安徽省皖南八校2024届高三下学期4月第三次联考数学试卷(含答案)

这是一份安徽省皖南八校2024届高三下学期4月第三次联考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,集合,则( )
A.B.C.D.
2．抛物线的焦点坐标为( )
A.B.C.D.
3．已知向量,向量,则向量在向量上的投影向量为( )
A.B.C.D.
4．2024年3月22日国家文物局在北京公布2023年《全国十大考古新发现》,安徽省皖南地区郎溪县磨盘山遗址成功入选并排名第三,经初步确认,该遗址现存马家浜文化区､崧泽文化区､良渚文化区､钱山漾文化区四大区域,总面积约6万平方米.该遗址延续时间长､谱系完整,是长江下游地区少有的连续时间近4000年的中心性聚落.对认识多元化一体中华文明在皖南地区的演进方式具有重要的价值,南京大学历史学院赵东升教授团队现在对该遗址四大区域进行考古发掘,现安排包含甲､乙在内的6名研究生同学到这4个区域做考古志愿者,每人去1个区域,每个区域至少安排1个人,则甲､乙两人安排在相同区域的方法种数为( )
A.96B.144C.240D.360
5．“,”是“函数的图象关于对称”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6．托马斯•贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式:,这个公式被称为贝叶斯公式(贝叶斯定理),其中称为B的全概率.春夏换季是流行性感冒爆发期,已知A,B,C三个地区分别有3%,6%,5%的人患了流感,且这三个地区的人口数之比是,现从这三个地区中任意选取1人,若选取的这人患了流感,则这人来自地区的概率是( )
7．如图,在棱长为2的正方体中,内部有一个底面垂直于的圆锥,当该圆锥底面积最大时,圆锥体积最大为( )
A.B.C.D.
8．丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人,特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若,,…,为上任意n个实数,满足,则称函数在上为“凹函数”.也可设可导函数在上的导函数为,在上的导函数为,当时,函数在上为“凹函数”.已知,,…,,,且,令的最小值为,则为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列关于概率统计的说法中正确的是( )
A.某人在10次答题中,答对题数为X,,则答对7题的概率最大
B.设随机变量X服从正态分布,若,则
C.已知回归直线方程为,若样本中心为,则
D.两个变量x,y的相关系数为,则越小,x与y之间的相关性越弱
10．复数(x,,i为虚数单位)在复平面内对应点,则下列为真命题的是( )
A.若,则点Z在圆上
B.若复数满足,则复数在复平面内所对应点的轨迹是椭圆
C.若复数满足,则复数在复平面内所对应点的轨迹是双曲线
D.若,则点Z在扰物线上
11．已知定义在R上的函数满足,且是奇函数,则( )
A.的图象关于点对称
B.
C.
D.若,则
三、填空题
12．从安徽省体育局获悉:第四届长三角体育节将于4月至9月在安徽省宣城市举办.据介绍,本届体育节以“绿色､健康､融合､共享”为主题,共设置山水生态类､快乐时尚类､传统体育类共21项赛事.下表是4月8日安徽代表队传统跳绳项目8位选手每分钟跳绳个数:
则跳绳个数的第60百分位数是__________.
13．的展开式中的的系数是__________.
14．椭圆的左､右顶点分别为A,B,点P在椭圆上第一象限内,记,,存在圆N经过点P,A,B,且,,则椭圆C的离心率为__________.
四、解答题
15．在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.
（1）求角A;
（2）射线AB绕A点旋转交线段BC于点E,且,求的面积的最小值.
16．如图,在四棱锥中,为等边三角形,底面ABCD是矩形,平面平面ABCD,O,E分别为线段BC,PA的中点,点F在线段PB上(不包括端点).
（1）若,求证:点O,D,E,F四点共面;
（2）若,是否存在点F,使得EF与平面PCD所成角的正弦值为,若存在,求出,若不存在,请说明理由.
17．已知函数.
（1）若,求在处的切线方程;
（2）若函数有2个零点,试比较与的大小关系.
18．现有甲､乙两个不透明盒子,都装有1个红球和1个白球,这些球的大小､形状､质地完全相同.
（1）若从甲､乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中,次这样的操作后,记甲盒子中红球的个数为.求的分布列与数学期望;
（2）现从甲中有放回的抽取次,每次抽取1球,若抽取次数不超过n次的情况下,抽取到2次红球,则停止抽取,一直抽取不到2次红球,第n次抽取完也停止抽取,令抽取停止时,抽取的次数为,求Y的数学期望,并证明:.
19．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书中,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是平面内动点M与两定点Q,P的距离的比值是个常数,那么动点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆,圆心在直线PQ上.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆,其方程为,定点分别为椭圆的右焦点F与右顶点A,且椭圆C的离心率为.
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）如图,过点F斜率为的直线l与椭圆C相交于B,D(点B在x轴上方)两点,点S,T是椭圆C上异于B,D的两点,SF平分,TF平分.
①求的取值范围;
②将点S,F,T看作一个阿波罗尼斯圆上的三点,若外接圆的周长为,求直线l的方程.
参考答案
1．答案：D
解析：由,,所以.故选D.
2．答案：A
解析：由抛物线,其焦点坐标为.故选A.
3．答案：B
解析：向量在向量上的投影向量为.故选B.
4．答案：C
解析：先将6名同学分成4组:一种方式是甲､乙组成一组,再从另外4人任选2人组成一组,其余的一人一组;另一种方式是甲､乙与另外4人中的1人组成一组,其余的一人一组.再把4组人分到4个区域,所以安排方法种数为.故选C.
5．答案：A
解析：当函数的图象关于对称时,有,,得,,易知⫋,,所以“,”是“函数的图象关于对称”的充分不必要条件.故选A.
6．答案：C
解析：记事件M表示“这人患了流感”,事件,,分别表示“这人来自A,B,C地区”,由题意可知:,,,,,,则,故.故选C.
7．答案：C
解析：如图所示,取AB,AD,,,,的中点,记为M,N,E,F,P,G,
易知六边形MNEFPG为正六边形,此时的中点在正六边形的中心,当圆锥底面内切于正六边形MNEFPG时该圆锥的底面积最大,设此时圆锥底面圆半径为,因为,所以,圆锥底面积为,圆锥顶点为(或)处,此时圆锥体积最大,此时,故选C.
8．答案：B
解析：记函数,,首先证明其凹凸性:,,在上为“凹函数”.由琴生不等式,得,即.所以,当时,W取最小值,所以.故选B.
9．答案：AC
解析：对于A,,故,令,解得,故,故A正确;对于,,故B错误;对于C,回归直线必过样本中心,可得,解得,故C正确;对于D,两个变量x,y的相关系数为r,越小,x与y之间的相关性越弱,故D错误.故选AC.
10．答案：BD
解析：,表示点与之间的距离,表示点与之间的距离.对于A,记,表示点到距离相等,则点Z在线段的中垂线上,故A错误;对于B,记,由,得,这符合椭圆定义,故B正确;对于C,记,若,这符合双曲线的一支,故C错误;对于D,若,则,整理得,为抛物线,故D正确.故选BD.
11．答案：ABD
解析：对于,由题意知,,则,所以图象的对称中心为,故正确;对于B,,,两式相减得,所以,故B正确;对于,由B选项可得,的周期为4,又,故,令得,,得0,故C错误;对于D,因为,又,故中,令得,,由,得,又的周期为4,则
,所以,故D正确.故选ABD.
12．答案：170
解析：把跳绳个数按从小到大排列141,145,147,161,170,171,171,172.由,故跳绳个数的第60百分位数是第5个数170.
13．答案：30
解析：由通项公式:,由于要求,则,即,所以含项的系数为:.
14．答案：
解析：,所以,,所以,得,设,由得,,则.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）,
由正弦定理得,
,
,
,
,
.
（2）由和,可知.
因为,
所以.
又因为,
所以,即.
又,
当且仅当,即,时,等号成立,
所以,
所以,
所以的面积的最小值为.
16．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）证明:方法1:,
系数和为1,根据平面向量共线定理可知O,D,E,F四点共面.
方法2:过P作直线l与AD平行,延长DE与L交于点G,连接OG.
因为底面ABCD是矩形,O是BC的中点,
所以,且.所以,则直线l与直线PB相交,记交点为.
因为E是PA的中点,可得,
则,所以.
因为,所以点即点F,所以O,D,E,F四点共面.
（2）因为,O是BC的中点,所以,
又平面平面ABCD,平面平面,
平面PBC,所以平面ABCD.
取AD中点Q,连接OQ,易知OQ,OC,OP两两相互垂直,
如图,分别以OQ,OC,OP为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,,
,,.
设平面PCD的法向量为,
则,即,令,则,所以.
设,则
.
设EF与平面PCD所成角为,
则,
解得或,则或.
17．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）当,,,所以,
又,所以切线方程为,即.
（2）函数有2个零点等价于方程有两个根,
即有两个根,
令,则,
当时,,当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减,
所以,当时,当时,
所以要使得有两个根,则,
所以.
18．答案：（1）1
（2）见解析
解析：（1）由题意可知的所有可能取值为0,1,2,
且,,,
的概率分布表如下:
.
（2）证明:当时,,,
当时,,,
记,
则,
两式相减得,
,.
所以,
记,
则,
当时,,所以,且,
所以成立.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）方法1:令,,且,解得,
,,椭圆C的方程为.
方法2:设,由题意(常数),
整理得:,
故,又,解得:.
,椭圆C的方程为.
方法3:设,则.
由题意.
为常数,,又,解得:,,故,
椭圆C的方程为.
（2）①由角平分线定理知:,以下求的值,
令直线BD的方程为:,
(该方程的恒成立),
设,.则,,
再令,即,代入韦达定理得
,
由知,,
,
又,,故,
,即.
②由①知,,由阿波罗尼斯圆定义知,S,T,F在以B,D为定点的阿波罗尼斯圆上,
设该圆圆心为,半径为,与直线l的另一个交点为N,则有,
而,同理,
由①知,,
,
由(*)式
,
由圆周长公式:,
,
,,
直线l的方程为.
选手
选手1
选手2
选手3
选手4
选手5
选手6
选手7
选手8
个数
141
171
161
147
145
171
170
172
0
1
2