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江西省鹰潭市2024届高三第一次模拟考试数学试题
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这是一份江西省鹰潭市2024届高三第一次模拟考试数学试题，共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷的注释
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂在答题卡上．(共8题；共40分)
---------------------------------------------------------------------
1. 若复数满足 ， 则（ ）
A . B . C . D .
---------------------------------------------------------------------
2. 已知集合 ， 集合 ， 若 ， 则的取值范围为（ ）
A . B . C . D .
---------------------------------------------------------------------
3. 南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔（Flrence Nightingale）设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小．某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿人次），并绘制成南丁格尔玫瑰图（如图所示），根据此图，以下说法正确的是（ ）
A . 2015年至2022年，知识付费用户数量先增加后减少 B . 2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加量2022年最多 C . 2015年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增 D . 2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍
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4. 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A . 若 ， ， 则 B . 若 ， ， ， 则 C . 若 ， ， 则 D . 若 ， ， 则
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5. 某单位为了解职工体重情况，采用分层随机抽样的方法从800名职工中抽取了一个容量为80的样本．其中，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为 ， 则单位职工体重的方差为（ ）
A . 166 B . 167 C . 168 D . 169
---------------------------------------------------------------------
6. 已知 ， ， =（ ）
A . B . C . 3 D .
---------------------------------------------------------------------
7. 已知椭圆：的左焦点为 ， 如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于 ， 两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ）
A . B . C . D .
---------------------------------------------------------------------
8. 在满足 ， 的实数对中，使得成立的正整数的最大值为（ ）
A . 22 B . 23 C . 30 D . 31
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.(共3题；共18分)
---------------------------------------------------------------------
9. 如图所示，已知角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为 ， 为线段的中点，射线与单位圆交于点 ， 则（ ）
A . B . C . 点的坐标为 D . 点的坐标为
---------------------------------------------------------------------
10. 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 为的面积，且 ， ， 下列选项正确的是（ ）
A . B . 若 ， 则只有一解 C . 若为锐角三角形，则取值范围是 D . 若为边上中点，则的最大值为
---------------------------------------------------------------------
11. 直四棱柱的所有棱长都为4， ， 点在四边形及其内部运动，且满足 ， 则下列选项正确的是（ ）
A . 点轨迹的长度为. B . 直线与平面所成的角为定值． C . 点到平面的距离的最小值为. D . 的最小值为-2．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．(共3题；共15分)
---------------------------------------------------------------------
12. 的展开式中的系数为．
---------------------------------------------------------------------
13. 已知抛物线的焦点为 ， 是上的动点，过点作直线的垂线，垂足为 ， 则的最小值为．
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14. 已知函数 ， 的定义域为 ， 为的导函数，且 ， ， 若为偶函数，求=．
四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(共5题；共77分)
---------------------------------------------------------------------
15. 设为数列的前项和，已知是首项为、公差为的等差数列．
（1） 求的通项公式；
（2） 令 ， 为数列的前项积，证明： ．
---------------------------------------------------------------------
16. 如图1，已知正三角形边长为6，其中 ， ， 现沿着翻折，将点翻折到点处，使得平面平面 ， 为中点，如图2．
（1） 求异面直线与所成角的余弦值；
（2） 求平面与平面夹角的余弦值．
---------------------------------------------------------------------
17. 2024年春晚为观众带来了一场精彩纷呈的视觉盛宴，同时，也是传统文化与现代科技完美融合的展现.魔术师刘谦为大家呈现了一个精妙绝伦的魔术《守岁共此时》，小明深受启发，在家尝试对这个魔术进行改良，小明准备了甲、乙两个一模一样的袋子，甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4．乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，小明用左右手分别从甲、乙两袋中取球．
（1） 若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；
（2） 若左手取完两球后，右手再取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手完成各取两球为两次取球）的成功取法次数的随机变量 ， 求的分布列．
---------------------------------------------------------------------
18. 已知在平面直角坐标系中，： ， ： ， 平面内有一动点 ， 过作交于 ， 交于 ， 平行四边形面积恒为1.
（1） 求点的轨迹方程并说明它是什么图形；
（2） 记的轨迹为曲线 ， ， 当在轴右侧且不在轴上时，在轴右侧的上一点满足轴平分 ， 且不与轴垂直或是的一条切线，求与 ， 围成的三角形的面积最小值.
---------------------------------------------------------------------
19. 设A是由个实数组成的m行n列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”．
（1） 数表A如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）：
表1
（2） 数表A如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a的所有可能值：
表2
（3） 对由个实数组成的m行n列的任意一个数表A ， 能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数？请说明理由．
难度系数：0.43
第Ⅰ卷 客观题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂在答题卡上．
1 2 3 4 5 6 7 8
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9 10 11
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12 13 14
第Ⅱ卷 主观题
四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15 16 17 18 19
1
2
3
1
0
1
a
第Ⅰ卷的注释
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂在答题卡上．(共8题；共40分)
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1. 若复数满足 ， 则（ ）
A . B . C . D .
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2. 已知集合 ， 集合 ， 若 ， 则的取值范围为（ ）
A . B . C . D .
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3. 南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔（Flrence Nightingale）设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小．某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿人次），并绘制成南丁格尔玫瑰图（如图所示），根据此图，以下说法正确的是（ ）
A . 2015年至2022年，知识付费用户数量先增加后减少 B . 2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加量2022年最多 C . 2015年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增 D . 2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍
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4. 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A . 若 ， ， 则 B . 若 ， ， ， 则 C . 若 ， ， 则 D . 若 ， ， 则
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5. 某单位为了解职工体重情况，采用分层随机抽样的方法从800名职工中抽取了一个容量为80的样本．其中，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为 ， 则单位职工体重的方差为（ ）
A . 166 B . 167 C . 168 D . 169
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6. 已知 ， ， =（ ）
A . B . C . 3 D .
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7. 已知椭圆：的左焦点为 ， 如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于 ， 两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ）
A . B . C . D .
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8. 在满足 ， 的实数对中，使得成立的正整数的最大值为（ ）
A . 22 B . 23 C . 30 D . 31
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.(共3题；共18分)
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9. 如图所示，已知角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为 ， 为线段的中点，射线与单位圆交于点 ， 则（ ）
A . B . C . 点的坐标为 D . 点的坐标为
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10. 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 为的面积，且 ， ， 下列选项正确的是（ ）
A . B . 若 ， 则只有一解 C . 若为锐角三角形，则取值范围是 D . 若为边上中点，则的最大值为
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11. 直四棱柱的所有棱长都为4， ， 点在四边形及其内部运动，且满足 ， 则下列选项正确的是（ ）
A . 点轨迹的长度为. B . 直线与平面所成的角为定值． C . 点到平面的距离的最小值为. D . 的最小值为-2．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．(共3题；共15分)
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12. 的展开式中的系数为．
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13. 已知抛物线的焦点为 ， 是上的动点，过点作直线的垂线，垂足为 ， 则的最小值为．
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14. 已知函数 ， 的定义域为 ， 为的导函数，且 ， ， 若为偶函数，求=．
四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(共5题；共77分)
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15. 设为数列的前项和，已知是首项为、公差为的等差数列．
（1） 求的通项公式；
（2） 令 ， 为数列的前项积，证明： ．
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16. 如图1，已知正三角形边长为6，其中 ， ， 现沿着翻折，将点翻折到点处，使得平面平面 ， 为中点，如图2．
（1） 求异面直线与所成角的余弦值；
（2） 求平面与平面夹角的余弦值．
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17. 2024年春晚为观众带来了一场精彩纷呈的视觉盛宴，同时，也是传统文化与现代科技完美融合的展现.魔术师刘谦为大家呈现了一个精妙绝伦的魔术《守岁共此时》，小明深受启发，在家尝试对这个魔术进行改良，小明准备了甲、乙两个一模一样的袋子，甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4．乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，小明用左右手分别从甲、乙两袋中取球．
（1） 若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；
（2） 若左手取完两球后，右手再取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手完成各取两球为两次取球）的成功取法次数的随机变量 ， 求的分布列．
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18. 已知在平面直角坐标系中，： ， ： ， 平面内有一动点 ， 过作交于 ， 交于 ， 平行四边形面积恒为1.
（1） 求点的轨迹方程并说明它是什么图形；
（2） 记的轨迹为曲线 ， ， 当在轴右侧且不在轴上时，在轴右侧的上一点满足轴平分 ， 且不与轴垂直或是的一条切线，求与 ， 围成的三角形的面积最小值.
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19. 设A是由个实数组成的m行n列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”．
（1） 数表A如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）：
表1
（2） 数表A如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a的所有可能值：
表2
（3） 对由个实数组成的m行n列的任意一个数表A ， 能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数？请说明理由．
难度系数：0.43
第Ⅰ卷 客观题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂在答题卡上．
1 2 3 4 5 6 7 8
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9 10 11
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12 13 14
第Ⅱ卷 主观题
四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
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