北京市海淀区2024年九年级中考一模数学试卷(含答案)

这是一份北京市海淀区2024年九年级中考一模数学试卷(含答案)，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列几何体放置在水平面上，其中俯视图是圆的几何体为( )
A.B.C.D.
2．据报道，2024年春节假期北京接待游客约1750万人次，旅游收入同比增长近四成.将17500000用科学记数法表示应为( )
A.B.C.D.
3．如图，，，若，则的大小为( )
A.B.C.D.
4．实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是( )
A.B.C.D.
5．每一个外角都是的正多边形是( )
A.正四边形B.正六边形C.正七边形D.正九边形
6．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为( )
A.B.1C.D.4
7．现有三张背面完全一样的扑克牌，它们的正面花色分别为，，，若将这三张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取两张，则抽取的两张牌花色相同的概率为，则两次抽取的牌花色相同的概率为( )
A.B.C.D.
8．如图.经过圆心O，是的一条弦，，是的切线.再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，便得.
条件①：平分
条你②：
条件③：
则所有可以添加的条件序号是( )
A.①B.①③C.②③D.①②③
二、填空题
9．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______.
10．分解因式_______.
11．方程的解为_______.
12．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和.则的值为_______.
13．如图，在中，，，.点D在射线上运动（不与点B重合）.当的长为_______时，.
14．某实验基地为全面掌握“无絮杨”树苗的生长规律，定期对2000棵该品种树苗进行抽测.近期从中随机抽测了100棵树苗，获得了它们的高度x（单位：cm）.数据经过整理后绘制的频数分布直方图如右图所示.若高度不低于的树苗为长势良好，则估计此时该基地培育的2000棵“无絮杨”树苗中长势良好的有______棵.
15．如图，在正方形中.点E，F，G分别在边，，上，.若，，则的度数为_______（用含a的式子表示）.
16．2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“节”.某校今年“节”策划了五个活动，规则见下图：
小云参与了所有活动.
（1）若小云只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为_______；
（2）若小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，则小云最终剩下的“币”数量的所有可能取值为_______.
三、解答题
17．计算：.
18．解不等式组：.
19．已知，求代数式的值.
20．如图，在中，O为的中点，点E，F分別在上，经过点O，.
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若E为的中点，，.求的长.
21．下图是某房屋的平面示意图.房主准备将客厅和卧室地面铺设木地板，厨房和卫生间地面铺设瓷砖.将房间地面全部铺设完预计需要花费10000元，其中包含安装费1270元.若每平方米木地板的瓷砖的价格之比是，求每平方米木地板和瓷砖的价格.
22．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和.
（1）求该函数的解析式；
（2）当时.对于x的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出m的取值范围.
23．品成本影响售价，为避免因成本波动导致售价剧烈波动，需要控制售价的涨跌幅.下面给出了商品售价和成本（单位：元）的相关公式和部分信息：
a.计算商品售价和成本涨跌幅的公式分别为：
，；
b.规定当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半；
c.甲、乙两种商品成本与售价信息如下：
甲商品的成本与售价信息表
乙商品的成本与售价统计图
根据以上信息，回答下列问题：
（1）甲商品这五周成本的平均数为___________，中位数为___________；
（2）表中m的值为____________，从第三周到第五周，甲商品第_______周的售价最高；
（3）记乙商品这40周售价的方差为，若将规定“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”更改为“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之一”，重新计算每周售价，记这40周新售价的方差为，则________；（填“>”“=”或“<”）.
24．如图，、均为的直径.点E在上，连接，交于点F，连，，点G在的延长线上，.
（1）求证：与相切；
（2）若，，求的长.
25．某校为培养学生的阅读习惯，发起“阅读悦听”活动，现有两种打卡奖励方式：
方式一：每天打卡可领取听书时长；
方式二：第一天打卡可领取听书时长，之后每天打卡领取的听书时长是前一天的2倍.
（1）根据上述两种打卡奖励方式补全表二：
表一每天领取听书时长
表二累计领取听书时长
（2）根据表二，以天数n为横坐标，以该天累计领取的听书时长为纵坐标，绘制了相应的点，并用虚线表达了变化趋势.其中表示方式二变化趋势的虚线是________（填a或b），从第_______天完成打卡时开始，选择方式二累计领取的听书时长超过方式一；
（3）现有一本时长不超过的有声读物，小云希望通过打卡领取该有声读物.若选择方式二比选择方式一所需的打卡天数多两天，则这本有声读物的时长t（单位：min）的取值范围是______.
26．在平面坐标系中，点在抛物线上，其中.
（1）当，时.求抛物线的对称轴；
（2）已知当时，总有.
①求证：；
②点，在该抛物线上，是否存在a，b，使得当时，都有？若存在，求出a与b之间的数量关系；若不存任，说明理由.
27．在中.，，将线段绕点A顺时针旋转得到线段.点D关于直线的对称点为E.连接，.
（1）如图1，当时，用等式表示线段与的数量关系，并证明；
（2）连接，依题意补全图2.若，求的大小.
28．在平面直角坐标系中，对于图形M与图形N给出如下定义：为图形N上任意一点，将图形M绕点P顺时针旋转得到，将所有组成的图形记作，称是图形M关于图形N的“关联图形”.
（1）已知，，，其中.
①若，请在图中画出点A关于线段的“关联图形”；
②若点A关于线段的“关联图形”与坐标轴有公共点，直接写出t的取值范围；
（2）对于平面上一条长度为a的线段和一个半径为r的圆，点S在线段关于圆的“关联图形”上，记点S的纵坐标的最大值和最小值的差为d，当这条线段和圆的位置变化时，直接写出d的取值范围（用含a和r的式子表示）.
参考答案
1．答案：A
解析：A.俯视图是圆，此选项符合题意；
B.俯视图是长方形，此选项不符合题意；
C.俯视图是三角形，此选项不符合题意；
D.俯视图是正方形，此选项不符合题意.
故选：A.
2．答案：C
解析：，
故选：C.
3．答案：C
解析：，
，
，
，
，
故选：C.
4．答案：C
解析：由数轴可知：，则：A、B错误，不符合题意，
，则：C正确，符合题意，D错误，不符合题意，
故选：C.
5．答案：D
解析：多边形的外角和是，这个多边形的每一个外角都等于，
这个多边形的边数是，
故选：D.
6．答案：B
解析：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
；
故选B.
7．答案：B
解析：三张扑克牌分别用A、B、B表示，列表如下：
共有6种等可能的情况数，其中抽取的两张牌花色相同的有2种情况，
则抽取的两张牌花色相同的概率为.
故选：B.
8．答案：B
解析：连接，，令，交于点E，
经过圆心O，是的一条弦，，
，，
则，
若选条件①，平分，
，
，
，故①符合题意；
若选条件②，，
，
是的切线，
，
，则，
，
设，则，
，，
则，
，即，故②不符合题意；
若选条件③，，即：
，
又
，
，
又，
，
，
，故③符合题意；
综上，所有可以添加的条件序号是①③，
故选：B.
9．答案：
解析：在实数范围内有意义，
，
解得.
故答案为：.
10．答案：
解析：.
故答案为：.
11．答案：
解析：去分母，得
解得
检验：经检验是原分式方程的解.
故答案为：.
12．答案：0
解析：函数的图象经过点和，
，，
，，
.
故答案为：0.
13．答案：8
解析：，，即，
，
在中，，，
，
，
即当的长为8时，.
故答案为：8.
14．答案：940
解析：该基地培育的2000棵“无絮杨”树苗中长势良好的有：
（棵），
故答案为：940.
15．答案：
解析：过点G作于点H，如图所示：
四边形为正方形，
，，，
，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：.
16．答案：（1）鲁班锁
（2）1，2，3
解析：小云参与了所有活动.
小云第一个挑战必定成功，
小云只挑战成功一个，
小云第一个挑战成功需要得到4个“币”，
挑战成功的活动名称为鲁班锁；
故答案为：鲁班锁；
（2）小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，
小云第一个挑战必定成功，且挑战成功的活动可能为华容道或魔方或鲁班锁，第二，三、五次挑战失败，
若第一次挑战华容道，
当第四次挑战24点或数独时，最终剩下的“币”数量的取值为；
当第四次挑战魔方时，最终剩下的“币”数量的取值为；
当第四次挑战鲁班锁时，最终剩下的“币”数量的取值为；
若第一次挑战魔方，
当第四次挑战24点或数独时，最终剩下的“币”数量的取值为；
当第四次挑战华容道时，最终剩下的“币”数量的取值为；
当第四次挑战鲁班锁时，最终剩下的“币”数量的取值为；
若第一次挑战鲁班锁，
当第四次挑战24点或数独时，最终剩下的“币”数量的取值为；
当第四次挑战华容道或魔方时，最终剩下的“币”数量的取值为；
综上所述，最终剩下的“币”数量的所有可能取值为1，2，3.
故答案为：1，2，3.
17．答案：
解析：原式
.
18．答案：
解析：原不等式组为
解不等式①，得.
解不等式②，得.
原不等式组的解集为.
19．答案：1
解析：
，
，
.
原式.
20．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：四边形为平行四边形，
.
，.
O为的中点，
.
.
.
，
四边形为平行四边形.
，
四边形为菱形.
（2）O为的中点，，
.
四边形为菱形，
.
.
在中，由勾股定理得.
E为的中点，
.
21．答案：每平方米木地板的价格为150元，每平方米瓷砖的价格为90元
解析：设每平方米木地板的价格为元，则每平方米瓷砖的价格为元.
厨房面积：，
卫生间面积：，
客厅面积：，
卧室面积：，
由题意可得，，
解得，
，.
答：每平方米木地板的价格为150元，每平方米瓷砖的价格为90元.
22．答案：（1）函数的解析式为
（2）
解析：（1）把点和代入得：
，
解得，
该函数的解析式为；
（2）将代入中，
解得，
此时函数解析式为
将代入中，
解得，
此时函数的解析式为，
如图，
由于当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，
根据图象可得直线与直线的交点的横坐标不小于1，
.
23．答案：（1）32；25
（2）60；四
（3）>
解析：（1）由题意知，成本从小到大依次排序为20，25，25，40，50；
∴甲商品这五周成本的平均数为，
中位数为第3个位置的数即中位数是25，
故答案为：32；25；
（2）由题意知，第二周成本的涨跌幅为，
∴第二周售价的涨跌幅为，
解得，；
同理，第四周成本的涨跌幅为，第四周售价的涨跌幅为，
解得，；
第五周成本的涨跌幅为，第五周售价的涨跌幅为，
解得，；
，
从第三周到第五周，甲商品第四周的售价最高，
故答案为：60；四；
（3）由题意知，改规定前“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”，改规定后“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之一”，
，
改规定后售价的波动比改规定前的售价波动小，
，
故答案为：>.
24．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：，
，
，
，即，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
为的直径，
与相切；
（2）连接，如图，
，，，
.
在中，，，
，
，
，
，
为的直径，
.
在中，，
，
由勾股定理得.
，
，
.
，
在中，，
，
，
.
25．答案：（1），
（2）a；7
（3）
解析：（1）表二中，对于方式一，第1天累计领取听书时长为，
第2天累计领取听书时长为，
第3天累计领取听书时长为，
依次规律，第n天累计领取听书时长为；
对于方式二，第1天累计领取听书时长为，
第2天累计领取听书时长为，
第3天累计领取听书时长为，
依次规律，第n天累计领取听书时长为；
故答案为：，.
（2）由表二的数据可知，表示方式二变化趋势的虚线是a，第7天开始，曲线a上点的纵坐标大于射线b上对应点的纵坐标，
即选择方式二累计领取的听书时长超过方式一；
故答案为：a；7.
（3）该有声读物的听书时长不超过，
选择方式一只需打卡1天，
选择方式二需打卡3天，
t的取值范围是.
故答案为：.
26．答案：（1）抛物线的对称轴为直线
（2）①证明见解析
②存在，，理由见解析
解析：（1）由题意可知，点在抛物线上，
，
，
，
抛物线的对称轴为直线；
（2）①方法一：
令，则，
解得：或，
抛物线与x轴交于点，，
，
抛物线开口向上，
（i）当时，，
当时，；当或时，，
当时，总有，
，
，
，
（ii）当时，，
当时，；当或时，，
当时，，不符合题意，
综上，，
方法二：
由题意可知，.
若，则.
，
.
，
.
当时，.
当时，总有.
.
，
，
②存在，
设抛物线的对称轴为，则，
，
当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，
，
，，
（i）当时，
，
，符合题意，
（ii）当时，
当时，
，
，
当时，
设点关于抛物线对称轴的对称点为点，
则，，
，
，，
，
，
，
，
，
当时，符合题意，
（iii）当时，
令，，则，不符合题意，
（iv）当时，
令，则，
，不符合题意，
（v）当时，
，
，不符合题意，
当，即时，符合题意，
，
，
由（1）可得，
.
27．答案：（1），证明见解析
（2）
解析：（1）线段与的数量关系：.
证明：连接，如图1.
点D，E关于直线对称，
直线是线段的垂直平分线.
.
.
.
是等边三角形.
，.
中，，，
.
依题意，得，点在上.
.
.
.
.
.
在中，.
.
.
（2）依题意补全图2，如图.
方法一：延长至F，使，连接，，，，，如图2.
，
.
，
是等边三角形.
，.
点D，E关于直线对称，
直线是线段的垂直平分线.
，.
.
，
.
，
.
.
，
.
，，
.
.
.
.
方法二：如图3，取中点，连接，，，，设.
点D，E关于直线对称，
直线是线段的垂直平分线.
，.
.
，.
，
.
.
，，
.
.
.
由（1）可得.
F为中点，
.
.
，，，
.
.
.
，，
.
.
.
28．答案：（1）①见详解
②或
（2）
解析：（1）①如图所示：线段即为所求；
②如图：
当时，点A关于线段的“关联图形”与y轴恰有公共点，
时，点A关于线段的“关联图形”与y轴有公共点；
当时，点A关于线段的“关联图形”与x轴恰有公共点，
时，点A关于线段的“关联图形”与x轴有公共点；
综上所述：或；
（2）如图，
画出分析图，如图所示，线段的长度为a，圆N的半径为r，
点A、B分别绕点N顺时针旋转得到、，
分析可知且相似比为，
可得圆、的半径均为，
随意转动图，可得.
第一周
第二周
第三周
第四周
第五周
成本
25
50
25
40
20
售价
40
m
45
n
p
天数
1
2
3
4
···
n
方式一
60
60
60
60
···
60
方式二
5
···
天数
1
2
3
4
···
n
方式一
60
120
180
240
···
方式二
···
A
B
B
A
（B，A）
（B，A）
B
（A，B）
（B，B）
B
（A，B）
（B，B）