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2024年中考真题数学热点探究五 一次函数与反比例函数结合问题
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这是一份2024年中考真题数学热点探究五 一次函数与反比例函数结合问题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，实践探究题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷的注释
一、选择题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)
---------------------------------------------------------------------
1. (2024九下·宁波月考) 反比例函数的图象与一次函数的图象交于A、B两点，其中 ， 当时，x的取值范围是（ ）
A . B . C . D . 或
---------------------------------------------------------------------
2. (2024九下·南宁月考) 如图，直线与双曲线交于点和点 ， 则不等式的解集是（ ）
A . B . C . 或 D . 或
---------------------------------------------------------------------
3. (2024九下·从江开学考) 如图所示，反比例函数y=(x<0)与一次函数 y=x+4的图象交于A，B两点，A，B两点的横坐标分别为-3，-1.则关于x的不等式A . x<-3 B . -3---------------------------------------------------------------------
4. (2024九上·娄底期末) 如图，直线y=x+2与反比例函的图像在第一象限交于点P ． 若 ， 则k的值为（ ）
A . 6 B . 8 C . 10 D . 12
---------------------------------------------------------------------
5. (2024九上·渠县期末) 如图，直线与双曲线交于两点，点在轴上，连接 ， 且 ， 已知的面积为 ， 则的值为（ ）
A . B . C . D .
---------------------------------------------------------------------
6. (2023·北仑模拟) 如图，直线与双曲线交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式的解为（ ）
A . B . 或 C . 或 D . 或
---------------------------------------------------------------------
7. (2023九上·南开月考) 正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象相交于A ， C两点，AB⊥x轴于点B ， CD⊥x轴于点D（如图），则四边形ABCD的面积为（ ）
A . 1 B . 2 C . 4 D . 8
---------------------------------------------------------------------
8. (2023九上·天长期中) 如图，直线与双曲线交于两点，轴于点 ， 连接交轴于点。下列结论：①；②的面积为定值；③是的中点；④ ． 其中正确的结论有（ ）
A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个
---------------------------------------------------------------------
9. (2023·湖州) 已知在平面直角坐标系中，正比例函数y＝k1x（k1＞0）的图象与反比例函数（k2＞0）的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点A（t ， p）和点B（t+2，q）在函数y＝k1x的图象上（t≠0且t≠-2），点C（t ， m）和点D（t+2，n）在函数的图象上．当p-m与q-n的积为负数时，t的取值范围是（ ）
A . 或 B . 或 C . -3＜t＜-2或-1＜t＜0 D . -3＜t＜-2或0＜t＜1
---------------------------------------------------------------------
10. (2022·毕节模拟) 如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴交于、两点，与双曲线交于点 ， 过点作轴，垂足为 ， 且 ， 则以下结论：
；
当时，；
如图，当时，；
当时，随的增大而增大，随的增大而减小．
其中正确结论的个数是
A . B . C . D .
二、填空题（每题3分，共15分）(共5题；共15分)
---------------------------------------------------------------------
11. (2024·新都模拟) 如图，经过原点的直线交反比例函数的y=图象于A ， B两点，过点A作AC⊥x轴于点C ， 连接BC ， 当S△ABC＝2时，k的值为 ．
---------------------------------------------------------------------
12. (2022·七星关模拟) 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线向下平移b个单位后与反比例函数交第一象限于点A ， 交x轴于B点， ， ， 则．
---------------------------------------------------------------------
13. (2024·新市区模拟) 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于、两点．点在轴负半轴上， ， 的面积为12，则．
---------------------------------------------------------------------
14. (2024九下·汨罗开学考) 如图所示，直线y=kx（k>0）与双曲线y=交于A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）两点，则2x1y2－7x2y1的值等于。
---------------------------------------------------------------------
15. (2023·锦江模拟) 直线y＝－x＋2a（常数）和双曲线的图象有且只有一个交点B，一次函数y＝－x＋2a与x轴交于点A，点P是线段OA上的动点，点Q在反比例函数图象上，且满足∠BPO＝∠QPA．设PQ与线段AB的交点为M，若OM⊥BP，则的值为．
三、解答题（共6题，共44分）(共6题；共44分)
---------------------------------------------------------------------
16. (2022·武威) 如图，B，C是反比例函数y= （k≠0）在第一象限图象上的点，过点B的直线y=x-1与x轴交于点A，CD⊥x轴，垂足为D，CD与AB交于点E，OA=AD，CD=3.
（1） 求此反比例函数的表达式；
（2） 求△BCE的面积.
---------------------------------------------------------------------
17. (2024·沙田模拟) 如图在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4）、B（2，0）交反比例函数的图象于点C（3，a），点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜3），PQ∥y轴交直线AB于点Q ， 连接OP、OQ ．
（1） 求一次函数和反比例函数的表达式；
（2） 求△OPQ面积的最大值．
---------------------------------------------------------------------
18. (2024九下·武汉开学考) 如图，已知直线l：y＝x+4与反比例函数的图象交于点A（﹣1，n），直线l'经过点A ， 且与l关于直线x＝﹣1对称．
（1） 求反比例函数的解析式；
（2） 求图中阴影部分的面积；
（3） 已知直线l：y＝x+4与反比例函数的图象交于点另一点B ， P在平面内，若以点A ， B ， P ， O为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件点P的坐标．
---------------------------------------------------------------------
19. (2024·织金模拟) 如图，一次函数的图象与x轴交于点 ， 与y轴交于点 ， 与反比例函数的图象交于点C ， B是的中点．
（1） 求一次函数和反比例函数的解析式；
（2） 点D在一次函数的图象上且横坐标为3，过点D作轴于点E ， 交反比例函数的图象于点F ， 连 ， 求四边形的面积．
---------------------------------------------------------------------
20. (2024·咸宁模拟) 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点 ， 与轴交于点 ， 连接 ， 已知 ， ．
（1） 求反比例函数的解析式；
（2） 直接写出时对应自变量的取值范围；
（3） 若点在线段上，且 ， 求点的坐标．
---------------------------------------------------------------------
21. (2024·新都模拟) 在平面直角坐标系xOy 中，直线与反比例函数的图象交于A（3，m），B两点．
（1） 求直线AB的函数表达式及点B的坐标；
（2） 如图1，过点A的直线分别与x轴，反比例函数y=的图象（x＜0）交于点M ， N ， 且 ， 连接BM ， 求△ABM的面积；
（3） 如图2，点D在另一条反比例函数的图象上，点C在x轴正半轴上，连接DC交该反比例函数图象于点E ， 且DE＝2EC ， 再连接AD ， BC ， 若此时四边形ABCD恰好为平行四边形，求k的值．
四、实践探究题（共3题，共31分）(共3题；共31分)
---------------------------------------------------------------------
22. (2024九下·深圳开学考) 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1） 写出函数关系式中及表格中 ， 的值：
，，；
（2） 根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质： ；
（3） 已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．
---------------------------------------------------------------------
23. (2023九上·郑州经济技术开发月考) 模具厂计划生产面积为4，周长为的矩形模具，对于的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
（1） 建立函数模型：
设矩形相邻两边的长分别为 ， 由矩形的面积为4，得 ， 即；由周长为 ， 得 ， 即 ． 满足要求的应是两个函数图象在第象限内的交点的坐标．
（2） 画出函数图象：
函数的图像如图所示，而函数的图像可由直线平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线 ．
（3） 平移直线 ， 观察函数图象：
当直线平移到与函数的图像有唯一交点时，写出周长的值；
（4） 得出结论：
若能生产出面积为4的矩形模具，求出周长的取值范围．（直接写出结论）
---------------------------------------------------------------------
24. (2023九上·石家庄期中) 综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为 ．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若 ， 能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设为 ， 为 ． 由矩形地块面积为 ， 得到 ， 满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为 ， 得到 ， 满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和 ▲ ， 因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为： ， ；或 ▲ m ， ▲ m ．
（1） 根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
（2） 【类比探究】
若 ， 能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
（3） 【问题延伸】
当木栏总长为时，小颖建立了一次函数 ． 发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点．
请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值．
（4） 【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”．
若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于 ， 请直接写出的取值范围．
难度系数：0.52
第Ⅰ卷 客观题
一、选择题（每题3分，共30分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
二、填空题（每题3分，共15分）
11 12 13 14 15
第Ⅱ卷 主观题
三、解答题（共6题，共44分）
16 17 18 19 20 21
四、实践探究题（共3题，共31分）
22 23 24
0
1
2
3
4
5
6
5
4
2
1
7
第Ⅰ卷的注释
一、选择题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)
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1. (2024九下·宁波月考) 反比例函数的图象与一次函数的图象交于A、B两点，其中 ， 当时，x的取值范围是（ ）
A . B . C . D . 或
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2. (2024九下·南宁月考) 如图，直线与双曲线交于点和点 ， 则不等式的解集是（ ）
A . B . C . 或 D . 或
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3. (2024九下·从江开学考) 如图所示，反比例函数y=(x<0)与一次函数 y=x+4的图象交于A，B两点，A，B两点的横坐标分别为-3，-1.则关于x的不等式
4. (2024九上·娄底期末) 如图，直线y=x+2与反比例函的图像在第一象限交于点P ． 若 ， 则k的值为（ ）
A . 6 B . 8 C . 10 D . 12
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5. (2024九上·渠县期末) 如图，直线与双曲线交于两点，点在轴上，连接 ， 且 ， 已知的面积为 ， 则的值为（ ）
A . B . C . D .
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6. (2023·北仑模拟) 如图，直线与双曲线交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式的解为（ ）
A . B . 或 C . 或 D . 或
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7. (2023九上·南开月考) 正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象相交于A ， C两点，AB⊥x轴于点B ， CD⊥x轴于点D（如图），则四边形ABCD的面积为（ ）
A . 1 B . 2 C . 4 D . 8
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8. (2023九上·天长期中) 如图，直线与双曲线交于两点，轴于点 ， 连接交轴于点。下列结论：①；②的面积为定值；③是的中点；④ ． 其中正确的结论有（ ）
A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个
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9. (2023·湖州) 已知在平面直角坐标系中，正比例函数y＝k1x（k1＞0）的图象与反比例函数（k2＞0）的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点A（t ， p）和点B（t+2，q）在函数y＝k1x的图象上（t≠0且t≠-2），点C（t ， m）和点D（t+2，n）在函数的图象上．当p-m与q-n的积为负数时，t的取值范围是（ ）
A . 或 B . 或 C . -3＜t＜-2或-1＜t＜0 D . -3＜t＜-2或0＜t＜1
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10. (2022·毕节模拟) 如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴交于、两点，与双曲线交于点 ， 过点作轴，垂足为 ， 且 ， 则以下结论：
；
当时，；
如图，当时，；
当时，随的增大而增大，随的增大而减小．
其中正确结论的个数是
A . B . C . D .
二、填空题（每题3分，共15分）(共5题；共15分)
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11. (2024·新都模拟) 如图，经过原点的直线交反比例函数的y=图象于A ， B两点，过点A作AC⊥x轴于点C ， 连接BC ， 当S△ABC＝2时，k的值为 ．
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12. (2022·七星关模拟) 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线向下平移b个单位后与反比例函数交第一象限于点A ， 交x轴于B点， ， ， 则．
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13. (2024·新市区模拟) 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于、两点．点在轴负半轴上， ， 的面积为12，则．
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14. (2024九下·汨罗开学考) 如图所示，直线y=kx（k>0）与双曲线y=交于A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）两点，则2x1y2－7x2y1的值等于。
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15. (2023·锦江模拟) 直线y＝－x＋2a（常数）和双曲线的图象有且只有一个交点B，一次函数y＝－x＋2a与x轴交于点A，点P是线段OA上的动点，点Q在反比例函数图象上，且满足∠BPO＝∠QPA．设PQ与线段AB的交点为M，若OM⊥BP，则的值为．
三、解答题（共6题，共44分）(共6题；共44分)
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16. (2022·武威) 如图，B，C是反比例函数y= （k≠0）在第一象限图象上的点，过点B的直线y=x-1与x轴交于点A，CD⊥x轴，垂足为D，CD与AB交于点E，OA=AD，CD=3.
（1） 求此反比例函数的表达式；
（2） 求△BCE的面积.
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17. (2024·沙田模拟) 如图在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4）、B（2，0）交反比例函数的图象于点C（3，a），点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜3），PQ∥y轴交直线AB于点Q ， 连接OP、OQ ．
（1） 求一次函数和反比例函数的表达式；
（2） 求△OPQ面积的最大值．
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18. (2024九下·武汉开学考) 如图，已知直线l：y＝x+4与反比例函数的图象交于点A（﹣1，n），直线l'经过点A ， 且与l关于直线x＝﹣1对称．
（1） 求反比例函数的解析式；
（2） 求图中阴影部分的面积；
（3） 已知直线l：y＝x+4与反比例函数的图象交于点另一点B ， P在平面内，若以点A ， B ， P ， O为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件点P的坐标．
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19. (2024·织金模拟) 如图，一次函数的图象与x轴交于点 ， 与y轴交于点 ， 与反比例函数的图象交于点C ， B是的中点．
（1） 求一次函数和反比例函数的解析式；
（2） 点D在一次函数的图象上且横坐标为3，过点D作轴于点E ， 交反比例函数的图象于点F ， 连 ， 求四边形的面积．
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20. (2024·咸宁模拟) 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点 ， 与轴交于点 ， 连接 ， 已知 ， ．
（1） 求反比例函数的解析式；
（2） 直接写出时对应自变量的取值范围；
（3） 若点在线段上，且 ， 求点的坐标．
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21. (2024·新都模拟) 在平面直角坐标系xOy 中，直线与反比例函数的图象交于A（3，m），B两点．
（1） 求直线AB的函数表达式及点B的坐标；
（2） 如图1，过点A的直线分别与x轴，反比例函数y=的图象（x＜0）交于点M ， N ， 且 ， 连接BM ， 求△ABM的面积；
（3） 如图2，点D在另一条反比例函数的图象上，点C在x轴正半轴上，连接DC交该反比例函数图象于点E ， 且DE＝2EC ， 再连接AD ， BC ， 若此时四边形ABCD恰好为平行四边形，求k的值．
四、实践探究题（共3题，共31分）(共3题；共31分)
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22. (2024九下·深圳开学考) 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1） 写出函数关系式中及表格中 ， 的值：
，，；
（2） 根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质： ；
（3） 已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．
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23. (2023九上·郑州经济技术开发月考) 模具厂计划生产面积为4，周长为的矩形模具，对于的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
（1） 建立函数模型：
设矩形相邻两边的长分别为 ， 由矩形的面积为4，得 ， 即；由周长为 ， 得 ， 即 ． 满足要求的应是两个函数图象在第象限内的交点的坐标．
（2） 画出函数图象：
函数的图像如图所示，而函数的图像可由直线平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线 ．
（3） 平移直线 ， 观察函数图象：
当直线平移到与函数的图像有唯一交点时，写出周长的值；
（4） 得出结论：
若能生产出面积为4的矩形模具，求出周长的取值范围．（直接写出结论）
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24. (2023九上·石家庄期中) 综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为 ．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若 ， 能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设为 ， 为 ． 由矩形地块面积为 ， 得到 ， 满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为 ， 得到 ， 满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和 ▲ ， 因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为： ， ；或 ▲ m ， ▲ m ．
（1） 根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
（2） 【类比探究】
若 ， 能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
（3） 【问题延伸】
当木栏总长为时，小颖建立了一次函数 ． 发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点．
请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值．
（4） 【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”．
若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于 ， 请直接写出的取值范围．
难度系数：0.52
第Ⅰ卷 客观题
一、选择题（每题3分，共30分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
二、填空题（每题3分，共15分）
11 12 13 14 15
第Ⅱ卷 主观题
三、解答题（共6题，共44分）
16 17 18 19 20 21
四、实践探究题（共3题，共31分）
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