2024年河南省实验中学中考数学二模试卷

这是一份2024年河南省实验中学中考数学二模试卷，共26页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中．如果把收入5元记作+5元，那么支出5元记作（ ）
A．﹣5元B．0元C．+5元D．+10元
2．（3分）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）2024年河南春晚从传统文化中寻找韵脚，在科技赋予的丰富场景中，编织出了一幅璀璨的文化风情图，获得业内专家的点赞．截至2024年2月9日12点，全网阅读量再创新高，突破130亿．数据“130亿”用科学记数法表示为（ ）
A．0.13×1010B．1.3×109C．1.3×1010D．13×109
4．（3分）如图，AB∥CD，CE交AB于点O，若∠C＝65°，则∠AOE的度数为（ ）
A．105°B．115°C．120°D．125°
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3a﹣2a＝1B．（﹣3m）2＝6m2
C．D．（2a﹣b）2＝4a2﹣4ab+b2
6．（3分）下列问题适合全面调查的是（ ）
A．调查市场上某品牌灯泡的使用寿命
B．了解全省九年级学生的视力情况
C．神舟十七号飞船发射前对飞船仪器设备的检查
D．了解黄河的水质情况
7．（3分）关于x的方程x2﹣x+a﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数a的值可能为（ ）
A．2B．2.5C．3D．3.5
8．（3分）不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）兴趣小组同学借助数学软件探究函数的图象，输入了一组a，b的值，得到了它的函数图象，借助学习函数的经验，可以推断输入的a，b的值满足（ ）
A．a＜0，b＞0B．a＞0，b＜0C．a＞0，b＞0D．a＜0，b＜0
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A的坐标为（﹣2，0），D的坐标为（0，4），矩形ABCD向右平移7个单位长度后点B恰好落在直线y＝kx+3上，若点B的横坐标为﹣4，则k的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）已知反比例函数y＝的图象在每一个象限内y随x的增大而增大，请写一个符合条件的反比例函数解析式 ．
12．（3分）为了学习宣传党的二十大精神，某校学生宣讲团赴社区宣讲．现从2名男生1名女生中任选2人，则恰好选中1名男生1名女生的概率为 ．
13．（3分）已知扇形的半径为6，面积为6π，则扇形圆心角的度数为 度．
14．（3分）如图是在浦东陆家嘴明代陆深古墓中发掘出来的宝玉﹣﹣明白玉幻方．其背面有方框四行十六格，为四阶幻方（从1到16，一共十六个数目，它们的纵列、横行与两条对角线上4个数相加之和均为34）．小明探究后发现，这个四阶幻方中的数满足下面规律：在四阶幻方中，当数a，b，c，d有如图1的位置关系时，均有a+b＝c+d＝17．如图2，已知此幻方中的一些数，则x的值为 ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝10，动点P从点B出发，沿BA方向以每秒4个单位的速度向终点A运动，同时动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿CB方向运动，当点P到达点A时，点Q也停止运动．以BP，BQ为邻边作平行四边形BPDQ，PD，QD分别交AC于点E，F，设点P运动的时间为t秒．连接PF，PQ，点D关于直线PF的对称点为D′点，当点D′恰好落在△PQB的边上时，t的值为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：|﹣1|﹣（2024﹣π）0+（﹣）﹣1；
（2）化简：．
17．（9分）4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某校甲乙两班联合举办了“航天知识”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生．统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理，分析．下面给出了部分信息．
【收集数据】
甲班10名学生竞赛成绩：85，78，86，79，72，91，79，71，70，89
乙班10名学生竞赛成绩：85，80，78，85，80，73，90，74，75，80
【整理数据】
【分析数据】
【解决问题】根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，简要说明理由；
（3）甲班共有学生50人，乙班其有学生45人．按竞赛规定，80分及80分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？
18．（9分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出线段AB的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若（1）中所作的垂直平分线与边AB和AC分别交于点D、E．若AC＝8，BC＝4，求AE的长．
19．（9分）如图所示，某数学兴趣小组利用无人机测大楼的高度C，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点100米，点A处俯角为60°，楼顶C点处的俯角为30°，已知点A与大楼的距离AB为80米（点A，B，C，P在同一平面内），求大楼的高度BC（结果精确到0.1米，参考数据：）．
20．（9分）某学校建立了劳动基地，计划在基地上种植甲、乙两种树苗．已知甲种树苗的单价比乙种树苗的单价多10元；3棵甲种树苗与4棵乙种树苗的总价相等．
（1）求甲、乙两种树苗的单价分别为多少元？
（2）若购买甲、乙两种树苗共500棵，且甲种树苗的数量不少于乙种树苗的两倍．请为采购组设计最省钱的方案，并求出此时的总费用？
21．（9分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3经过点M（﹣2，3）．
（1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标；
（2）当﹣3≤x≤0时，直接写出y的取值范围．
22．（10分）数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成正整数的比，发出的声音就比较和谐、例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声d，mi，s．研究15，12，10这三个数的倒数发现，我们称15，12，10这三个正整数为一组“调和数”．
（1）已知三个数x，5，3（x＞5）是一组“调和数”，则x的值为 ．
（2）若a，b，c是一组调和数，其中a＞b＞c＞0，证明：a+c＞2b．
23．（10分）如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE＝BF，DE交AF于点G．
（1）∠DGF的度数为 ．
（2）如图2，若点E为AB的中点，AB＝4．连结CG，求CG的长．
（3）如图3，点H在线段DG上，且HG＝AG，∠DGF的平分线交CH于点I．用等式表示线段IH与IC的数量关系，并证明．
2024年河南省实验中学中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。
1．（3分）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中．如果把收入5元记作+5元，那么支出5元记作（ ）
A．﹣5元B．0元C．+5元D．+10元
【答案】A
【分析】本题考查负数的概念问题，负数和正数是具有相反意义的量，收入和支出是一对具有相反意义的量，进而作答．
【解答】解：把收入5元记作+5元，
根据收入和支出是一对具有相反意义的量，
支出5元就记作﹣5元．
故答案为A．
2．（3分）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看，一共有三列，从左到右小正方形的个数分别为2、2、1．
故选：C．
3．（3分）2024年河南春晚从传统文化中寻找韵脚，在科技赋予的丰富场景中，编织出了一幅璀璨的文化风情图，获得业内专家的点赞．截至2024年2月9日12点，全网阅读量再创新高，突破130亿．数据“130亿”用科学记数法表示为（ ）
A．0.13×1010B．1.3×109C．1.3×1010D．13×109
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此解答即可．
【解答】解：130亿＝13000000000＝1.3×1010．
故选：C．
4．（3分）如图，AB∥CD，CE交AB于点O，若∠C＝65°，则∠AOE的度数为（ ）
A．105°B．115°C．120°D．125°
【答案】B
【分析】由平行线的性质推出∠C+∠BOC＝180°，求出∠BOC＝115°，由对顶角的性质得到∠AOE＝∠BOC＝115°．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠C+∠BOC＝180°，
∵∠C＝65°，
∴∠BOC＝115°，
∴∠AOE＝∠BOC＝115°．
故选：B．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3a﹣2a＝1B．（﹣3m）2＝6m2
C．D．（2a﹣b）2＝4a2﹣4ab+b2
【答案】D
【分析】运用合并同类项、积的乘方、完全平方公式等知识进行逐一计算、辨别．
【解答】解：∵3a﹣2a＝a，
∴选项A不符合题意；
∵（﹣3m）2＝9m2，
∴选项B不符合题意；
∵2与不是同类二次根式不能合并，
∴选项C不符合题意；
∵（2a﹣b）2＝4a2﹣4ab+b2，
∴选项D符合题意，
故选：D．
6．（3分）下列问题适合全面调查的是（ ）
A．调查市场上某品牌灯泡的使用寿命
B．了解全省九年级学生的视力情况
C．神舟十七号飞船发射前对飞船仪器设备的检查
D．了解黄河的水质情况
【答案】C
【分析】根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、调查市场上某品牌灯泡的使用寿命，适合抽样调查，故A不符合题意；
B、了解全省九年级学生的视力情况，适合抽样调查，故B不符合题意；
C、神舟十七号飞船发射前对飞船仪器设备的检查，适合全面调查，故C符合题意；
D、了解黄河的水质情况，适合抽样调查，故D不符合题意；
故选：C．
7．（3分）关于x的方程x2﹣x+a﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数a的值可能为（ ）
A．2B．2.5C．3D．3.5
【答案】A
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝12﹣4×（a﹣2）＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣x+a﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝12﹣4×（a﹣2）＞0，
解得a＜．
观察选项，只有A选项符合题意．
故选：A．
8．（3分）不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题应该先对不等式组进行化简，然后在数轴上分别表示出x的取值范围．
【解答】解：原不等式组化简为：．
故选：B．
9．（3分）兴趣小组同学借助数学软件探究函数的图象，输入了一组a，b的值，得到了它的函数图象，借助学习函数的经验，可以推断输入的a，b的值满足（ ）
A．a＜0，b＞0B．a＞0，b＜0C．a＞0，b＞0D．a＜0，b＜0
【答案】A
【分析】由两支曲线的分界线在y轴左侧可以判断b的正负，由x＞0时的函数图象判断a的正负．
【解答】解：∵，
∴x的取值范围是x≠b，
由图可知，两支曲线的分界线位于y轴的右侧，
∴b＞0，
由图可知，当x＞0时的函数图象位于x轴的下方，
∴当x＞0时，y＜0，
又∵当x＞0时，（x﹣b）2＞0，
∴a＜0，
故选：A．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A的坐标为（﹣2，0），D的坐标为（0，4），矩形ABCD向右平移7个单位长度后点B恰好落在直线y＝kx+3上，若点B的横坐标为﹣4，则k的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．D．
【答案】D
【分析】作BE⊥x轴于点E，根据△ABE∽△DAO，得＝，求出BE＝1，所以B的坐标为（﹣4，1），根据平移规律得平移后的坐标为（3，1），把点（3，1）代入直线y＝kx+3上，即可求出k的值．
【解答】解：如图，作BE⊥x轴于点E，
∵A的坐标为（﹣2，0），D的坐标为（0，4），点B的横坐标为﹣4，
∴OA＝2，OD＝4，AE＝2，
∵∠BAE+∠OAD＝90°，∠ADO+∠OAD＝90°，
∴∠BAE＝∠ADO，
∵∠BEA＝∠AOD，
∴△ABE∽△DAO，
∴＝，
∴＝，
∴BE＝1，
∴B的坐标为（﹣4，1），
∴向右平移7个单位长度后点B的坐标为（3，1），
∴点（3，1）在直线y＝kx+3上，
∴1＝3k+3，
∴k＝﹣．
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）已知反比例函数y＝的图象在每一个象限内y随x的增大而增大，请写一个符合条件的反比例函数解析式 y＝﹣ ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由反比例函数的图象在每一个象限内y随x的增大而增大，结合反比例函数的性质即可得出k＜0，随便写出一个小于0的k值即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象在每一个象限内y随x的增大而增大，
∴k＜0．
故答案为：y＝﹣．
12．（3分）为了学习宣传党的二十大精神，某校学生宣讲团赴社区宣讲．现从2名男生1名女生中任选2人，则恰好选中1名男生1名女生的概率为 ．
【答案】．
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选中1名男生1名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：列表如下：
共有6种等可能的结果，其中恰好选中1名男生1名女生的结果有4种，
∴恰好选中1名男生1名女生的概率为＝．
故答案为：．
13．（3分）已知扇形的半径为6，面积为6π，则扇形圆心角的度数为 60 度．
【答案】见试题解答内容
【分析】设扇形圆心角的度数为n°，根据扇形面积公式列方程并解方程即可．
【解答】解：设扇形圆心角的度数为n°，
则＝6π，
解得：n＝60，
即扇形圆心角的度数为60°，
故答案为：60．
14．（3分）如图是在浦东陆家嘴明代陆深古墓中发掘出来的宝玉﹣﹣明白玉幻方．其背面有方框四行十六格，为四阶幻方（从1到16，一共十六个数目，它们的纵列、横行与两条对角线上4个数相加之和均为34）．小明探究后发现，这个四阶幻方中的数满足下面规律：在四阶幻方中，当数a，b，c，d有如图1的位置关系时，均有a+b＝c+d＝17．如图2，已知此幻方中的一些数，则x的值为 1 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据小明的发现，将四阶幻方分解为三阶幻方进行研究，右图中给出数据，在实线的三阶区域内有y右下角对应的是17﹣y，在虚线的三阶区域内，2对应右下角的数是15，再根据每列和是34，即可求解；
【解答】解：如图，根据小明的发现，在实线的三阶区域内有y右下角对应的是17﹣y，
在虚线的三阶区域内，2对应右下角的数是15，
在第四列中，四个数分别是x，x+y，17﹣y，15，
∴x+x+y+17﹣y+15＝34，
∴x＝1；
故答案为1．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝10，动点P从点B出发，沿BA方向以每秒4个单位的速度向终点A运动，同时动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿CB方向运动，当点P到达点A时，点Q也停止运动．以BP，BQ为邻边作平行四边形BPDQ，PD，QD分别交AC于点E，F，设点P运动的时间为t秒．连接PF，PQ，点D关于直线PF的对称点为D′点，当点D′恰好落在△PQB的边上时，t的值为 1或 ．
【答案】1或．
【分析】先证明DF＝FQ，再计算两个边界点时点t的值；①如图，点D'与Q重合，②如图，D'在斜边AB上，由此可得结论．
【解答】解：如图2，∵BP＝4t，AB＝10，
∴AP＝10﹣4t，
在Rt△APE中，∠A＝30°，
∴PE＝PA＝5﹣2t，
∵四边形PBQD是平行四边形，
∴PD＝BQ＝5﹣t，
∴DE＝PD﹣PE＝5﹣t﹣（5﹣2t）＝t＝ED，
∵∠EFD＝∠CFQ，∠D＝∠CQF，
∴△EFD≌△CFQ（AAS），
∴EF＝CF，
如图，点D'与Q重合，
′
由对称得：PD＝PQ，
∴PQ＝BQ，
∵∠B＝60°，
∴△PBQ是等边三角形，
∴PB＝BQ，
∴4t＝5﹣t，
∴t＝1；
如图，D'在斜边AB上，
由对称得：∠DPF＝∠D'PF＝60°，
∵∠PDF＝∠B＝60°，
∴△PDF是等边三角形，
∴PD＝DF，
∴5﹣t＝2t，
∴t＝，
∴t的值为1或．
故答案为：1或．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：|﹣1|﹣（2024﹣π）0+（﹣）﹣1；
（2）化简：．
【答案】（1）﹣5；
（2）．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算，即可解答；
（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
【解答】解：（1）|﹣1|﹣（2024﹣π）0+（﹣）﹣1
＝﹣1﹣1+（﹣3）
＝﹣5；
（2）
＝÷
＝÷
＝•
＝．
17．（9分）4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某校甲乙两班联合举办了“航天知识”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生．统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理，分析．下面给出了部分信息．
【收集数据】
甲班10名学生竞赛成绩：85，78，86，79，72，91，79，71，70，89
乙班10名学生竞赛成绩：85，80，78，85，80，73，90，74，75，80
【整理数据】
【分析数据】
【解决问题】根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝ 79 ，b＝ 79 ，c＝ 26.4 ；
（2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，简要说明理由；
（3）甲班共有学生50人，乙班其有学生45人．按竞赛规定，80分及80分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？
【答案】（1）79，79，26.4；
（2）乙班成绩比较好，理由见解答；
（3）47人．
【分析】（1）根据中位数和众数和方差的定义进行求解即可；
（2）根据方差越小成绩越稳定，即可得出答案；
（3）分别用甲乙两个班的人数乘以样本中对应班级成绩在80分及80分以上的人数占比即可得到答案．
【解答】解：（1）甲班成绩从低到高排列为：70、71、72、78、79、79、85、86、89、91，故中位数b＝＝79；
众数c＝79，
乙班成绩的方差为×[（73﹣80）2+（74﹣80）2+（75﹣80）2+（78﹣80）2+3×（80﹣80）2+2×（85﹣80）2+（90﹣80）2]＝26.4，
故答案为：79，79，26.4；
（2）乙班成绩比较好，理由如下：
两个班的平均数相同，中位数、众数高于甲班，方差小于甲班，代表乙班成绩比甲班稳定，所以乙班成绩比较好；
（3）根据题意得：
50×+45×＝47（人），
答：估计这两个班可以获奖的总人数大约是47人．
18．（9分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出线段AB的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若（1）中所作的垂直平分线与边AB和AC分别交于点D、E．若AC＝8，BC＝4，求AE的长．
【答案】（1）见解析；
（2）5．
【分析】（1）根据垂直平分线的基本作图方法进行作图即可；
（2）根据勾股定理得到AB＝＝4，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝＝2，∠ADE＝90°，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：（1）作出线段AB的垂直平分线，如图所示：
（2）∵∠C＝90°AC＝8，BC＝4，
∴AB＝＝4，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝＝2，∠ADE＝90°，
∴∠C＝∠ADE，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∴，
∴AE＝5．
19．（9分）如图所示，某数学兴趣小组利用无人机测大楼的高度C，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点100米，点A处俯角为60°，楼顶C点处的俯角为30°，已知点A与大楼的距离AB为80米（点A，B，C，P在同一平面内），求大楼的高度BC（结果精确到0.1米，参考数据：）．
【答案】大楼的高度BC约为69.3米．
【分析】过P作 PH⊥AB于H，过C作CQ⊥PH于Q，而 CB⊥AB，则四边形 CQHB是矩形，先解Rt△APH，求出PH，AH，得到CQ的长度，再解Rt△PQC，得到PQ的长
即可解决问题．
【解答】解：如图所示：
过P作 PH⊥AB于H，过C作CQ⊥PH于Q，而 CB⊥AB，
则四边形 CQHB是矩形，
∴QH＝BC，BH＝CQ，
由题意可得：AP＝100米，∠PAH＝60°，∠PCQ＝30°，AB＝80米，
∴PH＝APsin60°＝100×＝50（米），AH＝APcs60°＝50（米），
∴CQ＝BH＝80﹣50＝30（米），
∴PQ＝CQ•tan30°＝10（米），
∴BC＝QH＝50﹣10＝40≈69.3（米），
∴大楼的高度BC约为69.3米．
20．（9分）某学校建立了劳动基地，计划在基地上种植甲、乙两种树苗．已知甲种树苗的单价比乙种树苗的单价多10元；3棵甲种树苗与4棵乙种树苗的总价相等．
（1）求甲、乙两种树苗的单价分别为多少元？
（2）若购买甲、乙两种树苗共500棵，且甲种树苗的数量不少于乙种树苗的两倍．请为采购组设计最省钱的方案，并求出此时的总费用？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设甲种树苗的单价为x元，则乙种树苗的单价为（x﹣10）元，根据“甲种树苗的单价×3＝乙种树苗的单价×4”列出方程，求解即可；
（2）设购买甲种树苗a棵，则购买甲种树苗（500﹣a）棵，根据题意列出不等式，求得a的取值范围，设购买500棵甲、乙两种树苗的总费用为y元，则可得出y关于a的一次函数，根据一次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）设甲种树苗的单价为x元，则乙种树苗的单价为（x﹣10）元，
根据题意得3x＝4（x﹣10），
解得：x＝40，
则x﹣10＝30，
∴甲种树苗的单价为40元，乙种树苗的单价为30元．
（2）设购买甲种树苗a棵，则购买甲种树苗（500﹣a）棵，
根据题意得a≥2（500﹣a），
解得a≥，
∵a为正整数，
∴a≥334，
设购买500棵甲、乙两种树苗的总费用为y元，
则y＝40a+30（500﹣a）＝10a+15000，
由一次函数的性质可知，y随a的增大而增大，
∴当a＝334时，y取得最小值，最小值为10×334+15000＝18340（元）．
即最省钱的方案为购买甲种树苗334棵，购买甲种树苗166棵，此时的总费用为18340元．
21．（9分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3经过点M（﹣2，3）．
（1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标；
（2）当﹣3≤x≤0时，直接写出y的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把点M（﹣2，3）代入y＝﹣x2+mx+3得到关于m的方程，再解方程可确定抛物线解析式，在化为顶点式求顶点坐标；
（2）分别确定自变量为0和﹣3对应的函数值，然后结合函数图象和二次函数的性质求解．
【解答】解：（1）把M（﹣2，3）代入y＝﹣x2+mx+3得：
﹣4﹣2m+3＝3，
解得m＝﹣2，
∴y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）；
（2）∵y＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线开口向下，有最大值4，
∵当x＝0时，y＝3，当x＝﹣3时，y＝0，
∴当﹣3≤x≤0时，y的取值范围是0≤y≤4．
22．（10分）数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成正整数的比，发出的声音就比较和谐、例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声d，mi，s．研究15，12，10这三个数的倒数发现，我们称15，12，10这三个正整数为一组“调和数”．
（1）已知三个数x，5，3（x＞5）是一组“调和数”，则x的值为 15 ．
（2）若a，b，c是一组调和数，其中a＞b＞c＞0，证明：a+c＞2b．
【答案】（1）15；
（2）证明过程见解答．
【分析】（1）根据题意可得：﹣＝﹣，然后按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答；
（2）根据题意可得：﹣＝﹣，从而可得＝，进而可得b＝，再根据已知易得：a+c＞0，a﹣c＞0，从而可得（a﹣c）2＞0，然后利用完全平方公式可得（a+c）2﹣4ac＞0，从而可得（a+c）2＞4ac，进而可得a+c＞，即可解答．
【解答】（1）解：∵三个数x，5，3（x＞5）是一组“调和数”，
∴﹣＝﹣，
解得：x＝15，
经检验：x＝15是原方程的根，
故答案为：15；
（2）证明：a，b，c是一组调和数，其中a＞b＞c＞0，
∴﹣＝﹣，
∴+＝+，
∴＝，
∴b＝，
∵a＞c，
∴a+c＞0，a﹣c＞0，
∴（a﹣c）2＞0，
∴（a+c）2﹣4ac＞0，
∴（a+c）2＞4ac，
∴a+c＞，
∴a+c＞2b．
23．（10分）如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE＝BF，DE交AF于点G．
（1）∠DGF的度数为 90° ．
（2）如图2，若点E为AB的中点，AB＝4．连结CG，求CG的长．
（3）如图3，点H在线段DG上，且HG＝AG，∠DGF的平分线交CH于点I．用等式表示线段IH与IC的数量关系，并证明．
【答案】（1）90°；（2）4；（3）线段IH与IC的数量关系为：IC＝IH．理由见解析．
【分析】（1）利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质得到∠AED＝∠BFA，再利用直角三角形的性质解答即可得出结论；
（2）过点G作GH⊥BC于点H，利用正方形的性质和勾股定理求得DE，AF的长，利用三角形的面积公式求得线段AG，FG，利用相似三角形的判定与性质求得GH，CH，再利用勾股定理解答即可得出结论；
（3）过点D作DM⊥DE，交GI的延长线于点M，连接CM，利用直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质得到MC＝AG，∠DMC＝∠AGD＝90°，进而得到DE∥CM，HG＝CM，最后利用全等三角形的判定与性质解答即可得出结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝∠B＝90°．
在△DAE和△ABF中，
，
∴△DAE≌△ABF（SAS），
∴∠AED＝∠BFA．
∵∠BFA+∠BAF＝90°，
∴∠AED+∠BAF＝90°，
∴∠AGE＝90°，
∴∠DGF＝90°．
故答案为：90°；
（2）∵点E为AB的中点，AB＝4，
∴AE＝BE＝2，AD＝AB＝BC＝4，
∴BF＝AE＝2．
∴DE＝AF＝＝2．
过点G作GH⊥BC于点H，如图，
∵，
∴AG＝＝＝．
∴GF＝AF﹣AG＝．
∵GH⊥BC，AB⊥BC，
∴GH∥AB，
∴△FGH∽△FAB，
∴．
∴，
∴GH＝，FH＝．
∴CH＝CF+FH＝．
∴CG＝＝4；
（3）线段IH与IC的数量关系为：IC＝IH．理由：
过点D作DM⊥DE，交GI的延长线于点M，连接CM，如图，
∵DM⊥DE，
∴∠MDC＝90°，
∴∠MDC+∠CDE＝90°．
∵∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠MDC＝∠ADE．
由（1）知：∠DGF＝90°，
∵GI平分∠DGF，
∴∠DGM＝45°，
∴△DGM为等腰直角三角形，
∴DG＝DM．
在△MDC和△GAD中，
，
∴△MDC≌△GAD（SAS），
∴MC＝AG，∠DMC＝∠AGD＝90°，
∴CM⊥DM．
∵DM⊥DE，
∴DE∥CM，
∴∠CMI＝∠HGI．
∵HG＝AG，
∴HG＝CM．
在△CMI和△HGI中，
，
∴△CMI≌△HGI（AAS），
∴CI＝HI．
声明：试题解班级
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x＜100
甲班
6
3
1
乙班
4
5
1
班级
平均数
中位数
众数
方差
甲班
80
a
b
51.4
乙班
80
80
80
c
男
男
女
男
（男，男）
（男，女）
男
（男，男）
（男，女）
女
（女，男）
（女，男）
班级
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x＜100
甲班
6
3
1
乙班
4
5
1
班级
平均数
中位数
众数
方差
甲班
80
a
b
51.4
乙班
80
80
80
c