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    2024沧州部分高中高三下学期二模试题数学含答案

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    这是一份2024沧州部分高中高三下学期二模试题数学含答案,共15页。试卷主要包含了选择题的作答,非选择题的作答,在的展开式中,项的系数为,若,则下列大小关系正确的是,已知实数满足,则等内容,欢迎下载使用。

    注意事项:
    1.本卷满分150分,考试时间120分钟.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
    2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
    3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
    4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交.
    一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1.已知复数满足,则的虚部为( )
    A.1 B. C. D.
    2.若点在圆(为常数)外,则实数的取值范围为( )
    A. B. C. D.
    3.化简( )
    A.1 B. C.2 D.
    4.随着“一带一路”经贸合作持续深化,西安某地对外贸易近几年持续繁荣,2023年6月18日,该地很多商场都在搞“”促销活动.市物价局派人对某商品同一天的销售量及其价格进行调查,得到该商品的售价(单位:元)和销售量(单位:百件)之间的一组数据:
    用最小二乘法求得与之间的经验回归方程是,当售价为45元时,预测该商品的销售量件数大约为( )(单位:百件)
    A.11.2 C.12 D.12.2
    5.在的展开式中,项的系数为( )
    A.6480 B.2160 C.60 D.-2160
    6.若,则下列大小关系正确的是( )
    A. B.
    C. D.
    7.已知四面体满足,则点到平面的距离为( )
    A. B. C. D.
    8.若函数有两个零点,则实数的取值范围是( )
    A. B. C. D.
    二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
    9.已知实数满足,则( )
    A. B.
    C. D.
    10.已知为抛物线的焦点,直线过且与交于两点,为坐标原点,为上一点,且,则( )
    A.过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条
    B.当的面积为时,
    C.为钝角三角形
    D.的最小值为
    11.已知是定义在上的单调递增且图象连续不断的函数,若,恒有成立,设,则( )
    A.
    B.
    C.
    D.
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
    12.已知集合,若,则的取值范围为__________.
    13.已知函数的部分图象如图所示,将函数图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标伸长为原来的2倍,再将得到的图象向左平移个单位长度,可得到的图象.若方程在上有两个不相等的实数根,则的取值范围为__________.
    14.已知为椭圆的左、右焦点,过的直线与交于两点,若,则的离心率为__________.
    四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    15.(本小题满分13分)
    已知数列为等差数列,且.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)若数列满足,记,求.
    16.(本小题满分15分)
    由教育部、体育总局、共青团中央共同主办,广西壮族自治区人民政府承办的中华人民共和国第一届学生(青年)运动会于2023年11月5日至15日在广西壮族自治区举办,这是全国青年运动会和全国学生运动会合并后的首届赛事.来自全国各地的学生青年运动健儿们共赴青春之约,在八桂大地挥洒汗水写就华章.青运会结束后,某学校组织学生参加与本届青运会有关的知识竞赛,为了解该校学生对本届青运会有关赛事知识的掌握情况,采用随机抽样的方法抽取600名学生进行调查,成绩全部分布在40~100分之间,根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示.
    (1)求频率分布直方图中的值;
    (2)估计这600名学生成绩的中位数;
    (3)由频率分布直方图可以认为,这次竞赛成缕近似服从正态分布,其中为样本平均数(同一组数据用该组数据的区间中点值作代表),,试用正态分布知识解决下列问题:
    ①若这次竞赛共有2.8万名学生参加,试估计竞赛成频超过86.8分的人数(结果精确到个位);
    ②现从所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈,设其中竞赛成绩超过77.8分的人数为,求随机变量的期望和方差.
    附:若随机变量服从正态分布,则.
    17.(本小题满分15分)
    如图,在三棱柱中,是边长为2的等边三角形,四边形为菱形,,三棱柱的体积为3.
    (1)证明:平面平面;
    (2)若为棱的中点,求平面与平面的夹角的正切值.
    18.(本小题满分17分)
    已知双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离为,且的离心率为2.
    (1)求双曲线的标准方程;
    (2)设分别是双曲线左、右两支上的动点,为双曲线的左顶点,若直线的斜率分别为,且,当时,求直线的方程.
    19.(本小题满分17分)
    若函数与在区间上恒有,则称函数为和在区间上的隔离函数.
    (1)若,判断是否为和在区间上的隔离函数,并说明理由;
    (2)若,且在上恒成立,求的值;
    (3)若,证明:是为和在上的隔离函数的必要条件.
    数学参考答案
    1.A 因为,所以,则,则的虚部为1.故选A.
    2.C 由题意知,故,又,即或,所以实数的范围为.故选C.
    3.B .故选B.
    4.D 因为,所以回归直线过点,故,所以,将代入中,得.故选D.
    5.A 相当于6个因式相乘,其中一个因式取,有种取法,余下5个因式中有2个取,有种取法,最后3个因式中全部取,有种取法,故展开式中的系数为.故选A.
    6.B 由对数函数单调性可知,,所以.因为,所以.因为,所以,即,所以.故选B.
    7.D 由题意得,设平面的一个法向量,则即
    故令,解得,所以,所以,设点到平面的距离为,则.故选D.
    8.C 令,则.令,则,因为在上单调递增,且,所以有2个零点等价于关于的方程有两个相异的实数解,令,则问题转化为的图象与直线有两个交点.因为,当时,,当时,,即在上单调递减,在上单调递增,所以,当时,,当时,,则,解得,即实数的取值范围是.故选C.
    9.AC 因为,所以的符号不确定,由不等式的性质知成立,但不一定成立,故A正确,B错误;因,故C正确;因为,所以,所以,故D错误.故选AC.
    10.ACD 因为,所以,解得,所以抛物线的标准方程为.对于,因为,当时,,故点在抛物线的外部,所以与仅有一个公共点的直线有3条,故A正确;
    对于,由抛物线的方程可知,焦点,设的方程为,联立消去,整理得,所以,又,所以,解得,则,则,故B错误;对于C,由选项B可知,所以,故为钝角,所以为钝角三角形,
    故C正确;对于D,由选项B可知,所以
    ,当且仅当,即时等号成立,故D正确.故选ACD.
    11.AD 令,得,因为在上单调递增,所以不恒等于,故,故A正确;若存在使得,则,则恒等于1,与单调递增矛盾,故,故B错误;若存在,使得,因为的图象连续不断,,故存在,使得,与上述矛盾,故,所以,当且仅当时取等号,又单调递增,故不取等号,即,当时,有,即.当时,令则,因为单调递减且,所以单调递增,所以,又,所以,且在上单调递增,因为,所以,所以,所以错误,D正确.故选AD.
    12. 由题意知,又且,故,即的取值范围为.
    13. 由的图象,得,由图可知点在的图象上,则,,所以,解得,则.将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标伸长为原来的2倍,得到的图象,再将
    得到的图象向左平移个单位长度,可得到的图象,作出的部分图象如图所示,
    根据的图象可知,当时,直线与函数在上的图象有两个交点,即方程在上有两个不相等的实数根.
    14. 设,则,因为,即,所以,所以,又,所以.设,在和中,分别利用余弦定理可得,即①,②,由②①,得,即,所以.
    15.解:(1)设等差数列的公差为,则,
    即,则数列为等比数列,
    设其公比为,由,得解得所以.
    (2)由(1)可得,
    所以,

    两式相减,可得

    所以.
    16.解:(1)由频率分布直方图,得,解得.
    (2)由频率分布直方图,得前3组的频率为,
    前4组的频率为,
    所以估计600名学生成绩的中位数为80.
    (3)①由题意得,
    所以,则,
    所以,
    所以估计竞赛成绩超过86.8分的人数约为4442人.
    ②由①得,则,
    所以随机变量,所以.
    17.(1)证明:取的中点,连接,
    因为,
    所以为等边三角形,
    因为为中点,所以,且,
    因为三棱柱的体积为3,设到平面的距离为,
    所以,所以,所以平面,
    又平面,所以平面平面.
    (2)解:连接,由(1)知平面,又平面,所以,
    因为为的中点,,所以,且.
    所以两两垂直,以为坐标原点,所在直线分别为轴,
    轴,轴建立空间直角坐标系(如图所示),则,
    ,因为,
    所以,因为为的中点,所以,则
    .
    设平面的一个法向量,则即
    令,解得,故,
    设平面的一个法向量,则即
    令,解得,故,
    设平面与平面的夹角为,
    所以,
    所以,所以.
    18.解:(1)由题意知双曲线的渐近线方程为,则焦点到渐近线的距离,
    则解得,所以双曲线的标准方程为.
    (2)由(1)得,当直线的倾斜角为0时,由,以及双曲线的对称性知的横坐标为,代入双曲线方程可得,不妨令,则,
    则,不符合题意;
    当直线的倾斜角不为0时,设直线的方程,
    联立得,
    由题意知,

    又,
    所以,
    即,
    所以,
    所以.
    所以,
    所以,
    所以,解得或.
    当时,,不符合题意,所以,
    所以,
    所以,解得,
    故直线的方程为.
    综上,直线的方程为或.
    19.(1)解:是和在区间上的隔离函数.
    因为,
    所以,
    在上单调递增,在上单调递减,
    又,
    当时,在上取到最小值0,故.
    又,所以.
    综上,是和在区间上的隔离函数.
    (2)解:设,则,
    因为,则是的极小值点,也是最小值点,
    所以,即.
    当时,,
    当时,;当时,,
    所以,即恒成立(当且仅当时取等号),
    故.
    (3)证明:设,
    由(2)得(当且仅当时取等号),
    所以,当且仅当时取等号.
    设,则,
    所以在上单调递增,又,
    所以存在使得,即,则,
    又,则,
    结合条件可得,所以.
    设,则,
    又,则是的极小值点,
    所以,即,
    结合,得,故,
    所以是为和在上的隔离函数的必要条件.20
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