专题08 解答题压轴题（几何综合训练01）-2024年中考数学压轴题（安徽专用）

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通用的解题思路：
解决矩形翻折问题：
利用折叠和矩形性质找出对应线段关系；
在折叠后形成的直角三角形中利用勾股定理构造方程求解。
2、十字架模型：

3、动态问题中的线段长度最值
通常利用三点共线解决，关键在于找到与这条线段两个端点之间恒为定长的点。
4、奔驰模型：
解题方法是旋转一边利用等边三角形构造“手拉手”模型证全等，结合勾股定理的逆定理得到结论。
5、线段长度、比值及最值问题：
（1）特殊图形、全等、相似、勾股定理；
（2）圆中垂径定理。
1．（2023·安徽·中考真题）在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，将线段绕点M旋转至位置，点D在直线AB外，连接．

(1)如图1，求∠ADB的大小；
(2)已知点D和边AC上的点E满足ME⊥AD,DE∥AB．
（ⅰ）如图2，连接CD，求证：BD=CD；
（ⅱ）如图3，连接，若AC=8,BC=6，求tan∠ABE的值．
2．（2022·安徽·中考真题）已知四边形ABCD中，BC＝CD．连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE．
(1)如图1，若DE∥BC，求证：四边形BCDE是菱形；
(2)如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC．
（ⅰ）求∠CED的大小；
（ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF．
3．（2021·安徽·中考真题）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD，点E在边BC上，且AE//CD，DE//AB，作CF//AD交线段AE于点F，连接BF．
（1）求证：△ABF≌△EAD；
（2）如图2，若AB=9，，∠ECF=∠AED，求BE的长；
（3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求BEEC的值．
1．（2024·安徽六安·一模）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AEFG，且点E在线段BD上，连接DF、EG．
(1)求证：EA平分；
(2)求证：DF=CD；
(3)连接DG，当△DEG为等腰直角三角形时，求ABAD的值．
2．（2024·安徽合肥·二模）在学习“旋转”这一重要的平面图形变换时，李老师设计如下的一个问题，让同学们进行探究．如图1，∠C=90°,AC=2BC=10,AD=2，过点D作DE⊥AC交AB于点E，将△ADE绕点A逆时针方向旋转α0≤α<360°．
(1)将△ADE旋转至如图2的位置时，连接，求证：AEBE=ADCD．
(2)若将△ADE旋转至三点在同一条直线上时，求线段CD的长．
3．（2024·安徽安庆·一模）如图，已知正方形ABCD，点P是边BC上的一个动点（不与点B、C重合），点E在DP上，满足AE=AB，延长交CD于点F．
(1)求证：∠BED=135°；
(2)连接CE．
①当CE⊥BF时，求BPPC的值；
②如果△CEF是以CE为腰的等腰三角形，直接写出的度数．
4．（2024·安徽合肥·一模）已知，如图①，在△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于点D，则有AC2=AD⋅AB，尝试运用此结论解决下列问题：
(1)如图②，在矩形ABCD中，AD=2，点F在AB上，于点E，求AE的长．
(2)如图③，在矩形ABCD中，点E在边BC上，△DCE与△DFE关于直线DE对称，点C的对称点F在边AB上，G为AD中点，连接GC交DF于点M，GC∥FE，若AD=2，求GM的长．
5．（2024·安徽合肥·一模）（1）如图1，已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．
①∠BAE与∠DAG的数量关系为___________；（直接写出答案）
②连接FC，求证：∠FCN=45°；
（2）如图2，将图1中的正方形ABCD改为矩形ABCD,AB=a,BC=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否保持不变？若∠FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．
6．（2024·安徽合肥·一模）在△ABC中，∠A=90°，CD平分∠ACB交AB于点E，过点B作BD⊥CD于点D．

(1)如图1，当AB=AC时，
①求∠DBE的度数；
②探究线段BD与CE的数量关系，并加以证明；
(2)如图2，当AB=52AC时，求BDCE的值．
7．（2024·安徽合肥·一模）【原题呈现】如图1，在等边△ABC中，D、E是AB、AC上的点，且CD=AE，求∠CFD度数．
解答过程：
在等边△ABC中，∠A=∠DCB=60°，BC=AC，
又∵CD=AE，∴△CDB≌△AECSAS，
∴∠CFD=∠FCB+∠DBC=∠FCB+∠ACE=∠ACB=60°
【操作探究】如图2，将CB绕点C逆时针旋转60°到CQ，连接BQ，连接FQ交BC于点O，求证：
【深入思考】如图3，延长QF交AC于点P，若点P恰好是AC的中点．
①请直接写出OCOB= ；
②若AC=6，求FO的长．
8．（2024·安徽·一模）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，以点D为圆心，DB的长为半径作弧交AB于点E，连接DE，作∠BDE的平分线交AB于点G，延长DG到F，使．

(1)求证：；
(2)连接EF，．
①如图2，判断四边形BDEF的形状，并证明；
②如图3，若△ABC为等边三角形，其他条件不变，已知等边△ABC的边长为4，求△AFD的面积．
9．（2024·安徽·模拟预测）如图1，在四边形ABDE中，∠ABC=∠BDE，点C在边BD上，且，点F在边AC上，且AF=CE，连接BF,DF，DF交CE于点G．
(1)求证：BF=DF；
(2)如图2，若，求证：；
(3)如图3，若延长恰好经过点E，求BCCD的值．
10．（2024·安徽合肥·一模）如图，△ABC中，∠A=90°,AB=AC，点D、E分别在边AB、BC上，连接CD、DE，恰好∠ADC=∠BDE，过点E作CD的垂线，垂足为点F，且交边AC于点G．
(1)设∠ADC=α，用含α的代数式表示为______；
(2)求证：；
(3)求ADCG的值．
11．（2024·安徽宿州·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，点E是BC上一点，将△ABE沿着AE对叠，点B恰好落在AC上，对应点为点D，连接DE．
(1)求的长；
(2)点G是AC上一点，BG与AE交于点F．
（ⅰ）如图2，当BG⊥AC时，求tan∠BFE的值；
（ⅱ）如图3，当点F是AE的中点时，求AGCG的值．
12．（2024·安徽·一模）如图，四边形ABCD，AB=BC，对角线AC，BD相交于点O，∠BAC=∠ADB=60°，点E是BD上一点，BE=AD，连接CE．
(1)求证：△DCE为等边三角形；
(2)取AB的中点M，连接DM并延长交CB的延长线于点N，若，求证：．
13．（2024·安徽合肥·一模）如图1，在Rt△ABC纸片中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，将△ACD沿CD折叠，点A落在点A'的位置，CA'交AB于O，连接A'B，．
(1)求∠BA'A的大小；
(2)如图2，若CA'⊥AB．
①求证：BA'=BC；
②已知CD=2，求的长．
14．（2023·山东济南·三模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点D在射线AC上，连接BD，将BD绕点D逆时针旋转α，得到线段DE，连接BE，CE．

(1)当点D落在线段AC上时，
①如图1，当α=60°时，请直接写出线段CE与线段AD的数量关系是______，∠DCE=______°；
②如图2，当α=90°时，请判断线段CE与AD的数量关系，并给出证明；
(2)当α=90°时，过点A作AN∥DE交BD于点N，若，猜想CE与AN的数量关系并说明理由．
15．（2024·安徽黄山·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为边AC上的点，以AD为直径作⊙O，连接BD并延长交⊙O于点E，连接CE，CE=BC．

(1)求证：CE是⊙O的切线．
(2)若CD=2，BC=4，求AC的长．
16．（2024·广东深圳·二模）（1）如图1，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的一点，连接，过点E作EF⊥BE交CD于F．求证：BE=EF．
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8，E是对角线AC上的一点，连接，过点E作EF⊥BE交CD于点F．若AE=3，求tan∠FEC的值．
（3）在菱形ABCD中，如图3，AB=6,∠ABC=60°，点E是AC的三等分点，过点E作EF⊥BE交直线CD于点F．请直接写出线段CF的长_________．
17．（2024·上海金山·二模）如图，已知：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，以A为圆心，AB为半径的圆与BC相交于点E，与CD相交于点F，联结AE、AC、BF，设AE、AC分别与相交于点G、H，其中H是AC的中点．
(1)求证：四边形AECD为平行四边形；
(2)如图1，如果AE⊥BF，求ABBC的值；
(3)如图2，如果BG=GH，求∠ABC的余弦值．
18．（2024·安徽·一模）在正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC上两点，连接DE、AF，将△ABF沿翻折，得到△AGF，连接BG，且．
(1)如图1，求证：AE=BF；
(2)如图2，对角线BD交于点，连接，若点G落在AC上，求证：四边形GHBF为菱形；
(3)如图3，若点E为AB的中点，连接BD交于点，连接，求．