福建省莆田市涵江区莆田锦江中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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满分：150分；考试时间：120分钟
一、选择题（每小题4分，共10小题）
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查最简二次根式．根据最简二次根式的特征：被开方数不含能开方开的尽的因式或因数，不含字母，进行判断即可．
【详解】解：A、，不是最简二次根式；
B、，是最简二次根式；
C、，不是最简二次根式；
D、，不是最简二次根式；
故选B．
2. 下列二次根式的运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
根据算术平方根的计算方法可以判断A；根据二次根式的加法可以判断B；根据二次根式的乘法可以判断C；根据二次根式除法可以判断D．
【详解】解：，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B错误，符合题意；
，故选项C错误，不符合题意；
，故选项D正确，不符合题意；
故选：D．
3. 下列几组线段中，能组成直角三角形的是（ ）
A. 1，2，3B. 4，5，6C. D. 1，，2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，不能组成三角形；
B、，不能组成直角三角形；
C、，不能组成直角三角形；
D、，能组成直角三角形；
故选D．
4. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知，，，则的周长为
A. 13B. 17C. 20D. 26
【答案】B
【解析】
【分析】由平行四边形的性质得出，，，即可求出的周长．
【详解】四边形ABCD是平行四边形，
，，，
的周长．
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，并利用性质解题平行四边形基本性质：平行四边形两组对边分别平行；平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分．
5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD=5cm，则EF为（ ）
A. 5B. 10C. 15D. 20
【答案】A
【解析】
【详解】∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴AB=2CD=2×5=10cm，
∴E，F分别是BC，CA的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=AB=×10=5cm．
故选：A．
【点睛】考点：1．直角三角形斜边上的中线；2．三角形中位线定理．
6. 一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚．那么梯子的顶端与地面的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的应用．善于观察题目的信息是解题的关键．根据题意画出图形，即可根据勾股定理求解．
【详解】解：如图，由题意可知，，梯子、墙、地面恰好构成直角三角形，
由勾股定理得．
故选：B．
7. 如图，在中，，点为斜边上一动点，过点作于点，于点，连接，则线段的最小值为（ ）
A 1.2B. 2.4C. 2.5D. 4.8
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．
先根据勾股定理可得，连接，根据矩形的判定与性质可得，再根据垂线段最短可得当时，取得最小值，然后利用三角形的面积公式求解即可得．
【详解】解：，，，
，
如图，连接，
，
四边形是矩形，
，
由垂线段最短可知，当时，取得最小值，
此时，
，
即线段的最小值为，
故选：D．
8. 已知a＝2+，b＝2﹣，那么a与b的关系为（ ）
A. 互为相反数B. 互为倒数C. 相等D. 绝对值相等
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用二次根式的计算得出答案．
【详解】解：∵a＝2+，b＝2﹣，
∴，
∴a与b互为倒数，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次根式的乘法运算以及互为倒数的定义，正确掌握二次根式的运算是解题关键．
9. 如图，Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝1，点O点为圆心，OB为半径作弧，弧与数轴的正半轴交点P所表示的数是（ ）
A. 2.2B. C. 1+D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用勾股定理得出OB的长，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得：OB＝＝＝，
故弧与数轴的交点C表示的数为：．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了实数与数轴以及勾股定理的应用，利用勾股定理正确得出OB的长是解题关键．
10. 如图，在正方形中，，，相交于点O，E，F分别为边，上的动点（点E，F不与线段，的端点重合）且，连接，，、在点E，F运动的过程中，有下列四个结论：
①是等腰直角三角形；
②面积的最小值是1；
③四边形的面积始终不变；
④存在两个，使得的周长是．
所有正确结论的序号是（ ）

A. ①②③④B. ①②③C. ①③④D. ①③
【答案】C
【解析】
【分析】证明，可得，可得①正确；当时，最小，此时，可得面积的最小值是，可得②错误；根据，可得，可得③正确；设，则，根据勾股定理可得，可得④正确．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴等腰直角三角形，故①正确；
当时，最小，此时，
∴面积的最小值是，故②错误；
∵，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∴的周长是，
设，则，
∴，
令，
解得，，
∴当或时，，
∴存在两个，使得的周长是，故④正确；
故正确的有：①③④，
故选C．
【点睛】此题属于四边形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质．注意掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共6小题）
11. 要使二次根式有意义，则的取值范围是________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据题中二次根式列出不等式求解即可得到答案，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键．
【详解】解：要使二次根式有意义，
，解得，
故答案为：．
12. 如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬行到点的最短路程为____________．

【答案】25
【解析】
【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．
将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，再然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】解：如图所示：由于圆柱体的底面周长为，
则．
又因为，所以．
故蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是．
故答案为：25．

13. 如图在一长方形中无重叠地放入面积分别为9和8的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出长方形的长和宽，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．
【详解】根据题意可知面积为9的正方形边长为，面积为8的正方形边长为，
∴长方形的长为，宽为3，
∴长方形的面积为，
∴空白部分的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的应用，算术平方根的定义，解题的关键在于根据正方形的面积求出两个正方形的边长从而得出长方形的面积．
14. 如图，在中，，，，按图中方法将沿折叠，使点落在边上的点处，则的长为______．
【答案】3
【解析】
【分析】首先根据勾股定理求出的长，然后利用折叠的性质求出的长，在中，设 ，则，根据勾股定理，求出的值即可．
【详解】在中，
∵，，，
∴，
根据折叠的性质，，，，
∴，
在中，设 ，则，
根据勾股定理得：
，
解得，
∴
故答案为：3
【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应边、角相等．
15. 如图，矩形的对角线相交于点，若，，则矩形的面积是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等边对等角求出，根据30度所对得直角边时斜边的一半求出的长，勾股定理求出的长，再利用面积公式求解即可．
【详解】解：∵矩形的对角线相交于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴矩形的面积为：；
故答案为：．
16. 如图，菱形的边长为2，且，是的中点，为上一点且的周长最小，则的周长的最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】先求PC+CE的最小值，再计算周长的最小值即可．
【详解】∵ 四边形ABCD是菱形，
∴A、C关于BD对称，
连接AE，交BD于点F，当P与F重合时，PE+PC最小，
过点E作EG⊥AB，交AB的延长线于点G，
∵ 菱形的边长为2，且，是的中点，
∴BE=EC=1，AB=2，∠EBG=，
∴BG=，，
∴AG=AB+BG=，
∴，
∴的周长的最小值为AE+EC=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，将军饮马河原理，勾股定理，熟练掌握菱形性质和将军饮马河原理是解题的关键．
三、解答题（共9小题，共86分）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，先进行乘除运算，化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：原式．
18. 如图，在珠海横琴一块三角形土地上，准备规划出阴影所示部分作为绿地，若规划图设计中∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝26，BC＝24，求绿地的面积．
【答案】绿地的面积为96
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理即可证明△ABC为直角三角形，进而根据S阴影＝SRt△ABC−SRt△ACD，利用三角形的面积公式计算即可求解．
【详解】解：在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，
∴AC2＝AD2＋CD2＝82＋62＝100，
∴AC＝10（取正值）．
在△ABC中，∵AC2＋BC2＝102＋242＝676，AB2＝262＝676，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，
∴S阴影＝SRt△ABC−SRt△ACD
＝×10×24−×8×6
＝96．
∴绿地的面积为96．
【点睛】本题考查的是勾股定理的运用和勾股定理的逆定理运用，解题的关键是根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC为直角三角形．
19. 如图，在平行四边形中，过点作于点，交于点，过点作于点，交于点，求证：四边形是平行四边形．

【答案】见详解
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
只要证明，即可；
【详解】证明：∵四边形平行四边形，
，
，，
，
∴四边形是平行四边形；
20. 已知，，求的值；
【答案】8
【解析】
【分析】由已知的条件先求出的值，然后把所求式子变形为，再整体代入计算即可.
【详解】解：∵，，
∴，，
∴.
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确变形、灵活应用整体思想是解题关键.
21. 如图，在矩形ABCD中，
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：分别在AD、BC上作点E、F，使四边形BEDF是菱形；
（2）在（1）的条件下，若AB=4，AD=8，求菱形BEDF的边长．
【答案】（1）见解析；（2）5
【解析】
【分析】（1）作线段的垂直平分线交于，交于，即可得到答案；
（2）利用矩形，菱形的性质证明设再利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：（1）如图，作的垂直平分线交于，交于，
由作图可知：
矩形，





四边形是菱形．
（2）四边形是矩形，

四边形是菱形．

设 则

解得：
菱形BEDF的边长为．
【点睛】本题考查的是矩形的性质，菱形的判定与性质，同时考查线段的垂直平分线的作图，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
22. 如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理：
（1）由四边形和四边形是正方形，可得，，，从而得到，证明，即可证明结论；
（2）由（1）则可得，，再根据正方形的性质求出的长，然后在中，利用勾股定理可得的长，进而求得的长．
【小问1详解】
解：∵四边形和四边形是正方形，
∴，，，
在和中，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图，连接，与交于点O，
由（1）得：
∴，
∵四边形是正方形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
23. （）填空（只填写符号：，，）
当，时， ；
当时， ；
当时， ；
当时，
（）观察以上式子，猜想与的数量关系，并证明；
（）实践应用：现在要用篱笆围一个面积为的矩形花坛，在尽量节省篱笆长度的前提下，此时花坛的周长是多少？
【答案】（）；；；；（），证明见解析；（）．
【解析】
【分析】（）把各组值分别代入和中计算，即可判断它们的大小关系；
（）由，利用完全平方公式展开，变形后即可得到 ；
（）设长方形的长宽分别为，则，利用()中的结论得到，则，进而可确定镜框周长的最小值；
本题考查了二次根式非负性的应用，掌握二次根式的非负性是解题的关键．
【详解】解：（）当时，，，，则；
当时，，，则；
当时，，，则；
当时，，，则；
故答案为：；；；；
（）．
证明：∵，
∴，
∴；
（）设长方形的长为，宽是，则，
∵，
∴，
∴，
即在尽量节省篱笆长度的前提下，此时花坛的周长是．
24. 【问题背景】
在中，三边的长分别为，求这个三角形的面积．小蔡同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），然后在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处，），如图1所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种求面积的方法叫做构图法．
【问题解决】
（1）借用网格计算出如图1所示的的面积为_______________．
【思维拓展】
（2）请运用构图法比较与的大小，请在图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的图形．
【探索创新】
（3）已知是正数，谈运用构图法求出的最小值．（请画出相应的图形）
（4）若三边的长分别为，请运用构图法求出这个三角形的面积为________________．
【答案】（1）（2），图见解析（3）图见解析，（4）
【解析】
【分析】本题考查勾股定理与网格问题，勾股定理与无理数，以及利用坐标与图形，掌握数形结合的思想，是解题的关键．
（1）分割法求出三角形的面积即可；
（2）构造三边分别为的三角形，利用三边关系即可得出结果；
（3）将转化为坐标系下正半轴上一点到两点的距离的和的最小值，进行求解即可；
（4）建立由小长方形构成的网格，结合勾股定理画出，分割法求面积即可．
【详解】解：（1）由图可知：的面积为；
故答案为：；
（2）如图，由图可得：，
由三角形的三边关系可知：，
∴；
（3）如图，的最小值可转化为坐标系下正半轴上一点到两点的距离的和的最小值，
如图，作关于轴的对称点，连接，
则：，，
∴当，三点共线时，的值最小为的长度，
∵，，
∴；
∴的最小值为；
（4）建立如图所示的网格，
由图可知：，
∴的面积为：；
故答案为：．
25 如图1，将矩形放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上．若满足．
（1）求点A的坐标；
（2）取中点M，连接，与关于所在直线对称，连接并延长，交x轴于点P．
①求的长；
②如图2，点D位于线段上，且．点E为平面内一动点，满足，连接．请你求出线段长度的最大值．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）由．可得，，即可求解；
（2）①证明，得到，可得，即可求解；②取的中点，连接，．当点、、三点共线时，的长度最大，进而求解．
【小问1详解】
解：．
，，
解得，，
点的坐标为；
【小问2详解】
①与关于所在直线对称，
，，，
如图，连接，
，
，，
设，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
点为的中点，
，
∴；
②取的中点，连接，．
，点是的中点，
．
，
，
，
由中点坐标可知：点的坐标为，
，
，
，
当点、、三点共线时，的长度最大，
则的最大值，
，，
，
的最大值．
故答案为：．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，平行四边形的判定，解决本题的关键是得到四边形是平行四边形．