湖南省衡阳市祁东县育贤中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. 下列各式中，为分式的是（ ）
A. 2aB. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分式定义求解即可，一般地，如果、（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中称为分子，称为分母．
【详解】A.是整式，故该选项不符合题意；
B. 是整式，故该选项不符合题意；
C. 是分式，故该选项符合题意；
D. 是整式，故该选项不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查了分式的定义，理解分式的定义是解题的关键．
2. 要使分式有意义，实数a必须满足（ ）
A. a＝2B. a＝﹣2C. a≠2D. a≠2且a≠﹣2
【答案】C
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件分析即可．
【详解】有意义，
．
故选C．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．
3. 如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A. 扩大3倍B. 缩小3倍C. 缩小6倍D. 不变
【答案】D
【解析】
【分析】按照题意将原式中的字母都扩大3倍，再化简，即可得出结论．
【详解】解：扩大3倍后，原式变为，
∵，
∴分式的值不变，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题关键是掌握将分式的分子与分母同时乘以或除以同一个整式（除数或除式不为0），分式的值不变．
4. 中国第颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的懒纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．纳米米，将用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
【详解】解：将用科学记数法表示为，
故选：B．
【点睛】本题考查了科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
5. 下列函数中，自变量不能为1的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据分式的分母不为零可分别求出各自变量的取值，即可得出结果．
【详解】A项中x的取值范围是，不合题意；
B项中x的取值范围是，不合题意；
C项中x的取值范围是，不合题意；
D项中x的取值范围，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查分式有意义时自变量的取值，当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0，求出每个分母不为0时，x的取值范围即自变量的取值范围．
6. 已知点在第四象限内，则一次函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件“点为第四象限内的点”推知、的符号，由它们的符号可以得到一次函数的图象所经过的象限．
【详解】解：点为第四象限内的点，
，，
∴，
一次函数的图象经过第二、三、四象限，观察选项，A选项符合题意，B、C、D选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与、的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交．
7. 如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝90°，AC＝10，BD＝6，则AD的长是（ ）
A. 4B. C. 8D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形对角线互相平分，再根据勾股定理即可求出AD的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD＝BD＝3，OA＝OC＝AC＝5，
∵∠ADB＝90°，
∴
故选A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的性质.
8. 若点（4，y1），（﹣2，y2）都在函数y＝﹣3x+m的图象上，则y1与y2的大小关系是（ ）
A. y1＞y2B. y1＜y2C. y1＝y2D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】先令x=4和x=-2求得y1与y2的大小，然后比较大小．
【详解】解：当x=4时，y1=-3×4+m=-12+m，
当x=-2时，y2=-3×（-2）+m=6+m，
∴y1故选：B．
【点睛】题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是会求得y1与y2的值，本题也可以通过一次函数的增减性比较y1与y2的大小．
9. 甲、乙两车从A城出发沿一条笔直公路匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离A城的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系如图所示，下列结论错误的是（ ）
A. A、B两城相距300千米B. 乙车比甲车早到1小时
C. 乙车的速度为D. 当时，两车相遇
【答案】D
【解析】
【分析】观察图像可判断A、B、C正确，不符合题意，由图像所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图像的交点，可判断D错误，符合题意．
【详解】解：由图像可知：
A、A、B两城市之间的距离为，故此选项正确，不符合题意；
B、甲第5小时达到乙地，乙第4小时达到乙地，所以乙车比甲车早到1小时，故此选项正确，不符合题意；
C、乙用时3小时，所以，故此选项正确，不符合题意；
D、设甲车离开A城的距离y与t的关系式为， 把代入可求得：，
所以 ，
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为， 把代入可得：
，
解得：，
所以，
令可得：，
解得：，
当时，两车相遇，故此选项错误，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是掌握一次函数图像的意义，从图像获得信息．
10. 函数 和在第一象限内的图象如图，点P是的图象上一动点轴于点C，交的图象于点A，轴于点D，交的图象于点B．给出如下结论：
①与的面积相等；
②与始终相等；
③四边形的面积大小不会发生变化；
④．
其中所有正确结论有（ ）个．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】由于是反比函数上的点，可得出故①正确；当P的横纵坐标相等时，故②错误；根据反比例函数系数k的几何意义可求出四边形的面积为定值，故③正确；连接，根据底面相同的三角形面积的比等于高的比即可得出结论．
【详解】解：∵是反比函数上的点，
，故①正确；
∵由图的直观性可知，P点至上而下运动时，在逐渐增大，而在逐渐减小，只有当P的横纵坐标相等时，故②错误；
∵P是的图像上一动点，
∴矩形的面积为4，
∴，故③正确；
连接，

∴，
∴，
∴，
∴，故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：C．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数中系数k的几何意义是解答此题的关键．
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11. 已知，则值是________．
【答案】7
【解析】
【分析】，两边同时除以得，，即，根据，计算求解即可．
【详解】解：，
两边同时除以得，，
∴，
∴，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了代数式求值，完全平方公式，分式化简．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
12. 点所在象限为第_______象限．
【答案】四
【解析】
【分析】本题考查了判断点所在的象限；根据点在四个象限内的坐标特点解答即可．
【详解】解：点的横坐标为正，纵坐标为负，
点所在象限为第四象限．
故答案为：四．
13. 若分式的值为0，则的值为_______．
【答案】1
【解析】
【分析】分式的值为0，则分子为0且分母不为0，根据此结论即可完成．
【详解】由题意，得：，即
当时，
故的值为1
故答案为：1．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，掌握分式的概念是关键．
14. 点在反比例函数图象上，则m的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】将点代入函数解析式，求解即可.
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
故答案是：．
【点睛】本题考查求反比例函数的函数值，熟练掌握反比例函数图象上的点的横纵坐标，满足函数解析式，是解题的关键.
15. 已知点A（2a﹣1，3a+1），直线l经过点A，则直线l的解析式是___________．
【答案】y=x+．
【解析】
【详解】试题分析：∵点A的坐标为A（2a﹣1，3a+1），
∴x=2a﹣1，y=3a+1，
∴a=，a=，
所以=，
整理得，y=x+．
故答案是y=x+．
考点：待定系数法求一次函数解析式．
16. 如图，直线与直线相交于点A，则关于x的不等式的解集为______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用图象法求解即可．
【详解】解：∵直线与直线相交于点A，点的纵坐标为，
∴，
∴
∴由函数图象可知，当时，直线的函数图象在直线的函数图象下方，
∴关于x的不等式的解集为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了根据两直线的交点求不等式的解集，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
17. 关于的方程有增根，则______．
【答案】5
【解析】
【分析】先将原方程变形为整式方程，再将代入求得m的值即可．
【详解】解：
方程左右两边同时乘以得：
∵原方程有增根
∴
∴，解得．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了分式方程的增根、解分式方程等知识点，正确理解分式方程的增根的概念是解题关键．
18. 已知：点，，都在反比例函数图象上，用“＜”表示、、的大小关系是_____．
【答案】
【解析】
【分析】由，可知反比例函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，再根据反比例函数的性质进行判断即可．
【详解】解：∵反比例函数中，，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，
，
∴点位于第三象限，
，
，
∴点，位于第一象限，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数图象和性质，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
三、解答题（满分66分）
19. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合与运算，分式的混合运算；
（1）按照负整数指数幂的运算法则、绝对值以及二次根式、零次幂逐步求解即可．
（2）本题依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，最后验证根是否符合题意以解此题．
【小问1详解】
解：（1）原式
；
【小问2详解】
解：
20. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）无解 （2）
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的解法；
（1）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可；
（2）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可．
【小问1详解】
解：去分母得：，
移项合并得：，
解得：，
经检验是分式方程的增根．
所以方程无解．
【小问2详解】
方程两边同乘得，，
解这个一元一次方程得，．
检验：当时，，
所以原分式方程解为．
21. 已知反比例函数（k为常数）．
（1）若函数图象在第二、四象限，求k的取值范围；
（2）若时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据反比例函数的图象在第二、四象限列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可；
（2）根据反比例函数的增减性列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可得出结论．
【小问1详解】
解：∵反比例函数的图象在第二、四象限，
∴，
解得：，
∴k的取值范围是；
【小问2详解】
解：∵若时，y随x的增大而减小，
∴，
解得：，
∴k的取值范围是．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
22. 在开任公路改建工程中，某工程段将由甲，乙两个工程队共同施工完成，据调查得知，甲，乙两队单独完成这项工程所需天数之比为2:3，若先由甲，乙两队合作30天，剩下的工程再由乙队做15天完成.
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（2）此项工程由两队合作施工，甲队共做了m天，乙队共做了n天完成.已知甲队每天的施工费为15万元，乙队每天的施工费用为8万元，若工程预算的总费用不超过840万元，甲队工作的天数与乙队工作的天数之和不超过80天，请问甲、乙两队各工作多少天，完成此项工程总费用最少？最少费用是多少？
【答案】（1）甲、乙两队单独完成这取工程各需60，90天；（2）甲、乙两队各工作20，60天，完成此项工程总费用最少，最少费用是780万元.
【解析】
【分析】（1）根据题意列方程求解；
（2）用总工作量减去甲队的工作量，然后除以乙队的工作效率得到乙队的施工天数，令施工总费用为w万元，求出w与m的函数解析式，根据m的取值范围以及一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）设甲、乙两队单独完成这取工程各需2x，3x天，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的根，
∴，，
答：甲、乙两队单独完成这取工程各需60，90天；
（2）由题意得：，
令施工总费用为w万元，则．
∵两队施工的天数之和不超过80天，工程预算的总费用不超过840万元，
∴，，
∴，
∴当时，完成此项工程总费用最少，此时，元，
答：甲、乙两队各工作20，60天，完成此项工程总费用最少，最少费用是780万元.
【点睛】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．
23. 平行四边形中，点E在边上，点F在边上，连接、、、，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，设交于点G，交于点H，连接，若E是边的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中以G为顶点并且与全等的所有三角形．
【答案】（1）证明见解析
（2）以为顶点的三角形且与全等的三角形有：，，，，证明见解析．
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质，证明，再利用全等三角形的性质即可证明．
（2）根据平行四边形的性质可得，，根据全等三角形的判定定理和性质，三角形的中位线定理证明四边形，四边形，四边形是平行四边形，再利用平行四边形的中心对称的性质可得答案．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴．
∴．
【小问2详解】
解：∵E是的中点，
∴．
∵，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴，，
∴，
∴，，
同理可得：，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形．
由平行四边形的中心对称的性质可得：以为顶点的三角形且与全等的三角形有：，，，．
【点睛】本题考查平行四边形的判定定理和性质，全等三角形的判定定理和性质，三角形中位线定理，综合应用这些知识点是解题关键．
24. 关于x的分式方程
（1）若方程的增根为，求m的值；
（2）若方程有增根，求m的值；
（3）若方程无解，求m的值.
【答案】（1）
（2）或
（3）1或或
【解析】
【分析】（1）根据分式方程的性质先去分母，再移项并合并同类项，结合题意，通过求解一元一次方程，即可得到答案；
（2）根据分式方程增根的性质，首先得方程的增根为或，再通过计算即可得到答案；
（3）结合（1）的结论，根据分式方程和一元一次方程的性质计算，即可得到答案.
【小问1详解】
∵，
去分母得：，
移项并合并同类项，得：，
当方程的增根为时，，
∴；
【小问2详解】
当方程有增根时，方程的增根为或，
当时，，
当时，，
解得：，
∴或；
【小问3详解】
∵
当方程无增根，且时，方程无解，
∴得，
当方程有增根，且时，，方程无解，
当方程有增根，且时，，方程无解，
∴当或或时，方程无解．
【点睛】本题考查了分式方程的知识；解题的关键是熟练掌握分式方程的性质，从而完成求解.
25. 如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点P是射线上的动点，过点B作直线的垂线交x轴于点Q，垂足为点C，连接．

（1）当点P在线段上时，
①求证：；
②若点P为的中点，求的面积．
（2）在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得成为等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①见解析，②
（2）或或
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与几何图形综合，熟练掌握全等三角形的性质与判定，坐标与图形是解题的关键．
（1）①根据一次函数解析式得出，根据垂直关系以及等角的余角相等，得出，进而证明；
②由①知：，则，直线的解析式为：，同理可得：直线的解析式为：，联立得出，进而根据三角形面积公式即可求解；
（2）分当点在线段上时，当点在的延长线上时，根据等腰三角形的定义，即可求解．
【小问1详解】
①证明：当时，，
，
当时，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②解：，点是 的中点，
，
由①知：，
，
，
设直线的解析式为：，
，
，
同理可得：直线的解析式为：，
由得，
，
，
；
【小问2详解】
解：如图1，

当点在线段上时，
若，由于，则有，
即当时，是等腰三角形；，
若，由于，则有，
过点C作轴于点H，显然，
即不可能，
当是等腰三角形时，只有，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
如图2，

当点在的延长线上时，
同理可得：，
综上所述：或或．