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2024年艺考生仿真演练综合测试（一）-2024年新高考数学艺术生突破90分精讲
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这是一份2024年艺考生仿真演练综合测试（一）-2024年新高考数学艺术生突破90分精讲，文件包含2024年艺考生仿真演练综合测试一原卷版docx、2024年艺考生仿真演练综合测试一解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
2024年艺考生仿真演练综合测试（一）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若角的终边过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】角的终边过点，则，
所以.
故选：A
2．（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因，
故.
故选:B．
3．已知集合，集合，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【解析】依题意，，
而，
所以，.
故选：A
4．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图象特征．则函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意可知：的定义域为，关于原点对称，
且，可知为奇函数，排除AB，
且，排除D.
故选：C.
5．已知等边的边长为2，点、分别为的中点，若，则=（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【解析】在中，取为基底，则.
因为点、分别为的中点，
，
，
故选：A
6．商后母戊鼎（也称司母戊鼎）是迄今世界上出土最大､最重的青铜礼器，享有“镇国之宝”的美誉，某礼品公司计划制作一批该鼎的工艺品，已知工艺品四足均为圆柱形，圆柱的高为，半径为，中间容器部分可近似看作一个无盖的长方体容器，该长方体壁厚，外面部分的长､宽､高的尺寸分别为，，.两耳的总体积与其中一足的体积近似相等.则该工艺品所耗费原材料的体积约为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】四足及两耳的体积为，
容器部分的体积为，
则总体积为.
故选：A.
7．由0，2，4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为，即，若，则（ ）
A．34B．33C．32D．30
【答案】B
【解析】由0,2,4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成数列，
则一位自然数有3个，两位自然数有个，
三位自然数有个，四位自然数有个，
又四位自然数为
2024为四位自然数中的第6个，所以.
故选：B
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，且双曲线的离心率为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为双曲线的离心率为，所以，因为，
所以，由双曲线的定义可得，
所以，
在中，由余弦定理得，
在中，，设，则，
由得
，解得，所以，
所以.
故选：D
.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知由样本数据（i=1，2，3，…，10）组成的一个样本，得到回归直线方程为，且．剔除一个偏离直线较大的异常点后，得到新的回归直线经过点．则下列说法正确的是
A．相关变量x，y具有正相关关系
B．剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大
C．剔除该异常点后的回归直线方程经过点
D．剔除该异常点后，随x值增加相关变量y值减小速度变小
【答案】BC
【解析】依题意，原样本中，，
剔除一个偏离直线较大的异常点后，新样本中，，
因此剔除该异常点后的回归直线方程经过点，C正确；
由新的回归直线经过点，得新的回归直线斜率为，因此相关变量x，y具有负相关关系，A错误；
又，则剔除该异常点后，随x值增加相关变量y值减小速度变大，D错误；
由剔除的是偏离直线较大的异常点，得剔除该点后，新样本数据的线性相关程度变强，即样本相关系数的绝对值变大，B正确.
故选：BC
10．已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，下列说法正确的有（ ）
A．B．当时，
C．当时，不是数列中的项D．若是数列中的项，则的值可能为6
【答案】ABD
【解析】对A，，故A正确；
对B，当时，公差，此时，故B正确；
对C，当时，此时，，即是数列中的项，故C错误；
对D，当时，，又，故D正确.
故选：ABD
11．已知正方体的棱长为1，是侧面内的一个动点，三棱锥的所有顶点均在球的球面上，则（ ）
A．平面平面
B．点到平面的距离的最大值为
C．当点在线段上时，异面直线与所成的角为
D．当三棱锥的体积最大时，球的表面积为
【答案】AC
【解析】对于A，连接，则，
因为平面，平面，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以，
同理可得，
又平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面，故A正确；
对于B，如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，
设，
所以，
由A选项可知平面的一个法向量为，
又，所以点到平面的距离为，
所以当时，，故B错误；
对于C，连接，因为且，所以四边形是平行四边形，
所以，
则当点在线段上时，
异面直线与所成的角即为异面直线与所成的角，即，
因为为等边三角形，所以，
即异面直线与所成的角为，故C正确；
对于D，当三棱锥的体积最大时，点到平面的距离最大，
由B选项可知当点与点重合时，
三棱锥为正四面体，且其棱长为，
其外接球即为正方体的外接球，
所以外接球的半径为，所以球的表面积为，故D错误．
故选：AC.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若函数的最小正周期为，其图象关于点中心对称，则 ．
【答案】
【解析】由得，，所以，
又的图象关于点中心对称，
所以,解得，又，
所以，.
故答案为：
13．已知随机变量，且，则的展开式中常数项为 .
【答案】
【解析】由题意得随机变量服从正态分布，且，由，所以，
即求的常数项，由二项式定理得常数项为.
故答案为：
14．定义在上的可导函数满足，若，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】令，则，
所以函数在上是减函数，
由，得，
即，
所以，解得，
所以的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求．
【解析】（1）因为，
当时，，所以，
当时，，
所以，整理得，
所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列，
所以数列的通项公式为;
（2）因为，
由题意得：，即，
所以.
16．（15分）
甲、乙两名同学进行篮球投篮比赛，比赛规则如下：两人投篮的次数之和不超过5，投篮命中则自己得1分，该名同学继续投篮，若投篮未命中则对方得1分，换另外一名同学投篮，比赛结束时分数多的一方获胜，两人总投篮次数不足5但已经可以确定胜负时比赛就结束，两人总投篮次数达到5次时比赛也结束，已知甲、乙两名同学投篮命中的概率都是，甲同学先投篮.
(1)求甲同学一共投篮三次，且三次投篮连续的情况下获胜的概率；
(2)求甲同学比赛获胜的概率．
【解析】（1）用A表示甲投篮命中，表示甲投篮未命中，
用B表示乙投篮命中，表示乙投篮未命中，
记甲同学连续投篮了三次并赢得了比赛的事件为M，
则．
（2）①剩余两次投篮，甲、乙比分3：0获胜的概率是；
②剩余一次投篮，甲、乙比分3：1获胜的概率是：
（也可用）；
③不剩余投篮，前4次投篮甲、乙比分2：2获胜的概率是：
，
（也可用），
故甲获胜的概率是．
17．（15分）
如图，在四棱锥中，底面为梯形，，为等边三角形，E在棱上，．
(1)证明：．
(2)设Q为线段的中点，求平面与平面的夹角的余弦值．
【解析】（1）
证明：因为所以为三等分点且靠近点，
过作交于点，连接，则，
又，所以，
又，所以，所以四边形为平行四边形，所以，
因为为等边三角形，取的中点，连接，则，
又由余弦定理，
又，，所以，
所以，所以，
因为，所以.
（2）由（1）知，面，面，
所以面，
因为面，所以面面，且交线为，
因为面，所以面，
取中点，连接，则，
所以两两垂直，以为原点，建立如图所示坐标系，
则，
，设平面的法向量为，
则，令，则，
又，设平面的法向量为，
所以，令，则，
所以，
所以平面与平面的夹角的余弦值.
18．（17分）
①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数，的导函数分别为，，且，则
.
②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数；
(2)计算：；
(3)证明：，.
【解析】（1）设，
由于，
所以不成立，
故不是区间上的2阶无穷递降函数.
（2）设，则，
设，
则，
所以，得.
（3）令，则原不等式等价于，
即证，
记，则，
所以，
即有对任意，均有，
所以，
因为，
所以，
所以，证毕!
19．（17分）
已知双曲线的渐近线方程为，的半焦距为，且．
(1)求的标准方程．
(2)若为上的一点，且为圆外一点，过作圆的两条切线（斜率都存在），与交于另一点与交于另一点，证明：
（ⅰ）的斜率之积为定值；
（ⅱ）存在定点，使得关于点对称．
【解析】（1）因为的渐近线方程为，所以，
则，所以，
因为，所以，得.
因为，所以，可得，
所以，
故的标准方程为.
（2）证明：（i）设，如下图所示：
设过点的切线的斜率为，则切线方程为，
即，所以，
即，
因此的斜率是上式中方程的两根，即.
又因为，所以
所以的斜率之积为定值，且定值为.
（ii）不妨设直线的斜率为，直线的斜率为，
联立，得.
因为，
所以，
则，同理可得，
所以.
因为，所以，所以，
得.
因为都在上，所以或（舍去），
所以存在定点，使得关于点对称.
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
2024年艺考生仿真演练综合测试（一）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若角的终边过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】角的终边过点，则，
所以.
故选：A
2．（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因，
故.
故选:B．
3．已知集合，集合，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【解析】依题意，，
而，
所以，.
故选：A
4．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图象特征．则函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意可知：的定义域为，关于原点对称，
且，可知为奇函数，排除AB，
且，排除D.
故选：C.
5．已知等边的边长为2，点、分别为的中点，若，则=（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【解析】在中，取为基底，则.
因为点、分别为的中点，
，
，
故选：A
6．商后母戊鼎（也称司母戊鼎）是迄今世界上出土最大､最重的青铜礼器，享有“镇国之宝”的美誉，某礼品公司计划制作一批该鼎的工艺品，已知工艺品四足均为圆柱形，圆柱的高为，半径为，中间容器部分可近似看作一个无盖的长方体容器，该长方体壁厚，外面部分的长､宽､高的尺寸分别为，，.两耳的总体积与其中一足的体积近似相等.则该工艺品所耗费原材料的体积约为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】四足及两耳的体积为，
容器部分的体积为，
则总体积为.
故选：A.
7．由0，2，4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为，即，若，则（ ）
A．34B．33C．32D．30
【答案】B
【解析】由0,2,4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成数列，
则一位自然数有3个，两位自然数有个，
三位自然数有个，四位自然数有个，
又四位自然数为
2024为四位自然数中的第6个，所以.
故选：B
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，且双曲线的离心率为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为双曲线的离心率为，所以，因为，
所以，由双曲线的定义可得，
所以，
在中，由余弦定理得，
在中，，设，则，
由得
，解得，所以，
所以.
故选：D
.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知由样本数据（i=1，2，3，…，10）组成的一个样本，得到回归直线方程为，且．剔除一个偏离直线较大的异常点后，得到新的回归直线经过点．则下列说法正确的是
A．相关变量x，y具有正相关关系
B．剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大
C．剔除该异常点后的回归直线方程经过点
D．剔除该异常点后，随x值增加相关变量y值减小速度变小
【答案】BC
【解析】依题意，原样本中，，
剔除一个偏离直线较大的异常点后，新样本中，，
因此剔除该异常点后的回归直线方程经过点，C正确；
由新的回归直线经过点，得新的回归直线斜率为，因此相关变量x，y具有负相关关系，A错误；
又，则剔除该异常点后，随x值增加相关变量y值减小速度变大，D错误；
由剔除的是偏离直线较大的异常点，得剔除该点后，新样本数据的线性相关程度变强，即样本相关系数的绝对值变大，B正确.
故选：BC
10．已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，下列说法正确的有（ ）
A．B．当时，
C．当时，不是数列中的项D．若是数列中的项，则的值可能为6
【答案】ABD
【解析】对A，，故A正确；
对B，当时，公差，此时，故B正确；
对C，当时，此时，，即是数列中的项，故C错误；
对D，当时，，又，故D正确.
故选：ABD
11．已知正方体的棱长为1，是侧面内的一个动点，三棱锥的所有顶点均在球的球面上，则（ ）
A．平面平面
B．点到平面的距离的最大值为
C．当点在线段上时，异面直线与所成的角为
D．当三棱锥的体积最大时，球的表面积为
【答案】AC
【解析】对于A，连接，则，
因为平面，平面，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以，
同理可得，
又平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面，故A正确；
对于B，如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，
设，
所以，
由A选项可知平面的一个法向量为，
又，所以点到平面的距离为，
所以当时，，故B错误；
对于C，连接，因为且，所以四边形是平行四边形，
所以，
则当点在线段上时，
异面直线与所成的角即为异面直线与所成的角，即，
因为为等边三角形，所以，
即异面直线与所成的角为，故C正确；
对于D，当三棱锥的体积最大时，点到平面的距离最大，
由B选项可知当点与点重合时，
三棱锥为正四面体，且其棱长为，
其外接球即为正方体的外接球，
所以外接球的半径为，所以球的表面积为，故D错误．
故选：AC.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若函数的最小正周期为，其图象关于点中心对称，则 ．
【答案】
【解析】由得，，所以，
又的图象关于点中心对称，
所以,解得，又，
所以，.
故答案为：
13．已知随机变量，且，则的展开式中常数项为 .
【答案】
【解析】由题意得随机变量服从正态分布，且，由，所以，
即求的常数项，由二项式定理得常数项为.
故答案为：
14．定义在上的可导函数满足，若，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】令，则，
所以函数在上是减函数，
由，得，
即，
所以，解得，
所以的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求．
【解析】（1）因为，
当时，，所以，
当时，，
所以，整理得，
所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列，
所以数列的通项公式为;
（2）因为，
由题意得：，即，
所以.
16．（15分）
甲、乙两名同学进行篮球投篮比赛，比赛规则如下：两人投篮的次数之和不超过5，投篮命中则自己得1分，该名同学继续投篮，若投篮未命中则对方得1分，换另外一名同学投篮，比赛结束时分数多的一方获胜，两人总投篮次数不足5但已经可以确定胜负时比赛就结束，两人总投篮次数达到5次时比赛也结束，已知甲、乙两名同学投篮命中的概率都是，甲同学先投篮.
(1)求甲同学一共投篮三次，且三次投篮连续的情况下获胜的概率；
(2)求甲同学比赛获胜的概率．
【解析】（1）用A表示甲投篮命中，表示甲投篮未命中，
用B表示乙投篮命中，表示乙投篮未命中，
记甲同学连续投篮了三次并赢得了比赛的事件为M，
则．
（2）①剩余两次投篮，甲、乙比分3：0获胜的概率是；
②剩余一次投篮，甲、乙比分3：1获胜的概率是：
（也可用）；
③不剩余投篮，前4次投篮甲、乙比分2：2获胜的概率是：
，
（也可用），
故甲获胜的概率是．
17．（15分）
如图，在四棱锥中，底面为梯形，，为等边三角形，E在棱上，．
(1)证明：．
(2)设Q为线段的中点，求平面与平面的夹角的余弦值．
【解析】（1）
证明：因为所以为三等分点且靠近点，
过作交于点，连接，则，
又，所以，
又，所以，所以四边形为平行四边形，所以，
因为为等边三角形，取的中点，连接，则，
又由余弦定理，
又，，所以，
所以，所以，
因为，所以.
（2）由（1）知，面，面，
所以面，
因为面，所以面面，且交线为，
因为面，所以面，
取中点，连接，则，
所以两两垂直，以为原点，建立如图所示坐标系，
则，
，设平面的法向量为，
则，令，则，
又，设平面的法向量为，
所以，令，则，
所以，
所以平面与平面的夹角的余弦值.
18．（17分）
①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数，的导函数分别为，，且，则
.
②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数；
(2)计算：；
(3)证明：，.
【解析】（1）设，
由于，
所以不成立，
故不是区间上的2阶无穷递降函数.
（2）设，则，
设，
则，
所以，得.
（3）令，则原不等式等价于，
即证，
记，则，
所以，
即有对任意，均有，
所以，
因为，
所以，
所以，证毕!
19．（17分）
已知双曲线的渐近线方程为，的半焦距为，且．
(1)求的标准方程．
(2)若为上的一点，且为圆外一点，过作圆的两条切线（斜率都存在），与交于另一点与交于另一点，证明：
（ⅰ）的斜率之积为定值；
（ⅱ）存在定点，使得关于点对称．
【解析】（1）因为的渐近线方程为，所以，
则，所以，
因为，所以，得.
因为，所以，可得，
所以，
故的标准方程为.
（2）证明：（i）设，如下图所示：
设过点的切线的斜率为，则切线方程为，
即，所以，
即，
因此的斜率是上式中方程的两根，即.
又因为，所以
所以的斜率之积为定值，且定值为.
（ii）不妨设直线的斜率为，直线的斜率为，
联立，得.
因为，
所以，
则，同理可得，
所以.
因为，所以，所以，
得.
因为都在上，所以或（舍去），
所以存在定点，使得关于点对称.
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