河南省郑州市郑州经济技术开发区第四中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（含解析）

这是一份河南省郑州市郑州经济技术开发区第四中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（含解析），共26页。试卷主要包含了已知，则下列不等式成立的是等内容，欢迎下载使用。

1．下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．科克曲线B．笛卡尔心形线C．阿基米德螺旋线D．赵爽弦图
2．已知，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x（x-2）=x2-2xB．（x+1）2=x2+2x+1
C．x2-4=（x+2）（x-2）D．x2+2x+4=（x+1）2+3
4．已知点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=1200，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（ ）
A．1.5cmB．2cmC．2.5cmD．3cm
6．今年月，某种口罩单价上涨元，同样花费元买这种口罩，涨价前可以比涨价后多买个，设涨价后每个口罩元，可列出的正确的方程是( )．
A．B．
C．D．
7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB＝12，CD＝3，则△DBE的面积为（ ）
A．10B．12C．9D．6
8．如果不等式组无解，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞8B．m≥8C．m＜8D．m≤8
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C'，此时点A'恰好在AB边上，则点B'与点B之间的距离为（ ）
A．12B．6C．6D．
10．等边三角形ABC的边长为6，点O是三边垂直平分线的交点，∠FOG＝120°，∠FOG的两边OF，OG与AB，BC分别相交于D，E，∠FOG绕O点顺时针旋转时，下列四个结论：①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③S四边形ODBE＝；④△BDE周长最小值是9．其中正确个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二.填空题（共5小题）
11．如果分式的值为0，那么x的值为 ．
12．如图，∠C＝90°，将直角△ABC沿着射线BC方向平移5cm，得△A'B'C'，若BC＝3cm，AC＝4cm，则阴影部分的周长为 ．
13．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数（k、b为常数，且）的图像与直线都经过点，当时，x的取值范围是 ．
14．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的三等分角仪能三等分任意一个角，这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕点O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则的度数是 ．
15．如图，在中，，，，的垂直平分线交于，交于点，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点为点，连接，．当为直角三角形时，的长为 ．
三.解答题（共7小题）
16．先化简，再求值：，其中a=．
17．在正方形网格中，小正方形的顶点称为“格点”，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在“格点”处．
(1)在给定方格纸中，点B与点对应，请画出平移后的；
(2)线段与线段的关系是______________；
(3)求平移过程中，线段扫过的面积．
18．某实践探究小组想测得湖边两处的距离，数据勘测组通过勘测，得到了如下记录表：
数据处理组得到上面数据以后做了认真分析．他们发现不需要勘测组的全部数据就可以计算出A、B之间的距离．于是数据处理组写出了以下过程，请补全内容．
已知：如图，在中，．_________．（从记录表中再选一个条件填入横线）

求：线段的长．（为减小结果的误差，若有需要，取，取，取进行计算，最后结果保留整数．）
19．仔细阅读下面例题：
例题：已知二次三项式有一个因式是x＋2，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式px＋n，得＝（x＋2）（px＋n），
对比等式左右两边x的二次项系数，可知p＝1，于是＝（x＋2）（x＋n）．
则＝＋（n＋2）x＋2n，
∴n＋2＝5，m＝2n，
解得n＝3，m＝6，
∴另一个因式为x＋3，m的值为6
依照以上方法解答下面问题：
（1）若二次三项式﹣7x＋12可分解为（x﹣3）（x＋a），则a＝ ；
（2）若二次三项式2＋bx﹣6可分解为（2x＋3）（x﹣2），则b＝ ；
（3）已知代数式2＋＋kx﹣3有一个因式是2x﹣1，求另一个因式以及k的值．
20．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功.航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型.已知每个“天宫”模型的成本比“神舟”模型低20%，同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个．
(1)“神舟”和“天宫”模型的成本每个各多少元？
(2)该航模店计划购买两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，“天宫”模型的售价为25元.设购买“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．
①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）；
②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上运动，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
(1)判断DE与PD的位置关系，并说明理由：
(2)若AC＝3，BC＝4，PA＝1，求线段DE的长．
22．综合与实践−−探究特殊三角形中的相关问题
问题情境：
某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如图1所示位置放置，且Rt△ABC的较短直角边AB为2，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转，如图2，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．
(1)初步探究：
勤思小组的同学提出：当旋转角α= 时，△AMC是等腰三角形；
(2)深入探究：
敏学小组的同学提出在旋转过程中．如果连接AP，CE，那么AP所在的直线是线段CE的垂直平分线，请帮他们证明；
(3)再探究：
在旋转过程中，当旋转角α=30°时，求△ABC与△AFE重叠的面积；
(4)拓展延伸：
在旋转过程中，△CPN是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角α的度数；若不能，说明理由．
实践探究活动记录表
活动内容 测量湖边A、B两处的距离
成员 组长：××× 组员：××××××××××××
测量工具 测角仪，皮尺等
测量示意图

说明：因为湖边A、B两处的距离无法直接测量，数据勘测组在湖边找了一处位置C．可测量C处到A、B两处的距离．通过测角仪可测得的度数．
测量数据
角的度数
边的长度
米
米
1．A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、科克曲线既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、笛卡尔心形线是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、阿基米德螺旋线不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、赵爽弦图不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．C
【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、若，则，故本选项不符合题意；
B、若，则，故本选项不符合题意；
C、若，则，故本选项符合题意；
D、若，则，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3．C
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【详解】解∶A、从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B、从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C、从左至右的变形是由多项式变成因式的乘积，属于因式分解，故本选项符合题意；
D、从左至右的变形中，右边最后不属于乘法运算，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选∶C．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义(把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解)是解此题的关键．
4．D
【分析】根据点在第二象限，得到，求出解集并表示在数轴上，即可得到答案．
【详解】解：∵点在第二象限，
∴，
解得，
将解集表示在数轴上为，
故选：D．
【点睛】此题考查了直角坐标系中点坐标的特点，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，综合掌握各知识点是解题的关键．
5．B
【详解】连接AM、AN，
∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，
∴∠B=∠C=30°，
∵EM垂直平分AB，NF垂直平分AC，
∴BM=AM，CN=AN，
∴∠MAB=∠B=30°，∠NAC=∠C=30°，
∴∠AMN=∠B+∠MAB=60°，∠ANM=∠C+∠NAC=60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴AM=MN=NC，
∴BM=MN=CN，
∵BM+MN+CN=BC=6cm，
∴MN=2cm ，
故选B.

6．B
【分析】根据“涨价前可以比涨价后多买个”列出分式方程即可．
【详解】解：由题意可得
故选：B．
【点睛】此题考查的是分式方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．
7．C
【分析】如图：过D作DF⊥AB于F,然后根据角平分线的性质可得DF=CD=3,然后再根据中点的定义求得BE的长，最后根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图：过D作DF⊥AB于F,
∵∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，
∴DF=CD=3
∵点E为AB的中点， AB＝12
∴BE=AB=6
∴△DBE的面积为 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了角平分线定理、中点的定义、三角形的高等知识点，作出△DBE的高并运用角平分线定理求出成为解答本题的关键．
8．B
【分析】根据不等式取解集的方法，大大小小无解，可知m和8之间的大小关系，求出m的范围即可．
【详解】解：因为不等式组无解，
即x＜8与x＞m无公共解集，
∴m≥8．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．
9．D
【分析】连接B'B，利用旋转的性质和直角三角形的性质解答即可．
【详解】解：连接B'B，∵将绕点C按逆时针方向旋转得到，
∴AC=A'C，AB=A'B，∠A=∠CA'B'=60°，
∴△AA'C是等边三角形，
∴∠AA'C=60°，
∴∠B'A'B=180°-60°-60°=60°，
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到，
∴∠ACA'=∠BAB'=60°，BC=B'C，∠CB'A'=∠CBA=90°-60°=30°，
∴△BCB'是等边三角形，
∴∠CB'B=60°，
∵∠CB'A'=30°，
∴∠A'B'B=30°，
∴∠B'BA'=180°-60°-30°=90°，
∵∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，
∴AB=12，
∴A'B=AB-AA'=AB-AC=6，
∴B'B=6，
故选：D．
【点睛】此题考查旋转问题，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，关键是利用旋转的性质和直角三角形的性质解答．
10．B
【分析】连接、，如图，利用等边三角形的性质得，再证明，于是可判断，所以，，则可对①进行判断；利用得到四边形的面积，则可对③进行判断；作，如图，则，计算出，利用随的变化而变化和四边形的面积为定值可对②进行判断；由于的周长，根据垂线段最短，当时，最小，的周长最小，计算出此时的长则可对④进行判断．
【详解】解：连接、，如图，
为等边三角形，
，
点是等边三边垂直平分线的交点，
，、分别平分和，
，
，即，
而，即，
，
在和中，
，
，
，，①正确；
，
四边形的面积，③错误；
作，如图，则，
，
，
，，
，
，
即随的变化而变化，
而四边形的面积为定值，
；②错误；
，
的周长，
当时，最小，的周长最小，此时，
周长的最小值，④正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积的计算等知识；熟练掌握旋转的性质和等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
11．2
【分析】本题主要考查分式的值为零的条件，熟练掌握分式的值为零的条件是解决本题的关键．根据分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．即可解决此题．
【详解】解：，
，且，
，且，
，
故答案为：2．
12．
【分析】利用勾股定理求出AB，再利用平移变换的性质，可得结论．
【详解】解：在Rt△ACB中，AB=
∵AA′=BB′=5cm，
∴CB′=BB′-BC=5-3=2（cm），
∴阴影部分的周长=AC+CB′+A′B′+AA′=4+2+5+5=16（cm）．
故答案为：16cm．
【点睛】本题考查平移的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质．
13．##
【分析】本题主要考查了根据一次函数的图像确定不等式的解集，根据函数的图像中两条直线的交点坐标确定不等式的解集即可．
【详解】解：一次函数（k、b为常数，且）的图像与直线都经过点，
由图像可知，当时，一次函数的图像在直线的上面，且两条直线都在x轴的上方，
∴当时，x的取值范围是，
故答案为：．
14．
【分析】根据等腰三角形等边对等角、三角形外角的性质以及三角形内角和定理进行求解即可．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理等知识点，熟练掌握等腰三角形等边对等角以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解本题的关键．
15．或
【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
在中，，，，则，，根据垂直平分线的性质得出，，，最后分为直角三角边和斜边，分别讨论，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：在中，，，，
∴，，
∵的垂直平分线交于，交于点，
∴，，，
在中，，，
∴, ，
∴，，
∵由线段绕点顺时针旋转得到，
∴，
在中，，，
当为直角边时，，
当为斜边时，，
故答案为：或．
16．，
【分析】根据分式的混合运算法则，先化简，再代入求值，即可求解．
【详解】原式=
=
=
=
=．
当a=时，原式==．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的约分和通分，是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)平行且相等
(3)15
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，C的对应点，，再连接即可；
（2）根据平移的性质回答即可；
（3）根据图形得到扫过部分的图形，再根据面积公式计算．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）由平移可知：线段与线段的关系是平行且相等；
（3）由图可知：线段扫过的部分为平行四边形，
∴面积为．
【点睛】本题考查作图-平移变换，平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移的性质，多结合图形解决问题．
18．米，线段的约长为77米；米，线段的约长为77米
【分析】填入数据米．作于点D，在和中，解直角三角形即可求解．
【详解】（1）当填入米时：
已知：如图，在中，．米．（从记录表中再选一个条件填入横线）

求：线段的长．
解：作于点D，

在中，，，
∴，，
在中，，，
∴，
∴，
∴(米)，
答：线段的约长为77米．
（2）当填入米时：
已知：如图，在中，．米．（从记录表中再选一个条件填入横线）

求：线段的长．
解：作于点D，

在中，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴(米)，
答：线段的约长为77米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-其他问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
19．（1）-4；（2）-1；（3）另一个因式为＋x＋3，k的值为5．
【分析】（1）仿照题干中给出的方法计算即可；
（2）仿照题干中给出的方法计算即可；
（3）设出另一个因式为（），对比两边三次项系数可得a＝1，再参照题干给出的方法计算即可．
【详解】解：（1）∵
＝
＝．
∴a﹣3＝﹣7，﹣3a＝12，
解得：a＝﹣4.
（2）∵
＝．
＝．
∴b＝﹣1．
（3）设另一个因式为（），得．
对比左右两边三次项系数可得：a＝1．
于是．
则．
∴﹣c＝﹣3，2b﹣1＝1，2c﹣b＝k．
解得：c＝3，b＝1，k＝5．
故另一个因式为，k的值为5．
【点睛】本题以阅读材料给出的方法为背景考查了因式分解、整式乘法、合并同类项等知识，熟练掌握以上知识是解题关键．
20．(1)“神舟”模型成本为每个20元，“天宫”模型成本为每个16元
(2)购进“神舟”模型33个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是1098元
【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用和分式方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和方程．
（1）设“神舟”模型成本为每个元，则“天宫”模型成本为每个（元，根据同样花费320元，购进“天官”模型的数量比“神舟”模型多4个．列出方程，解方程即可，注意验根；
（2）①设购买“神舟”模型个，则购买“天宫”模型个，根据总利润两种模型利润之和列出函数解析式即可；
②根据购进“神舟”模型的数量不超过“天官”模型数量的一半求出的取值范围，由函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：设“神舟”模型成本为每个元，则“天宫”模型成本为每个（元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合实际意义，
（元，
答：“神舟”模型成本为每个20元，“天宫”模型成本为每个16元；
（2）解：①设购买“神舟”模型个，则购买“天宫”模型个，
则，
与的函数关系式为；
②购进“神舟”模型的数量不超过“天官”模型数量的一半，
，
解得，
，，是正整数，
当时，最大，最大值为1098，
答：购进“神舟”模型33个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是1098元．
21．(1)DE⊥DP，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠PDA，根据线段垂直平分线的性质得到EB＝ED，可得∠B＝∠EDB，根据∠A＋∠B＝90°求出∠PDE＝90°，于是得到结论；
（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝4−x，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：DE⊥DP，
理由：∵PD＝PA，
∴∠A＝∠PDA，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB＝ED，
∴∠B＝∠EDB，
∵∠C＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°，
∴∠PDA＋∠EDB＝90°，
∴∠PDE＝180°−90°＝90°，
∴DE⊥DP；
（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝4−x，
∵∠C＝∠PDE＝90°，
∴，
∵PA＝1，
∴PD＝1，PC＝2，
∴
解得：x＝，
即DE＝．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，正确的作出辅助线是解题的关键．
22．(1)60°或15°
(2)见解析
(3)
(4)能，∠α=30°或60°
【分析】（1）根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）由题意可知，AB=AF，∠B=∠F，∠E=∠C，AE=AC，根据旋转的性质得到∠BAM=∠FAN，根据全等三角形的性质得到AM=AN，PE=PC，由线段垂直平分线的性质即可得到结论；
（3）根据已知条件得到△ABM是直角三角形，求得EM=，根据全等三角形的性质和三角形的面积公式即可得到结论；
（4）当∠CNP=90°时，依据对顶角相等可求得∠ANF=90°，然后依据∠F=60°可求得∠FAN的度数，由旋转的性质可求得∠α的度数；当∠CPN=90°时．由∠C=30°，∠CPN=90°，可求得∠CNP的度数，然后依据对顶角相等可得到∠ANF的度数，然后由∠F=60°，依据三角形的内角和定理可求得∠FAN的度数，于是可得到∠α的度数．
【详解】（1）当AM=CM，即∠CAM=∠C=30°时，△AMC是等腰三角形；
∵∠BAC=90°，
∴α=90°−30°=60°，
当AM=CM，即∠CAM=∠CMA时，△AMC是等腰三角形，
∵∠C=30°，
∴∠CAM=∠AMC=75°，
∵∠BAC=90°，
∴α=15°，
综上所述，当旋转角α=60°或15°时，△AMC是等腰三角形，
故答案为：60°或15°；
（2）由题意可知，AB=AF，∠B=∠F，∠E=∠C，AE=AC，
∵现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），
∴∠BAM=∠FAN，
在△ABM与△AFN中，
，
∴，
∴AM=AN，
∵AE=AC，
∴EM=CN，
在和中
，
∴，
∴PE=PC，
∴点P在CE的垂直平分线上，
∵AE=AC，
∴点A在CE的垂直平分线上，
∴AP所在的直线是线段CE的垂直平分线；
（3）∵α=30°，∠B=60°，
∴∠AMB=90°，
∴△ABM是直角三角形，
∵AB=2，
∴BM=AB•sin30°=1，AM=AB•cs30°=，
∴=AM•MB=1×=，
∵AE=AC=AB•tan60°=2，AM=，
∴EM=，
在和中
∴，
由（2）可知，
∴=，
∵AF•AE=×2×2=2，
∴△ABC与△AFE重叠的面积2−2×=；
（4）如答题图1所示：当∠CNP=90°时．
∵∠CNP=90°，
∴∠ANF=90°．
又∵∠AFN=60°，
∴∠FAN=180°−60°−90°=30°．
∴∠α=30°．
如答题图2所示：当∠CPN=90°时．
∵∠C=30°，∠CPN=90°，
∴∠CNP=60°．
∴∠ANF=60°．
又∵∠F=60°，
∴∠FAN=60°．
∴∠α=60°．
综上所述，∠α=30°或60°．
【点睛】本题主要考查的是几何变换的综合应用，解答本题主要应用了旋转的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的性质、三角函数和全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．