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专题21 平抛运动的基本规律和与斜面曲面相结合问题-【热重难点】最新高考物理一轮复习讲义
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1、有准备的去听，也就是说听课前要先预习，找出不懂的知识、发现问题，带着知识点和问题去听课会有解惑的快乐，也更听得进去，容易掌握;
2、参与交流和互动，不要只是把自己摆在“听”的旁观者，而是“听”的参与者。
3、听要结合写和思考。
4、如果你因为种种原因，出现了那些似懂非懂、不懂的知识，课上或者课后一定要花时间去弄懂。
其次，要学会记忆：
1、要学会整合知识点。把需要学习的信息、掌握的知识分类，做成思维导图或知识点卡片，会让你的大脑、思维条理清醒，方便记忆、温习、掌握。
2、合理用脑。
3、借助高效工具。学习思维导图，思维导图是一种将放射性思考具体化的方法，也是高效整理，促进理解和记忆的方法。最后，要学会总结：
一是要总结考试成绩，通过总结学会正确地看待分数。
1.摸透主干知识 2.能力驾驭高考 3.科技领跑生活
2024年高考物理一轮复习热点重点难点夯练与提升
专题21 平抛运动的基本规律和与斜面曲面相结合问题
【特训典例】
平抛运动基本规律
1．如图，正在平直公路行驶的汽车紧急刹车，位于车厢前端、离地高度分别为、的两件物品，因没有固定而散落到路面，相距。由此估算刹车时的车速最接近（ ）
A．40km/hB．50km/hC．70km/hD．90km/h
【答案】A
【详解】汽车紧急刹车后物品做平抛运动，平抛初速度等于汽车碰撞瞬间的行驶速度，设为v。
对于物品A，水平方向上，有竖直方式上，有对于物品B，水平方向上，有
竖直方式上，有根据题图分析可知解得汽车的行驶速度
所以刹车时的车速最接近40km/h故选A。
2．如图所示，空间有一底面处于水平地面上的长方体框架，已知：，从顶点A沿不同方向平抛小球（可视为质点）。关于小球的运动，则（ ）
A．所有小球单位时间内的速率变化量均相同
B．落在平面上的小球，末动能都相等
C．所有击中线段的小球，击中中点处的小球末动能最小
D．当运动轨迹与线段相交时，在交点处的速度偏转角均为
【答案】C
【详解】A．所有小球都是做平抛运动，只受重力，加速度为重力加速度g，所有小球单位时间内的速度变化率相同，故A错误；
B．所有落在平面A1B1C1D1上的小球，下落高度相同，由可知下落时间相同，而落到C1点的小球水平位移最大，所以落到C1点的小球的抛出初速度v0最大，所以落到C1点的小球的末速度最大，即落到C1点的小球的末动能最大，故B错误；
C．所有击中线段CC1的小球水平位移相同，设为x，击中线段CC1某点的小球的位移偏转角为，那么下落到该点的高度h为又由平抛规律和动能定理有；；
联立上式得可知当时，有最小值，再结合题目的几何关系知该点应为线段CC1的中点，故C正确；
D．当运动轨迹与线段AC1相交时，所有小球的位移偏转角相同，其正切值为再根据平抛推论知，所有小球速度偏转角相同，其正切值为由此可知在交点处的速度偏转角均不为60°，故D错误；故选C。
3．甲、乙两个小孩坐在一平台上玩抛皮球的游戏，分别向下面台阶抛球，如图所示。每级台阶的高度和宽度都相同均为L，抛球点在平台边缘上方L处，两人分别沿水平方向抛出皮球，甲小孩的皮球恰好落在第1级台阶的边缘，乙小孩的皮球恰好落在第7级台阶的边缘，不计空气阻力，皮球可看成质点，重力加速度g = 10m/s2，则（ ）
A．甲、乙两个小孩抛出的皮球从开始到落到台阶上用的时间之比为1：2
B．甲、乙两个小孩抛出的皮球从开始到落到台阶上用的时间之比为
C．甲、乙两个小孩抛出皮球的初速度之比为
D．甲、乙两个小孩抛出皮球的初速度之比为2：7
【答案】AD
【详解】AB．根据平抛运动规律，竖直方向上有运动时间为甲小孩抛球的竖直位移为h1= 2L，乙小孩抛球的竖直位移为h2= 8L，代入得甲、乙两个小孩抛出的皮球落到台阶上之前在空中运动的时间分别为；解得，A正确，B错误；
CD．根据平抛运动规律，水平方向上有x = v0t竖直方向上有解得初速度为
甲小孩抛球的水平位移为x1= L，乙小孩抛球的水平位移为x2= 7L，代入得甲、乙两个小孩抛出皮球的初速度分别为；解得初速度之比为，C错误，D正确。
故选AD。
4．在儿童游乐场有一种射击游戏，地面上圆形轨道的半径为R，轨道上的小车以角速度ω做匀速圆周运动，坐在小车上的游客使用玩具枪向处于轨道圆心处的立柱射击，某次射击时子弹恰好水平击中立柱的最高点，射击时枪口到立柱最高点的水平距离为x，竖直距离为h，重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．子弹射出枪口时的速度大小为
B．子弹射出枪口时的速度大小为
C．射击时枪管与水平面的夹角为θ，
D．射击时枪管与水平面的夹角为θ，
【答案】AD
【详解】AB．射击过程中所用的时间，射击时枪口到立柱最高点的水平距离为x，故水平方向的速度为竖直方向的速度为整理得子弹射出枪口时的速度大小为，A正确，B错误；
CD．射击时枪管与水平面的夹角为θ，子弹相对于地面水平方向速度为
则有，C错误，D正确。故选AD。
平抛运动与斜面相结合的问题
5．如图，飞机距离水平地面的高度为H，在水平方向以速度v0匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一箱质量为m的救援物资，救援物资打在山坡上的A点，A点的高度为h，不考虑空气阻力的影响，则（ ）
A．这箱物资在空中飞行的时间为
B．这箱物资落到A点时的动能为
C．A点距山坡底端的水平距离为
D．山坡的倾角θ满足
【答案】C
【详解】A．由可得这箱物资在空中飞行的时间为故A错误；
B．不考虑空气阻力的影响，只有重力做功，所以有可得
故B错误；
C．A点距山坡底端的水平距离即为物资的水平位移，则有故C正确；
D．山坡的倾角θ满足故D错误。故选C。
6．如图甲所示，挡板OA与水平面的夹角为，小球从O点的正上方高度为的P点以水平速度水平抛出，落到斜面时，小球的位移与斜面垂直；让挡板绕固定的O点转动，改变挡板的倾角，小球平抛运动的初速度也改变，每次平抛运动都使小球的位移与斜面垂直，关系图像如图乙所示，重力加速度，下列说法正确的是（ ）
A．图乙的函数关系图像对应的方程式
B．图乙中的数值
C．当图乙中，的值为
D．当，图乙中，则平抛运动的时间为
【答案】C
【详解】A．设平抛运动的时间为t，如图所示
把平抛运动的位移分别沿水平和竖直方向分解，由几何关系解得
根据几何关系有联立整理故A错误；
B．结合图乙函数关系图像可得故B错误；
C．由图乙可得函数关系图像的斜率又有，可得故C正确；
D．当，根据解得根据解得故D错误。故选C。
7．将小球从斜面上的A点以不同速度抛出，第一次水平抛出速度大小为；第二次垂直斜面抛出速度大小为，运动过程中不计空气阻力，最终小球都落在斜面上的B点，运动轨迹如图甲、乙所示。已知斜面倾角为45°，两次运动时间分别是、，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】水平方向竖直方向同时满足
联立解得，故选B。
8．主题口号为“一起向未来”的2022年北京冬奥会圆满落幕。跳台滑雪比赛在河北张家口举行，如图，跳台滑雪赛道由助滑道AB、着陆坡BC、停止区CD三部分组成。比赛中，甲、乙两运动员先后以速度、从B处沿水平方向飞出，分别落在了着陆坡的中点P和末端C，运动员可看成质点，不计空气阻力，着陆坡的倾角为，重力加速度为g，则（ ）
A．甲运动员从B点飞出到距离斜面最远所需要的时间
B．、的大小关系为
C．甲、乙两运动员落到着陆坡瞬间速度方向相同
D．甲运动员落到着陆坡瞬间速度方向与水平方向的夹角比乙的小
【答案】BC
【详解】A．甲运动员从点飞出到距离斜面最远时，速度方向与斜面平行，则有
解得，A错误；
B．设长度为l，对甲运动员有；对乙运动员有；
联立解得，B正确；
CD．据平抛运动的推论可知，速度偏角的正切满足甲、乙两运动员落到着陆坡时位移偏角相同，均为，故甲、乙两运动员落到着陆坡瞬间速度方向相同，C正确，D错误。故选BC。
平抛运动与圆面相结合的问题
9．一半径为R的四分之一圆弧轨道固定于竖直平面内，圆心为O，最高点A与O等高，如图所示，其中P为OB的中点，M、N是OB的3等分点，现在OB竖直线上各点水平抛出小球，重力加速度为g，下列说法中正确的是（ ）
A．从OP段水平抛出的小球，都不可能垂直落于AB圆弧轨道上
B．从PB段水平抛出的小球，都可能垂直落于AB圆弧轨道上
C．从M点水平抛出的小球，要使其能垂直落于AB圆弧轨道上，其初速度应为
D．从N点水平抛出的小球，要使其能垂直落于AB圆弧轨道上，其初速度应为
【答案】C
【详解】AB．设在OB上某点C水平抛出正好垂直落于圆弧上D点，可知速度反向延长线交于水平位移中点，如图所示，可见故PB段水平抛出的小球，都不可能垂直落于AB圆弧轨道上，故A、B错误；
CD．从M点水平抛出，可见竖直位移为，水平位移为，可得水平速度为，故C正确、D错误。故选C。
10．古代的水车是被做平抛运动的水流冲击而旋转的，可把此运动简化为如图所示的运动模型，半径为的竖直圆盘绕固定的圆心O以角速度做匀速圆周运动，AB是水平直径小球（视为质点)从O点的正上方P点水平抛出，小球运动到圆盘的边缘M点时速度正好与圆盘的边缘相切，且速度与圆盘边缘的线速度相等，OM与0B的夹角=37°，重方加速度为，不计空气阻力，sin37°=0.6、cs37°=0.8，下列说法正确的是（ ）
A．小球从P点到M点的运动时间为
B．小球平抛运动的初速度为
C．P点与O点的高度差为
D．小球从P点运动到M点的过程中，圆盘转过的角度为
【答案】A
【详解】ABD．圆盘边缘的线速度即小球在M点的速度为把小球在M点的速度v分别沿水平方向和竖直方向分解，可得小球平抛运动的初速度竖直方向的分速度平抛运动的时间
圆盘转过的角度综合解得；；，A正确，BD错误；
C．小球从P到M做平抛运动的高度，P、O两点的高度差解得
C错误。故选A。
11．如图所示，一竖直圆弧形槽固定于水平地面上，O为圆心，AB为沿水平方向的直径。若在A点以初速度v1平抛一小球，小球将击中槽壁上的最低点D点；若A点小球抛出的同时，在C点以初速度v2向左平抛另一个小球并也能击中D点，已知∠COD=60°，且不计空气阻力，则（ ）
A．两小球同时落到D点
B．两小球初速度大小之比为
C．两小球落到D点时的速度方向与OD线夹角相等
D．两小球落到D点时的瞬时速率之比为
【答案】BD
【详解】A．根据可知，向左平抛的另一个小球竖直下降的高度小一些，其先落到D点，A错误；
B．对A点抛出的小球有，对C点抛出的小球有，解得
，B正确；
C．A点抛出的小球落到D点时，C点抛出的小球落到D点时可知，两小球落到D点时的速度方向与OD线夹角不相等，C错误；
D．A点抛出的小球落到D点时，C点抛出的小球落到D点时
结合上述，解得，D正确。故选BD。
12．如图，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动（小球可视为质点），飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点。O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向夹角为60°，重力加速度为g，则（ ）
A．小球抛出时的初速度为B．小球抛出时的高度为
C．小球从A到B的时间为D．小球在B点对轨道无压力
【答案】BD
【详解】AC．飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，则知在B点速度与水平方向的夹角为30°，有
又则得；水平方向上小球做匀速直线运动，则有解得；故AC错误；
B．小球抛出时的高度为故B正确；
D．小球在B点的速度为；因此小球在B点做离心运动，对轨道无压力，故D正确。故选BD。
平抛运动与任意曲面相结合的问题
13．如图所示，在竖直平面内创建平面直角坐标系，有一曲面轨道，轨道方程为 ，在轴上有一点P（，），从P点将一小球水平抛出，初速度为，不计空气阻力，取， 则小球第一次打在曲面上的位置坐标为 （ ）
A．（3m，3m）B．（2m，4m）C．（1m，1m）D．（1m，2m）
【答案】C
【详解】设小球经过时间打在曲面轨道上（，）点，则水平方向有竖直方向有
又联立解得，，C正确，ABD错误；故选C。
14．如图所示，曲线AOB在竖直平面直角坐标系xOy中满足方程，其中a为常数。从曲线上A、B两点分别以初速度大小、水平抛出两小球，两小球同时击中O点，不计空气阻力，则下列判断正确的是（ ）
A．两小球必须同时抛出B．两小球初速度大小与相等
C．两小球击中O点时速度大小相同D．两小球击中O点时重力的瞬时功率相等
【答案】B
【详解】A．因则可得，A球先抛出才能同时击中O点，A错误；
B．设A、B两点的坐标分别为、则，，，
联立解得，B正确；
C．因，但竖直方向有故两分速度合成后可知O点的速度不同，C错误；
D．两球在O点重力瞬时功率为即击中O点时重力的瞬时功率不相等，D错误。
故选B。
15．如图所示，以O为原点在竖直面内建立平面直角坐标系：第Ⅳ象限挡板形状满足方程y＝x2（单位：m），小球从第Ⅱ象限内半径为0.5m的四分之一光滑圆弧轨道某处由静止释放，通过O点后开始做平抛运动，击中挡板上的P点时速度最小，取重力加速度大小10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．P点的坐标为（1，）
B．小球经过O点时的速度大小为3m/s
C．小球击中P点时的速度大小为5m/s
D．小球经过O点时对轨道的压力等于自身所受重力的3倍
【答案】CD
【详解】ABC．设小球在圆弧轨道释放位置与x轴的竖直距离为h（h≤R＝0.5m），小球到达O点时的速度v，根据动能定理，得解得小物块从O点飞出做平抛运动，根据平抛运动规律，竖直位移
水平位移又题中满足联立整理得达到P点的竖直末速度
达到P点的速度，取最小值，则必须满足解得
取最小值为，进而可得，验证，因解得h＝0.5m恰好等于圆弧轨道半径，故上述解答成立，故AB错误，C正确；
D．小球在O点，根据牛顿第二定律得代入数据解得根据牛顿第三定律，小球对轨道的压力为，即为重力的3倍，故D正确。故选CD。
16．如图所示，在竖直的平面直角坐标系xOy中，一无阻挡的抛物线边界y=x2把平面分为两部分，在y轴上A处有一质点小球以v0=2m/s的初速度垂直于y轴射出，已知OA=5m，不计空气阻力，g=10m/s2，则（ ）
A．小球到达边界的时间为
B．小球到达边界的位置为（-2m，4m）
C．小球到达x轴时速度方向与x轴负方向成
D．经过足够长的时间，小球速度方向一定和y轴平行
【答案】AB
【详解】AB．小球做平抛运动，其运动轨迹方程由数学知识可得为联立
可得，故坐标为（-2m，4m），故达到边界的时间故AB正确；
C、小球下落OA高度时，竖直方向的速度大小为到达x轴时速度方向与水平方向的夹角，不为，故C错误；
D．根据可知由于有初速度，故不可能与y轴平衡，故D错误。故选AB。
特训目标
特训内容
目标1
平抛运动基本规律（1T—4T）
目标2
平抛运动与斜面相结合的问题（5T—8T）
目标3
平抛运动与圆面相结合的问题（9T—12T）
目标4
平抛运动与任意曲面相结合的问题（13T—16T）
1、有准备的去听，也就是说听课前要先预习，找出不懂的知识、发现问题，带着知识点和问题去听课会有解惑的快乐，也更听得进去，容易掌握;
2、参与交流和互动，不要只是把自己摆在“听”的旁观者，而是“听”的参与者。
3、听要结合写和思考。
4、如果你因为种种原因，出现了那些似懂非懂、不懂的知识，课上或者课后一定要花时间去弄懂。
其次，要学会记忆：
1、要学会整合知识点。把需要学习的信息、掌握的知识分类，做成思维导图或知识点卡片，会让你的大脑、思维条理清醒，方便记忆、温习、掌握。
2、合理用脑。
3、借助高效工具。学习思维导图，思维导图是一种将放射性思考具体化的方法，也是高效整理，促进理解和记忆的方法。最后，要学会总结：
一是要总结考试成绩，通过总结学会正确地看待分数。
1.摸透主干知识 2.能力驾驭高考 3.科技领跑生活
2024年高考物理一轮复习热点重点难点夯练与提升
专题21 平抛运动的基本规律和与斜面曲面相结合问题
【特训典例】
平抛运动基本规律
1．如图，正在平直公路行驶的汽车紧急刹车，位于车厢前端、离地高度分别为、的两件物品，因没有固定而散落到路面，相距。由此估算刹车时的车速最接近（ ）
A．40km/hB．50km/hC．70km/hD．90km/h
【答案】A
【详解】汽车紧急刹车后物品做平抛运动，平抛初速度等于汽车碰撞瞬间的行驶速度，设为v。
对于物品A，水平方向上，有竖直方式上，有对于物品B，水平方向上，有
竖直方式上，有根据题图分析可知解得汽车的行驶速度
所以刹车时的车速最接近40km/h故选A。
2．如图所示，空间有一底面处于水平地面上的长方体框架，已知：，从顶点A沿不同方向平抛小球（可视为质点）。关于小球的运动，则（ ）
A．所有小球单位时间内的速率变化量均相同
B．落在平面上的小球，末动能都相等
C．所有击中线段的小球，击中中点处的小球末动能最小
D．当运动轨迹与线段相交时，在交点处的速度偏转角均为
【答案】C
【详解】A．所有小球都是做平抛运动，只受重力，加速度为重力加速度g，所有小球单位时间内的速度变化率相同，故A错误；
B．所有落在平面A1B1C1D1上的小球，下落高度相同，由可知下落时间相同，而落到C1点的小球水平位移最大，所以落到C1点的小球的抛出初速度v0最大，所以落到C1点的小球的末速度最大，即落到C1点的小球的末动能最大，故B错误；
C．所有击中线段CC1的小球水平位移相同，设为x，击中线段CC1某点的小球的位移偏转角为，那么下落到该点的高度h为又由平抛规律和动能定理有；；
联立上式得可知当时，有最小值，再结合题目的几何关系知该点应为线段CC1的中点，故C正确；
D．当运动轨迹与线段AC1相交时，所有小球的位移偏转角相同，其正切值为再根据平抛推论知，所有小球速度偏转角相同，其正切值为由此可知在交点处的速度偏转角均不为60°，故D错误；故选C。
3．甲、乙两个小孩坐在一平台上玩抛皮球的游戏，分别向下面台阶抛球，如图所示。每级台阶的高度和宽度都相同均为L，抛球点在平台边缘上方L处，两人分别沿水平方向抛出皮球，甲小孩的皮球恰好落在第1级台阶的边缘，乙小孩的皮球恰好落在第7级台阶的边缘，不计空气阻力，皮球可看成质点，重力加速度g = 10m/s2，则（ ）
A．甲、乙两个小孩抛出的皮球从开始到落到台阶上用的时间之比为1：2
B．甲、乙两个小孩抛出的皮球从开始到落到台阶上用的时间之比为
C．甲、乙两个小孩抛出皮球的初速度之比为
D．甲、乙两个小孩抛出皮球的初速度之比为2：7
【答案】AD
【详解】AB．根据平抛运动规律，竖直方向上有运动时间为甲小孩抛球的竖直位移为h1= 2L，乙小孩抛球的竖直位移为h2= 8L，代入得甲、乙两个小孩抛出的皮球落到台阶上之前在空中运动的时间分别为；解得，A正确，B错误；
CD．根据平抛运动规律，水平方向上有x = v0t竖直方向上有解得初速度为
甲小孩抛球的水平位移为x1= L，乙小孩抛球的水平位移为x2= 7L，代入得甲、乙两个小孩抛出皮球的初速度分别为；解得初速度之比为，C错误，D正确。
故选AD。
4．在儿童游乐场有一种射击游戏，地面上圆形轨道的半径为R，轨道上的小车以角速度ω做匀速圆周运动，坐在小车上的游客使用玩具枪向处于轨道圆心处的立柱射击，某次射击时子弹恰好水平击中立柱的最高点，射击时枪口到立柱最高点的水平距离为x，竖直距离为h，重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．子弹射出枪口时的速度大小为
B．子弹射出枪口时的速度大小为
C．射击时枪管与水平面的夹角为θ，
D．射击时枪管与水平面的夹角为θ，
【答案】AD
【详解】AB．射击过程中所用的时间，射击时枪口到立柱最高点的水平距离为x，故水平方向的速度为竖直方向的速度为整理得子弹射出枪口时的速度大小为，A正确，B错误；
CD．射击时枪管与水平面的夹角为θ，子弹相对于地面水平方向速度为
则有，C错误，D正确。故选AD。
平抛运动与斜面相结合的问题
5．如图，飞机距离水平地面的高度为H，在水平方向以速度v0匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一箱质量为m的救援物资，救援物资打在山坡上的A点，A点的高度为h，不考虑空气阻力的影响，则（ ）
A．这箱物资在空中飞行的时间为
B．这箱物资落到A点时的动能为
C．A点距山坡底端的水平距离为
D．山坡的倾角θ满足
【答案】C
【详解】A．由可得这箱物资在空中飞行的时间为故A错误；
B．不考虑空气阻力的影响，只有重力做功，所以有可得
故B错误；
C．A点距山坡底端的水平距离即为物资的水平位移，则有故C正确；
D．山坡的倾角θ满足故D错误。故选C。
6．如图甲所示，挡板OA与水平面的夹角为，小球从O点的正上方高度为的P点以水平速度水平抛出，落到斜面时，小球的位移与斜面垂直；让挡板绕固定的O点转动，改变挡板的倾角，小球平抛运动的初速度也改变，每次平抛运动都使小球的位移与斜面垂直，关系图像如图乙所示，重力加速度，下列说法正确的是（ ）
A．图乙的函数关系图像对应的方程式
B．图乙中的数值
C．当图乙中，的值为
D．当，图乙中，则平抛运动的时间为
【答案】C
【详解】A．设平抛运动的时间为t，如图所示
把平抛运动的位移分别沿水平和竖直方向分解，由几何关系解得
根据几何关系有联立整理故A错误；
B．结合图乙函数关系图像可得故B错误；
C．由图乙可得函数关系图像的斜率又有，可得故C正确；
D．当，根据解得根据解得故D错误。故选C。
7．将小球从斜面上的A点以不同速度抛出，第一次水平抛出速度大小为；第二次垂直斜面抛出速度大小为，运动过程中不计空气阻力，最终小球都落在斜面上的B点，运动轨迹如图甲、乙所示。已知斜面倾角为45°，两次运动时间分别是、，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】水平方向竖直方向同时满足
联立解得，故选B。
8．主题口号为“一起向未来”的2022年北京冬奥会圆满落幕。跳台滑雪比赛在河北张家口举行，如图，跳台滑雪赛道由助滑道AB、着陆坡BC、停止区CD三部分组成。比赛中，甲、乙两运动员先后以速度、从B处沿水平方向飞出，分别落在了着陆坡的中点P和末端C，运动员可看成质点，不计空气阻力，着陆坡的倾角为，重力加速度为g，则（ ）
A．甲运动员从B点飞出到距离斜面最远所需要的时间
B．、的大小关系为
C．甲、乙两运动员落到着陆坡瞬间速度方向相同
D．甲运动员落到着陆坡瞬间速度方向与水平方向的夹角比乙的小
【答案】BC
【详解】A．甲运动员从点飞出到距离斜面最远时，速度方向与斜面平行，则有
解得，A错误；
B．设长度为l，对甲运动员有；对乙运动员有；
联立解得，B正确；
CD．据平抛运动的推论可知，速度偏角的正切满足甲、乙两运动员落到着陆坡时位移偏角相同，均为，故甲、乙两运动员落到着陆坡瞬间速度方向相同，C正确，D错误。故选BC。
平抛运动与圆面相结合的问题
9．一半径为R的四分之一圆弧轨道固定于竖直平面内，圆心为O，最高点A与O等高，如图所示，其中P为OB的中点，M、N是OB的3等分点，现在OB竖直线上各点水平抛出小球，重力加速度为g，下列说法中正确的是（ ）
A．从OP段水平抛出的小球，都不可能垂直落于AB圆弧轨道上
B．从PB段水平抛出的小球，都可能垂直落于AB圆弧轨道上
C．从M点水平抛出的小球，要使其能垂直落于AB圆弧轨道上，其初速度应为
D．从N点水平抛出的小球，要使其能垂直落于AB圆弧轨道上，其初速度应为
【答案】C
【详解】AB．设在OB上某点C水平抛出正好垂直落于圆弧上D点，可知速度反向延长线交于水平位移中点，如图所示，可见故PB段水平抛出的小球，都不可能垂直落于AB圆弧轨道上，故A、B错误；
CD．从M点水平抛出，可见竖直位移为，水平位移为，可得水平速度为，故C正确、D错误。故选C。
10．古代的水车是被做平抛运动的水流冲击而旋转的，可把此运动简化为如图所示的运动模型，半径为的竖直圆盘绕固定的圆心O以角速度做匀速圆周运动，AB是水平直径小球（视为质点)从O点的正上方P点水平抛出，小球运动到圆盘的边缘M点时速度正好与圆盘的边缘相切，且速度与圆盘边缘的线速度相等，OM与0B的夹角=37°，重方加速度为，不计空气阻力，sin37°=0.6、cs37°=0.8，下列说法正确的是（ ）
A．小球从P点到M点的运动时间为
B．小球平抛运动的初速度为
C．P点与O点的高度差为
D．小球从P点运动到M点的过程中，圆盘转过的角度为
【答案】A
【详解】ABD．圆盘边缘的线速度即小球在M点的速度为把小球在M点的速度v分别沿水平方向和竖直方向分解，可得小球平抛运动的初速度竖直方向的分速度平抛运动的时间
圆盘转过的角度综合解得；；，A正确，BD错误；
C．小球从P到M做平抛运动的高度，P、O两点的高度差解得
C错误。故选A。
11．如图所示，一竖直圆弧形槽固定于水平地面上，O为圆心，AB为沿水平方向的直径。若在A点以初速度v1平抛一小球，小球将击中槽壁上的最低点D点；若A点小球抛出的同时，在C点以初速度v2向左平抛另一个小球并也能击中D点，已知∠COD=60°，且不计空气阻力，则（ ）
A．两小球同时落到D点
B．两小球初速度大小之比为
C．两小球落到D点时的速度方向与OD线夹角相等
D．两小球落到D点时的瞬时速率之比为
【答案】BD
【详解】A．根据可知，向左平抛的另一个小球竖直下降的高度小一些，其先落到D点，A错误；
B．对A点抛出的小球有，对C点抛出的小球有，解得
，B正确；
C．A点抛出的小球落到D点时，C点抛出的小球落到D点时可知，两小球落到D点时的速度方向与OD线夹角不相等，C错误；
D．A点抛出的小球落到D点时，C点抛出的小球落到D点时
结合上述，解得，D正确。故选BD。
12．如图，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动（小球可视为质点），飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点。O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向夹角为60°，重力加速度为g，则（ ）
A．小球抛出时的初速度为B．小球抛出时的高度为
C．小球从A到B的时间为D．小球在B点对轨道无压力
【答案】BD
【详解】AC．飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，则知在B点速度与水平方向的夹角为30°，有
又则得；水平方向上小球做匀速直线运动，则有解得；故AC错误；
B．小球抛出时的高度为故B正确；
D．小球在B点的速度为；因此小球在B点做离心运动，对轨道无压力，故D正确。故选BD。
平抛运动与任意曲面相结合的问题
13．如图所示，在竖直平面内创建平面直角坐标系，有一曲面轨道，轨道方程为 ，在轴上有一点P（，），从P点将一小球水平抛出，初速度为，不计空气阻力，取， 则小球第一次打在曲面上的位置坐标为 （ ）
A．（3m，3m）B．（2m，4m）C．（1m，1m）D．（1m，2m）
【答案】C
【详解】设小球经过时间打在曲面轨道上（，）点，则水平方向有竖直方向有
又联立解得，，C正确，ABD错误；故选C。
14．如图所示，曲线AOB在竖直平面直角坐标系xOy中满足方程，其中a为常数。从曲线上A、B两点分别以初速度大小、水平抛出两小球，两小球同时击中O点，不计空气阻力，则下列判断正确的是（ ）
A．两小球必须同时抛出B．两小球初速度大小与相等
C．两小球击中O点时速度大小相同D．两小球击中O点时重力的瞬时功率相等
【答案】B
【详解】A．因则可得，A球先抛出才能同时击中O点，A错误；
B．设A、B两点的坐标分别为、则，，，
联立解得，B正确；
C．因，但竖直方向有故两分速度合成后可知O点的速度不同，C错误；
D．两球在O点重力瞬时功率为即击中O点时重力的瞬时功率不相等，D错误。
故选B。
15．如图所示，以O为原点在竖直面内建立平面直角坐标系：第Ⅳ象限挡板形状满足方程y＝x2（单位：m），小球从第Ⅱ象限内半径为0.5m的四分之一光滑圆弧轨道某处由静止释放，通过O点后开始做平抛运动，击中挡板上的P点时速度最小，取重力加速度大小10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．P点的坐标为（1，）
B．小球经过O点时的速度大小为3m/s
C．小球击中P点时的速度大小为5m/s
D．小球经过O点时对轨道的压力等于自身所受重力的3倍
【答案】CD
【详解】ABC．设小球在圆弧轨道释放位置与x轴的竖直距离为h（h≤R＝0.5m），小球到达O点时的速度v，根据动能定理，得解得小物块从O点飞出做平抛运动，根据平抛运动规律，竖直位移
水平位移又题中满足联立整理得达到P点的竖直末速度
达到P点的速度，取最小值，则必须满足解得
取最小值为，进而可得，验证，因解得h＝0.5m恰好等于圆弧轨道半径，故上述解答成立，故AB错误，C正确；
D．小球在O点，根据牛顿第二定律得代入数据解得根据牛顿第三定律，小球对轨道的压力为，即为重力的3倍，故D正确。故选CD。
16．如图所示，在竖直的平面直角坐标系xOy中，一无阻挡的抛物线边界y=x2把平面分为两部分，在y轴上A处有一质点小球以v0=2m/s的初速度垂直于y轴射出，已知OA=5m，不计空气阻力，g=10m/s2，则（ ）
A．小球到达边界的时间为
B．小球到达边界的位置为（-2m，4m）
C．小球到达x轴时速度方向与x轴负方向成
D．经过足够长的时间，小球速度方向一定和y轴平行
【答案】AB
【详解】AB．小球做平抛运动，其运动轨迹方程由数学知识可得为联立
可得，故坐标为（-2m，4m），故达到边界的时间故AB正确；
C、小球下落OA高度时，竖直方向的速度大小为到达x轴时速度方向与水平方向的夹角，不为，故C错误；
D．根据可知由于有初速度，故不可能与y轴平衡，故D错误。故选AB。
特训目标
特训内容
目标1
平抛运动基本规律（1T—4T）
目标2
平抛运动与斜面相结合的问题（5T—8T）
目标3
平抛运动与圆面相结合的问题（9T—12T）
目标4
平抛运动与任意曲面相结合的问题（13T—16T）
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