江苏省泰州中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试卷（Word版附答案）

这是一份江苏省泰州中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试卷（Word版附答案），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题四等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟；总分：150分）
命题人：刘永瑞审题人：宋健
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域．）
1．已知，则 （ ）
A．28B．30C．56D．72
2．已知点M在平面ABC内，并且对于空间任意一点O，都有，则x的值是（ ）
A．B．C．D．
3．正十二边形的对角线的条数是（ ）
A．56B．54C．48D．44
4．盒中有10个螺丝钉，其中3个是坏的．现从盒中随机抽取4个，则概率是的事件为（ ）
A．恰有1个是坏的B．4个全是好的
C．恰有2个是好的D．至多有2个是坏的
5．我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量．概率论中有一个重要的结论：若随机变量，当n充分大时，二项随机变量Y可以由正态随机变量X来近似地替代，且正态随机变量X的期望和方差与二项随机变量Y的期望和方差相同．法国数学家棣莫弗（1667—1754）在1733年证明了时这个结论是成立的，法国数学家、物理学家拉普拉斯（1749—1827）在1812年证明了这个结论对任意的实数都成立，因此，人们把这个结论称为棣莫弗一拉普拉斯极限定理．现抛掷一枚质地均匀的硬币900次，利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于420次的概率为（ ）
（附：若，则，，
）
A．0.97725B．0.84135C．0.65865D．0.02275
6．已知三棱柱的侧棱长为2，底面ABC是边长为2的正三角形，．若和相交于点M，则 （ ）
A．B．2C．D．
7．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：．若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病．已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5％，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，二制数对应的十进制数记为，即，其中，，则在中恰好有2个0的所有二进制数对应的十进制数的总和为（ ）
A．1910B．1990C．12252D．12523
二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．已知平面过点，其法向量，则下列点不在平面内的是（ ）
A．B．C．D．
10．关于二项式的展开式，下列说法正确的有（ ）
A．二项式系数和为32
B．项的系数为
C．常数项为10
D．只有第3项的二项式系数最大
11．现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法正确的是（ ）
A．在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率是
B．第二次取到1号球的概率是
C．如果第二次取到1号球，则它来自1号口袋的概率最大
D．如果将5个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有150种
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分；共15分．）
12．已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则随机变量X的标准差为______．
13．展开式中的系数为______．
14．如图，在四棱锥P－ABCD中，平面，底面ABCD是矩形，AB＝2BC＝6，，PC＝PD，点O是CD的中点，则线段PB上的动点E到直线AO的距离的最小值为______．
四、解答题四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．（本题满分13分）
2024年3月12日是我国第46个植树节，为建设美丽新泰州，江苏省泰州中学高二年级7名志愿者参加了植树节活动，3名男生和4名女生站成一排．（最后答案用数字作答）
（1）甲不在中间也不在两端的站法有多少种?
（2）男、女相间的站法有多少种?
（3）甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种?
16．（本题满分15分）
已知某智能手机制作完成之后还需要依次通过三道严格的审核程序，已知第一道审核、第二道审核、第三道审核通过的概率分别为，，，每道程序是相互独立的，且一旦审核不通过就停止审核，每部手机只有三道程序都通过才能出厂销售．
（1）求审核过程中只进行两道程序就停止审核的概率；
（2）现有3部该智能手机进入审核，记这3部手机可以出厂销售的部数为X，求X的分布列及数学期望．
17．（本题满分15分）
如图，在三棱柱中，，已知，BC＝1，，点E是棱的中点．
（1）求平面与平面夹角的余弦值．
（2）在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18．（本题满分17分）
为深入推进传统制造业改造提升，依靠创新引领产业升级，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为X（单位：nm）．
（1）现有旧设备生产的零件有10个，其中直径大于10nm的有2个．现从这10个零件中随机抽取3个．记表示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数，求的分布列及数学期望；
（2）技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立．现任取4个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及的方差；
（3）若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于10.4nm的概率．
参考数据：若，则，，，，．
19．（本题满分17分）
已知函数，其中，．
（1）若n＝8，，求的最大值；
（2）若，求；（用n表示）
（3）若，求证：．
江苏省泰州中学2023—2024学年度第二学期期中考试
高二数学参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分；有选错的得0分．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．13．14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．
（1）甲不在中间也不在两端，故甲可选4个位置，其余六人可排除种，
故共有；
（2）先排男生，共有种，则女生可在男生排完后的四个空中选择四个，即有种，
故共有种；
（3）全部排好共有种，由甲、乙、丙三人顺序一定，共有故种．
16．
（1）记审核过程中只进行两道程序就停止审核为事件A，
事件A发生的概率．
（2）X的可能取值为0，1，2，3．
一部手机通过三道审核可以出厂的概率为，
；；
；．
所以X的分布列为：
数学期望．
17．
（1）中，，
即，所以，，
分别以BC，，BA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图
则，，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，，即，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，，即，
，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
（2）假设存在满足题意的点M，且，即，
，
设EM与平面所成角为，
则，
解得或，
所以存在满足题意的点M，且或．
18．
解：（1）由题知，的可能取值为0，1，2，．
则，，，
所以，数学期望．
另法：因为，数学期望．
（2）由题意可知，服从二项分布，
故，
技术攻坚成功的概率为
，
．
（3）记“至少有一个零件直径大于10.4nm”为事件A，
因为，所以，，
所以，
所以，
所以．
答：至少有一件零件直径大于9.4nm的概率为0.2056．
19．
（1） ，
，
不妨设中，则
，
中的最大值为；
（2）若，，两边求导得
，令得，
（3）若，，
，
因为
，
所以
．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
A
C
A
D
C
D
题号
9
10
11
答案
BD
AC
BCD
X
0
1
2
3
P