2024年高考压轴卷——数学试题（新高考Ⅰ卷） Word版含解析

这是一份2024年高考压轴卷——数学试题（新高考Ⅰ卷） Word版含解析，共17页。
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题后，用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号．回答非选择题时，将写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
3. 已知向量，若与的夹角为，则（ ）
A. B. C. D.
4. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为.若，则的值可以是（ ）
A. 2018B. 2020C. 2022D. 2024
5. 记数列的前项和为，若，则（ ）
A. 590B. 602C. 630D. 650
6. 已知抛物线的焦点为，准线为为上一点，垂直于点为等边三角形，过的中点作直线，交轴于点，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
7.已知函数，，则（ ）
A.当有2个零点时，只有1个零点
B.当有3个零点时，有2个零点
C.当有2个零点时，有2个零点
D.当有2个零点时，有4个零点
8.在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，与底面所成的角分别为，，且，则（ ）
A.B.C.D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知双曲线，则（ ）
A. 的取值范围是B. 的焦点可在轴上也可在轴上
C. 的焦距为6D. 的离心率的取值范围为
10. “阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到如图，正八面体的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（ ）
A. 共有18个顶点B. 共有36条棱
C. 表面积为D. 体积为
11. 重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD，其中，，动点P在上（含端点），连结OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数的图象的一条对称轴为直线，则__________．
13. 从分别写有数字的张卡片中任取张，设这张卡片上的数字之和为，则__________．
14. 记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知数列的首项，且满足．
（1）求的通项公式；
（2）已知，求使取得最大项时的值．（参考值：）
16. 某民营学校为增强实力与影响力，大力招揽名师、建设校园硬件设施，近5年该校招生人数的数据如下表：
（1）由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以证明；
（2）求关于的回归直线方程，并预测当年份序号为7时该校的招生人数．
参考数据：，，．
参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
17. 在四棱锥中，平面平面，，，，，为棱的中点，且．
（1）求四棱锥的高；
（2）求二面角的正弦值．
18. 已知椭圆和的离心率相同，设的右顶点为，的左顶点为，，
（1）证明：；
（2）设直线与的另一个交点为P，直线与的另一个交点为Q，连，求的最大值．
参考公式：
19. 帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，，，注：，，，，
已知函数.
（1）求函数在处阶帕德近似，并求的近似数精确到
（2）在（1）的条件下：
①求证：；
②若恒成立，求实数的取值范围.
2024高考压轴卷 新高考I卷
数 学答案
1C【解析】，，所以．
2B【解析】，所以，
所以，故选：B.
3A【解析】由题意得，
所以．故选：A
4D【解析】，
所以除以9的余数是8，选项中只有2024除以9余8.故选：D
5A【解析】因为，
所以，
两式相减可得.
由，，解得，
所以，满足上式，故，
所以
.故选：A
6B【解析】设直线与轴交于点，连接图略），
因为焦点，所以抛物线的方程为，准线为，
则，易知是边长为4的等边三角形，
则，则.
因为，所以直线的斜率为，
直线的方程为.
7.D【解析】本题考查函数的零点，考查直观想象与逻辑推理的核心素养.
作出，的大致图象，如图所示.由图可知，当有2个零点时，无零点或只有1个零点；当有3个零点时，只有1个零点；当有2个零点时，有4个零点.
8.B【解析】本题考查线面角与三角恒等变换，考查直观想象与数学运算的核心素养.
设，，因为，所以，所以，.因为，所以，解得（负根已舍去）.
9AC【解析】对于A，表示双曲线，，解得，故A正确；
对于B，由A项可得，故，的焦点只能在轴上，故B错误；
对于C，设的半焦距为，则，，即焦距为，故C正确；
对于D，离心率，，，的取值范围是，故D错误．
故选：AC.
10BD【解析】由图可知该多面体有24个顶点，36条棱，故A错误，B正确；
该多面体的棱长为1，且表面由6个正方形和8个正六边形组成，故该多面体的表面积为，故C错误；
正八面体可分为两个全等的正四面体，其棱长为，过作平面于，连接，如下图：
因为平面，且平面，所以，
正方形中，由边长为，则对角线长为，则，
在中，，则，
正八面体的体积为，
切割掉6个棱长均为1的正四棱锥，减少的体积为，
所以该阿基米德多面体的体积为，故D正确．故选：BD.
11ABD【解析】如图，作,分别以为x，y轴建立平面直角坐标系，
则，设，则，
由可得 ，且，
若，则，解得，（负值舍去），故，A正确；
若，则，，所以，所以，故B正确；
，由于，故，
故，故C错误；
由于，
故
，而，所以，
所以，故D正确，故选：ABD
12.【解析】
，由于的图象的一条对称轴为直线，
所以，解得．
又因为，所以．故答案为：.
13.【解析】从分别写有数字的张卡片中任取张卡片的所有种结果中，
，
张卡片上的数字之和分别为：，
所以．故答案为：
14.2【解析】若，则，此时，
因为，所以和中至少有一个小于等于2，
所以，又当，时，，所以的最大值为2．
若，则，此时，
因为，所以和中至少有一个小于2，所以．
综上，的最大值为2．故答案为：2.
15.（1） （2）4
【小问1详解】
因为，
所以，
又，所以，所以.
【小问2详解】
由（1）有，所以，
设时，最大，因为，所以，
即，解得，又，
所以，所以使取得最大项时的值为4.
16.（1）证明见解析
（2），2.8千人．
【小问1详解】
由题意知，，
，
所以，
因为与1非常接近，故可用线性回归模型拟合与的关系．
【小问2详解】
，，
所以关于的回归直线方程为．当时，，
由此预测当年份序号为7时该校的招生人数为2.8千人．
17.（1）3 （2）
【小问1详解】
如图，过作的平行线，与的延长线交于点，连接，．
，，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，，
，，，，
四边形为矩形，，
为棱的中点，，从而，
又因为，，平面，平面，
平面，平面，，
，平面，平面，
平面．
为四棱锥的高，即，
四棱锥的高为；
【小问2详解】
由（1）知，，，两两垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设是平面的法向量，
则可取，
设是平面的法向量，
则可取，所以，
所以二面角的正弦值为.
18（1）证明见解析；
（2）.
【小问1详解】
当时，的离心率，
当时，的离心率；
当时，的离心率，
当时，的离心率；
因为，所以或，得，
又，所以，且；
由题意知，，即，
则，，
它们的斜率之积为，因此.
【小问2详解】
由（1）问知，，
联立与的方程，将y消去得：，
解得，，
又在曲线上，则，，
联立与的方程，将y消去得：，
解得，，
又在曲线上，则，，
因此的中点，连，因为，即，
所以，
记，当最大时，也最大；
可知
，
令得，解得，
又，则，
令得，
因此在处取得最大值，
且最大值为，
因此最大值为.
19（1）， （2）① 证明见解析；②
【小问1详解】
由题可知函数在处的阶帕德近似，
则，，，
由得，所以，
则，又由得，所以，
由得，所以，
所以.
【小问2详解】
①令，，
因为，
所以在及上均单调递减.
当，，即，
而，所以，即，
当，，即，
而，所以，即，
所以不等式恒成立；
②由得在上恒成立，
令，且，所以是的极大值点，
又，故，则，
当时，，所以，
当时，，，则，故在上单调递增，
所以当时，，
当时，，
令，因为，所以在上单调递减，
所以，又因为在上，
故当时，，
综上，当时，恒成立.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
年份序号x
1
2
3
4
5
招生人数y/千人
0.8
1
1.3
1.7
2.2