重庆市第八中学校2024届九年级下学期阶段测试（四）数学试卷（含解析）

这是一份重庆市第八中学校2024届九年级下学期阶段测试（四）数学试卷（含解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. （ ）
A. B. 2024C. D.
答案：B
解析：解：，
故选B．
2. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ）．
A. B. C. D.
答案：A
解析：解：在数轴上表示不等式的解集，
故选：A．
3. 不一定相等的一组是（ ）
A. 与B. 与
C. 与D. 与
答案：D
解析：解：A. =，故选项A不符合题意；
B. ，故选项B不符合题意；
C. ，故选项C不符合题意；
D. ，故选项D符合题意，
故选：D．
4. 如图，该几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：解：从正面看易得，该几何体的视图为B，
故选：B
5. 对于反比例函数，在每个象限内y都随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：解：∵每个象限内y都随x的增大而增大，
∴反比例函数图象分布在二四象限，
A．∵，∴符合题意；
B．∵，∴不符合题意；
C．∵，∴不符合题意；
D．∵在坐标轴上，不在二四象限，∴不符合题意；
故选A．
6. 把黑色圆点按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有6个黑色圆点，第③个图案中有8个黑色圆点，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中黑色圆点的个数为（ ）
A. 12B. 14C. 16D. 18
答案：C
解析：解：由已知图形可知：
第①个图案中有4个黑色圆点，
第②个图案中有6个黑色圆点，，
第③个图案中有8个黑色圆点，，
……
以此类推，第n个图形黑色圆点个数为：，
因此第⑦个图案中黑色圆点的个数为：，
故选C．
7. 将进货价格为38元的商品按单价45元售出时，能卖出300个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为2300元，则下列关系式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：解：根据题意可得：，
即：
故选：D．
8. 如图，是的直径，点C、D是上的两点，连接，且，若，，则的长为（ ）
A. B. 4C. D.
答案：D
解析：解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：D
9. 如图，在正方形内有一点F，连接，有，若的角平分线交于点E，若E为中点，，则的长为（ ）
A. B. 6C. D. 5
答案：C
解析：解：设的长为，连接，过点E作于点H，过点F作于点G．如图所示，
∵四边形是正方形，
∴．
∵为的中点，
∴．
∵平分，
∴，
∵，
∴．
∴，，．
∴．
∴．
∵，．
∴．
∴．
∵，．
∴，
在中，，
∵
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，解得：，
∴．
故选C．
10. 已知两个实数x、y，可按如下规则进行运算：计算的结果，得到的数记为，称为第一次操作．再从x、y、中任选两个数，操作一次得到的数记为；再从x、y、、中任选两个数，操作一次得到的数记为，依次进行下去．以下结论正确的个数为（ ）
①若x、y为方程的两根，则；
②对于整数x、y，若为偶数，在操作过程中，得到的一定为偶数；
③若，要使得成立，则n至少为4．
A. 0B. 1C. 2D. 3
答案：B
解析：解：①x、y为方程的两根，
∴，，
∴
故说法错误；
②对于整数x、y，若为偶数，
则x、y同为偶数或同为奇数，
∴为偶数或奇数，
∴的结果可能为奇数或偶数，
∴得到的一定为偶数说法错误；
③若，则 ，
然后从中选取绝对值较大的两个数，进行计算，
则
，
，
∵
∴要使得成立，则n至少为4，说法正确，
故选：B．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. 单项式的次数是__________．
答案：5
解析：解：单项式的次数是，
故答案为：5
12. 若五边形的内角中有一个角为，则其余四个内角之和为__________．
答案：
解析：解：．
故答案为：．
13. 已知反比例函数，当时，x的取值范围是__________．
答案：或
解析：解：当时，则有，即，
∵，即y随x的增大而增大，反比例函数的图象在第二、四象限，
∴当时，的取值范围是或；
故答案为：或．
14. 不透明的袋子里装有除标号外完全一样的四个小球，小球上分别标有，0，1，2这四个数字，从袋子中随机抽取一个小球，记标号为a，不放回，将袋子摇匀，再随机抽取一个小球，记标号为b，则在第四象限的概率为__________．
答案：
解析：解：画树状图如图：

共有个等可能的结果，则在第四象限的结果有个，
∴在第四象限的概率为，
故答案为：.
15. 如图，AB是半圆O的直径，，将半圆O绕点A逆时针旋转，点B的对应点为，连接，则图中阴影部分的面积是__________．
答案：
解析：解：连接, 过作于，
由旋转的性质得到：，
，
，
，
，
，
，
，
的面积，
扇形的面积 ，
∴阴影的面积的面积扇形的面积，
故答案为： ．
16. 在中，于点D，以为斜边作，与交于点E，使得，连接，，若，则的长为__________．
答案：
解析：解：连接，
∵于点D，
∴，即点D为的中点，
∵以为斜边作，
∴，
∴
∴，
设，则，
∴,
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
又∵，
∴
∴，，
∴，
∴
∴，
在中，
故答案为：
17. 如果关于x的不等式组至少有两个整数解，且关于y的分式方程的解为正整数，则符合条件的所有整数m的和为__________．
答案：12
解析：解：解不等式组，得：，
不等式组至少有两个整数解，
，
解得：，
解关于的分式方程，
得：，且
∴
分式方程解为正整数，且，
符合条件的所有整数的值为5，7，
符合条件的所有整数的和为．
故答案为：12．
18. 若一个四位正整数m的各个数位数字之和是百位上的数字与十位数字之和的3倍，则称这个四位正整数m为“和谐数”．将一个“和谐数”m百位数字和十位数字交换位置后，得到一个新的四位数，记，则__________；当“和谐数”m的百位上的数字是个位上的数字的2倍，千位上的数字与十位上的数字之和能被9整除时，记，则的最大值为__________．
答案： ①. 280 ②. 2534
解析：解：，
设“和谐数”m千位、百位、十位和个位的数字分别为a、b、c、d，
则，
∴，
∵百位上的数字是个位上的数字的2倍，
∴或或或，
∵千位上的数字与十位上的数字之和能被9整除，
∴或或或或或或或或，
∵要满足，
∴或，
∴m的值为8412或7221
∴或，
∴最大值为2534．
故答案为：280，2534．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 计算：
（1）
（2）
答案：（1）
（2）
小问1解析：
解：
；
小问2解析：
解：
．
20. 在中，是的角平分线，作线段的垂直平分线，分别交、，于点E、O、F，连接、，证明四边形是菱形．
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交、，于点E、O、F，连接、（用基本作图，保留作图痕迹，不写作法、结论）
（2）证明：四边形是菱形．
证明：平分，
____________________
是线段的垂直平分线，
，
，
在与中，
，
，
__________________
四边形是菱形．（____________________）
答案：（1）见解析 （2），，，四条边相等的四边形是菱形
小问1解析：
解：作图如下：
小问2解析：
证明：平分，
，
是线段的垂直平分线，
，
，
在与中，
，
，
，
四边形是菱形．（四条边相等的四边形是菱形）
21. 2023年，我国航天事业收获丰硕成果．为激发学生的兴趣，我校举行了航天知识问答活动，从八、九年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取了20名学生的成绒进行统计分析．数据整理如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．）
八年级20名学生的成绩是：76，77，95，84，50，85，85，97，99，92，97，85，65，
82，68，85，78，84，98，84
九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：81，89，83，88，80，89．
八、九年级抽取的学生成绩统计表
九年级抽取的学生成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中__________，__________，__________；
（2）通过以上数据分析，你认为这次比赛中哪个年级的成绩更好？请说明理由（写出一条即可）；
（3）我校八、九年级共有3000人参加此次知识问答活动，请你估计参加此次问答活动成绩优秀的学生有多少人．
答案：（1）；；
（2）九年级的成绩更好，理由见解析
（3）1050人
小问1解析：
解：由题意得，，
∴；
把九年级学生成绩从低到高排列，处在第10名和第11名的成绩分别为88，89，
∴九年级中位数，
∵八年级成绩中，成绩为85的出现了四次，出现的次数最多，
∴八年级的众数，
故答案为：；；；
小问2解析：
解：九年级的成绩更好，理由如下：
从平均成绩看，两个年级的平均成绩相同，但是九年级的中位数和众数都比八年级的大，
∴九年级的成绩更好；
小问3解析：
解：人，
∴估计参加此次问答活动成绩优秀的学生有1050人．
22. 上周末，小马约上小唐一起出发去离学校的地游玩，小唐从学校出发，半小时后、小马也从学校出发，已知小唐的车速是小马的车速的，结果小马比小唐提前分钟到达地．
（1）求小马和小唐的车速分别为多少？（单位：千米小时）
（2）地游玩之后，小马和小唐两车以原速度同时出发前往地，小马的车行驶了小时后发生故障，小马原地检修用了分钟后以原速度的行驶．此时，小唐提高速度，为了保证小唐再用不超过1小时与小马相遇，那么小唐的行驶速度至少提高多少千米小时？
答案：（1）小马和小唐的车速分别为千米小时和千米小时；
（2）小唐的行驶速度至少提高千米小时．
小问1解析：
解：设小马的车速为千米小时，则小唐的车速为千米/小时，
根据题意得：，解得，
经检验是原方程的解，
∴小唐的车速为，
答：小马和小唐的车速分别为千米小时和千米小时；
小问2解析：
解：设小唐的行驶速度提高千米小时，
由题意得：，
解得：，
答：小唐的行驶速度至少提高千米小时．
23. 如图，在中，，点D为斜边的中点，连接，动点E从点A出发，沿着折线运动，速度为每秒个单位长度，到达B点停止运动，过点E作，垂足为点F，点G、H分别是射线，上的两个动点，的长度等于点E运动的路程，，设点E的运动时间为，的长度为，BH的长度为．

（1）直接写出关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质：
（3）结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围：__________．（结果保留1位小数，误差不超过0.2）
答案：（1），
（2）作图见解析，当时，有最大值为8（答案不唯一）；
（3）或
小问1解析：
解：∵，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
，
当时，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
当时，
过D作于点G，

∵点D是的中点，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
根据题意，得，
∵，，，
∴，
∴
小问2解析：
解：画图如下：

根据图象，知：当时，有最大值为8（答案不唯一）；
小问3解析：
解：令，可得：（舍去负值），或
根据图象知：当或时，．
24. 如图，，，，为同一平面内的四个点，已知景点位于景点的正东方向，景点位于景点的正东方向，景点位于点的西北方向米处，景点位于景点的北偏西方向，景点位于景点的南偏东方向．（参考数据：，，，，，）
（1）求景点与景点之间的距离．（结果保留根号）
（2）小豪选择路线前往景点处，小兰选择路线前往景点与小豪汇合，两人在各景点处停留的时间忽略不计．己知两人同时出发且速度相同，请通过计算说明谁先到达景点．
答案：（1）
（2）小豪先到景点
小问1解析：
解：如图，
过点作交延长线于点，
中，，，
，
在中，，
，
答：景点与的距离为米；
小问2解析：
解：如图，
过点作交延长线于点，
在中，，
，，
又在中，，，
，
，
故小豪总路程，
米，
又，
故小兰总路程米，
，
答：小豪先到景点．
25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P为第二象限抛物线上的一点，过点P作轴交直线于点D，过点P作轴交直线于点E，F为y轴上一点，且满足，求的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，将原抛物线进行平移，平移后的抛物线与x轴交于点M，N，顶点为，轴于H，在平移后的抛物线上是否存在点R，使得，若存在，请直接写出R的坐标，若不存在，请说明理由．
答案：（1）
（2）取得最大值2，此时
（3）存在，或
小问1解析：
∵抛物线与x轴交于两点，
∴，
∴，
∴；
小问2解析：
如图，故点D作轴于点Q，
当时，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
设，
则，，
∴，，
∴
，
∵，
∴当时，取得最大值2，此时；
小问3解析：
∵平移后的抛物线顶点为，
∴平移后解析式为．
当时，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
连接，并延长交直线于点K，
①当在的左侧时，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
把点，点代入，得，
∴，
∴直线的解析式为：，
解得，（舍去），
∴．
②当在的右侧时
∵，，
∴
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴，
∴，
用待定系数法可求出．
解得，（舍去），
∴．
综上可知，R的坐标为或．
26. 在等腰中，，点是射线上的一点．
图1 图2 图3
（1）如图1，若，，求的长；
（2）如图2，若，过点作交于点，点为边上的一点，且，过点作交直线于点，求证：；
（3）如图3，若，，点是边上的一点，且，点是平面内任意一点，将沿翻折得到，点为直线上的一点，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，若，当线段最短时求的面积．
答案：（1）
（2）见解析 （3）
小问1解析：
解：过点作，交于点，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，
小问2解析：
解：过点作，交于点，
∵，，，
∴是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即：，
小问3解析：
解：过点，作，交于点，射线上截取，连接、、，过点作，交直线于点，
∵，，，，
∴、是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
由翻折的性质可得，，
∴当取最小值时，取得最小值，
∵当点与点重合时，取得最小值，
∵，，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．年级
平均数
中位数
众数
八年级
c
九年级
b
96