甘肃省武威市第九中学、二十五中、新起点学校等校联考2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题

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一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项．
1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．
【详解】解：A． ，故不是最简二次根式，不符合题意；
B．，故不是最简二次根式，不符合题意；
C．，故不是最简二次根式，不符合题意；
D．是最简二次根式，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不能含有开得尽方的因数或因式；熟练掌握最简二次根式必须满足的两个条件是解题的关键．
2. 下列各式，计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式运算法则逐项计算即可．
【详解】解：A. 被开方数不同，不能合并，不符合题意；
B. ，原选项不正确，不符合题意；
C. ，原选项不正确，不符合题意；
D. ，原选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题关键是明确二次根式的运算法则和方法，准确进行计算．
3. 若，则化简的结果是（ ）
A. B. C. 5D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次根式的化简，利用二次根式的性质及绝对值的性质计算即可．
【详解】解：，
，，
，
故选：C．
4. 顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是( )
A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 梯形
【答案】B
【解析】
【分析】因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．
【详解】解：连接AC、BD，
在△ABD中，
∵AH=HD，AE=EB，
∴EH=BD，
同理FG=BD，HG=AC，EF=AC，
又∵在矩形ABCD中，AC=BD，
∴EH=HG=GF=FE，
∴四边形EFGH为菱形．
故选B．
点睛：本题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．
5. 化简结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据二次根式被开方数为非负数分析的取值范围，再把化为，根据二次根式的乘法进行计算即可．
【详解】解：∵有意义，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质和化简，关键是正确分析出的取值范围．
6. 下列判断正确的是（ ）
A. 对角线互相垂直四边形是菱形B. 对角线相等的菱形是正方形
C. 对角线相等的四边形是矩形D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查特殊平行四边形的判定，熟记判定定理是关键．根据菱形，矩形，正方形的判定逐项判断即可．
【详解】对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故A错误；
对角线相等的菱形是正方形，故B正确；
对角线相等的平行四边形是矩形，故C错误；
对角线互相平分垂直且相等的四边形是正方形，故D错误．
故选B．
7. 如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形的面积依次为，则正方形的面积为（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．根据勾股定理的几何意义：，解得即可．
【详解】解：由题意：，，
∴
∵正方形的面积依次为，
∴，
∴．
故选：C．
8. 如图，矩形ABCD的边BC和AB的长分别为4和5，把它的左上角如图所示折叠．点A恰好落在CD边上的点F处，折痕为BE，则DE的长为( )
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据折叠的性质可得BF=AB，EF=AE，在Rt△BFC中根据勾股定理求出CF，从而求出DF，在Rt△DEF中根据勾股定理即可求得EF=AE，从而求得DE．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=5，AD=BC=4．
∵把它的左上角如图所示折叠．点A恰好落在CD边上的点F处，折痕为BE，
∴AE=EF，BF=AB=5，
∴CF3，
∴DF=5﹣3=2．
∵DE2+DF2=EF2，
∴(4﹣EF)2+22=EF2，
∴EF，
∴DE=AD﹣AE=AD﹣EF．
故选：A．
【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠的性质．理解折叠前后对应边相等，并能依据勾股定理解直角三角形是解决此题的关键．
9. 如图，长方体的高为，底面是边长为的正方形，如果一只蚂蚁从顶点开始爬向顶点，那么它爬行的最短路程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将立体图形展开，有三种不同的展法，连接，利用勾股定理求出的长，找出最短的即可．
【详解】解：①如图，将长方体的正面和上面展开在同一平面内，，，
；
②如图，将长方体的正面和右面展开在同一平面内，，，
，
③将长方体的正面和左面展开在同一平面内，同理可得，
由于，
所以蚂蚁爬行的最短路程为．
故选：D．
【点睛】本题考查的是平面展开最短路径问题，此类问题先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是利用两点之间，线段最短．关键是在平面图形上构造直角三角形解决问题．
10. 如图，在正方形中，为对角线、的交点，、分别为边、上一点，且，连接．若，，则的长为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】由题意证明，所以，则等腰直角三角形；过点F作，得出是等腰直角三角形，推出，，进而可求出．
【详解】解：在正方形中，和为对角线，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
过点F作，如图，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
故选：A
【点睛】本题主要考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，含30°的直角三角形的三边关系等相关知识，解题关键是得出是等腰直角三角形．
二、填空题：本大题共8小题，每题3分，共24分．
11. 若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____________．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查分式和二次根式有意义时的取值范围．根据题意可得，即可得到本题答案．
【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴，解得：，
故答案为：且．
12. 如果两个最简二次根式与能合并，那么_______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了同类二次根式的知识，解题的关键是掌握最简同类二次根式的根指数相同且被开方数相同．
根据题意可得最简二次根式与可是同类二次根式，根据被开方数相同即可得出a的值．
【详解】解：由题意得，最简二次根式与是同类二次根式，
故可得：，
解得：．
故答案为：．
13. 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的中线长是_______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的应用，直角三角形斜边中线的性质，根据题中所给条件分类讨论是解决问题的关键．
根据直角三角形三边的特征，斜边比直角边长可知，分两种情况讨论，利用勾股定理求出第三边，进而求解即可．
【详解】解：一个直角三角形的两边长分别为3和4，
如图所示，当3和4均为直角边时，即，时，，点D是的中点，
∴
∵点D是的中点
∴；
如图所示，当3为直角边和4为斜边时，即，，，点H是的中点
∴
∵点H是的中点
∴
∴．
综上所述，第三边的中线长是或．
故答案为：或．
14. 《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子（丈尺），现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺，问折断处离地面的距离为__________．
【答案】4.55
【解析】
【分析】设折断后的竹子的高为x尺，根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：如图
设折断后的竹子高AC为x尺，则AB长为（10−x）尺，
根据勾股定理得：
AC²＋BC²＝AB²，
即：x²＋3²＝(10−x)²，
解得：x＝4.55，
故答案为：4.55.
【点睛】考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．
15. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠EBD=________ ．
【答案】30°
【解析】
【分析】判断△ABE是顶角为150°的等腰三角形，求出∠EBA的度数后即可求解．
【详解】解：因为四边形ABCD是正方形，
所以AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ABD＝45°．
因为△ADE是等边三角形，
所以AD＝AE，∠DAE＝60°，
所以AB＝AE，∠BAE＝150°，
所以∠EBA＝(180°－150°)＝15°，
所以∠EBD＝∠ABD－∠EBA＝45°－15°＝30°．
故答案为：30°．
【点睛】本题考查了正方形和等边三角形的性质，正方形的四边都相等，四个角都是直角，每一条对角线平分一组对角．
16. 若直角三角形的一个锐角是，斜边长为1，则此直角三角形周长是___________．
【答案】 或 ＋
【解析】
【分析】根据30度的直角三角形的性质，和勾股定理，求出两条直角边，再进行求解即可．
【详解】解：∵直角三角形的一个锐角是，斜边长为1，
∴另一个锐角的度数为，
∴所对的直角边的长为，
∴另外一条直角边的长为：，
∴此直角三角形周长是；
故答案为：．
【点睛】本题考查含30度角的直角三角形和勾股定理．熟练掌握所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键．
17. 如图所示，在边长为2的菱形中，，点E为中点，点F是上一动点，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，首先连接，设交于，连接，，证明只有点运动到点时，取最小值，再根据菱形的性质、勾股定理求得最小值．
【详解】解：连接，设交于，连接，，
∵四边形是菱形，
∴互相垂直平分，
∴点关于的对称点为，
只有当点运动到点时，取等号 ，
在中，
是等边三角形，
∵为的中点，
，
的最小值为，
故答案为：．
18. 如图，将矩形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，的延长线恰好经过点，若，，则等于______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，翻折的性质，勾股定理，根据矩形及折叠的性质可知，，，则，设，则，，利用勾股定理可得：，即，求出即可求得的长度．由矩形与翻折的性质得到是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是矩形，，，
∴，，，，
∴，
∵将矩形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，的延长线恰好经过点，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，，
在中，，
即，
解得：，
∴．
故答案为：．
三、解答题：本大题7小题，共60分．
19. 计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，化简为最简二次根式是解题的关键．
（1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减运算法则计算即可；
（2）先用平方差公式和完全平方公式化简，然后合并同类二次根式计算即可．
（3）先化简括号内二次根式，然后计算加减，然后计算括号外的除法即可；
（4）先化简二次根式，零指数幂和负整数指数幂，再根据二次根式的加减运算法则计算即可；
【小问1详解】
；
【小问2详解】
；
【小问3详解】
；
【小问4详解】
．
20. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】
【解析】
【分析】分析: :先根据分式基本性质将括号里的分式进行的通分,再进行减法计算,然后再将分式进行除法计算,然后将x的值代入化简式子计算即可.
【详解】详解:,

把
代入上式,得原式=.
点睛:本题主要考查分式的通分,减法和除法计算,二次根式的计算,解决本题的关键是要熟练掌握分式和二次根式相关运算法则.
21. 如图四边形中，，求四边形的面积．
【答案】36
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理．根据勾股定理可求得的长，再根据勾股定理逆定理可求得为直角三角形，，即可求得结果．
【详解】解：∵，
∴为直角三角形，
又∵，
∴根据勾股定理得： ，
又∵，
∴，
∴，
∴为直角三角形，，
∴．
即四边形的面积是36．
22. 如图，的对角线、相交于点，、是上的两点，并且，求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，得出是解题关键．首先利用平行四边形的性质，得出对角线互相平分，进而得出，，即可得出答案．
【详解】证明：的对角线、相交于点，、是上的两点，
，，
，
，则，
四边形平行四边形．
23. 如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港．
（1）求A，C两港之间的距离（结果保留到0.1km，参考数据：≈1.414，≈1.732）；
（2）确定C港在A港的什么方向．
【答案】（1）A、C两地之间的距离为14.1km;（2）C港在A港北偏东15°的方向上．
【解析】
【分析】（1）根据方位角的定义可得出∠ABC=90°，再根据勾股定理可求得AC的长为14.1.
（2）由（1）可知△ABC为等腰直角三角形，从而得出∠BAC=45°，求出∠CAM=15°，所而确定C港在A港的什么方向.
【详解】（1）由题意可得，∠PBC=30°，∠MAB=60°，∴∠CBQ=60°，∠BAN=30°，∴∠ABQ=30°，∴∠ABC=90°．
∵AB=BC=10，∴AC==≈14.1．
答：A、C两地之间的距离为14.1km．
（2）由（1）知，△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，∴∠CAM=15°，
∴C港在A港北偏东15°的方向上．
【点睛】本题考查了方位角的概念及勾股定理及其逆定理，正确理解方位角是解题的关键.
24. 如图，在中，点，，分别是边，，的中点，且．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求出矩形的周长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接．根据三角形的中位线的性质即可得到结论；
（2）根据矩形的性质得到，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
【小问1详解】
证明：连接．
，分别是边，的中点，
∴，，
点是边的中点，
．
．
四边形平行四边形；
由点，分别是边，的中点，
．
，
，
四边形为矩形；
【小问2详解】
解：四边形为矩形，
，
，
，，
，
，
，，，
，
矩形的周长．
【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，三角形的中位线的性质，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键．
25. 在中，、分别是、的中点，，延长到点，使得，连接．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】从所给的条件可知，是中位线，所以且，所以和平行且相等，所以四边形是平行四边形，又因为，所以是菱形；是，所以为，所以菱形的边长也为4，求出菱形的高面积就可求．
【详解】（1）证明：、分别是、的中点，
且，
又，，
，，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
（2）解：，
，
是等边三角形，
菱形的边长为4，高为，
菱形的面积为．
【点睛】本题考查菱形的判定和性质以及三角形中位线定理，以及菱形的面积的计算等知识点，解题的关键是掌握菱形的判定定理及性质．
26. 阅读下列材料，然后回答问题：
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：； .
以上这种化简过程叫做分母有理化.
还可以用以下方法化简：.
（1）请用其中一种方法化简；
（2）化简：.
【答案】(1) ＋；(2) 3-1.
【解析】
【分析】(1)运用了第二种方法求解，即将4转化为；
（2）先把每一个加数进行分母有理化，再找出规律，即后面的第二项可以和前面的第一项抵消，然后即可得出答案.
【详解】（1）原式=；
（2）原式=+++…
=3﹣1.
【点睛】本题主要考查了分母有理化，找准有理化的因式是解题的关键.