甘肃省金昌市永昌县第一高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

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考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：湘教版必修第二册第1章~第3章3.1~3.2。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数，则（ ）
A．B．10C．D．20
2．已知向量，，若，则实数（ ）
A．B．0C．1D．
3．计算：（ ）
A．B．C．D．
4．若四边形ABCD是平行四边形，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则为（ ）
A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形
7．设向量，的夹角的余弦值为，，，则（ ）
A．－23B．23C．－27D．27
8．古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数．已知，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知复数（i为虚数单位），复数z的共轭复数为，则下列结论正确的是（ ）
A．在复平面内复数z所对应的点位于第四象限
B．
C．
D．
10．关于平面向量，，，下列说法不正确的是（ ）
A．
B．
C．若，且，则
D．
11．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的周长为3，，则（ ）
A．若，则是等边三角形
B．存在非等边满足
C．内部可以放入的最大圆的半径为
D．可以完全覆盖的最小圆的半径为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知，其中x，y是实数，则______．
13．已知平面内A，B，C三点不共线，且点O满足，则O是的______心．（填“重”或“垂”或“内”或“外”）
14．如图，在扇形AOB中，，，点C在扇形AOB内部，，，则阴影部分的面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
已知角的终边经过点，为第一象限角，．
（1）求的值；
（2）求的值．
16．（本小题满分15分）
已知向量，．
（1）当k为何值时，与垂直？
（2）当k为何值时，与平行？
17．（本小题满分15分）
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，．
（1）求和a的值；
（2）求的面积．
18．（本小题满分17分）
如图，在梯形ABCD中，，，，点E，F，G，H分别为线段DC，AB上的三等分点，点P是线段BC上的一点．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）直线AP分别交线段EG，FH于M，N点，若B，N，D三点在同一直线上，求的值．
19．（本小题满分17分）
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角C的大小；
（2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．
永昌县第一高级中学2023—2024—2期中试卷·高一数学
参考答案、提示及评分细则
1．A．故选A．
2．C向量，，则，解得．故选C．
3．B．故选B．
4．D对于A，平行四边形ABCD对边平行且相等，所以，故A正确；对于B，利用向量加法的平行四边形法则得，故B正确；
对于C，利用向量减法的三角形法则得，故C正确；
对于D，∵与是相等的非零向量，∴，故D错误．故选D．
5．D因为，，所以．所以．所以．故选D．
6．C根据正弦定理知，可化为，所以，则，故为直角三角形．故选C．
7．B设与的夹角为，则，又，，所以，所以．故选B．
8．B以C为坐标原点，CD，CA所在直线分别为x，y轴建立如图所示的坐标系，由题意得，则，，，，，，．因为，所以解得所以．故选B．
9．AC复数，在复平面内复数z所对应的点位于第四象限，故A正确；，故B错误；，故C正确；，故D错误．故选AC．
10．CD对于A，由向量的运算法则知正确，故A正确；
对于B，向量数量积满足分配律，故B正确；
对于C，向量数量积不满足消去律，故C错误；
对于D，是与共线的向量，是与共线的向量，故D错误．故选CD．
11．ACD因为的周长为3，且，可得，由余弦定理得．
对于A，因为，所以，即，则，所以为等边三角形，故A正确；
对于B，假设，则，即，则，此时为等边三角形，故B错误；
对于C，由，可得，当且仅当时等号成立，解得或（舍去），所以的面积，的内切圆半径为，所以内部可以放入的最大圆的半径为，故C正确；
对于D，设外接圆的半径为R，因为，所以，解得或（舍去），由，可得，因为，所以，所以可以完全覆盖的最小圆的半径为，故D正确．故选ACD．
12．0由，得，所以，，解得，，所以．
13．垂因为，同理，，故O为的垂心．
14．设，则，，由，，得，在中，由正弦定理得，即，所以，则，，所以，，则，
，
所以，又知扇形AOB的面积为，故阴影部分的面积为．
15．解：（1）∵角的终边经过点，为第一象限角，，
∴，，，
∴．
（2）由（1）得，，
∴，
∴．
16．解：（1）因为，
，
，
若可得，
即，得，
即，与垂直．
（2）当时，有，
解得，
即时，与平行．
17．解（1）在中，由，可得．
又由及，，可得．
由余弦定理得，得，
因为，故解得．
所以，．8分
（2）由（1）知，，，
所以的面积．
18．解：（1）设，，
∵，
∴，即．
（2），，
．
（3）连接BD，∵B，N，D三点共线，，
∴，∴N为BD的中点，
∴．
设，则．
设．
在中，，
∴，
∴，∴解得，
∴，．
19．解：（1）由正弦定理得，
整理得，所以，
又，所以．
（2）法一：由（1）知，即．
因为为锐角三角形，所以解得．
由正弦定理，得，
则
，
当时，，则．
又，
所以，所以，
所以，即，
所以周长的取值范围是．
法二（数形结合）
过点A作，垂足为，
在直线上取一点，使，则与均为直角三角形．
∵为锐角三角形，
∴点B在线段上（不含端点）．
在中，，，易得，
，周长为；
在中，，，易得，，周长为，
所以周长的范围是．