河北省衡水市武邑县赵桥中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：1．仔细审题，工整作答，保持卷面整洁．
2．考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍．
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 的化简结果是（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式化简，掌握是解题的关键．
【详解】解：，
故选：B．
2. 如图，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的位置可以是（ ）
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解答本题的关键．观察方格纸中各点的位置，结合平行四边形的判定方法即可求解．
【详解】解：当点D在②的位置时，满足，
所以此时四边形是平行四边形．
故选B．
3. 若则“〇”表示的数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的加减运算是解题的关键；根据题意可计算即可．
【详解】解：由题意得：；
故选C．
4. 关于的三边，给出一个条件，使其为直角三角形，下列判断正确的是（ ）
嘉嘉：三条边满足关系；淇淇：三条边的比为
A. 只有嘉嘉的正确B. 只有淇淇的正确
C. 嘉嘉和淇淇的都正确D. 嘉嘉和淇淇的都不正确
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴是直角三角形，故嘉嘉的说法正确；
设三条边的长分别为，
∵，
∴三条边的比为时，不是直角三角形，故淇淇的说法错误，
故选：A．
5. 如图，在正方形中，E，F分别是，的中点，若，则正方形的周长为（ ）
A. 12B. 16C. 20D. 24
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查三角形的中位线和正方形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．利用三角形的中位线定理以及正方形的性质进行计算即可．
【详解】解：∵E、F分别是的中点
∴是中位线，
∴，
∴正方形的周长为：；
故选：D．
6. 关于命题“等边三角形是锐角三角形”及其逆命题的真假，下列说法正确的是（ ）
A. 都是真命题B. 都是假命题
C. 原命题为真命题，逆命题为假命题D. 原命题为假命题，逆命题为真命题
【答案】C
【解析】
【分析】根据等边三角形的性质可知等边三角形是锐角三角形是真命题，再写出逆命题判断真假即可．
【详解】解：根据等边三角形的性质可知等边三角形是锐角三角形是真命题．
“等边三角形是锐角三角形”的逆命题是锐角三角形是等边三角形，是假命题，如：中，，该三角形是锐角三角形，但不是等边三角形．
故选C．
【点睛】本题考查了命题的真假，逆命题，等边的三角形的性质与判定，熟练掌握命题的知识是解答本题的关键．
7. 证明命题“菱形的一条对角线平分这一组对角”．
已知：如图3，是菱形的一条对角线．
求证：，．
证明：∵四边形是菱形，
…，
∴，．
以下是“…”处排乱的证明过程：①∴；②∵；③∴，．正确的证明顺序是（ ）

A. ①②③B. ③①②C. ②①③D. ③②①
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，证明是解答本题的关键．由菱形的性质得，然后证明即可．
【详解】证明：∵四边形是菱形，
③∴，．
②∵，
①∴，
∴，．
故选D．
8. 如图，在平行四边形中，， ，，则与间的距离为（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．先求出，利用30度角的性质求出，然后利用勾股定理求出即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选C．
9. 兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形的相框是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的判定方法，根据矩形的判定方法“有三个角是直角的四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；对角线相等且互相平分的四边形是矩形”即可求解．熟练掌握矩形的判定方法，是解题关键．
【详解】解：A、对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意；
B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故该选项不符合题意；
C、有三个角是直角的四边形是矩形，故该选项不符合题意；
D、图形中只有两个角是直角，不一定是矩形，符合题意；
故选：D．
10. 在边长为6的等边三角形中，D为边AC上的一个三等分点，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过点D作于点E，利用等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理计算即可．
本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
【详解】过点D作于点E，

∵边长为6的等边三角形中，D为边AC上的一个三等分点，
∴,,
∴,
∴，
∴，
过点作于点F，
∵边长为6的等边三角形中，为边AC上的一个三等分点，
∴,,
∴,
∴，
∴，
故选A．
11. 如图，在矩形中，，，E是的中点，点P在边上，Q是平面内的任意一点．当四边形为菱形时，的长为（ ）
A. 5B. 3C. 8D. 8或2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键．分两种情况作于点F，由菱形的性质可知，则点Q在的延长线上，根据勾股定理求出的长即可求解．
【详解】解：当P在E左侧时，作于点F，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴．
∵E是的中点，
∴．
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴．
当P在E右侧时，同理可得．
故选D．
12. 如图，在中，，，P为边上一动点，过点P作，，下列判断正确的是（ ）
嘉嘉：若，且P为中点时，与互相垂直且平分；
淇淇：若，则的最小值为7.2
A. 只有嘉嘉的正确B. 只有淇淇的正确
C. 嘉嘉和淇淇的都正确D. 嘉嘉和淇淇的都不正确
【答案】C
【解析】
【分析】先证明四边形是平行四边形，然后根据若，且P为BC中点时证明四边形是菱形可判断嘉嘉的说法；根据若证明四边形是矩形可判断嘉嘉的说法
【详解】解：如图，连接
∵，，
∴边形是平行四边形．
嘉嘉：若，且P为中点时，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴与互相垂直且平分．故嘉嘉说法正确；
淇淇：若，则四边形是矩形，
∴，
当时，的值最小，即的值最小．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为7.2．故淇淇说法正确．
【点睛】本题考查了平行四边形判定，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，以及垂线段最短等知识，熟练掌握菱形的判定与性质、矩形的判定与性质是解答本题的关键．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13. 若是整数，则n的最小正整数值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算以及二次根式的性质，先得出，再结合是整数，且n是正整数，即可求出符合条件的最小正整数值，即可作答．
【详解】解：，
∵是整数，
即是整数，
∵n是正整数
∴n的最小正整数值为1
故答案为：1
14. 若在四边形中，的长度之比是，则四边形是平行四边形，判定的依据是____________．
【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解答本题的关键．根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可得答案．
【详解】解：∵四边形中，的长度之比是，
∴，
∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
15. 如图，小明想知道学校旗杆的高度，他将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端处，发现此时绳子底端距离打结处，则旗杆的高度为______m．

【答案】8
【解析】
【分析】根据旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设出旗杆的高度，再利用勾股定理解答即可；
【详解】解：设旗杆的高为 米， 则绳子长为 米，
由勾股定理得： ，解得 ；
答：旗杆的高度是 8 米；
故答案为：8．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
16. 如图，矩形的对角线的垂直平分线交于点E，交于点F．连接，，若，，则的长为______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据矩形性质求出，推出，由证明，推出，得出平行四边形，即可推出菱形；设，，根据勾股定理求出x的值，再求出的值即可得到结论．
【详解】解：如图，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形，
∴．
设， ，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明四边形是菱形是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算下列各小题．
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算等知识．
（1）先进行二次根式的化简，再去括号，进行加减运算即可求解；
（2）先进行除法运算和乘方运算，再去括号，进行加减运算即可求解．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 如图，在由边长为1的小正方形组成的的网格中，的三个顶点均在小正方形的顶点上．

（1）计算：______，______，通过计算可以判断的形状为______；
（2）已知M为的中点，连接，延长到点N，使，连接，，直接写出四边形的形状．
【答案】（1）；5；直角三角形
（2）四边形为矩形．
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定，勾股定理及其逆定理．
（1）利用勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理即可说明为直角三角形；
（2）利用对角线相互平分的四边形是平行四边形，再利用矩形的判定定理即可证明四边形为矩形．
【小问1详解】
解：，
，
，
∵，即，
∴为直角三角形；
故答案为：；5；直角三角形；
【小问2详解】
解：∵M为的中点，
∴．
又∵，
∴四边形为平行四边形．
又∵，
∴四边形为矩形．
19. 如图，菱形的对角线，相交于点O，点E，F分别在边，上，，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，过点O作于点H，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查菱形的性质、勾股定理及全等三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质、勾股定理及全等三角形的性质与判定是解题的关键．
（1）由题意易得，然后可证，进而问题可求证；
（2）由题意易得，，，然后根据勾股定理及等积法可进行求解．
【小问1详解】
证明：∵四边形是菱形，为一条对角线，
∴．
∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∴．
∵，
∴．
20. 如图，已知平行四边形，，交于点O，延长至点H，使，连接，过点H作，过点B作．
（1）求证：；
（2）当平行四边形是______形时，四边形是矩形；
（3）在（2）的条件下，若，，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）菱
（3）48
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，矩形的判定及性质，菱形的判定及性质，勾股定理等；
（1）由平行四边形的性质得，，由平行四边形的判定方法得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得，，由平行四边形的判定方法得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得，即可求证；
（2）由菱形的性质得，可得，由矩形的判定方法即可判定；
（3）由平行四边形的性质得，，
由勾股定定理得，即可求解；
掌握特殊四边形的判定方法及性质是解题的关键．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
；
【小问2详解】
解：四边形是菱形，
，
由（1）得：，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形；
故答案：菱；
【小问3详解】
解：四边形是平行四边形，
A为的中点，
，
，
四边形是矩形，
，
在中，
，
四边形的面积为：
．
21. 嘉淇有一根铁丝，他用这根铁丝围成了一个长方形，其中长方形的宽为，长是宽的4倍．
（1）求这根铁丝的长度；
（2）若嘉淇用这根铁丝首尾相接围成正方形，计算这个正方形的面积，并与长方形的面积进行比较，通过计算说明谁的面积大；
（3）若嘉淇将这根铁丝分割后，组成一个长、宽、高的比为3：1：1的长方体框架，求这个长方体框架的体积．
【答案】（1）这根铁丝的长度为；
（2），正方形面积大；
（3）．
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，二次根式运算等知识点，
(1)由长方形的宽为，长是宽的4倍得出长，进而即可得解；
(2)由这根铁丝的长度算出正方形的边长，进而可算出正方形的面积，与长方形的面积进行比较即可得解；
(3)由长方体的长、宽、高的比为可设出长方体的宽为，则长为，高为，用含x的代数式表示出铁丝的长度列出方程求解，进而即可得出答案；
熟练掌握其性质，合理列出等式和方程是解决此题的关键．
【小问1详解】
∵长方形的宽为，长是宽的4倍，
∴长为，
∴长方形的周长为，
∴这根铁丝的长度为；
【小问2详解】
正方形的边长为，
∴正方形的面积为．
∵长方形的面积为，，
∴正方形的面积大；
【小问3详解】
∵长方体的长、宽、高的比为，
∴设长方体的宽为，则长为，高为，
∵铁丝长度为，
∴长，宽，高和的4倍，解得，
∴长方体的长为，宽为，高为，
∴长方体的体积为．
22. 如图1，在等边三角形中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，同时点F从点B出发沿射线以的速度运动，设点E的运动时间为．
（1）如图2，连接，若经过边的中点D．
①求证：四边形是平行四边形；
②求此时t的值．
（2）是否存在t，使得以点A，E，C，F为顶点的四边形为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①见解析；②2；
（2）存在，6．
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用．
（1）①根据证明得，进而可证结论成立；
②表示出，，然后根据列方程求解即可；
（2）当点F在线段上时，四边形不可能为菱形；当点F在的延长线上时，
若四边形是菱形，则有，据此求解即可．
【小问1详解】
，
∴，．
∵经过边的中点D，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形；
②此时，
由运动知，，．
∴，
解得；
【小问2详解】
存在；
∵点E从点A出发沿射线以的速度运动，同时点F从点B出发沿射线以的速度运动，
∴当点F在线段上时，四边形不可能为菱形；
当点F在的延长线上时，
∵，
∴当时，四边形平行四边形，
∴，
解得，
此时，
∴当时，四边形是菱形．