浙江省金华市曙光学校2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题

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13.ABC 14.BD 15.ABC 16.ABD
填空及解答见解析
一、单选题
1．C
【分析】先求出集合，然后根据交集的概念计算.
【详解】由题意，，于是.
故选：C
2．D
【分析】根据共轭复数的定义直接得出结果.
【详解】根据共轭复数的定义，的共轭复数是.
故选：D
3．D
【分析】根据函数特征得到不等式，求出定义域.
【详解】∵，
∴，即函数的定义域为.
故选：D.
4．A
【分析】根据正切函数值及角的范围写出对应的角.
【详解】∵，
∴，又，
∴.
故选：A.
5．B
【分析】应用对数的运算性质求值即可.
【详解】.
故选：B
6．B
【分析】根据正弦型函数图象的变换规律进行求解即可.
【详解】因为，
所以函数的图象可以看成是将函数的图象向右平移个单位得到，
故选：B
7．C
【分析】
根据相互独立事件概率计算公式，先求得，然后求得正确答案.
【详解】依题意，
解得，
所以两人都中靶的概率为.
故选：C
8．D
【分析】利用正方体的体对角线为其外接球的直径，结合球的表面积公式即可得解.
【详解】因为正方体的体对角线为其外接球的直径，且其棱长为，
所以，
由题意可知正方体的外接球的表面积为，则，
所以（负值舍去）.
故选：D.
9．D
【分析】利用正弦定理边化角可求得，结合可求得结果.
【详解】由正弦定理得：

故选：
10．C
【分析】利用特殊值法与导数研究函数的单调性，结合图像的单调性判断即可.
【详解】对于A，因为，
所以，，，
显然，，
所以在上并不单调递减，故A错误；
对于B，因为，
所以，，，
显然，，
所以在上并不单调递增，故B错误；
对于D，因为，
所以，，
显然，，
所以在上并不单调递减，故D错误；
对于C，因为，
当时，，由复合函数的单调性易知在上单调递增；
当时，，则，
令，则，
令，得；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
故，则在上恒成立，
所以在上单调递减；
综上：的单调性满足题意，又排除了ABD，故C正确.
故选：C.
11.C
【分析】根据已知条件建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线所成角.
【详解】
以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，则，，，
，，，
设异面直线与所成的角为,，
则,所以.
故选：C
12．C
【分析】先按a的不同取值区间分类讨论在上的最大值，得到a与b 的关系，结合a的范围，求得的最小值，再取不同情况下最小值中的最小者.
【详解】，
①当时，，对称轴为，
在上单调递增，
所以，则，
所以.
②当时，，对称轴为，
在上递增，在上递减，
所以，则，
所以.
③当时，
若，，；
若，， .
当时，，
，；
当时，，
，.
综上所述：的最小值为.
故选：C.
二、多选题
13．ABC
【分析】直接由向量的加减法法则、平面向量基本定理即可解决问题.
【详解】由，知A正确；
由，得知B正确；
由知C正确；
由N为线段DC的中点知，知D错误；
故选：ABC.
14．BD
【分析】根据频率分布直方图中小矩形面积和为1即可求出，则可判断A，再利用平均数、中位数和众数计算公式即可判断BCD.
【详解】对A，由图得，解得 ，故A错误，
对B，平均数为，故B正确；
对C，，，，
因为，
则中位数位于区间范围，则设中位数为，
有，解得，故C错误；
对D，根据表格可知月平均用电量的众数为，故D正确.
故选：BD.
15.ABC
【分析】根据正弦定理可判断AB；根据的范围和两角和的正弦展开式可判断C；取特殊值可判断D.
【详解】对于A，根据正弦定理，因为可得，故A正确；
对于B，因为可得，再由正弦定理可得，故B正确；
对于C，因为中，所以，所以，故C正确；
对于D，当，故D错误
故选：ABC.
16.ABD
【分析】首先根据球的性质、勾股定理说明E，F，G，H分别是正方体棱的中点，再根据线面平行的判定定理、异面直线所成角的求法、线面垂直的性质以及二面角的定义、等腰三角形进行判断.
【详解】在正方体中，平面，又平面，所以，在中，，又正方体的棱长为2，点O为的中点，所以，又，设，所以，即H是正方体棱的中点，同理可证，E，F，G分别是棱，，的中点.
对于选项A，因为G，H分别是棱、的中点，所以，又平面，平面，所以平面，故A正确；
对于选项B，因为，所以与EH所成的角即为，因为E，H分别是棱、的中点，大小为45°，故B正确；
对于选项C，因为E，H分别是棱、的中点，所以，因为G，H分别是棱、的中点，所以面，所以，又，所以平面，又，所以不垂直于平面，故C错误；
对于选项D，取EF、GH的中点I、Q，连接OI 、QI、QO，因为OF=OE，所以，同理可证，所以即为平面与平面OEF所成角的平面角，根据勾股定理有：，，，所以在等腰中有：.
所以平面与平面OEF所成角夹角的余弦值为，故D正确.
故选：ABD.
填空题
17.必要不充分
【分析】由条件推结论可判断充分性，由结论推条件可判断必要性.
【详解】由不能推出，例如，
但必有，
所以：是：的必要不充分条件.
18．
【分析】根据投影向量的计算公式可得向量夹角的余弦值，根据向量模的计算公式即可求解.
【详解】解：设向量的夹角为，
因为向量在向量上的投影向量为，所以，
又，解得：，
因为，
所以.
故答案为：.
19.
【分析】连接，分别求出，再根据题中公式即可得出答案.
【详解】如图，连接，

因为是的中点，
所以，
又，所以三点共线，
即，
又，
所以，
则，故，
所以.
故答案为：
20. ；
【分析】求出的值，再计算的值；设，则，可求得或，再解方程或，可求得的值即可求解.
【详解】因为，所以，
所以，
设，则，
当时，，可得，
当时，，可得，
所以或，
当时，由或可得或；
当时，或，
可得或（舍）或或，
综上所述：，，，，，有个符合题意，
故答案为：；.
解答题
21．(1)，，频率分布直方图如下
(2)平均数为95，中位数为87.5
【分析】（1）可得空气质量指数在的频数和频率，即可求出，进而求得，则可得出频率分布直方图；
（2）根据频率分布直方图直接计算即可.
【详解】（1）由图可得空气质量指数在的有20天，频率为，所以，
所以，
则可得频率分布直方图如下：
（2）由频率分布直方图可得平均数为，
因为的频率，的频率，
所以中位数在内，设为，
则，解得.
22．(1)
(2)
【分析】（1）利用两角和差的正弦公式展开结合三角恒等式化简,进一步利用即可求解.
（2）先根据平移法则求出，进而根据三角函数单调区间的求法解不等式即可得解.
【详解】（1）由题意有，
，
结合二倍角公式，
有，
又且，
因此；
（2）由题意，
又余弦函数的单调增区间为，
依题意有，
解得，
因此的单调递增区间为.
23．(1)单调递减区间为，单调递增区间为，.
(2)
【分析】（1）将函数写成分段函数，结合二次函数的性质得到函数的单调区间；
（2）不妨令，则，令，依题意可得在上单调递增，又，对分类讨论，分确定在上的单调性，即可得解.
【详解】（1）当时,
当时，所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，则在上单调递增，
综上可得的单调递减区间为，单调递增区间为，.
（2）因为对任意的，且，都有成立，
不妨令，则，即，
令，则当时，
即在上单调递增，
又，
当时，对称轴为，
若，即时在上单调递增，
若，即时，此时在上单调递增，
若时，则，此时在上单调递减，在上单调递增，不符合题意，
若时，，此时在上单调递减，在上单调递增，不符合题意，
令，解得，当时，当时，
若时，，此时在上单调递减，在上单调递增，不符合题意，
当时，此时在上单调递增，在上单调递增，且函数连续，
所以在上单调递增，符合题意；
当时，此时在上单调递增，在上单调递增，且函数连续，
所以在上单调递增，符合题意；
当时，此时在上单调递增，符合题意；
综上可得或，即实数的取值范围为.