数学（湖南省卷）-2024年中考数学考前押题卷

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第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．）
1．下列各组数中互为相反数的是（ ）
A．2与-B．-2与2C．2与|-2|D．与-2
1.B
【分析】先对各项化简，再根据相反数的定义即可解答．
【解析】A、2与-不互为相反数，故选项错误；
B、-2与2互为相反数，故选项正确；
C、|-2|=2，不互为相反数，故选项错误；
D、与-2不互为相反数，故选项错误；
故选B．
【点睛】本题考查了相反数和绝对值，解决本题的关键是熟记相反数的定义．
2．我国是世界上严重缺水的国家，目前每年可利用的淡水资源总量为27500亿立方米，人均占有淡水量居世界第110位，因此我们要节约用水，其中27500用科学记数法表示为（ ）
A．275×102B．2.75×104C．2.75×105D．27.5×103
2.B
【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数，
所以：27500 = 2.75×104，
故选B.
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3.B
【分析】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
【解析】
解：A、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4.B
【分析】根据合并同类项法则可判断选项A，根据幂的乘方和积的乘方法则可判断选项B，，根据同底数幂的除法法则可判断选项D．
【解析】A．不是同类项，不能合并，选项A不符合题意；
B．，选项B符合题意；
C．，选项C不符合题意；
D．，选项D不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查了合并同类项，幂的乘方和积的乘方以及同底数幂的除法，解题的关键是掌握合并同类项法则，幂的乘方和积的乘方的法则以及同底数幂的除法法则．
5．甲、乙两位同学连续五次的数学成绩如下图所示：
下列说法正确的是（ ）
A．甲的平均数是70B．乙的平均数是80
C．S2甲＞S2乙D．S2甲＝S2乙
5.D
【分析】根据折线统计图中的信息分别计算甲、乙的平均数和方差，即可求得答案
【解析】由条形统计图可知，甲的平均数是，故A选项不正确；
乙的平均数是，故B选项不正确；
甲的方差为，
乙的方差为，
故C选项不正确，D选项正确；
故选D．
【点睛】本题考查了折线统计图，求平均数，求方差，从统计图获取信息是解题的关键．
6．如图是一副三角尺不同位置的摆放，其中，，，若．则的度数等于（ ）
A．10°B．15°C．20°D．无法确定
6.B
【分析】先求出∠DCE=45°，∠ABC=30°，再根据平行线的性质求出∠BCE=30°，进而即可求解．
【解析】∵，，，
∴∠DCE=90°-45°=45°，∠ABC=90°-60°=30°，
∵，
∴∠BCE=∠ABC=30°，
∴=45°-30°=15°，
故选B．
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，平行线的性质，掌握两直线平行，内错角相等是关键．
7．在平面直角坐标系中，已知一次函数，是常数，，随的增大而减小，且，则它的图象经过的象限正确的是（ ）
A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限D．第二、三、四象限
7.D
【分析】本题考查的是一次函数的性质，先根据一次函数，是常数，，随的增大而减小可知，再由可知，据此可得出结论．
【解析】一次函数，是常数，，随的增大而减小，
，
，
，
一次函数，是常数，的图象经过第二、三、四象限．
故选：D．
8．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
8.A
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解析】
由①得，；由②得， ，
故此不等式组的解集为：
在数轴上表示为：
故选：A.
【点睛】考查在数轴上表示不等式的解集，解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键.
9．密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积（单位：变化时，气体的密度（单位：随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示．则正确的是（ ）
A．函数解析式为B．容器内气体的质量是
C．当时，D．当时，
9.C
【分析】利用待定系数法确定反比例函数的解析式，再逐一判定即可．
【解析】设，
将代入得，解得，
，故A选项错误，不符合题意；
是体积单位，故B选项说法不符合题意；
将代入得．
当时，正确，故C选项符合题意；
将代入得，故D选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据题意确定反比例函数的解析式，难度不大．
10．如图，是二次函数（a，b，c是常数，）图象的一部分，与x 轴的一 交点在点和之间，对称轴是直线．对于下列说法：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（ ）
A．①②④B．①②⑤C．②③④D．③④⑤
10.C
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数之间的关系，二次函数图象的性质等等，根据开口向下可得，根据对称轴为直线，可得，据此可判断①②；根据二次函数与y轴交于正半轴，可判断③；根据当时，，可判断④；由函数图象可知二次函数与x轴两个不同的交点，可判断⑤．
【解析】∵二次函数开口向下，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，，故①错误，②正确；
∵二次函数与y轴交于正半轴，
∴，故③正确；
∵当时，，
∴，故④正确；
由函数图象可知二次函数与x轴两个不同的交点，
∴，故⑤错误；∴正确的有②③④，
故选C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．分解因式： ．
11.
【分析】直接利用平方差公式进行分解因式即可．
【解析】，
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
12．若二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
12.
【分析】二次根式要有意义，那么被开方数为非负数，解不等式即可
【解析】二次根式有意义
即
故答案为：
【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练二次根式的性质是解题的关键．
13．平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标为 ．
13.
【分析】关于x轴对称的两个点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，根据原理可直接得到答案．
【解析】点P（1，﹣2）关于x轴的对称点的坐标(1,2)，
故答案为：(1,2)．
【点睛】本题考查的是关于x轴对称的两个点的坐标特点，掌握“关于x轴对称的两个点的横坐标不变，纵坐标互为相反数”是解题的关键．
14．方程的解为 ．
14.x＝1
【分析】观察可得最简公分母是2（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，最后要验根．
【解析】两边都乘以2（x+1）得，
2(x+1)﹣（x﹣3）＝6x
2x+2﹣x+3＝6x
2x﹣x－6x=﹣2﹣3
﹣5 x＝－5
解得 x＝1
经检验：x＝1是原方程的解．
故答案为：x＝1
【点睛】本题考查了分式方程的解法．解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根．
15．五张分别写有的卡片（除数字不同以外，其余都相同），现从中任意取出一张卡片，则该卡片上的数字是负数的概率是 ．
15.
【分析】由五张分别写有-1，2，0，-3，5的卡片（除数字不同以外，其余都相同），先找出写有负数的卡片张数，然后直接利用概率公式求解即可求得答案 ．
【解析】∵五张分别写有﹣1，2，0，﹣3，5的卡片（除数字不同以外，其余都相同），
其中-1，-3是负数，共两个，
∴该卡片上的数字是负数的概率是： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
16．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是 ．
16.20π
【分析】
先利用勾股定理求得AB，进而根据公式
【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴勾股定理可知AB=5，
∵将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥
∴该圆锥是以BC为底面半径，AB为母线组成的即BC=r=4，AB=l=5，
∴圆锥侧面积=，
故答案为：20π．
【点睛】本题考查圆锥侧面积计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
17．如图，已知PA、PB分别切⊙O于A、B点，C为优弧ACB上除A、B一点，若∠P＝70°，则∠ACB的大小为 度．
17.55°
【分析】连接 利用切线的性质定理，四边形的内角和定理求解，再利用圆周角定理可得：从而可得答案．
【解析】如图，连接
PA、PB分别切⊙O于A、B点，



故答案为：
【点睛】本题考查的是四边形的内角和定理，切线的性质定理，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键．
18．在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则点到的距离是 ．
18.
【分析】由题意可知平分，然后根据角平分线的性质即可得出结论．
【解析】由题意可知平分，
∵，，
∴点到的距离等于到的距离，
∴到的距离为,
故答案为：．
【点睛】本题考查了尺规作图－角平分线，以及角平分线的性质，熟知角平分线上的任意一点到角两边的距离相等是解本题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、说明过程或演算步骤）
19．计算：．
【解析】
．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
20．先化简，再求值：，其中，．
【解析】原式=
=
=，
当，时，
原式=
=-1．
【点睛】本题考查整式的化简求值．能正确运用去括号法则去括号是解题关键．
21．某校为了解学生安全意识情况，在全校范围内随机抽取部分同学进行问卷调查，根据调查结果，把学生的安全意识分成A“很强”，B“较强”，C“一般”，D“淡薄”四个类别，并将调查结果绘制成如图两幅均不完整的统计图，根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)这次共抽取了______名学生进行调查统计，扇形统计图中D类别所对应的扇形圆心角的度数是_______；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)该校共有1200名学生，估计该校学生中“安全意识很强”的学生大约有多少人？
【解析】（1）解：这次共抽取了的学生人数为名；
扇形统计图中D类别所对应的扇形圆心角的度数是；
故答案为：60；18
（2）解：A类的人数为名，
将条形统计图补充完整如下：
（3）解：人，
答：估计该校学生中“安全意识很强”的学生大约有240人．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体，明确题意，准确从统计图获取信息是解题的关键．
22．在陕西省洛南县有一右手执刀笔，左手持结绳的古人雕像，是为了纪念中华汉字造字始祖仓颉而建．因不能直接测量，小凯和同学小段想利用所学知识来测量雕像的高度．如图，小凯站在雕像（AB）旁的水平地面上D处，小段在BD之间的水平地面上放置一个平面镜并来回移动，当平面镜移动到点E时，小凯刚好在平面境内看到雕像顶端A，此时测得DE＝0.9米，小凯眼睛距地面的高度CD＝1.8米，然后小段在距离小凯4.1米的点G处用测角仪测得雕像顶端A处的仰角为40°，测角仪FG＝1.6米．已知G、D、E、B在同一水平线上，AB、CD、FG都垂直GB，请根据以上信息，求出雕像的高（AB的长）．（参考数据：sin40°＝0.64，cs40°＝0.77，tan40°＝0.84）
【解析】如图，过F作FH⊥AB于H，
∵AB⊥BG，CD⊥BG，FG⊥BG，
∴四边形BGFH是矩形，
∴BH＝GF＝1.6米，BG＝HF，
设AB＝x米，
由题意得，∠CED＝∠AEB，∠CDE＝∠ABE，
∴△CDE∽△ABE，
∴，
即，
解得：BE＝0.5x，
DE＝0.9米，米，
∴HF＝BG＝GD+DE+BE＝（5+0.5x）（m），
∵∠AFH＝40°，AH＝（x﹣1.6）m，
∴tan∠AFH＝，
解得：x≈10，
经检验：是原方程的根，且符合题意，
∴雕像的高为10m．
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，解直角三角形的应用，掌握利用相似三角形的性质与锐角三角函数的含义解题是解题的关键．
23．如图，矩形EFGH的顶点E、G分别在菱形ABCD的边AD、BC上，顶点F、H在菱形ABCD的对角线BD上．
(1)求证：BG=DE；
(2)若E为AD的中点，AB=5．求FH的长．
【解析】（1）证明：在矩形EFGH中，EH=FG，EH∥GH，
∴∠GFH=∠EHF，
∵∠BFG=180°-∠BFH，
∴∠BFG=∠DHE，
在菱形ABCD中，AD∥BC，
∴∠GBF=∠EDH，
在△BGF与△DEH中，，
∴△BGF≌△DEH（AAS），
∴BG=DE；
（2）解：连接EG，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵E是AD的中点，
∴AE=ED，
∵BG=DE，
∴AE=BG，
又AE∥BG，
∴四边形ABGE是平行四形，
∴EG=AB．
∴EG=AB=5．
∵四边形EFGH是矩形，
∴FH=EG=5．
【点睛】本题考查矩形的性质、菱形的性质，解答本题的关键是利用AAS证明△BGF≌△DEH．
24．某校计划购进A，B两种树木共100棵进行校园绿化，经市场调查：购买A种树木2棵，B种树木5棵，共需600元；购买A种树木3棵，B种树木1棵，共需380元．
（1）求A，B两种树木每棵各多少元？
（2）因布局需要，购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍，实际付款总金额按市场价九折优惠，请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用是多少？
【解析】（1）设A种树每棵x元，B种树每棵y元，依题意得：
，解得：．
答：A种树每棵100元，B种树每棵80元；
（2）设购买A种树木为a棵，则购买B种树木为棵，依题意得：
，解得．
设实际付款总金额是y元，则
，
即．
，y随a的增大而增大，
当时，y最小．
即当时，（元）．
答：当购买A种树木75棵，B种树木25棵时，所需费用最少，最少为8550元．
【点睛】此题考查方程组的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意，列出方程组、不等式及函数关系式是解题的关键．
25．如图，为的直径，C为圆上的一点，D为劣弧的中点，过点D作的切线与的延长线交于点P，与的延长线交于点F，与交于点E．
求证：
(1)；
(2)
(3)若的半径为，，求的长度；
【解析】（1）证明：连接，如图，
为劣弧的中点，
，
．
是的切线，
，
；
（2）证明：连接，，如图，
为劣弧的中点，
，
，．
，
，
，
；
（3）解：设，则．
由（2）知，
．
．
为的直径，
，
．
的半径为，
．
，
解得：或（不合题意，舍去），
．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理及其推论，勾股定理，相似三角形的判定与性质，圆的切线的判定与性质，矩形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，连接，是解决此类问题常添加的辅助线．
26．阅读材料：在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“星之点”，例如：点，，都是“星之点”，显然“星之点“有无数个，我们知道关于x的一元二次方程的求根公式x，故有x1，x2；两根之和x1+x2；两根之积 ；根据以上信息，回答下列的问题：
(1)若点是反比例函数的图象上的“星之点”，求这个反比例函数的解析式；
(2)函数为常数的图象上存在“星之点”吗？若存在，请求出“星之点”的坐标；若不存在，说明理由；
(3)若二次函数 是常数，且的图象上存在两个“星之点”，且满足，，令，试求的取值范围．
【解析】（1）解：∵点是“星之点”
∴，
∵点是反比例函数y的图象上的点
∴
解得：
∴这个反比例函数的解析式为y
（2）函数(，为常数)的图象上存在“星之点”．
设“星之点”在函数(，为常数)的图象上
∴
整理得：
①当，即k时，若，即，方程有无数解，此时有无数个“星之点”
②当，即k时，，则方程无解，没有“星之点”
③当，即时，x=
∴“星之点”坐标为
综上所述，函数 (，为常数)的图象上存在“星之点”，坐标为(，)或无数个．
（3）依题意得：，，
整理得：，，
∴是方程的两个不相等实数根，
∴，，
∵，
∴0，即同号，
∵，
i)当时，，
∴，即，
∴
∴
当时，
∴，即，
∴，
∴8，
综上，，
∵4，
∴，
∴，
∵当时，的值随的增大而增大
∴当时，
∴+
∴t的取值范围为t．
【点睛】本题考查了新定义的理解和应用，反比例函数的性质，一次函数的性质，二次函数的图象与性质，一元二次方程根与系数的关系，不等式的性质．第(3)题的解题关键是由点、代入二次函数后得到以为根的方程，利用根与系数的关系列得关于、的等式，进而根据的范围确定含的二次项式子取值范围，最终求得的取值范围．