2023-2024学年江苏省东台市八年级下学期期中数学试题及答案

这是一份2023-2024学年江苏省东台市八年级下学期期中数学试题及答案，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”．下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）若表示的是一个最简分式，则☆可以是（ ）
A．4B．xC．2xD．x2
3．（3分）为了了解我市2014年中考数学学科各分数段成绩分布情况，从中抽取150名考生的中考数学成绩进行统计分析，在这个问题中，样本是指（ ）
A．150
B．被抽取的150名考生
C．被抽取的150名考生的中考数学成绩
D．我市2014年中考数学成绩
4．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．“水在一个标准大气压下，温度为﹣10℃时不结冰”是不可能事件
B．某彩票的中奖机会是0.1%，买1000张一定会中奖
C．为检验某品牌LED灯管的使用寿命，采用普查的调查方式比较合适
D．“如果x、y是实数，那么x+y＝y+x”是随机事件
5．（3分）在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB∥CD．添加下列条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝CDB．AO＝COC．AD＝BCD．∠ABC＝∠ADC
6．（3分）为了更好地表示出大庆某一天的气温变化情况，一般选用（ ）
A．条形统计图B．折线统计图
C．扇形统计图D．统计表
7．（3分）△ABC中，E是AB的中点，CD平分∠ACB，AD⊥CD于点D，若BC＝12，AC＝8，则DE＝（ ）
A．1B．2C．4D．8
8．（3分）如图，矩形ABOC的边BO、CO分别在x轴、y轴上，点A的坐标是（﹣6，4），点D、E分别为AC、OC的中点，点P为OB上一动点，当PD+PE最小时，点P的坐标为（ ）
A．（﹣1，0）B．（﹣2，0）C．（﹣3，0）D．（﹣4，0）
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是 ．
10．（3分）若样本容量是40，在样本的频数分布直方图中各小长方形的高之比是3：2：4：1，则第二小组的频数为 ．
11．（3分）分式和的最简公分母是 ．
12．（3分）如图，下面是三个可以自由转动的转盘（转盘均被等分），小明转动每个转盘各一次，根据“指针落在灰色区域内”的可能性的大小，按事件发生的可能性从小到大排列为 ．（填序号）
13．（3分）平行四边形ABCD的周长为30cm，AB：BC＝2：3，AB＝ ．
14．（3分）如图，菱形ABCD中，∠BCD＝120°，AC＝4，其周长为 ．
15．（3分）如图，△ABC是边长为9的等边三角形，AD为BC边上的高，以AD为边作等边三角形ADE，F为AC中点，则线段EF的长为 ．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形ABCD，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到矩形AEFG，点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G．设点P为边FG的中点，连接PB，PE，在矩形ABCD旋转过程中，△BEP的面积最大值是 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．（6分）计算题：﹣
18．（6分）先化简，再从1，﹣1，2，﹣2四个数中选取合适的数代入求值．
19．（6分）为了解学生对各种球类运动的喜爱程度，小明采取随机抽样的方法对他所在学校的部分学生进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一种项目），对调查结果进行统计后，绘制了下面的统计图（1）和图（2）．
（1）此次被调查的学生共有 人，m＝ ；
（2）求喜欢“乒乓球”的学生的人数，并将条形统计图补充完整；
（3）若该校有2000名学生，估计全校喜欢“足球”的学生大约有多少人？
20．（6分）在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共50个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据：
（1）假如摸一次，摸到黑球的概率P黑球＝ ；
（2）试估算盒子里黑颜色的球有多少只？
21．（8分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，0），B（﹣5，3），C（﹣1，1）．
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A1B1C1；
（2）P（a，b）是△ABC的AC边上一点，将△ABC平移后点P的对称点P'（a+4，b+2），请画出平移后的△A2B2C2；
（3）若△A1B1C1和△A2B2C2关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为 ．
22．（8分）如图，BD，CE分别为△ABC的中线，BD，CE交于点G，点M，N分别是BG，CG的中点．求证：
（1）EM∥DN；
（2）CG＝2EG．
23．（10分）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：＝＝+＝1+，＝＝+＝2+，则和都是“和谐分式”．
（1）下列式子中，属于“和谐分式”的是 （填序号）；
①；②；③；④
（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：＝ + ；
（3）应用：先化简﹣÷，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
24．（10分）综合与实践．
活动课上，老师让同学们翻折正方形ABCD进行探究活动，同学们经过动手操作探究，发展了空间观念，并积累了数学活动经验．
【问题背景】如图①，过点A引射线AH，交边CD于点H（点H与点D不重合）．通过翻折，使点B落在射线AH上的点G处，折痕AE交BC于E，延长EG交CD于F．
【问题探究】：
（1）如图②，当点H与点C重合时，FG与FD的大小关系是 ；△CFE是 三角形．
（2）如图③，当点H为边CD上任意一点时（点H与点C不重合），连接AF，猜想FG与FD的数量关系，并说明理由．
（3）在（2）条件下，当AB＝5，BE＝3时，CF的长为 ．
25．（12分）已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝7，BC＝3．在AD上取一点E，AE＝1，点F是AB边上的一个动点，以EF为一边作菱形EFMN，使点N落在CD边上，点M落在矩形ABCD内或其边上．若AF＝x，△BFM的面积为S．
（1）如图1，当四边形EFMN是正方形时，x的值为 ，S的值为 ；
（2）如图2，当四边形EFMN是菱形时，
①求证：∠DNE＝∠MFB；
②求S与x的函数关系式；
（3）当x 时，△BFM的面积S最大；当x＝ 时，△BFM的面积S最小；
（4）在点F运动的过程中，请直接写出点M运动的路线长： ．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）
1．（3分）随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”．下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、原图不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、原图不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
2．（3分）若表示的是一个最简分式，则☆可以是（ ）
A．4B．xC．2xD．x2
【解答】解：A、当☆为4时，，不是最简分式，故该选项不符合题意；
B、当☆为x时，，是最简分式，故该选项符合题意；
C、当☆为2x时，，不是最简分式，故该选项不符合题意；
D、当☆为x2时，，不是最简分式，故该选项不符合题意；
故选：B．
3．（3分）为了了解我市2014年中考数学学科各分数段成绩分布情况，从中抽取150名考生的中考数学成绩进行统计分析，在这个问题中，样本是指（ ）
A．150
B．被抽取的150名考生
C．被抽取的150名考生的中考数学成绩
D．我市2014年中考数学成绩
【解答】解：样本是抽取150名考生的中考数学成绩，
故选：C．
4．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．“水在一个标准大气压下，温度为﹣10℃时不结冰”是不可能事件
B．某彩票的中奖机会是0.1%，买1000张一定会中奖
C．为检验某品牌LED灯管的使用寿命，采用普查的调查方式比较合适
D．“如果x、y是实数，那么x+y＝y+x”是随机事件
【解答】解：A、“水在一个标准大气压下，温度为﹣10℃时不结冰”是不可能事件，故此选项符合题意；
B、某彩票的中奖机会是0.1%，买1000张不一定会中奖，故此选项不符合题意；
C、为检验某品牌LED灯管的使用寿命，采用抽样调查方式比较合适，故此选项不符合题意；
D、“如果x、y是实数，那么x+y＝y+x”是必然事件，故此选项不符合题意；
故选：A．
5．（3分）在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB∥CD．添加下列条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝CDB．AO＝COC．AD＝BCD．∠ABC＝∠ADC
【解答】解：A．由题意可得：AB＝CD，AB∥CD，则四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
B．由AB∥CD可以得到∠BAO＝∠DCO，
又∵AO＝CO，∠AOB＝COD，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
C．由题意可得：AB∥CD，AD＝BC，一组对边平行，另一组对边相等，不能得到四边形ABCD是平行四边形，也可能是等腰梯形，符合题意；
D．由AB∥CD可以得到∠ABC+∠BCD＝180°，
又∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
故选：C．
6．（3分）为了更好地表示出大庆某一天的气温变化情况，一般选用（ ）
A．条形统计图B．折线统计图
C．扇形统计图D．统计表
【解答】解：为了更好地表示出大庆某一天的气温变化情况，一般选用折线统计图．
故选：B．
7．（3分）△ABC中，E是AB的中点，CD平分∠ACB，AD⊥CD于点D，若BC＝12，AC＝8，则DE＝（ ）
A．1B．2C．4D．8
【解答】解：如图，延长AD交BC于F，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠FCD，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC＝∠FDC，
在△ACD和△FCD中，
，
∴△ACD≌△FCD（ASA），
∴AC＝CF，AD＝DF，
∵BC＝12，AC＝8，
∴BF＝12﹣8＝4，
∵E是AB的中点，
∴DE是△ABF的中位线，
∴DE＝BF＝×4＝2．
故选：B．
8．（3分）如图，矩形ABOC的边BO、CO分别在x轴、y轴上，点A的坐标是（﹣6，4），点D、E分别为AC、OC的中点，点P为OB上一动点，当PD+PE最小时，点P的坐标为（ ）
A．（﹣1，0）B．（﹣2，0）C．（﹣3，0）D．（﹣4，0）
【解答】解：取点E关于x轴的对称点E'，连接PE'，连接DE'交x轴于点P'，
∴PE'＝PE，
∵PD+PE＝PD+PE'≥DE'，
∴PD+PE最小值为DE'，此时点P位于P'处，
∵四边形ABOC是矩形，点A的坐标是（﹣6，4），
∴AC＝6，OC＝4，
∵点D、E分别为AC、OC的中点，
∴D（﹣3，4），E'（0，﹣2），
设直线DE'的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线DE'的解析式为y＝﹣2x﹣2，
当y＝0时，0＝﹣2x﹣2，
解得x＝﹣1，
∴P'（﹣1，0），
即当PD+PE最小时，点P的坐标为（﹣1，0），
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是 x≠﹣3 ．
【解答】解：由题意得，x+3≠0，
解得，x≠﹣3，
故答案为：x≠﹣3．
10．（3分）若样本容量是40，在样本的频数分布直方图中各小长方形的高之比是3：2：4：1，则第二小组的频数为 8 ．
【解答】解：40×＝8．
故答案为：8．
11．（3分）分式和的最简公分母是 2（m+1）（m﹣1） ．
【解答】解：∵m2﹣1＝（m+1）（m﹣1），2m+2＝2（m+1），
∴分式和的最简公分母是：2（m+1）（m﹣1），
故答案为：2（m+1）（m﹣1）．
12．（3分）如图，下面是三个可以自由转动的转盘（转盘均被等分），小明转动每个转盘各一次，根据“指针落在灰色区域内”的可能性的大小，按事件发生的可能性从小到大排列为 ③①② ．（填序号）
【解答】解：根据“指针落在灰色区域内”的可能性大小，将转盘的序号按事件发生的可能性从小到大排列为③①②．
故答案为：③①②．
13．（3分）平行四边形ABCD的周长为30cm，AB：BC＝2：3，AB＝ 6cm ．
【解答】解：∵平行四边形ABCD的周长为30cm，
∴AB+BC＝15（cm），
∵AB：BC＝2：3，
∴AB＝×15＝6（cm）．
故答案为：6cm．
14．（3分）如图，菱形ABCD中，∠BCD＝120°，AC＝4，其周长为 16 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC是对角线，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAC＝∠CAD＝∠BAD，
∴∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝4，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，
∴菱形ABCD的周长是16，
故答案为：16．
15．（3分）如图，△ABC是边长为9的等边三角形，AD为BC边上的高，以AD为边作等边三角形ADE，F为AC中点，则线段EF的长为 ．
【解答】解：如图，连接CE，
∵AD是等边△ABC的高
∴∠BDA＝90°
∵△ABC，△ADE是等边三角形
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°
∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AE＝AD
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
∵F为AC中点，
∴EF＝AC＝
故答案为：
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形ABCD，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到矩形AEFG，点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G．设点P为边FG的中点，连接PB，PE，在矩形ABCD旋转过程中，△BEP的面积最大值是 ．
【解答】解：连接PA，作AM⊥PE于M．
当AM与AB共线，且BM＝BA+AM时，△BPE面积最大，
由题意：PF＝PG＝，
∵AG＝EF＝2，∠G＝∠F＝90°，
∴PA＝PE＝，
∵S△APE＝S矩形AGFE＝×PE•AM，
∴AM＝＝＝，
则S△BPE＝×PE•BM＝××（3+）＝，
∴△PBE的面积的最大值为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．（6分）计算题：﹣
【解答】解：原式＝＝＝＝3．
18．（6分）先化简，再从1，﹣1，2，﹣2四个数中选取合适的数代入求值．
【解答】解：+÷
＝
＝+
＝，
∵（a+1）（a﹣1）≠0，a﹣2≠0，
∴a≠±1，2，
∴a＝﹣2，
当a＝﹣2时，原式＝＝．
19．（6分）为了解学生对各种球类运动的喜爱程度，小明采取随机抽样的方法对他所在学校的部分学生进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一种项目），对调查结果进行统计后，绘制了下面的统计图（1）和图（2）．
（1）此次被调查的学生共有 50 人，m＝ 20% ；
（2）求喜欢“乒乓球”的学生的人数，并将条形统计图补充完整；
（3）若该校有2000名学生，估计全校喜欢“足球”的学生大约有多少人？
【解答】解：（1）此次被调查的学生共有：20÷40%＝50（人），m＝10÷50×100%＝20%，
即m的值是20%，
故答案为：50，20%；
（2）喜欢乒乓球的有：50﹣20﹣10﹣15＝5（人），
补全的条形统计图如图所示；
（3）2000×20%＝400（人），
即全校喜欢“足球”的学生大约有400人．
20．（6分）在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共50个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据：
（1）假如摸一次，摸到黑球的概率P黑球＝ 0.4 ；
（2）试估算盒子里黑颜色的球有多少只？
【解答】解：（1）∵当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6，
∴摸到白球的概率为0.6，
∴假如摸一次，摸到黑球的概率P黑球＝1﹣0.6＝0.4，
故答案为：0.4．
（2）盒子里黑颜色的球有50×0.4＝20（只）．
21．（8分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，0），B（﹣5，3），C（﹣1，1）．
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A1B1C1；
（2）P（a，b）是△ABC的AC边上一点，将△ABC平移后点P的对称点P'（a+4，b+2），请画出平移后的△A2B2C2；
（3）若△A1B1C1和△A2B2C2关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为 （2，1） ．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求．
（3）对称中心的坐标为（2，1）．
故答案为（2，1）．
22．（8分）如图，BD，CE分别为△ABC的中线，BD，CE交于点G，点M，N分别是BG，CG的中点．求证：
（1）EM∥DN；
（2）CG＝2EG．
【解答】证明：（1）连接AG，
∵BD，CE分别为△ABC的中线，点M，N分别是BG，CG的中点，
∴AE＝BE，BM＝GM，AD＝CD，CN＝GN，
∴EM∥AG，DN∥AG，
∴EM∥DN；
（2）由（1）知AE＝BE，BM＝GM，AD＝CD，CN＝GN，
∴EM＝AG，DN＝AG，
∴EM＝DN，
∵EM∥DN，
∴∠MEG＝∠DNG，∠EMG＝∠NDG，
∴△EMG≌△NDG（ASA），
∴EG＝GN，
∴CG＝2EG．
23．（10分）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：＝＝+＝1+，＝＝+＝2+，则和都是“和谐分式”．
（1）下列式子中，属于“和谐分式”的是 ①③④ （填序号）；
①；②；③；④
（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：＝ a﹣1 + ；
（3）应用：先化简﹣÷，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
【解答】解：（1）①＝1+，是和谐分式；③＝＝1+，是和谐分式；④＝1+，是和谐分式；
故答案为：①③④；
（2）＝＝＝a﹣1+，
故答案为：a﹣1、；
（3）原式＝﹣•
＝﹣
＝
＝
＝2+，
∴当x+1＝±1或x+1＝±2时，分式的值为整数，
此时x＝0或﹣2或1或﹣3，
又∵分式有意义时x≠0、1、﹣1、﹣2，
∴x＝﹣3．
24．（10分）综合与实践．
活动课上，老师让同学们翻折正方形ABCD进行探究活动，同学们经过动手操作探究，发展了空间观念，并积累了数学活动经验．
【问题背景】如图①，过点A引射线AH，交边CD于点H（点H与点D不重合）．通过翻折，使点B落在射线AH上的点G处，折痕AE交BC于E，延长EG交CD于F．
【问题探究】：
（1）如图②，当点H与点C重合时，FG与FD的大小关系是 FG＝FD ；△CFE是 等腰直角 三角形．
（2）如图③，当点H为边CD上任意一点时（点H与点C不重合），连接AF，猜想FG与FD的数量关系，并说明理由．
（3）在（2）条件下，当AB＝5，BE＝3时，CF的长为 ．
【解答】解：（1）如图②中，连接AF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠D＝∠ECF＝90°，AB＝AD，
由翻折可知：AG＝AB，∠AEG＝∠B＝90°，
∴∠AGF＝∠D＝90°，
∵AF＝AF，AD＝AG，
∴△AFD≌△AFG（HL），
∴FG＝FD．
∵∠CGE＝90°，∠GCE＝45°，
∴∠CEF＝45°，
∵∠ECF＝90°，
∴∠CEF＝∠CFE＝45°，
∴CE＝CF，
∴△ECF是等腰直角三角形．
故答案为：FG＝FD；等腰直角；
（2）结论：FG＝FD，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形的对角线，
∴∠B＝∠D＝90°，AD＝AB，
由翻折可知∠AGF＝∠B＝∠D＝90°，AG＝AB＝AD，
∵AF＝AF，
∴Rt△AGF≌Rt△ADF（HL），
∴FG＝FD；
（3）设FG＝x，则FC＝5﹣x，FE＝3+x．
在Rt△ECF中，FE2＝FC2+EC2，
∴（3+x）2＝（5﹣x）2+22．
解得x＝，
∴FG的长为，
∴CF＝CD﹣FD＝5﹣＝，
故答案为：．
25．（12分）已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝7，BC＝3．在AD上取一点E，AE＝1，点F是AB边上的一个动点，以EF为一边作菱形EFMN，使点N落在CD边上，点M落在矩形ABCD内或其边上．若AF＝x，△BFM的面积为S．
（1）如图1，当四边形EFMN是正方形时，x的值为 2 ，S的值为 5 ；
（2）如图2，当四边形EFMN是菱形时，
①求证：∠DNE＝∠MFB；
②求S与x的函数关系式；
（3）当x 时，△BFM的面积S最大；当x＝ 时，△BFM的面积S最小；
（4）在点F运动的过程中，请直接写出点M运动的路线长： 7﹣ ．
【解答】（1）解：如图1中，
∵四边形EFMN是正方形，
∴EF＝EN，∠FEN＝∠A＝∠D＝90°，
∴∠AEF+∠AFE＝90°，∠AEF+∠DEN＝90°，
∴∠AFE＝∠DEN，
∴△AEF≌△DNE（AAS），
∴AF＝DE，
∵AD＝3．AE＝1，
∴DE＝2，
∴x＝AF＝2．
过点M作MH⊥FB于点H．同法可证△MHF≌△FAE，
可得MH＝AF＝2，
∴S＝•FB•MH＝×5×2＝5．
故答案为：2，5；
（2）①证明：如图2中，
如图，连接FN，作MQ⊥FB于Q，则∠MQF＝90°，∠MQF＝∠A
∵四边形FEMN是菱形，
∴EN＝FM，EN∥FM，
∴∠ENF＝∠NFM，
∵矩形ABCD中，DC∥AB，
∴∠DNF＝∠NFQ，
∴∠DNF﹣∠ENF＝∠NFQ﹣∠NFM，即∠DNE＝∠MFQ，
②解：∵∠D＝∠FQM＝90°，∠QNE＝∠MFQ，NE＝FM，
∴△DNE≌△QFM（AAS），
∴MQ＝DE＝2，
∵AB＝7，AF＝x，
∴S△FBM＝×FB×MQ＝×（7﹣x）×2＝7﹣x．
∴S与x的函数关系式S＝7﹣x；
（3）①如图3中，当点N与D重合时，x的值最小，△FBM的面积最大，
在Rt△AEF中，x＝＝，
∴S的最大值＝7﹣．
②如图4中，当点M在BC上时，x的值最大，△FBM的面积最小，
此时易证CN＝AF＝x，
∵EN＝EF，
∴1+x2＝22+（7﹣x）2，
∴x＝，
∴S的最小值为7﹣＝．
故答案为：，．
（4）如图3中，在△BFM的面积S由最大变为最小的过程中，点M的运动轨迹是平行AB的线段，点M运动的路线长＝BF的长＝7﹣，
故答案为：7﹣摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数m
65
124
178
302
481
599
1803
摸到白球的频率
0.65
0.62
0.593
0.604
0.601
0.599
0.601
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数m
65
124
178
302
481
599
1803
摸到白球的频率
0.65
0.62
0.593
0.604
0.601
0.599
0.601