四川省成都市简阳市雷家学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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A卷（共100分）
一．选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据合并同类项，同底数幂相除，同底数幂相乘逐项判断即可求解．
详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项正确，符合题意；
C、 与 不是同类项，不能合并，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂相除，同底数幂相乘，熟练掌握合并同类项法则，同底数幂相除法则，同底数幂相乘法则是解题的关键．
2. 若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用同底数幂的乘法的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
【详解】解：当，时，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是熟记同底数幂的乘法的法则：底数不变，指数相加．
3. 禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为0.000000102米，数0.000000102用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：，
故选：．
【点睛】科学记数法一般形式为，其中．绝对值大于10时，n为正整数，绝对值小于1时，n为负整数．
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B. 点到直线的垂线段就是点到直线的距离
C. 经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行
D. 平行于同一条直线的两条直线互相平行
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，点到直线的距离，熟知相关知识是解题的关键．
【详解】解：A、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原说法错误，不符合题意；
B、点到直线的垂线段的长度就是点到直线的距离，原说法错误，不符合题意；
C、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误，不符合题意；
D、平行于同一条直线的两条直线互相平行，原说法正确，符合题意；
故选：D．
5. 太阳能作为一种新型能源，被广泛应用到实际生活中，在利用太阳能热水器来加热的过程中，热水器里水的温度随着太阳光照射时间的变化而变化，这一变化过程中因变量是（ ）
A. 热水器里水的温度B. 太阳光的强弱C. 太阳光照射的时间D. 热水器的容积
【答案】A
【解析】
【分析】函数的定义：设在某变化过程中有两个变量、，如果对于在某一范围内的每一个确定的值，都有唯一的值与它对应，那么称是的函数，叫自变量，函数关系式中，某特定的数会随另一个（或另几个）会变动的数的变动而变动，就称为因变量．据此解答即可．
【详解】解：根据函数的定义可知，水温是随着所晒时间的长短而变化，可知水的温度是因变量，太阳光照射时间为自变量．
故选：A．
【点睛】本题考查函数的定义．解题的关键是根据函数的定义对自变量和因变量的认识和理解．
6. 如图，，交于，，则的度数为（ ）
A. 54°B. 46°C. 45°D. 44°
【答案】D
【解析】
【分析】根据邻补角的定义可得，再根据两直线平行，同位角相等求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线性质和邻补角的定义，正确观察图形，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
7. 如图，直线、相交于点，，则和的关系（ ）
A. 相等B. 互补C. 互余D. 以上三种都有可能
【答案】C
【解析】
【分析】因为∠AOE=90°，++=180°，所以+=90°，根据互余的定义进行判断．
【详解】解：∵，++=180°，
∴+=180°-90°=90°；
即∠EOC与∠AOD互余；
故选C．
【点睛】本题主要考查了余角和补角，掌握余角和补角是解题的关键．
8. 晚饭后彤彤和妈妈散步到小区旁边的公园，在公园中央的休息区聊了会儿天，然后一起跑步回家，下面能反映肜彤和妈妈离家的距离y与时间x的函数关系的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据彤彤和妈妈的活动方式及活动轨迹，利用排除法求解．
【详解】解：彤彤和妈妈最后跑步回家，因此最后的y值为0，排除A选项；
彤彤和妈妈在公园中央的休息区聊了会儿天，因此中间有一段时间y值不变，排除D选项；
彤彤和妈妈散步到公园，再从公园跑步回家，因此回家用时较少，排除B选项，
故选C．
【点睛】本题考查函数图象的识别，解题的关键是理解题意，能够利用排除法求解．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9. 已知是完全平方式，则m的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方式，根据所给多项式可知两平方项为，则一次项为
，据此可得答案．
【详解】解：∵是完全平方式，
∴，
∴，
故答案为：．
10. 如图，如果∠1＋∠2=280°，则∠3的度数是________；
【答案】
【解析】
【分析】因为是对顶角，根据题意求得的度数，再根据邻补角求得
【详解】,
又
故答案为：
【点睛】本题考查了对顶角的性质，邻补角的定义，解二元一次方程组，求得的度数是解题的关键．
11. 计算：__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用积的乘方的逆运算计算即可得．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题主要考查有理数的乘方运算及积的乘方的逆运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
12. 如图所示，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，则________．
【答案】##55度
【解析】
【分析】根据平行线的性质可得，根据折叠的性质可得，进而即可求解．
【详解】解：如图，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，
，，
，
，
故答案为：
【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
13. ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了平方差公式，先把原式变形为，再连续利用平方差公式求解即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14. 计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）-1 （2）
【解析】
【分析】（1）根据零指数幂的意义，负整数指数幂的意义以及绝对值的性质即可求出答案．
（2）根据整式的乘除运算法则即可求出答案．
【小问1详解】
解：原式

．
【小问2详解】
原式

．
【点睛】本题考查整式的混合运算以及实数的混合运算，解题的关键是熟练运用零指数幂的意义、负整数指数幂的意义、整式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
15. 先化简，再求值：2b2+（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2，其中a＝，b＝﹣6．
【答案】，．
【解析】
【分析】先计算平方差公式与完全平方公式，再计算整式的加减，然后将的值代入计算即可得．
【详解】解：原式
，
将代入得：原式．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的运算法则和乘法公式是解题关键．
16. 小王周末骑电动车从家出发去商场买东西，当他骑了一段路时，想起要买一本书，于是原路返回到刚经过的新华书店，买到书后继续前往商场，如图是他离家的距离与时间的关系示意图，请根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小王在新华书店停留了多长时间？
（2）买到书后，小王从新华书店到商场的骑车速度是多少米/秒？
【答案】（1）10分钟
（2）7.5米/秒
【解析】
【分析】（1）根据函数即可求出在新华书店停留的时间；
（2）根据函数求出小王从新华书店到商场的距离与时间，即可进行求解．
【小问1详解】
解：由函数图像可知小王在新华书店停留（30-20）=10分钟．
【小问2详解】
解：（6250－4000）÷（35－30）÷60＝7.5（米/秒），
即小王从新华书店到商场的速度是7.5米/秒．
【点睛】此题主要考查函数图像的应用，解题的关键是根据函数图像得到信息进行求解．
17. 如图，在，于点，于点，，．
（1）求证：
（2）求的度数．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义：
（1）先由垂线的定义得到，则可证明得到，进而证明，即可证明；
（2）根据两直线平行，同旁内角互补进行求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴．
18. 佛山市的居民用电收费标准：当月所用电量不超过500度，按每度0.65元收费：如果超过500度，超过部分按每度0.92元收费．设某户人家的当月用电量为度，应缴费用为元．
（1）若当月用电量为200度时，应缴费用是 元；若当月应缴费用为509元时，当月的用电量是 度；
（2）直接写出关于的关系式：
（3）若这户的当月用电应缴费用平均每度0.695元，那么这个月的这户人家用电量是多少度？
【答案】（1）130，700；（2）；（3）600度
【解析】
【分析】（1）根据居民用电收费标准，直接列算式即可求解；
（2）根据数量关系，分两类列出函数解析式即可；
（3）根据“当月用电应缴费用平均每度0.695元”，列出方程，即可求解．
【详解】解：（1）200×0.65=130（元），
∵509＞500×065，
∴当月的用电量=500+（509-500×0.65）÷0.92=700（度），
故答案是：130，700；
（2）由题意得：，
∴；
（3）∵0.695＞0.65，
∴x＞500，
由题意得：0.695x=，解得：x=600，
∴这个月的这户人家用电量是600度．
【点睛】本题主要考查一次函数的实际应用，根据数量关系列出函数解析式，是解题的关键．
B卷（共50分）
一．填空题（本题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19. 已知一个角的余角是这个角的补角的，则这个角的度数为____．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题主要考查了与余角和补角有关的计算，设这个角的度数为x，则它的余角为，它的补角为，据此列出方程求解即可．
【详解】解：设这个角的度数为x，
由题意得，，
解得，
∴这个角的度数为，
故答案为：．
20. 已知，，则 ______ ．
【答案】
【解析】
分析】利用平方差公式，完全平方公式，多项式乘多项式计算．
【详解】，
即
，




故答案为：．
【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式，多项式乘多项式，解题的关键是掌握平方差公式，完全平方公式，多项式乘多项式计算．
21. “”定义新运算：对于任意的有理数a和b，都有．例如：．当m为有理数时，则等于________．
【答案】101
【解析】
【分析】根据“”的定义进行运算即可求解．
【详解】解：=== =101．
故答案为：101．
【点睛】本题考查了新定义运算，理解新定义的法则是解题关键．
22. 如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，，，3，7，16就是三个智慧数．在正整数中，从1开始，第2022个智慧数是______．
【答案】2699
【解析】
【分析】如果一个数是智慧数，就能表示为两个正整数的平方差，设两个数分别为k+1，k，其中k≥1，且k为整数，即智慧数＝（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1，因为k为正整数，因而k+1和k﹣1就是两个自然数．要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差．
【详解】解：设两个数分别为k+1，k，其中k≥1，且k为整数．则（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1．
设两个数分别为k+1，k﹣1，其中k≥1，且k为整数．则（k+1）2﹣（k﹣1）2＝（k+1+k﹣1）（k+1﹣k+1）＝4k，k＝2时，4k＝8，
∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数．
∴4k（k≥2且k为整数）均为智慧数；
除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；这样还剩被4除余2的数，特殊值2，6，10都不是智慧数，也就是被4除余2的正整数都不是智慧数，推广到一般式，证明如下：
∵假设4k+2是智慧数，那么必有两个正整数m和n，使得4k+2＝m2﹣n2，
∴4k+2＝2（2k+1）＝（m+n）（m﹣n） ①，
∵m+n和m﹣n这两个数的奇偶性相同，
∴等式①的右边要么是4的倍数，要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数．可左、右两边不相等．所以4k+2不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数．
∴把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数，
又∵（2022﹣1）÷3＝673余2，
∴第2022个智慧数在1+673+1＝675（组），并且是第三个数，即675×4﹣1＝2699，是个奇数，
∴2k+1＝2699，解得k＝1349，k+1＝1350，
即第2022个智慧数是2699，1349和1350是它智慧分解．
故答案为：2699．
【点睛】本题考查了新定义智慧数以及平方差公式的运用，解题关键是根据题目条件挖掘素材，得到方法．
23. 把一张对边互相平行的纸条，折成如图所示，是折痕，若，则下列结论：①；②；③；④，正确的有________．
【答案】①②③④
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题关键．根据平行线的性质及翻折变换的性质对各小题进行逐一分析即可．
【详解】解：①∵，，
∴，故本小题正确；
②∵，
∴，
∴，故本小题正确；
③∵，，
∴，故本小题正确；
④∵，
∴，
∵，
∴，故本小题正确，
故答案为：①②③④．
二．解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24. 已知多项式与的乘积中不含有和项，求的值．
【答案】243
【解析】
【分析】，根据乘积中不含有和项，可得，，，，将，的值代入式子求值即可．
【详解】
多项式与的乘积中不含有和项，
，，
，，
，，
．
【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解答此题的关键．
25. 如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）
（1）观察图2请你写出之间的等量关系并验证；
（2）根据（1）中的结论，若，，求的值；
（3）拓展应用：若，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，完全平方公式的变形求值：
（1）大正方形的边长为，则大正方形的的面积为，而大正方形的面积又等于边长为的正方形面积加上四个长为b，宽为a的长方形面积，据此求解即可；
（2）根据进行求解即可；
（3）设，则，
，，即，据此可得答案．
【小问1详解】
解：解：由图2可知：大正方形的边长为，则大正方形的的面积为，而大正方形的面积又等于边长为的正方形面积加上四个长为b，宽为a的长方形面积，则大正方形的的面积为，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴
，
∴；
【小问3详解】
解：设，
∴，
，
，
，
，
，
∴，
．
26. 已知：直线，M，N分别在直线，上，H为平面内一点，连，．
（1）如图1，延长至G，和的角平分线相交于点E．
①若，，则的度数为 ；
②探究与的数量关系，并给予证明；
（2）如图2，和的角平分线相交于点E．作平分，交的延长线于点Q，若，求的度数．
【答案】（1）①；②，见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）①过点E作交于点Q，根据平分，可得，即可得．则有．进而可得．则有，即，②证明思路见①；
（2）过点H作，由（1）的证明方法可得，由图可知，根据平行线的性质可得，．即有．即可得．根据，可得，即有．过点H作．根据平行及角平分线的定义可得，，结合，可得，则有,问题得解．
【小问1详解】
①如图，过点E作交于点Q，
∵，，
∴，
又平分，
∴，
∴．
∴．
∵，．
∴．
∴，
即，
∵，
∴．
故答案为：；
②，理由详见①；
【小问2详解】
过点H作，如答图2．
由（1）的证明方法可得，
由图可知，
∵，
∴，
∵，，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴．
即．
∵，
∴．
∴．
过点H作．
∵，
∴．
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴,
∴．
【点睛】此题考查了平行线的性质，角平分线的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，根据题意构造出辅助线．