2025届高考数学一轮总复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布第六节离散型随机变量的分布列均值与方差课件

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知识梳理1.随机变量的有关概念(1)随机变量一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X(ω)与之对应,我们称X为随机变量.通常用大写英文字母表示,例如X,Y,Z; 用小写英文字母表示随机变量的取值,例如x,y,z.
分两类:离散型随机变量和连续型随机变量
(2)离散型随机变量:可能取值为有限个或可以　　　　　的随机变量. 
微点拨离散型随机变量X的每一个可能取值为实数,其实质代表的是“事件”,即事件是用一个反映结果的实数表示的.
提示 X1不可作为离散型随机变量, X2可作为离散型随机变量.
微思考某电子元件的使用寿命X1,掷一枚骰子正面向上的点数X2,思考X1,X2可作为离散型随机变量吗?
2.离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值xi的　　　　　　 　　　为X的概率分布列,简称分布列.
有表格、图形和解析式三种形式 
概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n
(2)离散型随机变量的分布列的性质①pi　　　0,i=1,2,…,n; ②p1+p2+…+pn=　　　　　　. 
微点拨判断所求离散型随机变量的分布列是否正确,可用pi≥0,i=1,2,…,n及p1+p2+…+pn=1检验.
3.离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量X的分布列为
(1)均值称E(X)=　 　　　　　=　　　　　为随机变量X的均值或数学期望,数学期望简称期望. 
反映了离散型随机变量取值的平均水平
x1p1+x2p2+…+xnpn
(2)方差称D(X)=　　　　　　　为随机变量X的方差,并称 为随机变量X的标准差,记为σ(X). 
用来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度
微点拨1.均值是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均.2.E(X)是一个实数,由X的分布列唯一确定,即作为随机变量,X的取值是可变的,可取不同值,而E(X)是不变的.
微思考随机变量的均值、方差与样本的均值、方差有何关系?
提示 随机变量的均值、方差是一个常数,样本的均值、方差是一个随机变量,随观测次数的增加或样本容量的增加,样本的均值、方差趋于随机变量的均值、方差.
4.均值与方差的性质(1)E(aX+b)=　　　　.(a,b为常数) (2)D(aX+b)=　　　　.(a,b为常数) 常用结论1.如果X是一个离散型随机变量且Y=aX+b,其中a,b是常数且a≠0,那么Y必是离散型随机变量.2.若X1,X2相互独立,则E(X1·X2)=E(X1)·E(X2).3.均值与方差的关系:D(X)=E(X2)-E2(X).4.E(k)=k,D(k)=0,其中k为常数.
对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)离散型随机变量的分布列中,随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(　　)(2)随机试验的结果与随机变量是对应关系,即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应.(　　)(3)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况,因此它们是一回事.(　　)(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小.(　　)
2.某射击选手射击环数的分布列为
若射击一次不小于9环为优秀,其射击一次得优秀的概率为　　　　　. 
答案 0.4　解析 由分布列的性质得a+b=1-0.3-0.3=0.4,故射击一次得优秀的概率为0.4.
3.已知离散型随机变量X的分布列为
则变量X的均值E(X)=　　　　　,方差D(X)= 　　　　. 
方法总结离散型随机变量的分布列性质的应用
对点训练1(1)(多选)已知随机变量X的分布列如下表:
(2)某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X的分布列如下表所示,其中a,b,c成等差数列,且c=ab.
则这名运动员得3分的概率是　 . 
考向1.互斥事件、独立事件的分布列
例2.(2023山东济南三模)某校举行“学习二十大,奋进新征程”知识竞赛,知识竞赛包含预赛和决赛.(1)下表为某10名同学预赛成绩:
求该10名同学预赛成绩的上四分位数(第75百分位数)和平均数;
(2)决赛共有编号为A,B,C,D,E的5道题,学生甲按照A,B,C,D,E的顺序依次作答,答对的概率依次为 ,各题作答互不影响.若累计答错两道题或五道题全部答完则比赛结束,记X为比赛结束时学生甲已作答的题数,求X的分布列和均值.
解 (1)因为10×0.75=7.5,所以上四分位数为第八个成绩,为96,
(2)由题意可知X的可能取值为2,3,4,5,
名师点析在求几个互斥事件构成的事件的概率时,一般先利用独立事件的定义求出各个互斥事件发生的概率,然后用概率加法公式求概率.审题时应注意关键词语,如“至多有一个”“至少有一个”“恰有一个”等.在求复杂事件的概率时,应学会对事件等价分解(互斥事件的和、几个独立事件同时发生),或者考虑结合对立事件求解,从而使问题变得更易解决.
对点训练2冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目之一.冰壶比赛的场地如图所示,
其中左端(投掷线MN的左侧)有一个发球区,运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出,使冰壶沿冰道滑行,冰道的右端有一圆形的营垒,以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负.甲、乙两人进行投掷冰壶比赛,规定冰壶的重心落在圆O中,得3分,冰壶的重心落在圆环A中,得2分,冰壶的重心落在圆环B中,得1分,其余情况均得0分.已知甲、乙投掷冰壶的
(1)求甲、乙两人所得分数相同的概率;(2)设甲、乙两人所得的分数之和为X,求X的分布列和均值.
所以随机变量X的分布列为
考向2.与古典概型有关的分布列典例突破例3.某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率;(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,设X表示参赛的男生人数,求X的分布列.
解(1)由题意知,参加集训的男生、女生各有6人.代表队中的学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)
名师点析1.求古典概型的离散型随机变量的分布列,要注意应用计数原理、排列组合的知识求样本点的点数及事件A包含的样本点的个数,然后应用古典概型的概率公式求概率.2.求出分布列后,注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确.
对点训练3某探险队分为四个小组探险甲、乙、丙三个区域,若每个小组只能探险一个区域,且每个小组选择任何一个区域是等可能的.(1)求恰有2个小组探险甲区域的概率;(2)求被探险区域的个数X的分布列和均值.
例4.某种传染病的传播途径是通过呼吸传播,若病人(患了该种传染病的人)和正常人(没患该种传染病的人)都不戴口罩而且交流时距离小于一米时,有90%的概率被传染,若病人不戴口罩正常人戴口罩且交流时距离小于一米时,有60%的概率被传染,若病人戴口罩而正常人不戴口罩且交流距离小于一米时,有30%的概率被传染上,若病人和正常人都戴口罩且交流距离大于一米时不会被传染.为此对某地经常出入某场所的人员通过抽样调查的方式对戴口罩情况做了记录如下表.
假设某人是否戴口罩互相独立.
(1)求去甲地的男士戴口罩的概率,估计所有去甲地的人戴口罩的概率.(2)若从所有男士中选1人,从所有女士中选2人,用上表的频率估计概率,求戴口罩人数X的分布列和均值.(3)上表中男士不戴口罩记为“ξ=0”,戴口罩记为“ξ=1”,确定男士戴口罩的方差为D(ξ);女士不戴口罩记为“η=0”,戴口罩记为“η=1”,确定女士戴口罩的方差为D(η).比较D(ξ)和D(η)的大小,并说明理由.
则戴口罩人数X的分布列为
100名男士中有50人戴口罩,50人不戴口罩,100名女士中有75人戴口罩,25人不戴口罩,从数据分布可看出来女士戴口罩的集中程度要好于男士,所以其方差偏小.
方法总结求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤
对点训练4(2023北京房山二模)2021年3月教育部印发了《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》,该《通知》指出,高中生每天睡眠时间应达到8小时.某学校为了解学生的睡眠情况,从高一和高二年级中随机各抽取40名学生,统计他们一周平均每天的睡眠时间作为样本,统计结果如图.
(1)从该校高一年级学生中随机抽取1人,估计该生平均每天的睡眠时间不少于8小时的概率;(2)从该校高二年级学生中随机抽取2人,这2人中平均每天的睡眠时间为8小时或8.5小时的人数记为X,求X的分布列和均值E(X);(3)从该校高一年级学生中任取1人,其平均每天的睡眠时间记为Y1,从该校高二年级学生中任取1人,其平均每天的睡眠时间记为Y2,试比较方差D(Y1)与D(Y2)的大小.(只需写出结论)
解 (1)记事件A为“从该校高一年级学生中随机抽取1人,该生平均每天的睡眠时间不少于8小时”,样本中高一年级学生人数为3+16+14+7=40,其中平均每天的睡眠时间不少于8小时的人数为37,则P(A)= .
(2)从高二年级学生中随机抽取1人,其平均每天的睡眠时间为8小时或8.5小时的概率为P= .X的可能取值为0,1,2.