2024年四川省南充市中考数学二诊试卷+

这是一份2024年四川省南充市中考数学二诊试卷+，共35页。试卷主要包含了选择题每个小题都有代号为A，解答题解答应写出必要的文字说明等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）方程3x﹣1＝0的根是（ ）
A．3B．C．﹣D．﹣3
2．（4分）如图，线段AB的两个端点坐标分别为A（4，6），B（6，3），以原点O为位似中心，将线段AB在第一象限缩小为原来的，则点A的对应点C的坐标为（ ）
A．（2，3）B．（3，2）C．D．
3．（4分）2024年国务院政府工作报告指出：经济总体回升向好，国内生产总值超过126万亿元，增长5.2%，增速居世界主要经济体前列，将126万亿用科学记数法表示为（ ）
A．126×1012B．1.26×1014C．1.26×1013D．12.6×1013
4．（4分）已知x﹣y＝1，且2﹣y＞0，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1B．x＞3C．x＜1D．x＜3
5．（4分）我国明朝珠算发明家程大位著作的《直指算法统宗》，是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中记载了问题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．”其大意是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，问大、小和尚各有多少人？若设大和尚有x人，据题意可列方程为（ ）
A．3B．
C．D．
6．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，连接BO并延长与AC交于点D，则∠AOD的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．65°
7．（4分）若将抛物线y＝ax2+bx+c向右平移3个单位或向左平移1个单位后都经过点（1，0），则下列结论正确的是（ ）
A．b＝0B．4a+b＝0C．4a﹣b＝0D．a+b+c＝0
8．（4分）如图，分别以A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，过点M，N作直线，分别与AB，AP交于点D，E，再以点D为圆心BD长为半径画弧，与AP交于点C，连接BC．若BC＝5，AC＝12，则下列结论错误的是（ ）
A．AD＝BDB．∠ACB＝90°
C．D．
9．（4分）已知实数a，b满足a2+11a﹣13＝0，13b2+11b﹣1＝0，且ab≠﹣1，则的值为（ ）
A．﹣1B．C．D．
10．（4分）如图，在等边△ABC中，AB＝4，将BC绕点C逆时针旋转∠α（0°＜α≤120°），得线段DC，连接AD，BD，作∠ACD的平分线CE交射线DB于点E．下列三个结论：①∠ADB＝30°；②当∠α＝30°时，；③△ACE面积的最大值为．其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②C．①③D．②③
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上。
11．（4分）若的值为整数，则x的值可以为 .（写一个即可）
12．（4分）通常情况下，紫色石蕊试液遇酸性溶液变红色，遇碱性溶液变蓝色，李老师让学生用紫色石蕊试液检测五瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性．这五种溶液分别是：盐酸（呈酸性），氢氧化钠溶液（呈碱性），氢氧化钙溶液（呈碱性），稀硫酸（呈酸性），白醋（呈酸性）．小伟同学随机任选一瓶溶液，将紫色石蕊试液滴入其中进行检测，则溶液变红色的概率为 ．
13．（4分）桦卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式．如图，在某燕尾桦中，桦槽的横截面ABCD是梯形，其中AD∥BC，AB＝DC，燕尾角∠B＝60°，外口宽AD为10cm，椎槽深度为4cm，则它的里口宽BC为 cm（结果保留根号）．
14．（4分）如图，直线y＝kx+b与双曲线相交于A（2，3），B（a，﹣4）两点，则关于x的不等式的解集为 ．
15．（4分）如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在AB，AD边上，将△AEF沿直线EF折叠，使点A恰好落在CD的中点G处，若AB＝8，则AF的长为 ．
16．（4分）如图，抛物线y＝x2﹣4x+4的顶点为M，点A是抛物线上异于点M的一动点，连接AM，过点M作AM⊥BM交抛物线于点B，则点M到直线AB的距离的最大值为 ．
三、解答题（本大题9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）先化简，再求值：，其中．
18．（8分）如图，在△ABC中，点D是AB中点，点E是CD上一点，过点B作BF∥AE，交CD的延长线于点F．
（1）求证：DE＝DF；
（2）连接AF，BE，判断AF和BE的位置关系，并说明理由．
19．（8分）某校为增强学生对国防知识的了解，激发青少年的崇军爱国之志，在八、九年级开展国防知识竞赛，两年级随机各抽取5名同学参赛选手的成绩统计如图所示，根据统计图所给信息解答下列问题：
参赛选手成绩数据分析表
（1）统计表中m＝ ，n＝ ．
（2）根据统计数据分析本次竞赛，八，九年级中哪个年级成绩更好？说明理由．
（3）赛后，学校决定八、九年级竞赛成绩分列年级前两名的同学与校长合影，校长坐最中间，其余四名同学随机就座，座位号分别记为1，2，3，4（如图所示）．请用画树状图或列表的方法，求八年级两名同学均与校长相邻的概率．
20．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x+2m﹣10＝0．
（1）求证：此一元二次方程总有实数根；
（2）已知△ABC两边长a，b分别为该方程的两个实数根，且第三边长c＝3，若△ABC的周长为偶数，求m的值．
21．（10分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象在第二象限交于A（﹣6，1），B（m，6）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点M在线段AB上，过点M作MC⊥x轴于点C，交反比例函数的图象于点N，若△OMN的面积为2，求点M的坐标．
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O，交AB于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E，连接CD，OB，OB交DE于点F．
（1）求证：BE＝CE；
（2）若OA＝3，，求DF的长．
23．（10分）南充古称有“果氏之国”，素有“果城”盛誉，有近2000年的柑橘种植历史，所产“黄柑”常为古代朝廷贡品．每年10月底至第二年4月，总会吸引大批游客前来品尝．当地某商家为回馈顾客，将标价为20元/千克的某品牌柑橘降价销售7天后，第二次降价到16.2元/千克又销售了7天，且两次降价的百分率相同．设销售时间为x（天）（x为正整数），日销量为y（kg），日储存及损耗费为z（元），y与x满足函数关系y＝；z与x满足函数关系z＝．（注：利润＝销售毛利润﹣储存及损耗费）（1）求此品牌柑橘每次降价的百分率；
（2）已知此品牌柑橘进价为8.2元/kg，设销售该柑橘的日利润为w（元），求w与x（1≤x≤14）之间的函数解析式．并求第几天时销售利润最大？最大利润为多少元？
（3）在（2）的条件下，求这14天中有多少天的利润不低于948元？
24．（10分）如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A，B重合），AF⊥DE于点O，交BC于点F，点G在OD上，OG＝OA，∠DOF的平分线交CG于点M，连接DM并延长与AF的延长线交于点N．
（1）求证：AE＝BF；
（2）点E在AB边上运动时，探究∠ODM的大小是否发生变化？若不变，求出∠ODM的度数；若变化，说明理由；
（3）若AB＝10，当点E运动到AB中点时，求BN的长．
25．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+c与x轴交于A（6，0），B两点，与y轴交于点C，OA＝2OC，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点M是y轴上一动点，当△ADM为等腰三角形时，求点M的坐标；
（3）如图2，过点C作CE⊥BC交x轴于点E，交OD于点F．抛物线上是否存在一点P，使∠BCO+∠PEC＝∠CFO？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
2024年四川省南充市中考数学二诊试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每个小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的.请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂均记0分。
1．（4分）方程3x﹣1＝0的根是（ ）
A．3B．C．﹣D．﹣3
【答案】B
【分析】先移项，再化系数为1，从而得到方程的解．
【解答】解：移项得：3x＝1，
化系数为1得：x＝，
故选：B．
2．（4分）如图，线段AB的两个端点坐标分别为A（4，6），B（6，3），以原点O为位似中心，将线段AB在第一象限缩小为原来的，则点A的对应点C的坐标为（ ）
A．（2，3）B．（3，2）C．D．
【答案】A
【分析】根据位似变换的性质计算即可．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，将线段AB在第一象限缩小为原来的，点A的坐标为（4，6），
∴点A的对应点C的坐标为（4×，6×），即（2，3），
故选：A．
3．（4分）2024年国务院政府工作报告指出：经济总体回升向好，国内生产总值超过126万亿元，增长5.2%，增速居世界主要经济体前列，将126万亿用科学记数法表示为（ ）
A．126×1012B．1.26×1014C．1.26×1013D．12.6×1013
【答案】B
【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【解答】解：126万亿＝126000000000000＝1.26×1014，
故选：B．
4．（4分）已知x﹣y＝1，且2﹣y＞0，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1B．x＞3C．x＜1D．x＜3
【答案】D
【分析】根据已知易得：y＝x﹣1，从而可得2﹣（x﹣1）＞0，然后按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答．
【解答】解：∵x﹣y＝1，
∴y＝x﹣1，
∵2﹣y＞0，
∴2﹣（x﹣1）＞0，
2﹣x+1＞0，
﹣x＞﹣1﹣2，
﹣x＞﹣3，
x＜3，
故选：D．
5．（4分）我国明朝珠算发明家程大位著作的《直指算法统宗》，是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中记载了问题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．”其大意是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，问大、小和尚各有多少人？若设大和尚有x人，据题意可列方程为（ ）
A．3B．
C．D．
【答案】B
【分析】设大和尚有x人，根据有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，列出方程即可．
【解答】解：设大和尚有x人，则小和尚有（100﹣x）人，
由题意得：．
故选：B．
6．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，连接BO并延长与AC交于点D，则∠AOD的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．65°
【答案】B
【分析】根据三角形的内角和定理得到∠CAB+∠CBA＝90°，由⊙O是△ABC的内切圆，得到AO平分∠CAB，OB平分∠ABC，根据角平分线的定义得到∠OAB＝∠CAB，∠OBA＝∠CBA，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴AO平分∠CAB，OB平分∠ABC，
∴∠OAB＝∠CAB，∠OBA＝∠CBA，
∴∠OAB+∠OBC＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，
∴∠AOD＝∠OAB+∠OBA＝45°，
故选：B．
7．（4分）若将抛物线y＝ax2+bx+c向右平移3个单位或向左平移1个单位后都经过点（1，0），则下列结论正确的是（ ）
A．b＝0B．4a+b＝0C．4a﹣b＝0D．a+b+c＝0
【答案】A
【分析】由题意可知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点为（﹣2，0）和（2，0），则抛物线的对称轴为y轴，即可求得b＝0．
【解答】解：∵将抛物线y＝ax2+bx+c向右平移3个单位或向左平移1个单位后都经过点（1，0），
∴抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0）和（2，0），
∴﹣＝，
∴b＝0．
故选：A．
8．（4分）如图，分别以A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，过点M，N作直线，分别与AB，AP交于点D，E，再以点D为圆心BD长为半径画弧，与AP交于点C，连接BC．若BC＝5，AC＝12，则下列结论错误的是（ ）
A．AD＝BDB．∠ACB＝90°
C．D．
【答案】D
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AE＝BE，AD＝BD，DE⊥AB，故A正确，求得CD＝，得到∠ACB＝90°，故B正确；根据勾股定理得到AB＝＝＝13，AE＝，求得DE＝＝，故C正确；根据三角函数的定义得到sin∠CBE＝＝＝，故D错误．
【解答】解：连接CD，
由作图知，DE垂直平分AB，CD＝BD，
∴AE＝BE，AD＝BD，DE⊥AB，故A正确，
∴CD＝，
∴∠ACB＝90°，故B正确；
∴AB＝＝＝13，
∵CE2+BC2＝BE2，
∴（12﹣AE）2+52＝AE2，
∴AE＝，
∵AD＝AB＝，
∴DE＝＝，故C正确；
∵CE＝AC﹣AE＝，
∴sin∠CBE＝＝＝，故D错误，
故选：D．
9．（4分）已知实数a，b满足a2+11a﹣13＝0，13b2+11b﹣1＝0，且ab≠﹣1，则的值为（ ）
A．﹣1B．C．D．
【答案】C
【分析】将13b2+11b﹣1＝0变形为据此可知 为方程 x2+11x﹣13＝0 的两个实数根，根据根与系数的关系得到ab＝1﹣11b，a＝13b，代入所求代数式化简即可．
【解答】解：13b2+11b﹣1＝0，易得b≠0，方程两侧同除﹣b2得：
，
又∵a2+11a﹣13＝0，且ab≠﹣1，
∴ 为方程 x2+11x﹣13＝0 的两个不相等的实数根，
∴，
整理得：ab＝1﹣11b，a＝13b，
∴，
故选：C．
10．（4分）如图，在等边△ABC中，AB＝4，将BC绕点C逆时针旋转∠α（0°＜α≤120°），得线段DC，连接AD，BD，作∠ACD的平分线CE交射线DB于点E．下列三个结论：①∠ADB＝30°；②当∠α＝30°时，；③△ACE面积的最大值为．其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②C．①③D．②③
【答案】C
【分析】①首先利用等边三角形的性质和性质的性质得到AC＝BC＝CD，然后利用的等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解；
②如图，过A作AF⊥DE于F，利用等腰三角形的性质得到∠ADE＝∠DAE＝30°，然后利用已知条件得到∠ACD＝90°，接着利用勾股定理和三角函数即可求解；
③根据①∠AEC＝90°﹣∠DAE＝60°，故点E在△ABC 的外接圆⊙O上，当点E到AC的距离最大时，△ACE面积有最大值，由此即可求解．
【解答】解：①等边△ABC中，∠ACB＝60°，由旋转的性质可得：AC＝BC＝CD，
∴∠CDA＝＝60°﹣α，∠CDB＝＝90°﹣α，
∴，故①正确；
②如图，过A作AF⊥DE于F，
∵CE平分线∠ACD，AC＝CD，
∴CE垂直平分AD，
∴AE＝DE，
∴∠ADE＝∠DAE＝30°，
∴∠AEF＝60°，
当∠α＝30°时，∠ACD＝90°，
在Rt△ACD中，，
而∠ADB＝30°，
∴，
在Rt△ABF中，，
∴，
∴，故②错误；
③根据①∠AEC＝90°﹣∠DAE＝60°，故点E在△ABC 的外接圆⊙O上，
当点E到AC的距离最大时，△ACE面积有最大值，
此时点E与B重合，
∴△ACE面积的最大值为 ，故③正确，
故选：C．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上。
11．（4分）若的值为整数，则x的值可以为 3（答案不唯一） .（写一个即可）
【答案】3（答案不唯一）．
【分析】根据算术平方根的定义进行解题即可．
【解答】解：∵的值为整数，
∴x＝3．
故答案为：3（答案不唯一）．
12．（4分）通常情况下，紫色石蕊试液遇酸性溶液变红色，遇碱性溶液变蓝色，李老师让学生用紫色石蕊试液检测五瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性．这五种溶液分别是：盐酸（呈酸性），氢氧化钠溶液（呈碱性），氢氧化钙溶液（呈碱性），稀硫酸（呈酸性），白醋（呈酸性）．小伟同学随机任选一瓶溶液，将紫色石蕊试液滴入其中进行检测，则溶液变红色的概率为 ．
【答案】．
【分析】直接根据概率公式解答即可．
【解答】解：∵将紫色石蕊试液滴入盐酸（呈酸性），稀硫酸（呈酸性），白醋（呈酸性）中，溶液变红色，
∴溶液变红色的概率＝．
故答案为：．
13．（4分）桦卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式．如图，在某燕尾桦中，桦槽的横截面ABCD是梯形，其中AD∥BC，AB＝DC，燕尾角∠B＝60°，外口宽AD为10cm，椎槽深度为4cm，则它的里口宽BC为 cm（结果保留根号）．
【答案】．
【分析】过点A作AE⊥BC，垂足为E，过点D作DF⊥BC，垂足为F，根据垂直定义可得∠AEB＝∠DFC＝90°，然后在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，再利用HL证明Rt△ABE≌Rt△DCF，从而可得BE＝CF＝cm，最后根据题意得：AD＝EF＝10cm，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，过点D作DF⊥BC，垂足为F，
∴∠AEB＝∠DFC＝90°，
在Rt△ABE中，∠B＝60°，
∴BE＝＝＝（cm），
∵AD∥BC，
∴AE＝DF＝4cm，
∵AB＝CD，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），
∴BE＝CF＝cm，
由题意得：AD＝EF＝10cm，
∴BC＝BE+EF+CF＝（cm），
故答案为：．
14．（4分）如图，直线y＝kx+b与双曲线相交于A（2，3），B（a，﹣4）两点，则关于x的不等式的解集为 x＜﹣ ．
【答案】x＜﹣．
【分析】先求得点B的坐标，然后根据图象即可求解．
【解答】解：∵直线y＝kx+b与双曲线相交于A（2，3），B（a，﹣4）两点，
∴m＝2×3＝﹣4a，
∴a＝﹣，
∴B（﹣，﹣4），
∴关于x的不等式的解集为x＜﹣，
故答案为：．
15．（4分）如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在AB，AD边上，将△AEF沿直线EF折叠，使点A恰好落在CD的中点G处，若AB＝8，则AF的长为 ．
【答案】．
【分析】过点G作GH⊥AD交AD的延长线于点H，求出DH，GH，设AF＝x，用x表示出GF，FH，再在Rt△FGH中，利用勾股定理列方程解出即可．
【解答】解：过点G作GH⊥AD交AD的延长线于点H，
设AF＝x，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝8，∠A＝60°，
∴AD＝CD＝8，DF＝8﹣x，∠GDH＝60°，
∵点G是CD的中点，
∴DG＝4，
在Rt△GDH中，
DH＝DG•cs60°＝2，GH＝DG•sin60°＝，
∴FH＝DF+DH＝8﹣x+2＝10﹣x，
在Rt△FGH中，
由勾股定理，得FH2+GH2＝GF2，
即（10﹣x）2+（）2＝x2，
解得x＝，
故答案为：．
16．（4分）如图，抛物线y＝x2﹣4x+4的顶点为M，点A是抛物线上异于点M的一动点，连接AM，过点M作AM⊥BM交抛物线于点B，则点M到直线AB的距离的最大值为 1 ．
【答案】1．
【分析】如图，AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，ME⊥AB于E，设A（m，m2﹣4m+4），B（n，n2﹣4n+4），直线AB的解析式为：y＝kx+b，利用待定系数法得到y＝（m+n﹣4）x﹣mn+4，又因为AM⊥BM，AC⊥x，BD⊥x，则∠AMB＝∠ACM＝∠MDB＝90°，推出∠CAM＝∠DMB，
则△CAM∽△DMB，所以，则mn＝2m+2n﹣5，得到y＝（m+n﹣4）（x﹣2）+1，当x﹣2＝0时，即x＝2时，y＝1，则直线AB必过定点N（2，1），根据垂线段最短可知，点M到直线AB的距离ME≤MN，故点M到直线AB的最大距离为1．
【解答】解：如图，AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，ME⊥AB于E，
设A（m，m2﹣4m+4），B（n，n2﹣4n+4），直线AB的解析式为：y＝kx+b，
∴，解得，
∴y＝（m+n﹣4）x﹣mn+4，
∵AM⊥BM，AC⊥x，BD⊥x，
∴∠AMB＝∠ACM＝∠MDB＝90°，
∴∠AMC+∠DMB＝90°，∠AMC+∠CAM＝90°，
∴∠CAM＝∠DMB，
∴△CAM∽△DMB，
∴＝，
∴（m﹣2）（n﹣2）＝﹣1，
∴mn＝2m+2n﹣5，
∴y＝（m+n﹣4）x﹣mn+4＝（m+n﹣4）x﹣2m﹣2n+5+4，
＝（m+n﹣4）x﹣2（m+n﹣4）+1，
∴y＝（m+n﹣4）（x﹣2）+1，
当x﹣2＝0 时，即x＝2时，y＝1，
∴直线AB必过定点N（2，1），根据垂线段最短可知，点M到直线AB的距离ME≤MN，
故点M到直线AB的最大距离为1．
故答案为：1．
三、解答题（本大题9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）先化简，再求值：，其中．
【答案】，原式＝．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：
＝
＝•
＝，
当时，原式＝．
18．（8分）如图，在△ABC中，点D是AB中点，点E是CD上一点，过点B作BF∥AE，交CD的延长线于点F．
（1）求证：DE＝DF；
（2）连接AF，BE，判断AF和BE的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）BE∥AF，理由见解答．
【分析】（1）证明△ADE≌△BDF（AAS），即可解决问题；
（2）结合（1）证明四边形AEBF是平行四边形，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵点D是AB中点，
∴AD＝BD，
∵BF∥AE，
∴∠DAE＝∠DBF，∠DEA＝∠DFB，
在△ADE和△BDF中，
，
∴△ADE≌△BDF（AAS），
∴DE＝DF；
（2）解：BE∥AF，理由如下：
∵DE＝DF，AD＝BD，
∴四边形AEBF是平行四边形，
∴BE∥AF．
19．（8分）某校为增强学生对国防知识的了解，激发青少年的崇军爱国之志，在八、九年级开展国防知识竞赛，两年级随机各抽取5名同学参赛选手的成绩统计如图所示，根据统计图所给信息解答下列问题：
参赛选手成绩数据分析表
（1）统计表中m＝ 85 ，n＝ 90 ．
（2）根据统计数据分析本次竞赛，八，九年级中哪个年级成绩更好？说明理由．
（3）赛后，学校决定八、九年级竞赛成绩分列年级前两名的同学与校长合影，校长坐最中间，其余四名同学随机就座，座位号分别记为1，2，3，4（如图所示）．请用画树状图或列表的方法，求八年级两名同学均与校长相邻的概率．
【答案】（1）85；90．
（2）九年级成绩更好，理由见解答．
（3）．
【分析】（1）根据中位数和众数的定义可得答案．
（2）结合八年级和九年级的平均数、中位数、众数可得结论．
（3）列表可得八年级两名同学的所有等可能的就座结果，以及八年级两名同学均与校长相邻的结果，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）将八年级5名参赛选手的成绩按照从小到大的顺序排列，排在第3名的成绩为85，
∴八年级参赛选手成绩的中位数m＝85．
由统计图可知，九年级参赛选手成绩的众数n＝90．
故答案为：85；90．
（2）九年级成绩更好．
理由：八年级和九年级的平均分相同，但九年级成绩的中位数大于八年级成绩的中位数，九年级成绩的众数大于八年级成绩的众数，
所以九年级成绩更好．
（3）八年级两名同学的所有等可能的就座情况列表如下：
共有12种等可能的结果，其中八年级两名同学均与校长相邻的结果有：（2，3），（3，2），共2种，
∴八年级两名同学均与校长相邻的概率为＝．
20．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x+2m﹣10＝0．
（1）求证：此一元二次方程总有实数根；
（2）已知△ABC两边长a，b分别为该方程的两个实数根，且第三边长c＝3，若△ABC的周长为偶数，求m的值．
【答案】（1）见解答过程；
（2）m＝8．
【分析】（1）由根的判别式进行求解即可；
（2）由根与系数的关系可得：a+b＝m﹣3，ab＝2m﹣10，再结合三角形的三边关系进行求解即可．
【解答】证明：（1）Δ＝[﹣（m﹣3）]2﹣4×1×（2m﹣10）
＝﹣m﹣14m+4y
＝（m﹣7）2，
∵无论m为何实数，（m﹣7）≥0，即△≥0，
∴方程总有实数根；
（2）解：由题意得：a+b＝m﹣3，ab＝2m﹣10，
设a＞b，则：，
据题意得：a﹣b＞3，则有：|m﹣7|＞3，
解得：6＜m＜10，
∵△ABC的周长：a+b+c＝m﹣3+3＝m，
∵周长m为偶数，
∴m＝8．
21．（10分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象在第二象限交于A（﹣6，1），B（m，6）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点M在线段AB上，过点M作MC⊥x轴于点C，交反比例函数的图象于点N，若△OMN的面积为2，求点M的坐标．
【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数解析式为：y＝x+7；
（2）点M的坐标为（﹣2，5）或（﹣5，2）．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）设M（m，m+7），﹣6≤m≤﹣1，则C（m，0），，利用三角形面积公式得到＝2，整理得：m2+7m+10＝0，解方程即可求得m的值，从而求得点M的坐标．
【解答】解：（1）∵点A（﹣6，1）在反比例函数的图象上，
∴k′＝﹣6×1＝﹣6，
∴反比例函数解析式为，
∵点B（m，6）在反比例函数 的图象上，
∴，则m＝﹣1，
∴B（﹣1，6），
把 A（﹣6，1）B（﹣1，6）代入y＝kx+b 得，
解得，
∴一次函数解析式为：y＝x+7；
（2）设M（m，m+7），﹣6≤m≤﹣1，则C（m，0），，
∴OC＝﹣m，，
∴，
∴，整理得：m2+7m+10＝0，解得m1＝﹣2，m2＝﹣5，
∴点M的坐标为（﹣2，5）或（﹣5，2）．
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O，交AB于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E，连接CD，OB，OB交DE于点F．
（1）求证：BE＝CE；
（2）若OA＝3，，求DF的长．
【答案】（1）证明见解答；
（2）DF的长是．
【分析】（1）由AC为⊙O的直径，得∠ADC＝∠BDC＝90°，再证明BC是⊙O的切线，由切线长定理得CE＝DE，则∠ECD＝∠EDC，即可推导出∠EBD＝∠BDE，得BE＝DE，所以BE＝CE；
（2）连接OE，根据三角形的中位线定理证明OE∥AB，则∠CEO＝∠EBD＝∠BDE，由＝cs∠BDE＝，得CE＝OE，则OC＝OE＝3，求得OE＝5，CE＝DE＝4，BC＝8，由＝cs∠BDE＝，求得BD＝BC＝，再证明△OEF∽△BDF，得＝＝，则DF＝．
【解答】（1）证明：∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠BDC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴BC⊥AC，
∴BC是⊙O的切线，
∴CE＝DE，
∴∠ECD＝∠EDC，
∵∠EBD+∠ECD＝90°，∠BDE+∠EDC＝90°，
∴∠EBD＝∠BDE，
∴BE＝DE，
∴BE＝CE．
（2）解：连接OE，
∵OA＝OC＝3，BE＝CE，
∴OE∥AB，
∴∠CEO＝∠EBD＝∠BDE，
∴＝cs∠CEO＝cs∠BDE＝，
∴CE＝OE，
∴OC＝＝＝OE＝3，
∴OE＝5，
∴CE＝DE＝OE＝×5＝4，
∴BC＝2CE＝2×4＝8，
∵＝cs∠EBD＝cs∠BDE＝，
∴BD＝BC＝×8＝，
∵OE∥BD，
∴△OEF∽△BDF，
∴＝＝＝，
∴DF＝DE＝DE＝×4＝，
∴DF的长是．
23．（10分）南充古称有“果氏之国”，素有“果城”盛誉，有近2000年的柑橘种植历史，所产“黄柑”常为古代朝廷贡品．每年10月底至第二年4月，总会吸引大批游客前来品尝．当地某商家为回馈顾客，将标价为20元/千克的某品牌柑橘降价销售7天后，第二次降价到16.2元/千克又销售了7天，且两次降价的百分率相同．设销售时间为x（天）（x为正整数），日销量为y（kg），日储存及损耗费为z（元），y与x满足函数关系y＝；z与x满足函数关系z＝．（注：利润＝销售毛利润﹣储存及损耗费）（1）求此品牌柑橘每次降价的百分率；
（2）已知此品牌柑橘进价为8.2元/kg，设销售该柑橘的日利润为w（元），求w与x（1≤x≤14）之间的函数解析式．并求第几天时销售利润最大？最大利润为多少元？
（3）在（2）的条件下，求这14天中有多少天的利润不低于948元？
【答案】（1）10%；（2）当x＝10时，即第10天利润最大，最大利润为960元；（3）6天．
【分析】（1）依据题意，设每次降价的百分率为a，从而可得20（1﹣a）2＝16.2，解方程即可判断得解；
（2）依据题意，第一次降价后的价格为20×（1﹣10% ）＝18 元，从而可得当1≤x≤7时，w＝﹣32.4x+989，当8≤x≤14时，w＝﹣3（x﹣10）2+960，进而分类讨论分析即可得解；
（3）依据题意，由①当1≤x≤7时②当8≤x≤14时两种情形分别进行计算分析进而可以判断得解．
【解答】解：（1）设由题意，设每次降价的百分率为a，据题意可得
20（1﹣a）2＝16.2．
∴a1＝0.1＝10%，a2＝1.9＝190%（不符合题意，舍去）．
答：此品牌柑橘每次降价的百分率为10%．
（2）由题意，第一次降价后的价格为20×（1﹣10% ）＝18 元．
当1≤x≤7时，w＝（18﹣8.2）（105﹣3x）﹣（40+3x）＝﹣32.4x+989．
当8≤x≤14时，w＝（16.2﹣8.2）（120﹣x）﹣（3x2﹣68x+300）
＝﹣3x2+60x+660＝﹣3（x﹣10）2+960．
①当1≤x≤7时，w＝﹣32.4x+989．
∵k＝﹣32.4＜0，w随x的增大而减小，
∴当x＝1时，W最大＝﹣32.4×1+989＝956.6（元）．
②当8≤x≤14时，w＝﹣3（x﹣10）2+960．
∵a＝﹣3＜0，
∴当x＝10时，W最大值为960（元）
综上可知：956.6＜960，
∴当x＝10时，即第10天利润最大，最大利润为960元．
（3）由题意，①当1≤x≤7时，y＝﹣32.4x+989≥948，
∴解得：．
∴．
又x为正整数，
∴x＝1，故此时为1天利润不低于948元．
②当8≤x≤14时，w＝﹣3（x﹣10）2+960＝948，
∴解得：x1＝8，x2＝12．
∴当8≤x≤12时，有w≥948，此时x＝8，9，10，11，12．
故此时有5天利润不低于948元．
又1+5＝6（天），
综上可知，共有6天利润不低于948元．
24．（10分）如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A，B重合），AF⊥DE于点O，交BC于点F，点G在OD上，OG＝OA，∠DOF的平分线交CG于点M，连接DM并延长与AF的延长线交于点N．
（1）求证：AE＝BF；
（2）点E在AB边上运动时，探究∠ODM的大小是否发生变化？若不变，求出∠ODM的度数；若变化，说明理由；
（3）若AB＝10，当点E运动到AB中点时，求BN的长．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）∠ODM的大小不会变化，∠ODM＝45°；
（3）BN＝2．
【分析】（1）由DE⊥AF，可证∠ADE＝∠BAF，从而△ADE≌△BAF（ASA），得AE＝BF；
（2）过点D作DK⊥DO，与OM的延长线交于点K，连接CK，证明△CDK≌△ADO（SAS），得CK＝OA，∠CKD＝∠AOD＝90°，再证△CKM≌△GOM（AAS），得OM＝KM，故DM平分∠ODK，∠ODM＝∠ODK＝45°；
（3）连接BD，用面积法求出OA＝＝2，再证△ADO∽△BDN，可得＝，故BN＝2．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝AB，∠DAE＝∠ABF＝90°，
∵DE⊥AF，
∴∠AOE＝90°，
∴∠BAF+∠AED＝90°，
∵∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF，
∴△ADE≌△BAF（ASA）
∴AE＝BF；
（2）解：∠ODM的大小不会变化，理由如下：
过点D作DK⊥DO，与OM的延长线交于点K，连接CK，如图：
∴∠ODK＝90°，
∴∠CDK+∠ODC＝90°，
又∠ADO+∠ODC＝90°，
∴∠CDK＝∠ADO，
∵OM平分∠DON，
∴∠DOM＝∠DON＝45°，
∴∠DKO＝90°﹣∠DOM＝45°，
∴∠DOM＝∠DKO，
∴DK＝DO，
又CD＝AD，
∴△CDK≌△ADO（SAS），
∴CK＝OA，∠CKD＝∠AOD＝90°，
∵OA＝OG，
∴CK＝OG，
∵∠DKO＝45°，
∴∠CKM＝∠CKD﹣∠DKO＝45°，
∴∠CKM＝∠GOM，
又∠CMK＝∠GMO，
∴△CKM≌△GOM（AAS），
∴OM＝KM，
∴DM平分∠ODK，
∴∠ODM＝∠ODK＝45°；
（3）解：连接BD，如图：
∵E为AB中点，
∴AE＝AB＝5，
∴BF＝AE＝5，DE＝＝＝5，
∵S△ADE＝AD•AE＝DE•OA，
∴OA＝＝＝2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴＝，
由（2）知，∠ODM为定值，且∠ODM＝45°，
∴△ODN是等腰直角三角形，
∴＝，
∴，
∵∠ADO＝∠ADB﹣∠EDB＝45°﹣∠EDB，
∠BDN＝∠ODN﹣∠EDB＝45°﹣∠EDB，
∴∠ADO＝∠BDN，
∴△ADO∽△BDN，
∴，即＝，
∴BN＝2．
25．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+c与x轴交于A（6，0），B两点，与y轴交于点C，OA＝2OC，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点M是y轴上一动点，当△ADM为等腰三角形时，求点M的坐标；
（3）如图2，过点C作CE⊥BC交x轴于点E，交OD于点F．抛物线上是否存在一点P，使∠BCO+∠PEC＝∠CFO？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；
（2）点M的坐标为（0，2）或；
（3）存在，点P的坐标为：．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）当MA＝MD 时，列出等式，即可求解；当AM＝AD或DA＝DM时，同理可解；
（3）当点P在x轴上方的抛物线上时，证明△CBO∽△CD，得到，求出I（﹣6，6），进而求解；当点P在x轴下方的抛物线上时，同理可解．
【解答】解：（1）∵A（6，0），OA＝2OC，
∴OC＝3，
∴C（0，﹣3），
由题意得：，
解得：，
则抛物线的解析式为：；
（2）抛物线 的顶点D的坐标为（2，﹣4），
∵A（6.0），
∴，则AD2＝32，
设M（0，m），则AM2＝62+m2＝m2+3，
则DM2＝（m+4）2+22＝m2+8m+20，
①当MA＝MD 时，有MA2＝MD2，
则m2+36＝m2+8m+20，
解得m＝2，
故 M1（0，2）；
②当AM＝AD时，有AM2＝AD2，则m2+36＝32，
此时无解；
③当DA＝DM时，有DA2＝DM2，则m2+8m+20＝32，
解得：或；
故，，
综上所述，点M的坐标为（0，2）或；
（3）存在，理由：
在抛物线上存在点P，使∠BCO+∠PEC＝∠CFO．
∵抛物线 交x轴于点B（﹣2，0），
则 ，
∵CE⊥BC，
∴∠BCE＝90°，
∴∠BCO+∠ECO＝90°，又∠OEC+∠ECO＝90°，
∴∠BCO＝∠OEC．
∵，
∴；
①当点P在x轴上方的抛物线上时，
作FG⊥OC 于G，DH⊥OE 于H，延长CB与直线EP交于点I，过点I作 I⊥y轴于J，
则GF∥OE，
∴∠GFC＝∠OEC＝∠BCO，∠OFG＝∠EOF，
∵∠BCO+∠PEC＝∠CFO，∠CFO＝∠GFO+∠GFC，
∴∠PEC＝∠GFO＝∠FOE，
∴，，
∴，
∵OB∥JI，
∴△CBO∽△CD，
∴，
∴，
∴Jl＝6，JC＝9，
∴JO＝6，
∴I（﹣6，6），
由I、E的坐标得，直线IE的解析式为，
联立上式和抛物线的表达式得：﹣x+＝﹣x2﹣x﹣3，
解得：x＝（不合题意的值已舍去），
则；
②当点P在x轴下方的抛物线上时，
延长BC与直线 EP2 交于点K．过点K作 KL⊥y轴于L，
则CK＝CI，则KL＝L＝6，CL＝C＝9，
∴K（6，﹣12），
则直线EK的解析式为：y＝﹣8x+36，
联立上式和抛物线的表达式得：﹣8x+36＝﹣x2﹣x﹣3，
解得：x＝﹣14+4（不合题意的值已舍去），
则点P2（﹣14+4，148﹣32），
综上所述，点P的坐标为：．
年级
平均分
中位数
众数
八年级
85
m
85
九年级
85
90
n
1
2
校长
3
4
年级
平均分
中位数
众数
八年级
85
m
85
九年级
85
90
n
1
2
校长
3
4
1
2
3
4
1
（1，2）
（1，3）
（1，4）
2
（2，1）
（2，3）
（2，4）
3
（3，1）
（3，2）
（3，4）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）