【三轮冲刺】高考数学（大题培优）04立体几何归类

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【题型一】等角证明及建系型
1.（2023上·山东·高三校联考阶段练习）如图，在四棱台中，底面是正方形，，，，．

(1)求证：直线平面；
(2)求二面角的余弦值．
2.（223浙江宁波·浙江省宁波市鄞州中学校考模拟预测）如图，在四棱台中，底面是菱形，，，是的中点．
（1）求证：直线平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
3..(2024郑州一质检）如图，在多面体中，底面为平行四边形，平面BC，为等边三角形，．
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
【题型二】投影型证明与建系
1.（2023·全国·高二专题练习）如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.
(1)证明：AP⊥BC；
(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3，试证明AM⊥平面BMC.
2.（2023·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习）如图，在三棱锥中，是点在平面ABC上的投影，，，是BD的中点.
(1)证明：平面DAC；
(2)若O点正好落在的内角平分线上，，，，求二面角的正弦值.
3.（23-24高三·黑龙江·阶段练习）已知：斜三棱柱中，，与面所成角正切值为，，，点为棱的中点，且点向平面所作投影在内．
(1)求证：；
(2)为棱上一点，且二面角为，求的值．
【题型三】斜棱柱建系法
1.（2023·河南南阳·南阳中学校考三模）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是梯形，，，，分别是棱，的中点．

(1)证明：平面．
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
2.（2023·贵州毕节·校考模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，，，分别为棱的中点，为线段的中点．
(1)证明：平面．
(2)求二面角的正弦值．
3.（2023·全国·高三专题练习）在底面ABCD为梯形的多面体中.，BC⊥CD，，∠CBD＝45°，BC＝AE＝DE，且四边形BDEN为矩形．

(1)求证：BD⊥AE；
(2)线段EN上是否存在点Q，使得直线BE与平面QAD所成的角为60°？若不存在，请说明理由．若存在，确定点Q的位置并加以证明．
【题型四】翻折型建系求动点
1.（2024·山西运城·一模）如图，在矩形纸片中，，，沿将折起，使点到达点的位置，点在平面的射影落在边上.
(1)求的长度；
(2)若是边上的一个动点，是否存在点，使得平面与平面的夹角余弦值为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由.
2.（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图1，在平行四边形中，，将沿折起，使点D到达点P位置，且，连接得三棱锥，如图2．
(1)证明：平面平面；
(2)在线段上是否存在点M，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
3.（2023·全国·模拟预测）如图①所示，在中，，，，垂直平分．现将沿折起，使得二面角的大小为，得到如图②所示的四棱锥．
(1)求证：平面平面；
(2)若Q为上一动点，且，当锐二面角的余弦值为时，求四棱锥的体积．
【题型五】二面角及其延长线型建系
1.（2023·辽宁大连·统考一模）如图，平面五边形ABCDE中，是边长为2的等边三角形，，CD＝AE，，将沿AD翻折，使点E翻折到点P．
(1)证明：PC⊥BC；
(2)若PC＝3，求二面角P－AD－B的大小，以及直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
2.（2023·甘肃兰州·兰化一中校考模拟预测）如图，已知菱形中，，点为边的中点，沿将折起，得到且二面角的大小为，点在棱上，平面.
(1)求的值；(2)求二面角的余弦值.
3.（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知直角梯形形状如下，其中，，，．

(1)在线段CD上找出点F，将四边形沿翻折，形成几何体．若无论二面角多大，都能够使得几何体为棱台，请指出点F的具体位置（无需给出证明过程）．
(2)在（1）的条件下，若二面角为直二面角，求棱台的体积，并求出此时二面角的余弦值．
【题型六】最值型
1.（2023春·山西·高一统考期末）如图，在四棱锥中，，，，△MAD为等边三角形，平面平面ABCD，点N在棱MD上，直线平面ACN．

(1)证明：．
(2)设二面角的平面角为，直线CN与平面ABCD所成的角为，若的取值范围是，求的取值范围．
2.（23-24高三下·河北张家口·开学考试）如图，在矩形中，，．沿对角线折起，形成一个四面体，且．
(1)是否存在，使得，同时成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(2)求当二面角的正弦值为多少时，四面体的体积最大．
3.（2023春·江苏扬州·高三统考）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，在平面内的射影为.

(1)求证：平面；
(2)若点为棱的中点，求点到平面的距离；
(3)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围.
【题型七】特殊的几何体
1.（2024·贵州·三模）如图，在正四棱锥中，，已知，，其中分别为的中点.
(1)证明：；
(2)求二面角的正弦值.
2.（2024·全国·模拟预测）如图，正方体的棱长为2，在正方形的内切圆上任取一点，在正方形的内切圆上任取一点，在正方形的内切圆上任取一点．
(1)若分别是棱的中点，，求棱和平面所成角的余弦值；
(2)求的最小值与最大值．
3.（2024·湖南·二模）如图所示，半圆柱的轴截面为平面，是圆柱底面的直径，为底面圆心，为一条母线，为的中点，且.
(1)求证：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc1785" 【题型一】等角证明及建系型 PAGEREF _Tc1785 \h 1
\l "_Tc14415" 【题型二】投影型证明与建系 PAGEREF _Tc14415 \h 2
\l "_Tc14186" 【题型三】斜棱柱建系法 PAGEREF _Tc14186 \h 4
\l "_Tc18166" 【题型四】翻折型建系求动点 PAGEREF _Tc18166 \h 5
\l "_Tc24365" 【题型五】二面角及其延长线型建系 PAGEREF _Tc24365 \h 6
\l "_Tc14761" 【题型六】最值型 PAGEREF _Tc14761 \h 7
\l "_Tc6591" 【题型七】特殊的几何体 PAGEREF _Tc6591 \h 8
向量角度：
角度公式：
（1）、异面直线夹角（平移角，也是锐角和直角），分别是两直线的方向向量
（2）、直线与平面所成的角（射影角，也是夹角，），分别是直线的方向向量与平面的法向量
（3）、二面角（法向量的方向角，）分别是两平面的法向量