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江西省九江市2024届高三第三次高考模拟统一考试数学试题
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这是一份江西省九江市2024届高三第三次高考模拟统一考试数学试题，共14页。试卷主要包含了5 D，若，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､班级､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试题卷上无效
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.为深入学习党的二十大精神，某校开展“奋进新征程，强国伴我行”二十大主题知识竞赛，其中高三年级选派8名同学参赛，这8名同学的成绩（总分10分）依次如下：，则这组数据的分位数为（ ）
A.8 B.9 C.9.5 D.10
2.在中，角所对的边分别为，已知，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知等差数列的公差为是与的等比中项，则（ ）
A. B. C. D.
4.考古发现在金字塔内有一组神秘的数字“142857”，我们把它和自然数1到6依次相乘，得，，结果是同样的数字，只是调换了位置.若将这组神秘数字“142857”进行重新排序，其中偶数均相邻的排法种数为（ ）
A.24 B.36 C.72 D.144
5.已知圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，则该圆锥的体积是（ ）
A. B. C. D.
6.已知椭圆的左右焦点分别为，过且倾斜角为的直线交于第一象限内一点.若线段的中点在轴上，的面积为，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
7.若，则（ ）
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系中，已知直线与双曲线的左右两支分别交于两点，是线段的中点，是轴上一点，且，则的离心率为（ ）
A. B. C.2 D.3
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.已知二项式，则（ ）
A.展开式中的系数为45
B.展开式中二项式系数最大的项是第5项
C.展开式中各项系数之和为1
D.展开式中系数最大的项是第5项或第7项
10.已知虚数满足，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C.的虚部为 D.
11.如图，正方体的棱长为1，点在截面内，且，则（ ）
A.三棱锥的体积为 B.线段的长为
C.点的轨迹长为 D.的最大值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14题第1问2分，第2问3分.
12.若集合，则__________.
13.已知函数在区间上有且仅有三个零点，则的取值范围是__________.
14.某儿童游乐场有一台打地鼠游戏机，共有9个洞.游戏开始后，每次有且仅有一只地鼠从某洞中冒出，地鼠第1次从1号洞冒出来.假设游戏过程中地鼠从上一个洞继续冒出的概率为，从其它洞冒出的可能性相等，则地鼠第3次从1号洞冒出的概率是__________.假设游戏结束时，地鼠一共冒出次，则地鼠从1号洞冒出的次数期望值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
车胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎胎面磨损.某实验室通过实验测得轿车行驶里程与某品牌轮胎凹槽深度的数据，如下表所示：
（1）求该品牌轮胎凹槽深度与行驶里程的相关系数，并判断二者之间是否具有很强的线性相关性；（结果保留两位有效数字）
（2）根据我国国家标准规定：轿车轮胎凹槽安全深度为（当凹槽深度低于时刹车距离增大，驾驶风险增加，必须更换新轮胎）.某人在保养汽车时将小轿车的轮胎全部更换成了该品牌的新轮胎，请问在正常行驶情况下，更换新轮胎后继续行驶约多少公里需对轮胎再次更换？
附：变量与的样本相关系数；对于一组数据，，其线性回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，
16.（本小题满分15分）
如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，，为等边三角形.
（1）证明：；
（2）若二面角的大小为，求二面角的正弦值.
17.（本小题满分15分）
在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为是上第一象限内的动点.
当直线的倾斜角为时，.
（1）求的方程；
（2）已知点是上不同两点.若四边形是平行四边形，证明：直线过定点.
18.（本小题满分17分）
己知函数，且.
（1）讨论的单调性；
（2）若方程有三个不同的实数解，求的取值范围.
19.（本小题满分17分）
已知数列共有项，且，若满足，则称为“约束数列”.记“约束数列”的所有项的和为.
（1）当时，写出所有满足的“约束数列”；
（2）当时，设“约束数列”为等差数列.请判断是的什么条件，并说明理由；
（3）当时，求的最大值.
九江市2024年第三次高考模拟统一考试
数学试题
参考答案
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.C
解：8名同学成绩数据由小到大重新排列为：是整数，分位数是第6位数和第7位数的平均数，即.故选C.
2.B
解：由正弦定理，得，
，又，故选B.
3.A
解：由，得，化简得，故选A.
4.D
解：由条件，得.故选D.
5.A
解：设圆锥底面圆半径为，母线为，高为.由题意得解得，该圆锥的体积是.故选A.
6.D
解：如图，为线段的中点，为线段的中点，，又轴，轴.设，则的面积为，
，
的方程为，故选D.
7.C
解：令，得，即，即，故选C.
8.B
解：是线段的中点，.
又，即.
设，则.过作轴的垂线，垂足为，则，
.易知，故选B.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.AD
解：，当时，，系数为正确；
由组合数性质可知，中间项系数最大，展开式中二项式系数最大的项是第6项，B错误；
令，得展开式中各项系数之和为错误；
当为奇数时，系数为负数，当为偶数时，系数为正数，当或时，系数最大，正确.故选AD.
10.ABD
解：由，得正确；
由，得，B正确；
设，
则
解得的虚部为或错误.
又，D正确.故选ABD.
11.ACD
解：在正方体中，平面，平面平面，
且两平面间的距离为，又的面积三棱锥的体积
A正确；
设的中心为，则，
B错误；
如图，由知，，点的轨迹
是以为圆心，为半径的圆的一部分，由三段
劣弧构成，其长度为圆周长的一半C正确；
为在方向上的投影，由图可知，当位于点或的位置时，最小，此时取得最大值，如图所示，建立空间直角坐标系，
则，
，D正确.
故选ACD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14题第1问2分，第2问3分.
12.
解：.又或，故.
13.
解：令，问题转化为函数在区间上有且仅有三个零点，，解得.
14.；
解：令表示地鼠第次从1号洞冒出的概率，则.当地鼠第2次从1号洞冒出时，第3
次从1号洞冒出的概率为；当地鼠第2次没有从1号洞冒出时，第3次从1号洞冒出的概率为.
同理可得：，
是以为首项，为公比的等比数列，
.
游戏结束时，地鼠一共冒出次，则地鼠从1号洞冒出的次数期望值为.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
解：（1）计算得
由公式知，
二者之间具有很强的线性关系.
（2）设轮胎凹槽深度与行驶里程的线性回归方程为，
则
线性回归方程为
令，得
即更换新轮胎后继续行驶约6.4万公里需要对轮胎再次更换.
16.（本小题满分15分）
解：（1）取的中点，连接线段
为等边三角形，
又平面平面
又平面
（2）如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系
不妨设，则，
由（1）知为二面角的平面角，即
故
设平面的法向量为
，
妨取，得
设平面的法向量为
不妨取，得.
设二面角的平面角为，则
，即二面角的正弦值为
17.（本小题满分15分）
解：（1）过点作轴的垂线，垂足为，作准线的垂线，垂足为，
由抛物线定义，得
直线的倾斜角为，又，
故的方程为
（2）设直线方程为.
联立方程组消去整理得
设，则
四边形是平行四边形，，
，即
代入中，得，即
故直线过定点
18.（本小题满分17分）
解：（1）解法一：
令，则
在上单调递增.
又当时，，即；当时，，即
在上单调递减，在上单调递增.
解法二：
①当时，由得，由得
在上单调递减，在上单调递增
②当时，同理可得在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增
（2）解法一：由，得，易得
令，则
又为偶函数，
由（1）知在上单调递增，，即有三个不同的实数解.
令，由，得由，得，
在上单调递增，在上单调递减，且
在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减
当时，；当时，，故
解得或，故的取值范围是
解法二：由得，易得
令，则在上单调递减，在上单调递增.
由，得或
两边同时取以为底的对数，得或，
，即有三个不同的实数解
下同解法一.
19.（本小题满分17分）
解：（1）当时，所有满足的“约束数列”有：
①；②；③
（2）是的充分不必要条件
①当时，.
则
当且仅当时，成立
“约束数列”是公差为1的等差数列
②当“约束数列”是等差数列时，由，得，或，或
若，则的公差为；
若，则的公差为；
若，则的公差为
即当“约束数列”是等差数列时，或-1974或2024.
由①②，得是的充分不必要条件
（3）要使得取最大值，则
当且仅当同时满足以下三个条件时，取最大值.
①当时，；②当时，；③当时，
行驶里程万
0.0
0.4
1.0
1.6
2.4
2.8
3.4
4.4
轮胎凹槽深度
8.0
7.8
7.2
6.2
5.6
4.8
4.4
4.0
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､班级､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试题卷上无效
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.为深入学习党的二十大精神，某校开展“奋进新征程，强国伴我行”二十大主题知识竞赛，其中高三年级选派8名同学参赛，这8名同学的成绩（总分10分）依次如下：，则这组数据的分位数为（ ）
A.8 B.9 C.9.5 D.10
2.在中，角所对的边分别为，已知，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知等差数列的公差为是与的等比中项，则（ ）
A. B. C. D.
4.考古发现在金字塔内有一组神秘的数字“142857”，我们把它和自然数1到6依次相乘，得，，结果是同样的数字，只是调换了位置.若将这组神秘数字“142857”进行重新排序，其中偶数均相邻的排法种数为（ ）
A.24 B.36 C.72 D.144
5.已知圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，则该圆锥的体积是（ ）
A. B. C. D.
6.已知椭圆的左右焦点分别为，过且倾斜角为的直线交于第一象限内一点.若线段的中点在轴上，的面积为，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
7.若，则（ ）
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系中，已知直线与双曲线的左右两支分别交于两点，是线段的中点，是轴上一点，且，则的离心率为（ ）
A. B. C.2 D.3
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.已知二项式，则（ ）
A.展开式中的系数为45
B.展开式中二项式系数最大的项是第5项
C.展开式中各项系数之和为1
D.展开式中系数最大的项是第5项或第7项
10.已知虚数满足，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C.的虚部为 D.
11.如图，正方体的棱长为1，点在截面内，且，则（ ）
A.三棱锥的体积为 B.线段的长为
C.点的轨迹长为 D.的最大值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14题第1问2分，第2问3分.
12.若集合，则__________.
13.已知函数在区间上有且仅有三个零点，则的取值范围是__________.
14.某儿童游乐场有一台打地鼠游戏机，共有9个洞.游戏开始后，每次有且仅有一只地鼠从某洞中冒出，地鼠第1次从1号洞冒出来.假设游戏过程中地鼠从上一个洞继续冒出的概率为，从其它洞冒出的可能性相等，则地鼠第3次从1号洞冒出的概率是__________.假设游戏结束时，地鼠一共冒出次，则地鼠从1号洞冒出的次数期望值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
车胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎胎面磨损.某实验室通过实验测得轿车行驶里程与某品牌轮胎凹槽深度的数据，如下表所示：
（1）求该品牌轮胎凹槽深度与行驶里程的相关系数，并判断二者之间是否具有很强的线性相关性；（结果保留两位有效数字）
（2）根据我国国家标准规定：轿车轮胎凹槽安全深度为（当凹槽深度低于时刹车距离增大，驾驶风险增加，必须更换新轮胎）.某人在保养汽车时将小轿车的轮胎全部更换成了该品牌的新轮胎，请问在正常行驶情况下，更换新轮胎后继续行驶约多少公里需对轮胎再次更换？
附：变量与的样本相关系数；对于一组数据，，其线性回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，
16.（本小题满分15分）
如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，，为等边三角形.
（1）证明：；
（2）若二面角的大小为，求二面角的正弦值.
17.（本小题满分15分）
在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为是上第一象限内的动点.
当直线的倾斜角为时，.
（1）求的方程；
（2）已知点是上不同两点.若四边形是平行四边形，证明：直线过定点.
18.（本小题满分17分）
己知函数，且.
（1）讨论的单调性；
（2）若方程有三个不同的实数解，求的取值范围.
19.（本小题满分17分）
已知数列共有项，且，若满足，则称为“约束数列”.记“约束数列”的所有项的和为.
（1）当时，写出所有满足的“约束数列”；
（2）当时，设“约束数列”为等差数列.请判断是的什么条件，并说明理由；
（3）当时，求的最大值.
九江市2024年第三次高考模拟统一考试
数学试题
参考答案
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.C
解：8名同学成绩数据由小到大重新排列为：是整数，分位数是第6位数和第7位数的平均数，即.故选C.
2.B
解：由正弦定理，得，
，又，故选B.
3.A
解：由，得，化简得，故选A.
4.D
解：由条件，得.故选D.
5.A
解：设圆锥底面圆半径为，母线为，高为.由题意得解得，该圆锥的体积是.故选A.
6.D
解：如图，为线段的中点，为线段的中点，，又轴，轴.设，则的面积为，
，
的方程为，故选D.
7.C
解：令，得，即，即，故选C.
8.B
解：是线段的中点，.
又，即.
设，则.过作轴的垂线，垂足为，则，
.易知，故选B.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.AD
解：，当时，，系数为正确；
由组合数性质可知，中间项系数最大，展开式中二项式系数最大的项是第6项，B错误；
令，得展开式中各项系数之和为错误；
当为奇数时，系数为负数，当为偶数时，系数为正数，当或时，系数最大，正确.故选AD.
10.ABD
解：由，得正确；
由，得，B正确；
设，
则
解得的虚部为或错误.
又，D正确.故选ABD.
11.ACD
解：在正方体中，平面，平面平面，
且两平面间的距离为，又的面积三棱锥的体积
A正确；
设的中心为，则，
B错误；
如图，由知，，点的轨迹
是以为圆心，为半径的圆的一部分，由三段
劣弧构成，其长度为圆周长的一半C正确；
为在方向上的投影，由图可知，当位于点或的位置时，最小，此时取得最大值，如图所示，建立空间直角坐标系，
则，
，D正确.
故选ACD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14题第1问2分，第2问3分.
12.
解：.又或，故.
13.
解：令，问题转化为函数在区间上有且仅有三个零点，，解得.
14.；
解：令表示地鼠第次从1号洞冒出的概率，则.当地鼠第2次从1号洞冒出时，第3
次从1号洞冒出的概率为；当地鼠第2次没有从1号洞冒出时，第3次从1号洞冒出的概率为.
同理可得：，
是以为首项，为公比的等比数列，
.
游戏结束时，地鼠一共冒出次，则地鼠从1号洞冒出的次数期望值为.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
解：（1）计算得
由公式知，
二者之间具有很强的线性关系.
（2）设轮胎凹槽深度与行驶里程的线性回归方程为，
则
线性回归方程为
令，得
即更换新轮胎后继续行驶约6.4万公里需要对轮胎再次更换.
16.（本小题满分15分）
解：（1）取的中点，连接线段
为等边三角形，
又平面平面
又平面
（2）如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系
不妨设，则，
由（1）知为二面角的平面角，即
故
设平面的法向量为
，
妨取，得
设平面的法向量为
不妨取，得.
设二面角的平面角为，则
，即二面角的正弦值为
17.（本小题满分15分）
解：（1）过点作轴的垂线，垂足为，作准线的垂线，垂足为，
由抛物线定义，得
直线的倾斜角为，又，
故的方程为
（2）设直线方程为.
联立方程组消去整理得
设，则
四边形是平行四边形，，
，即
代入中，得，即
故直线过定点
18.（本小题满分17分）
解：（1）解法一：
令，则
在上单调递增.
又当时，，即；当时，，即
在上单调递减，在上单调递增.
解法二：
①当时，由得，由得
在上单调递减，在上单调递增
②当时，同理可得在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增
（2）解法一：由，得，易得
令，则
又为偶函数，
由（1）知在上单调递增，，即有三个不同的实数解.
令，由，得由，得，
在上单调递增，在上单调递减，且
在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减
当时，；当时，，故
解得或，故的取值范围是
解法二：由得，易得
令，则在上单调递减，在上单调递增.
由，得或
两边同时取以为底的对数，得或，
，即有三个不同的实数解
下同解法一.
19.（本小题满分17分）
解：（1）当时，所有满足的“约束数列”有：
①；②；③
（2）是的充分不必要条件
①当时，.
则
当且仅当时，成立
“约束数列”是公差为1的等差数列
②当“约束数列”是等差数列时，由，得，或，或
若，则的公差为；
若，则的公差为；
若，则的公差为
即当“约束数列”是等差数列时，或-1974或2024.
由①②，得是的充分不必要条件
（3）要使得取最大值，则
当且仅当同时满足以下三个条件时，取最大值.
①当时，；②当时，；③当时，
行驶里程万
0.0
0.4
1.0
1.6
2.4
2.8
3.4
4.4
轮胎凹槽深度
8.0
7.8
7.2
6.2
5.6
4.8
4.4
4.0
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