湖南省郴州市第五中学2023-2024学年七年级下学期期中考试数学试题

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一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1—5 DADBB 6—10 CADAC
1．（3分）下列方程组为二元一次方程组的是（ ）
A．B．
C．D．
【专题】一次方程（组）及应用；推理能力．
【解答】解：A.是二元二次方程组，选项A不符合题意；
B.是分式方程组，选项B不符合题意；
C.是三元一次方程组，选项C不符合题意；
D.是二元一次方程组，选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的定义，牢记“由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组”是解题的关键．
2．（3分）下列各对数是二元一次方程2x﹣5y＝﹣4的解的是（ ）
A．B．
C．D．
【专题】方程与不等式；运算能力．
【解答】解：A、把x＝3，y＝2代入方程，左边＝6﹣10＝﹣4＝右边，所以是方程的解；
B、把x＝﹣2，y＝﹣1代入方程，左边＝﹣4+5＝﹣1≠右边，所以不是方程的解；
C、把x＝8，y＝9代入方程，左边＝16﹣45＝﹣29≠右边，所以不是方程的解；
D、把x＝9，y＝3代入方程，左边＝18﹣15＝3≠右边，所以不是方程的解；
故选：A．
【点评】本题考查二元一次方程的解的定义，要求理解什么是二元一次方程的解，并会把x，y的值代入原方程验证二元一次方程的解．
3．（3分）解以下两个方程组：①②较为简便方法的是（ ）
A．①②均用代入法
B．①②均用加减法
C．①用代入法，②用加减法
D．①用加减法，②用代入法
【专题】计算题；一次方程（组）及应用；运算能力．
【解答】解：①中的方程中含y的项互为相反数，用加减法比较合适；②是用t表示s的形式，用代入法解答合适；
故选D．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟悉解方程是解题的关键．
4．（3分）计算：（﹣a）2•a4的结果是（ ）
A．a8B．a6C．﹣a8D．﹣a6
【专题】整式；运算能力．
【解答】解：（﹣a）2•a4＝a6．
故选：B．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
5．（3分）分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（ ）
A．（x﹣3）（b2+b）B．b（x﹣3）（b+1）
C．（x﹣3）（b2﹣b）D．b（x﹣3）（b﹣1）
【解答】解：b2（x﹣3）+b（x﹣3），
＝b（x﹣3）（b+1）．
故选：B．
【点评】需要注意提取公因式后，第二项还剩因式1．
6．（3分）已知m+n＝3，则m2+2mn+n2﹣6的值（ ）
A．12B．6C．3D．0
【解答】解：∵m+n＝3，
∴（m+n）2＝m2+2mn+n2＝9，
∴原式＝9﹣6＝3，
故选：C．
【点评】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式（m+n）2＝m2+2mn+n2是解题的关键．
7．（3分）多项式12ab2﹣8a2bc的公因式是（ ）
A．4abB．4a2b2C．2abD．2abc
【专题】整式；运算能力．
【解答】解：∵12ab2﹣8a2bc＝4ab•3b﹣4ab•2c，
∴12ab2﹣8a2bc各项的公因式是4ab．
故选：A．
【点评】本题考查公因式，确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：
①定系数，即确定各项系数的最大公约数；
②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；
③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．
8．（3分）已知3x＝y，则3x+1＝（ ）
A．yB．1+yC．3+yD．3y
【专题】计算题；整式；运算能力．
【解答】解：∵3x＝y，
∴3x+1＝3x×3＝3y．
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法的运算法则是关键．
9．（3分）如图，在3×3的方格中做填字游戏，要求每行、每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，则表格中x，y的值分别为（ ）
A．1，﹣1B．﹣1，1C．2，﹣1D．﹣2，1
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【解答】解：依题意，得：
解得：，
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10．（3分）对于①（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，②x﹣2xy＝x（1﹣2y），从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是乘法运算
B．都是因式分解
C．①是乘法运算，②是因式分解
D．①是因式分解，②是乘法运算
【专题】整式；运算能力．
【解答】解：①（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1属于整式乘法，是利用平方差公式进行计算；
②x﹣2xy＝x（1﹣2y）属于因式分解，是利用提公因式法进行因式分解；
故选：C．
【点评】本题考查整式混合运算，涉及平方差公式及提公因式法因式分解，熟练掌握整式乘法及因式分解的定义是解决问题的关键．
二．填空题（本大题共8个小题，每小题3分共24分）
11．（3分）化简：（a+1）2﹣a2＝ 2a+1 ．
【专题】整式；运算能力．
【解答】解：原式＝a2+2a+1﹣a2
＝2a+1，
故答案为：2a+1．
【点评】本题考查完全平方公式及合并同类项，此为整式运算的基础且重要知识点，必须熟练掌握．
12．（3分）在（x+7）（x﹣m）的展开式中，x的一次项系数是3，则m的值是 4 ．
【解答】解：∵（x+7）（x﹣m）＝x2+7x﹣mx﹣7m＝x2+（7﹣m）x﹣7m，
又∵x的一次项系数是3，
∴7﹣m＝3，
∴m＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式的法则，x的一次项系数是3就是说这一项的系数等于3．
13．（3分）若2xa﹣1+3y＝8是关于x、y二元一次方程，则a＝ 2 ．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【解答】解：2xa﹣1+3y＝8是关于x、y二元一次方程，
所以，a﹣1＝1，
解得，a＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了二元一次方程的定义，解题关键是根据二元一次方程的定义列出方程a﹣1＝1．
14．（3分）仔细观察下图，各块图形面积之和为a2+3ab+2b2，则因式分解a2+3ab+2b2＝ （a+2b）（a+b） ．
【专题】整式；运算能力．
【解答】解：经过观察发现：a2+3ab+2b2是这个大长方形的面积，
而这个大长方形的长为a+2b，宽为a+b，面积为（a+2b）（a+b），
∴a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b），
故答案为：（a+2b）（a+b）．
【点评】本题考查了因式分解的应用，体现了数形结合的数学思想，根据面积相等得到等式是解题的关键．
15．（3分）一个正方形的边长增加4，它的面积就增加64，这个正方形的边长是 6 ．
【专题】计算题；运算能力．
【解答】解：设原正方形的边长为a，则变化后的正方形的边长为a+4，由题意得，
（a+4）2﹣a2＝64，
解得a＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．
16．（3分）如果表示3xyz，表示﹣2abcd，则×＝ ﹣12m4n3 ．
【专题】整式；运算能力．
【解答】解：∵表示3xyz，表示﹣2abcd，
∴×
＝6mn×（﹣2n2m3）
＝﹣12m4n3，
故答案为：﹣12m4n3．
【点评】本题考查了整数的混合运算，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键．
17．（3分）如图，若大正方形与小正方形的面积之差为28，则图中阴影部分的面积是 14 ．
【专题】整式；运算能力；推理能力．
【解答】解：如图，设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则AB＝a﹣b，
由于大正方形与小正方形的面积之差是28，即a2﹣b2＝28，
S阴影部分＝S△ACB+S△ADB
＝
＝
＝
＝
＝14．
故答案为：14．
【点评】本题考查了平方差公式，掌握正方形、三角形的面积公式是正确解答的前提．
18．（3分）如果x2+（a﹣1）x+36是一个完全平方式，那么a的值是 13或﹣11 ．
【专题】整式；运算能力．
【解答】解：∵x2+（a﹣1）x+36，
∴a﹣1＝±2×6，
解得a＝13或﹣11，
故答案为：13或﹣11．
【点评】本题考查了对完全平方公式的应用，能根据题意得出a﹣1＝±2×6是解此题的关键，注意：完全平方式有两个：a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2．
三．解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分）
19．（6分）解方程组：．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【解答】解：，
①+②，得7x＝7，
解得：x＝1，
把x＝1代入①，得3﹣5y＝﹣1，
解得：，
所以原方程组的解是．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
20．（6分）分解因式x2y﹣36y；
【专题】因式分解；运算能力．
【解答】解：x2y﹣36y
＝y（x2﹣36）
＝y（x+6）（x﹣6）；
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，解答本题的关键是明确一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
21．（8分）已知4x2+x﹣5＝0，求代数式（3x+2）（3x﹣2）﹣（x﹣1）2的值．
【专题】计算题；整体思想；整式；运算能力．
【解答】解：原式＝9x2﹣4﹣（x2﹣2x+1）
＝9x2﹣4﹣x2+2x﹣1
＝8x2+2x﹣5，
∵4x2+x﹣5＝0，
∴4x2+x＝5，
∴原式＝2（4x2+x）﹣5
＝2×5﹣5
＝10﹣5
＝5．
【点评】本题考查整式的混合运算—化简求值，掌握完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2和平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是解题关键．
22．（8分）已知方程组与有相同的解，求m，n的值．
【专题】方程与不等式；应用意识．
【解答】解：∵方程组与有相同的解，
∴与原两方程组同解．
由5y﹣x＝3可得：x＝5y﹣3，
将x＝5y﹣3代入3x﹣2y＝4，则y＝1．
再将y＝1代入x＝5y﹣3，则x＝2．
将代入得：
，
将①×2﹣②得：n＝﹣1，
将n＝﹣1代入②得：m＝4．
∴m＝4，n＝﹣1．
【点评】运用代入法，得关于a和b的二元一次方程组，再解方程组求解是解决此类问题的关键．
23．（9分）某校举行研学旅行活动，车上准备了7箱矿泉水，每箱的瓶数相同，到达目的地后，先从车上搬下3箱，发给每位同学1瓶矿泉水，有9位同学未领到．接着又从车上搬下4箱，继续分发，最后每位同学都有2瓶矿泉水，还剩下6瓶．问：有多少人参加此次研学旅行活动？每箱矿泉水有多少瓶？
【专题】方程思想；一次方程（组）及应用．
【解答】解：设有x人参加此次研学旅行活动，每箱矿泉水有y瓶，
根据题意得：，
解得：．
答：有81人参加此次研学旅行活动，每箱矿泉水有24瓶．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
24．（9分）仔细阅读下面例题：
已知二次三项式x2+5x+m有一个因式是x+2，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为x+n，得x2+5x+m＝（x+2）（x+n），
则x2+5x+m＝x2+（n+2）x+2n，
∴n+2＝5，m＝2n，解得：n＝3，m＝6．
∴另一个因式为x+3，m的值为6．
依照以上方法解答下列问题：
（1）若二次三项式x2﹣x﹣12可分解为（x+3）（x﹣a），则a＝ 4 ；
（2）若二次三项式2x2﹣bx﹣6可分解为（2x+3）（x﹣2），则b＝ 1 ；
（3）已知二次三项式2x2﹣9x﹣k有一个因式是2x﹣1，求另一个因式以及k的值．
【专题】因式分解；整式；运算能力．
【解答】解：（1）∵（x+3）（x﹣a）＝x2+（3﹣a）x﹣3a＝x2﹣x﹣12，
∴3﹣a＝﹣1，
解得：a＝4；
故答案为：4；
（2）∵（2x+3）（x﹣2）＝2x2﹣x﹣6＝2x2﹣bx﹣6，
∴b＝1．
故答案为：1．
（3）设另一个因式为（x+n），得2x2﹣9x﹣k＝（2x﹣1）（x+n），
则2x2﹣9x﹣k＝2x2+（2n﹣1）x﹣n，
∴2n﹣1＝﹣9，﹣k＝﹣n，
解得n＝﹣4，k＝﹣4，
∴另一个因式为x﹣4，k的值为﹣4．
【点评】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．
25．（10分）阅读理解：
若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．
解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b，则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，
a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，
（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80．
解决问题：
（1）若x满足（50﹣x）（x﹣40）＝2，则（50﹣x）2+（x﹣40）2＝ 96 ．
（2）若x满足（x﹣2024）2+（x﹣2022）2＝2000，求（x﹣2024）•（x﹣2022）的值；
（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和正方形CEMN，若长方形CEPF的面积为45，求图中阴影部分的面积．
【专题】整式；几何直观．
【解答】解：（1）设50﹣x＝a，x﹣40＝b，由完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2，得：
a2+b2＝（a+b）2﹣2ab
＝[（50﹣x）+（x﹣40）]2﹣2×2
＝102﹣4
＝100﹣4
＝96，
故答案为：96；
（2）设x﹣2024＝a，2022﹣x＝b，∴a2+b2＝2000，
∵（a+b）2＝（x﹣2024+2022﹣x）2＝4，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝2000+2ab＝4，
∴ab＝﹣998，即（x﹣2024）（2022﹣x）＝﹣998，
∴（x﹣2024）（x﹣2022）＝998；
（3）如图可得，
设10﹣x＝a，6﹣x＝b，则，
∵a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝16+2ab，且S四边形CEPF＝（10﹣x）⋅（6﹣x）＝ab＝45，
∴a2+b2
＝16+2ab
＝16+2×45
＝106，
∴，图中阴影部分的面积是106．
【点评】本题考查了整式的混合运算—化简求值和完全平方公式的几何背景，解题关键是能对完全平方公式变式应用．
26．（10分）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．
（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；
（3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利6000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【解答】解：（1）设A种型号的汽车每辆进价为a万元，B种型号的汽车每辆进价为b万元，
由题意可得，
解得，
答：A、B两种型号的汽车每辆进价分别为25万元、10万元；
（2）设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆，
由题意可得25m+10n＝180且m＞0，n＞0，
解得或或，
∴该公司共有三种购买方案，
方案一：购买2辆A型汽车，购买13辆B型汽车；
方案二：购买4辆A型汽车，购买8辆B型汽车；
方案三：购买6辆A型汽车，购买3辆B型汽车；
（3）当m＝2，n＝13时，获得的利润为：8000×2+6000×13＝94000（元），
当m＝4，n＝8时，获得的利润为：8000×4+6000×8＝80000（元），
当m＝6，n＝3时，获得的利润为：8000×6+6000×3＝66000（元），
由上可得，最大利润为94000元，
∴购买2辆A型汽车，购买13辆B型汽车获利最大，最大值为94000元．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
4x
﹣3
﹣y
2
3
2y