北京市朝阳区北京工业大学附中2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份北京市朝阳区北京工业大学附中2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题（解析版），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知，则实数a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
4．下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）
A．B．C．D．
5．函数表示的图象可能是下图中的（ ）
A． B．
C． D．
6．“”是“函数存在零点”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．已知角的终边经过点，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
8．若关于x的不等式的解集为R，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（共3道，每题8分）
9．函数的定义域是 .
10．若，则的最小值是 ．
11．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)，直角三角形中较小的锐角为θ，若，则图中的大正方形与小正方形的面积之比为 ．
三、解答题（共1道，每题12分）
12．已知函数
(1)判断函数的奇偶性，并证明结论；
(2)证明函数在上是减函数；
(3)求函数在上的最值．
1．B
【分析】根据集合的交运算，直接求解即可.
【详解】因为集合，，则.
故选：B.
2．D
【分析】根据题意结合指、对数函数单调性运算求解.
【详解】因为，
由在上单调递增，可得，即；
由在内单调递增，可得，即；
由在内单调递增，可得，即；
综上所述：.
故选：D.
3．B
【分析】先求出的定义域，然后分析的单调性，再根据求解出不等式解集.
【详解】的定义域为，
因为均在上单调递增，
所以在上单调递增，
又因为，所以，
所以不等式解集为，
故选：B.
4．D
【分析】根据反比例、二次函数及分段函数的性质判断各函数是否符合要求即可.
【详解】由反比例、二次函数性质知：、在上递减，A、B不符合；
对于C，在上不单调，不符合；
对于D，，显然在上为增函数，符合.
故选：D
5．C
【分析】根据的正负去绝对值，再利用反比例函数的图象判断即可.
【详解】由题意可知当时，，排除BD，
当时，，排除A，
故选：C
6．C
【分析】根据函数零点的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可
【详解】若函数存在零点，则有实数解，即有实数解，
因为，所以，而，由得，
则“”是“函数存在零点”的充分必要条件.
故选：C
7．B
【解析】由题，可得，求得方程的解，即可得到本题答案.
【详解】因为角的终边经过点，所以，
又，
所以，
解得.
故选：B
【点睛】本题主要考查利用三角函数的定义求参数.
8．D
【分析】讨论，结合二次函数性质列不等式组求参数范围.
【详解】当时，恒成立，符合题意；
当时，因为的解集为R，
所以，解得,
综上，m的取值范围是.
故选：D
9．
【分析】利用真数大于零列不等式求解即可.
【详解】要使函数有意义，
则，解得，
即函数的定义域是，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查对数型复合函数的定义域，属于基础题.
10．3
【分析】，利用基本不等式可得最值．
【详解】∵，
∴，
当且仅当即时取等号，
∴时取得最小值3.
故答案为：3．
11．5
【分析】用三角函数表示直角三角形的两条直角边，得小正方形的边长为，由解出，即可求大正方形与小正方形的面积之比.
【详解】如图所示，
设大正方形边长为1，则，，小正方形的边长为，
由，两边同时平方得，，
所以，
则图中的大正方形与小正方形的面积之比为.
故答案为：5
12．(1)奇函数，证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)无最大值，最小值为.
【分析】（1）应用奇偶性定义证的奇偶性；
（2）应用单调性定义证的单调性；
（3）根据（1）（2）的结论确定区间最值即可.
【详解】（1）函数为奇函数，证明如下：
由知：函数定义域为R，
，
所以为奇函数，得证.
（2）令，则，
所以，
而，，，则，
所以，故函数在上是减函数，得证.
（3）由（1）（2）知：在上是减函数，
且，易知趋向时函数值趋向于0，
所以，无最大值.