重庆市九龙坡区2024届高三下学期第三次学业质量抽测考试（5月）数学试卷(无答案)

这是一份重庆市九龙坡区2024届高三下学期第三次学业质量抽测考试（5月）数学试卷(无答案)，共4页。试卷主要包含了若方程在的解为，则等内容，欢迎下载使用。
（数学试题卷共6页，考试时间120分钟，满分150分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考号填写在答题卡指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡指定位置上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则满足的集合共有（ ）
A.1个B.3个C.4个D.8个
2.设是关于的方程的两根其中，若（为虚数单位）.则（ ）
A.B.C.D.2
3.己知，，，则向量的夹角为（ ）
A.B.C.D.
4.已知函数，则“”是“的图象在区间上只有一个极值点”的（ ）
A.充分条件B.必要条件
C.充要条件D.非充分非必要条件
5.用1，2，3，4，5，6这六个数组成无重复数字的六位数，则在数字1，3相邻的条件下，数字
2，4，6也相邻的概率为（ ）
A.B.C.D.
6.正整数的倒数的和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当很大时，.其中称为欧拉一马歇罗尼常数，…，至今为止都不确定是有理数还是无理数.设表示不超过的最大整数，用上式计算的值为（ ）
（参考数据：，，）
A.10B.9C.8D.7
7.若方程在的解为，则（ ）
A.B.C.D.
8.已知椭圆的短轴长为2，上顶点为，左顶点为B，分别是椭圆的左、右焦点，且的面积为，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知样本数据的平均数为2，方差为1，则下列说法正确的是（ ）
A数据，，的平均数为6
B.数据，，的方差为9
C.数据，2的方差为1
D.数据的平均数为5
10.在棱长为2的正方体中，P，E，F分别为棱的中点，为侧面正方形的中心，则下列结论正确的是（ ）
A.直线平面
B.直线与平面所成角的正切值为
C.三棱锥的体积为
D.三棱锥的外接球表面积为
11.已知函数及其导函数的定义域为，若为奇函数，，且对任意，，则下列结论正确的是（ ）
A.B.C.D.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.展开式中的常数项是__________.
13.设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为，已知，.则__________；的最大值为__________.
14.古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，若点是满足的阿氏圆上的任意一点，点为抛物线上的动点，在直线上的射影为，则的最小值为__________.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
己知是等差数列的前项和，，数列是公比大于1的等比数列，且，.
（I）求数列和的通项公式；
（II）设，求使取得最大值时的值.
16.（本小题满分15分）
如图，在三棱台中，底面为等边三角形，平面，，且为的中点.
（I）求证：平面平面；
（II）求平面与平面所成角的正弦值.
17.（本小题满分15分）在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先四人抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两个对阵，败者直接淘汰出局并获得第四名；紧接着“败区”的胜者和“胜区”的“败者”对阵，胜者晋级到最后的决赛，败者获得第三名：最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵结果相互独立.
（I）若，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁.
①求甲获得第四名的概率；
②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望.
（II）除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：四人抽签决定两两对阵，两场比赛的胜者晋级到冠军决赛，败者参加三、四名比赛，哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由.
18.（本小题满分17分）
已知，，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，记点的轨迹为曲线.
（I）求曲线的方程；
（II）过点且斜率为的直线交曲线位于轴右侧的部分于不同的A，B两点，为轴上一点且满足，试探究是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，请说明理由.
19.（本小题满分17分）
已知函数.
（I）当时，函数恒成立，求实数的最大值；
（II）当时，若，且，求证：；
（III）求证：对任意，都有.