江西省宜春市丰城九中等五校2023-2024学年高一下学期4月第一次联考（期中考试）数学试题

这是一份江西省宜春市丰城九中等五校2023-2024学年高一下学期4月第一次联考（期中考试）数学试题，共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷的注释
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(共8题；共40分)
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1. 已知直线： ， ：若 ， 则实数（ ）
A . 或 B . C . D . 与
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2. 已知双曲线E的实轴长为6，且与椭圆有公共焦点，则双曲线E的渐近线方程为（ ）
A . B . C . D .
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3. 已知函数的一段图象过点 ， 如图所示，则函数（ ）
A . B . C . D .
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4. 是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为 ， 则直线与平面所成角的余弦值是（ ）
A . B . C . D .
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5. 已知是定义在上的偶函数且在上为增函数，若 ， ， ， 则（ ）
A . B . C . D .
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6. (2020高二上·会昌月考) 已知点 为直线 上的一点， 分别为圆 与圆 上的点，则 的最大值为（ ）
A . 4 B . 5 C . 6 D . 7
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7. 已知函数的定义域为 ， 且 ， 记 ， 则（ ）
A . B . C . D .
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8. 中， ， （ ）
A . B . C . D .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。(共3题；共18分)
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9. (2024高三·天河模拟) 已知是不同的直线，是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A . 若 ， 则 B . 若 ， 则 C . 若 ， 则 D . 若 ， 则
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10. 某中学高二学生500人，首选科目为物理的300人，首选科目为历史的200人，现对高二年级全体学生进行数学学科质量检测，按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本，经计算得到首选科目为物理的学生该次质量检测的数学平均成绩为95分，方差为154，首选科目为历史的平均成绩为75分，所有样本的标准差为16，下列说法中正确的是（ ）
A . 首选科目为历史的学生样本容量为20 B . 所有样本的均值为87分 C . 每个首选科目为历史的学生被抽入到样本的概率为 D . 首选科目为历史的学生的成绩的标准差为13
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11. 如图，已知直线与抛物线交于两点，且交于点 ， 则（ ）
A . 若点的坐标为 ， 则 B . 直线恒过定点 C . 点的轨迹方程为 D . 的面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。(共3题；共15分)
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12. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：“平面内到两个定点A ， B的距离之比为定值λ（λ>0且λ≠1）的点的轨迹是圆．”后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy中，A（－2，0），B（2，0），点P满足＝3，则·的最小值为．
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13. 已知实数x ， y满足 ， 且 ， 的最小值为.
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14. 已知椭圆：的左、右焦点分别为 ， ， 过点且倾斜角为的直线与交于A ， B两点．若的面积是面积的2倍，则的离心率为．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(共5题；共77分)
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15. “疫苗犹豫”，即尽管疫苗可及，却迟迟未接种或拒绝接种疫苗的现象.成人接种新冠疫苗的犹豫，主要原因是对感染新冠肺炎的风险缺乏了解，心存侥幸，认为即使不接种也未必会感染，对感染的后果也认识不足.现从某小区未接种的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分组：第1组 ， 第2组 ， 第3组 ， 第4组 ， 第5组 ， 得到的频率分布直方图如图所示.
（1） 求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；
（2） 现先从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组中抽到2人的概率.
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16. (2023高二下·浙江期中) 如图，三棱柱中，侧面为矩形，且为的中点， ．
（1） 证明：平面；
（2） 求平面与平面的夹角的余弦值．
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17. 记的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 已知 ， .
（1） 求角的大小；
（2） 已知直线为的平分线，且与交于点 ， 若 ， 求的周长.
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18. 已知i是虚数单位，a ， ， 设复数 ， ， ， 且.
（1） 若为纯虚数，求；
（2） 若复数 ， 在复平面上对应的点分别为A ， B ， 且O为复平面的坐标原点.
①是否存在实数a ， b ， 使向量逆时针旋转后与向量重合，如果存在，求实数a ， b的值；如果不存在，请说明理由；
②若O ， A ， B三点不共线，记的面积为 ， 求及其最大值.
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19. 已知椭圆的离心率为 ， 过其右焦点F且与x轴垂直的直线交椭圆C于P，Q两点，椭圆C的右顶点为R，且满足2.
（1） 求椭圆C的方程；
（2） 如图，若斜率为k（其中k≠0）的直线l过点F，且与椭圆交于点A，B，弦AB的中点为M，直线OM与椭圆交于点C，D，求四边形ACBD面积S的取值范围.
难度系数：0.53
第Ⅰ卷 客观题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9 10 11
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12 13 14
第Ⅱ卷 主观题
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15 16 17 18 19