把两边平方，
整理得，
解得，即或.
因为，则取点，
此时故④正确．
故答案为：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 当时，的值域为
C. 将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
D. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
【答案】AD
【解析】
【分析】利用图象求函数解析式，根据解析式求函数最小正周期和区间内的值域，求出函数图象变换后的解析式，判断新图象的对称中心.
【详解】由函数图象可知，，的最小正周期为，A选项正确；
，，，
则，由，得，
所以.
当时，，，的值域为，B选项错误；
将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象，C选项错误；
将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数的图象，
，函数的图象关于点对称，D选项正确.
故选：AD
10. 已知是两个虚数，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，则与均为实数B. 若与均为实数，则
C. 若均为纯虚数，则为实数D. 若为实数，则均为纯虚数
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据复数的四则运算，结合共轭复数的定义即可求解ABC，举反例即可求解D.
【详解】设，．，．
若，则，，所以，，所以A正确；
若与均为实数，则，且，又，，所以，所以B正确；
若，均为纯虚数，则，所以，所以C正确；
取，，则为实数，但，不是纯虚数，所以D错误．
故选：ABC．
11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，，且对任意，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数的性质和导函数的运算法则，结合赋值法可得相关结论.
【详解】因为，
令得：，又因为，所以，故A正确；
因为是定义域为的奇函数，所以，且为偶函数.
令，可得：①
再用代替可得：
②
①②得：
所以：，
所以是周期为3的周期函数，所以：，故B正确.
因为：，，所以：，
所以：，故C错误；
又因为亦为周期为3的周期函数，且为偶函数，所以
令，可得：，
所以.
所以：.故D正确.
故选：ABD
【点睛】方法点睛：对于可导函数有：奇函数的导函数为偶函数；偶函数的导函数为奇函数.
若定义在上的函数是可导函数，且周期为，则其导函数也是周期函数，且周期也为.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，若，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】由可得，解出集合后结合集合的关系计算即可得.
【详解】由，故，
由，得，
故有，即，即，
即的最小值为.
故答案为：.
13. 已知三个实数a、b、c，当时，且，则的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
分析】当时满足：且，可得，进而得，解得或．于是，令，可得，利用二次函数的单调性即可求解最值.
【详解】当时满足：且，
，即，进而，解得．
所以或，
，
令，
，
由于
所以在单调递增，在单调递减，
当时，，当时，，
所以
故答案为：．
14. 已知棱长为8的正四面体，沿着四个顶点的方向各切下一个棱长为2的小正四面体（如图），剩余中间部分的八面体可以装入一个球形容器内（容器壁厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】先求出正四面体的外接球半径，再利用，结合外接球知识求出该八面体的外接球半径即可求解.
【详解】如图：
设为正四面体的外接球球心，为的中心,为的中心, 为的中点，
由正四面体可知平面，
因为平面，所以，
又因为棱长为8，所以，，
设正四面体外接球球心为，则在，则为外接球半径，
由得，解得，
即,
在正四面体中，易得，，所以，
则该八面体的外接球半径,
所以该球形容器表面积的最小值为，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数．
（1）当时，求的图象在点处的切线方程；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）把代入，利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）求出，由已知分离参数，构造函数并利用导数求出最小值即得.
【小问1详解】
当时，，求导得，
则，而，于是，即，
所以的图象在点处的切线方程是.
【小问2详解】
函数定义域为，求导得，
由，得，令，
求导得，令函数，
显然函数在上单调递增，而，则当时，，，
当时，，，函数在上递减，在上递增，，
因此，解得，
所以实数的取值范围是.
16. 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且其离心率为.
（1）求椭圆方程；
（2）已知与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求证：（为坐标原点）为定值.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由抛物线的焦点得椭圆焦点，即可结合离心率求解,
（2）联立直线与椭圆的方程，根据跟与系数的关系，结合斜率公式即可求解.
【小问1详解】
∵抛物线的焦点为，
∴椭圆的半焦距为，
又，得，.
∴椭圆的方程为
【小问2详解】
证明：由题意可知，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，
联立，得.
，即，
设，，
则，，
∴，
∴.
∴为定值

17. 如图，在正四棱台中，.

（1）求证：平面平面；
（2）若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）将正四棱台补成正四棱锥，证明平面，再根据面面垂直的判定定理，即可证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，利用直线与平面所成角的正切值求出棱台的高，求出相关点坐标，求出平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案.
【小问1详解】
延长交于一点P，连接BD交AC于O；

由正四棱台定义可知，四条侧棱交于点P，且四棱锥为正四棱锥，
即，又点O分别为的中点，
故，而，平面，
故平面，又平面，
故平面平面，即平面平面；
【小问2详解】
由（1）知两两垂直，
故分别以为轴建立空间直角坐标系，

设棱台的高为h，则，
又平面的法向量可取为，而，
由题意知直线与平面所成角的正切值为，
则其正弦值为，
则，解得，
所以，
设平面的法向量为，则，
令，则，
故，而二面角范围为，
故二面角的正弦值为.
18. 某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙餐厅在北区各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求.
（1）现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？
（2）张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为；如果前一天在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为，；如果前一天在丙餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为.张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为，，.
（ⅰ）求第2天他去乙餐厅用餐的概率；
（ⅱ）求第（）天他去甲餐厅用餐的概率.
附：，；
【答案】（1）没有关联
（2）（i）；
（ii）
【解析】
【分析】（1）根据卡方的公式代入计算，与临界值比较，即可求解；
（2）（ⅰ）根据相互独立事件的概率，结合全概率公式即可求解；（ⅱ）根据递推关系，结合等比数列的定义即可求解.
【小问1详解】
零假设：在不同区域就餐与学生性别没有关联，
根据表中的数据可得，，
依据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为在不同区域就餐与学生性别没有关联.
【小问2详解】
设“第天去甲餐厅用餐”， “第天去乙餐厅用餐”，
“第天去丙餐厅用餐”，
则两两独立，，
由题意可得，，，，
，，，，
，
（ⅰ）由，结合全概率公式可得，
，
所以张同学第2天去乙餐厅用餐的概率为.
（ⅱ）记第天他去甲，乙，丙餐厅用餐的概率分别为，
则，
由全概率公式可得
故①，
同理可得②，
③，④，
由①②可得，由④可得，
代入②中可得，即，
且，
故数列是首项为，公比为的等比数列，
即，所以，
于是，当时，，
综上所述，.
【点睛】关键点睛：本题主要考查了独立性检验问题以及相互独立事件概率与数列结合问题，难度较大，解答本题的关键在于结合递推关系与等比数列的定义求解.
19. 已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质.
（1）判断函数是否具有性质；（直接写出结论）
（2）已知函数，判断是否存在，使函数具有性质？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
（3）设函数具有性质，且在区间上的值域为.函数，满足，且在区间上有且只有一个零点.求证：.
【答案】（1）函数具有性质；不具有性质.
（2），
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用定义判断即可；
（2）假设函数具有性质，可求出，进而可得，从而可得，再根据定义进行验证，即可得到答案；
（3）由函数具有性质及（2）可知，，进而可得在的值域为，且，由在区间上有且只有一个零点可证明当时不符合题意，再求解当时与是以为周期的周期函数矛盾，从而可得，即可证明.
【小问1详解】
因为，则，又，
所以，故函数具有性质；
因为，则，又，
，故不具有性质.
【小问2详解】
若函数具有性质，则，即，
因为，所以，所以；
若，不妨设，由，
得（*），
只要充分大时，将大于1，而的值域为，
故等式（*）不可能成立，所以必有成立，
即，因为，所以，
所以，则，此时，
则，
而，即有成立，
所以存在，使函数具有性质.
【小问3详解】
证明：由函数具有性质及（2）可知，，
由可知函数是以为周期的周期函数，则，
即，所以，；
由，以及题设可知，
函数在的值域为，所以且；
当，及时，均有，
这与在区间上有且只有一个零点矛盾，因此或；
当时，，函数在的值域为，
此时函数的值域为，
而，于是函数在的值域为，
此时函数的值域为，
函数在当时和时的取值范围不同，
与函数是以为周期的周期函数矛盾，
故，即，命题得证.
【点睛】关键点睛：本题考查了函数新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可.
性别
就餐区域
合计
南区
北区
男
33
10
43
女
38
7
45
合计
71
17
88
0.100
0.050
0.025
0.010
2.706
3.841
5.024
6.635