专题4 函数与方程（零点问题、嵌套函数）（讲义）-【压轴】2024高考数学二轮复习函数与导数压轴题

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题4 函数与方程
一、函数的零点
对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点．
二、方程的根与函数零点的关系
方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点．
三、零点存在性定理
如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根．
四、二分法
对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点
所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法．求方程的近似解就是求函数零点的近似值．
五、用二分法求函数零点近似值的步骤
（1）确定区间，验证，给定精度.
（2）求区间的中点.
（3）计算．若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）．若，则令（此时零点）
（4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）—（4）步．
用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成．
【解题方法总结】
函数的零点相关技巧:
①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点．
②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号．
③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号．
④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出.
题型一：二分法
例1、（2015·辽宁朝阳·统考一模） 方程的解所在的区间为
A．B．C．D．
例2、（2011·北京海淀·统考二模）函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
例3、（2020·湖北·校联考模拟预测）用二分法求函数在区间上的零点,要求精确度为时,所需二分区间的次数最少为（ ）
A．B．C．D．
1．（2016·陕西商洛·统考二模）函数的零点所在的大致区间的
A．B．C．D．
2．（2023·海南·校联考模拟预测）函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
3．（2014·广东惠州·统考一模）若的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表：
那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（ ）
A．1.2B．1.3C．1.4D．1.5
题型二：求函数的零点或零点所在区间
例3、（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．
C．D．
例4、（2023·四川泸州·四川省叙永第一中学校校考一模）若函数在区间上不单调，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例5、（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知函数在区间上有零点，则实数m的取值范围是 ．
1．（2019·陕西安康·统考二模）函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2018·江苏泰州·校联考一模）函数的零点在区间内，则 ．
题型三：利用函数的零点确定参数的取值范围
例6、（2021·江西上饶·统考二模）已知函数，若恰有3个正整数解，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
例7、（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数在区间上有且仅有一个零点，则实数的取值范围为 .
1．（2016·黑龙江大庆·统考一模）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·模拟预测）设函数，则（ ）
A．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都有零点，则在区间（0，1）也有零点
B．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都有零点，则在区间（0，1）没有零点
C．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都没有零点，则在区间（0，1）有零点
D．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都没有零点，则在区间（0，1）也没有零点
题型四：方程根的个数与函数零点的存在性问题
例8、（2023·全国·模拟预测）函数在区间上的零点个数是 ．
例9、（2023·河南·校联考模拟预测）已知在和上各有一个零点，则的取值范围是 ．
1．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）函数的零点个数为 .
2．（2021·全国·校联考模拟预测）方程的实数根的个数为 .
题型五：嵌套函数的零点问题
例10、（2024·福建漳州·统考模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．3B．5C．6D．8
例11、（2020·河南·校联考模拟预测）已知函数，则函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
例12、（2023·浙江·二模）已知函数，则至多有 个实数解．
1．（2023·陕西·校联考模拟预测）用表示中较小的数，，则的解的个数为（ ）
A．2B．4C．6D．8
2．（2022·浙江·模拟预测）已知函数的定义域为，对任意，都有．现已知，那么（ ）
A．B．C．D．
3．（2016·山西太原·统考三模）已知定义在上的单调函数满足对,则方程的解所在区间是
A．B．C．D．
题型六：复合函数的零点问题（与二次函数有关嵌套问题）
例13、（2024·全国·模拟预测）已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
例14、（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）函数，若有个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例15、（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）已知函数，若函数，存在5个零点，则（ ）
A．1B．C．1或D．
1．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知函数，若方程恰有四个不等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）已知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数有4个不同的零点，则m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
题型七：唯一零点求值问题
例14、（2016·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考三模）在区间上随机取两个实数,，则函数在区间上有且只有一个零点的概率是（ ）
A．B．C．D．
例15、（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知是定义在R上的奇函数，且当时，单调递增，要确保的零点唯一，则的值可以为（ ）
A．B．0C． D．5
1．（2023·四川内江·统考三模）若关于x的不等式有且只有一个整数解，则正实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·重庆市育才中学校联考模拟预测）已知函数在区间有且仅有1个零点，则的取值范围为 ．
题型八：分段函数的零点问题
例16、（2023·河北唐山·开滦第二中学校考一模）已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
例17、（2024·上海普陀·上海市晋元高级中学模拟预测）若函数有4个零点，则正数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
1．（2023·四川成都·校联考一模）已知函数若有3个实数解，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·模拟预测）已知函数有且仅有3个零点，若，则（ ）
A．B．C．D．
题型九：等高线问题
例18、（2023·海南·校联考模拟预测）已知函数，若关于x的方程有4个不相等的实数根、、、，则的取值范围是 .
例19、（2024·广东广州·广东实验中学校考一模）已知函数，若函数有三个不同的零点,，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例20、（2021·天津静海·静海一中校考一模）已知函数，函数有四个不同的零点，从小到大依次为，，，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
1．（2023·山东烟台·统考二模）已知函数，若存在四个不相等的实根，，，，则的最小值是 ．
2．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）已知函数，若方程有四个根，且，则下列说法错误的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·陕西商洛·统考一模）已知函数 ，若关于 的方程有3个实数解，且则的最小值是（ ）
A．8B．11C．13D．16