江苏省海安高级中学2024届高三下学期第二次模拟考试数学试卷(含答案)

这是一份江苏省海安高级中学2024届高三下学期第二次模拟考试数学试卷(含答案)，共11页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知复数,(其中i为虚数单位,).若是纯虚数,则( )
A.-4B.-1C.1D.4
2．直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
3．有6名男教师和5名女教师,从中选出2名男教师、1名女教师组成一个支教小组,则不同的选法共有( )
A.60种B.70种C.75种D.150种
4．已知等差数列的前n项和为,且,,则是中的( )
A.第28项B.第29项C.第30项D.第32项
5．在中,已知,,则“”是“”成立的( )条件
A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要
6．已知双曲线,直线.双曲线C上的点P到直线的距离最小,则点P的横坐标为( )
A.B.C.D.
7．若命题:“,使得”为假命题,则a,b的大小关系为( )
A.B.C.D.
8．设实数满足,则的最小值为( )
A.B.C.D.-1
二、多项选择题
9．下列可以反映总体数据集中趋势的统计特征数为( )
A.方差B.平均数C.中位数D.众数
10．已知不等式对任意恒成立,其中a,b是整数,则的取值可以为( )
A.-4B.-2C.0D.8
11．直线l与抛物线相交于A,B两点,过A,B两点分别作该抛物线的切线,与直线均交于点P,则下列选项正确的是( )
A.直线l过定点
B.A,B两点的纵坐标之和的最小值为2p
C.存在某一条直线l,使得为直角
D.设点在直线l上的射影为H,则直线FH斜率的取值范围是
三、填空题
12．已知集合,,则___________.
13．设若,则___________.
四、双空题
14．在长方体中,,,E,F分别是棱,的中点,则平面CEF截该长方体所得的截面为___________边形,截面面积为___________.
五、解答题
15．如图,在四棱锥中,已知棱AB,AD,AP两两垂直,长度分别为1,2,2,若,且向量与夹角的余弦值为.
(1)求实数的值;
(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.
16．已知向量,,.设.
(1)求函数的单调递增区间;
(2)在中,若,,,的平分线交BC于点D,求AD长.
17．在平面直角坐标系xOy中,设椭圆的离心率为,,分别是椭圆的左、右焦点,过作两条互相垂直的直线,,直线与C交于A,B两点,直线与C交于D,E两点,且的周长是.
(1)求椭圆C的方程;
(2)当时,求的面积.
18．设函数,.
(1)若,求函数的单调区间;
(2)若,试判断函数在区间内的极值点的个数,并说明理由;
(3)求证:对任意的正数a,都存在实数t,满足:对任意的,.
19．“踩高跷,猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动.某地为了弘扬文化传统,发展“地推经济”,在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动.
(1)某商户借“灯谜”活动促销,将灯谜按难易度分为B、C两类,抽到较易的B类并答对购物打八折优惠,抽到稍难的C类并答对购物打七折优惠.抽取灯谜规则如下:在一不透明的纸箱中有8张完全相同的卡片,其中3张写有A字母,3张写有字母,2张写有C字母,顾客每次不放回从箱中随机取出1张卡片,若抽到写有A的卡片,则再抽1次,直至取到写有B或C卡片为止.求该顾客取到写有B卡片的概率.
(2)小明尝试去找全街最适合他的灯谜,规定只能取一次,并且只可以向前走,不能回头,他在街道上一共会遇到n条灯谜(不妨设每条灯谜的适合度各不相同),最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等,小明准备采用如下策略:不摘前条灯谜,自第条开始,只要发现比他前面见过的灯谜适合的,就摘这条灯谜,否则就摘最后一条.设,记小明摘到那条最适合的灯谜的概率为P.
①若,,求P;
②当n趋向于无穷大时,从理论的角度,求P的最大值及P取最大值时t的值.
(取)
参考答案
1．答案：A
2．答案：D
3．答案：C
4．答案：C
5．答案：B
6．答案：D
7．答案：B
8．答案：B
9．答案：BCD
10．答案：BD
11．答案：ABD
12．答案：
13．答案：6
14．答案：五；
15．答案：(1)
(2)
解析：依题意,以A为坐标原点,AB,AD,AP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系则,,,
因为,所以,
(1)从而,,
则,
解得;
(2)易得,,
设平面PCD的法向量,
则,且,
即,且,所以,
不妨取,则平面PCD的一个法向量,
又易得,
故,
所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.
16．答案：(1),
(2)2
解析：(1)由
,
令,则,
所以函数的单调递增区间为,.
(2)因,因为,所以,
即,故;
由余弦定理得,即,
所以(负舍),
所以,
即,
所以.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)由，知，所以，
因为的周长是,所以,
所以,,故,
所以椭圆C的方程为.
(2)分析知直线的斜率存在,且不为0,设的方程为:,
与椭圆方程联立:
,得,
同理:
所以,解得,
所以,直线的方程为,
所以,故.
18．答案：(1)单调递减区间为,单调递增区间为
(2)1个，理由见解析
(3)证明见解析
解析：(1)当时,,,
令,,列表分析
故的单调递减区间为,单调递增区间为.
(2),,其中,
令,分析的零点情况.
,令,,列表分析
因为,
所以,即,
而,,
因此在有一个零点,在内有一个极值点;
当时,在内有一个极值点.
(3)猜想：,恒成立
证:由(2)得在上单调递增,
且,.
因为当时,,所以.
故在上存在唯一的零点,设为.
由
知,,
又,而时,,
所以.
即,.
所以对任意的正数a,存在,使对任意的,使
补充证明(*):
令,.,所以在上单调递增.
所以时,,即.
补充证明(**)
令,,,所以在上单调递减.
所以时,,即.
19．答案：(1)
(2)①
②
解析：(1)该顾客第一次取到写有B卡片的概率为,
该顾客第二次取到写有B卡片的概率,
该顾客第三次取到写有B卡片的概率,
该顾客第四次取到写有B卡片的概率,
该顾客取到写有B卡片的概率为；
(2)①这4条灯谜的位置从第1个到第4个排序,有种情况,
要摘到那条最适合灯谜,有以下两种情况:
(i)最适合灯谜是第3个,其它的随意在哪个位置,有种情况;
(ii)最适合灯谜是最后1个,第二适合灯谜是第1个或第2个,其它的随意在哪个位置,有种情况,
故所求概率为;
②记事件A表示最适合灯谜被摘到,事件表示最适合灯谜排在第i个,
则,
由全概率公式知:,
当时,最适合灯谜在前k条中,不会被摘到,此时；
当时,最适合灯谜被摘到,当且仅当前条灯谜中的最适合那条在前k个之中时,
此时,
所以,
令,则,
由,得,
当时,,当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减,
所以,所以当时,取得最大值,
从而P的最大值为,此时t的值为.
x
1
—
0
+
单调递减
单调递增
x
-
0
+
单调递减
单调递增
x
-
0
+
单调递减
单调递增