2025届高考数学一轮总复习第六章数列第二节等差数列课件

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知识梳理1.等差数列的概念(1)等差数列:一般地,如果一个数列从第　　项起,每一项与它前一项的差都等于　　　　　　　,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的　　　　,公差通常用字母　　表示,定义的表达式为an-an-1=d(n∈N*,n≥2)或an+1-an=d(n∈N*). (2)等差中项:若三个数a,A,b成等差数列,则A叫做a与b的等差中项,且有　　　　　　. 
微点拨1.等差数列中,从第2项起,每一项都是它前一项与后一项的等差中项,即an+1+an-1=2an(n∈N*,n≥2).
证明一个数列是等差数列的“等差中项法”
　　　　　　 　　
2.任何两个实数都有等差中项,且等差中项是唯一的.
2.等差数列的有关公式(1)等差数列的通项公式:an=　　　　　(n∈N*). (2)等差数列前n项和公式:Sn=　　　　　=　　　　　　. 
微思考在等差数列{an}中,通项an是关于n的一次函数吗?前n项和Sn是关于n的二次函数吗?
提示 an不一定是关于n的一次函数,事实上,在等差数列{an}中,an=kn+b(k,b∈R),当k=0即数列为常数列时,an不是关于n的一次函数;同理Sn不一定是关于n的二次函数,当数列为常数列时,Sn=bn,不是二次函数.
3.等差数列的常用性质(1)等差数列的通项公式的推广:an=am+　　　　(n,m∈N*). (2)若数列{an}为等差数列,且m+n=p+q,则　　　　　　(m,n,p,q∈N*). 特别地,若m+n=2t,则am+an=2at(m,n,t∈N*).(3)若数列{an}是等差数列,公差为d,前n项和为Sn,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…(m∈N*)也是等差数列,公差为m2d.
am+an=ap+aq
常用结论1.数列{an}为等差数列的充要条件是an=kn+b(k,b∈R).2.若数列{an}的前n项和为Sn,则“数列{an}为等差数列”的充要条件是“Sn=an2+bn(a,b∈R)”.3.在等差数列{an}中,若a1>0,d<0,则Sn存在最大值;若a1<0,d>0,则Sn存在最小值.4.在等差数列{an}中,若d>0,则数列{an}为递增数列;若d<0,则数列{an}为递减数列;若d=0,则数列{an}为常数列.
对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)若{an}为等差数列,则{|an|}一定不是等差数列.(　　)(2)在等差数列{an}中,若m+n=p,则am+an=ap.(　　)(3)在等差数列{an}中,若m+n+p=3t,则am+an+ap=3at.(　　)(4)若无穷等差数列{an}的公差d>0,则其前n项和Sn不存在最大值.(　　)
2.等差数列{an}的前n项和记为Sn,若a2+a2 023=6,则S2 024=(　　)A.3 033B.4 044C.6 072D.8 088
解析由等差数列{an}知,a2+a2 023=a1+a2 024=6,所以S2 024= =1 012×6=6 072.
3.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若2S3=3S2+6,则公差d=　　　　　. 
解析设等差数列的公差为d.由题意得2(3a1+3d)=3(2a1+d)+6,即3d=6,解得d=2.
典例突破(2)(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d=1.若a1+3a5=S7,则以下结论正确的是(　　)A.a3=-1 B.Sn的最大值为-6C.S3=S5 D.当n>7时Sn>0
例1.(2023全国甲,文5)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2+a6=10,a4a8=45,则S5=(　　)A.25B.22C.20D.15
答案 (1)C　(2)AD　
解析(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,由已知得
(2)由a1+3a5=S7,得a1+3(a1+4)=7a1+21,解得a1=-3.对于A选项,a3=a1+2d=-3+2=-1,故A正确;对于B选项,由于公差d=1>0,所以数列{an}是递增数列,因此Sn无最大值,故B错误;对于C选项,S3=3a1+3d=-9+3=-6,S5=5a1+10d=
方法总结解决等差数列基本量运算的思想方法(1)方程思想:等差数列的基本量为首项a1和公差d,通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解,等差数列中包含a1,d,n,an,Sn五个量,可“知三求二”.(2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用a1,d表示,寻求两者间的联系,整体代换即可求解.(3)等价转化思想:运用等差数列性质可以化繁为简,优化解题过程.
对点训练1(1)(2023山东济宁一模)已知等差数列{an}的前5项和S5=35,且满足a5=13a1,则等差数列{an}的公差为(　　)A.-3B.-1C.1D.3(2)(2023河南郑州二模)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知a5=10,S5=20,则数列{an}的通项公式为an=　　　　　. 
答案 (1)D　(2)3n-5　
答案 (1)13　(2)3-n
解析 (1)设数列{an}的公差为d,则S3=3a2=9,a2=3,所以a3+a4=3+d+3+2d=12,解得d=2,所以a7=a2+5d=3+5×2=13.(2)设等差数列{an}的公差为d(d≠0),
典例突破例2.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,且对任意n∈N*,anSn+1-an+1Sn=2an+1-2an恒成立.(1)求证:数列{ }是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式;(3)若不等式λan>n-5对任意的正整数n恒成立,求实数λ的取值范围.
(1)证明 因为anSn+1-an+1Sn=2an+1-2an,所以an(Sn+1+2)=an+1(Sn+2).又数列{an}各项均为正数,即anan+1>0,所以
Sn=2an-2.当n≥2时,Sn-1=2an-1-2,从而得an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-1,因此数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,故数列{an}的通项公式为an=2n.
方法总结等差数列的判断与证明的方法
对点训练2已知数列{an}的各项均为正数,记Sn为{an}的前n项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.①数列{an}是等差数列;②数列{ }是等差数列;③a2=3a1.注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.
解若选①②⇒③设数列{an}的公差为d1,数列{ }的公差为d2.∵当n∈N*时,an>0,∴d1>0,d2>0.
∴a2=a1+d1=3a1.若选①③⇒②设等差数列{an}的公差为d.∵a2=3a1,∴a1+d=3a1,∴d=2a1,
∴an=(2n-1)a1,n∈N*.又an+1-an=(2n+1)a1-(2n-1)a1=2a1,∴数列{an}是等差数列.
考向1.等差数列的性质典例突破例3.(1)各项均为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a2+a8= ,则S9=(　　)A.8B.9C.16D.18(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1+a2=7,am+am-1=73(m≥3),Sm=2 020,则m的值为(　　)A.100 B.101C.200 D.202
答案 (1)D　(2)B　
技巧点拨利用等差数列的性质解题的两个关注点(1)等差数列中两项和的转换是最常用的性质,利用2am=am-n+am+n可实现项的合并与拆分,在Sn= 中,Sn与a1+an可以相互转化.(2)在等差数列中,前奇数项的和与中间项的关系S2n-1=(2n-1)an可以将中间项与前n项和联系起来,相互转化.
(2)已知等差数列{an}的前n项和是Sn,S18>0,S19<0,则数列{|an|}中值最小的项为第　　　　　项. 
对点训练3(1)(2023北京海淀期末)已知{an}为等差数列,a1=3,a4+a6=-10,若数列{bn}满足bn=an+an+1(n=1,2,…),记{bn}的前n项和为Sn,则S8=(　　)A.-32B.-80C.-192D.-224
答案 (1)B　(2)10
解析(1)由等差数列的性质,得a4+a6=2a5=-10,∴a5=-5,由题意S8=b1+b2+…+b8=2(a1+a2+…+a9)-a1-a9=18a5-2a5=16a5=-80.
∴a10<0,S18=9(a10+a9)>0,∴a9>0,a9>-a10>0,∴|a9|>|a10|,故等差数列{an}为递减数列,即公差为负数,因此{|an|}的前9项依次递减,从第10项开始依次递增,由于|a9|>|a10|,∴{|an|}最小的项是第10项.
考向2.等差数列前n项和的性质典例突破
解析 (1)由等差数列前n项和的性质可知S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列,令S4=k,则S8=3k,则S8-S4=2k,S12-S8=3k,S16-S12=4k,所以S12=6k,S16=10k,故
易错警示1.在等差数列中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,并不是Sm,S2m,S3m成等差数列,在运用时注意区分.
对点训练4(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且 =1,S4=16,则a1=(　　)A.1B.2C.3D.4
考向3.等差数列的综合问题典例突破
例5.(2023新课标Ⅰ,20)设等差数列{an}的公差为d,且d>1.令bn= ,记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和.(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求{an}的通项公式;(2)若{bn}为等差数列,且S99-T99=99,求d.
解(1)由3a2=3a1+a3,得3(a2-a1)=a3,即3d=a1+2d,得a1=d,
∴2a0+100d=2b0+100t+2.
方法总结求等差数列前n项和Sn最值的两种方法
对点训练5(2023全国乙,文18)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a2=11,S10=40.(1)求{an}的通项公式;(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.
解 (1)设等差数列{an}的公差为d,由题意,得
所以an=a1+(n-1)d=15-2n.