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湖南省岳阳市2024届高三下学期教学质量监测（三）（三模）数学试题
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这是一份湖南省岳阳市2024届高三下学期教学质量监测（三）（三模）数学试题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷的注释
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(共8题；共40分)
1. 已知集合 ， ， 则（ ）
A . B . C . D .
2. 若虚数单位是关于的方程的一个根，则（ ）
A . B . 2 C . D . 5
3. 直线的一个方向向量是（ ）
A . B . C . D .
4. 下列命题正确的是（ ）
A . 若直线上有无数个点不在平面内，则 B . 若直线不平行于平面且 ， 则平面内不存在与平行的直线 C . 已知直线 ， ， 平面 ， 且 ， 则直线 ， 平行 D . 已知两条相交直线 ， ， 且平面 ， 则与相交
5. 已知为奇函数，则（ ）
A . B . C . D .
6. 把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相邻的两天，乙丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法数是（ ）
A . 96种 B . 60种 C . 48种 D . 36种
7. 已知等差数列的前项和为 ， 若 ， 则（ ）
A . 有最小值25 B . 有最大值25 C . 有最小值50 D . 有最大值50
8. 已知函数不存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A . B . C . D .
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．(共3题；共18分)
9. 下列结论正确的是（ ）
A . ， 则 B . C . 的展开式的第6项的系数是 D . 的展开式中的系数为
10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A . B . 的单调递减区间为 C . 的图象可由函数的图象向右平移个单位得到 D . 满足条件的最小正整数为2
11. 如图，四边形是圆柱的轴截面且面积为2，四边形绕逆时针旋转到四边形 ， 则（ ）
A . 圆柱的侧面积为 B . 当时， C . 当时，四面体的外接球表面积最小值为 D . 当时，
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．(共3题；共15分)
12. 已知双曲线过点 ， 且渐近线方程为 ， 则的离心率为．
13. 已知角的终边关于直线对称，且 ， 则的一组取值可以是，．
14. 如图所示，直角三角形所在平面垂直于平面 ， 一条直角边在平面内，另一条直角边长为且 ， 若平面上存在点 ， 使得的面积为 ， 则线段长度的最小值为．
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(共5题；共77分)
15. 已知等差数列满足： ， 且、、成等比数列．
（1） 求数列的通项公式；
（2） 若等差数列的公差不为零且数列满足： ， 求数列的前项和 ．
16. 某地区举行专业技能考试，共有8000人参加，分为初试和复试，初试通过后，才能参加复试．为了解考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩，并以此为样本，绘制了样本频率分布直方图，如图所示．
附：若随机变量X服从正态分布 ， 则： ， ．
（1） 若所有考生的初试成绩近似服从正态分布 ， 其中为样本平均数的估计值， ， 试利用正态分布估计所有考生中初试成绩不低于85分的人数；
（2） 复试共四道题，前两道题考生每题答对得5分，答错得0分，后两道题考生每题答对得10分，答错得0分，四道题的总得分为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试中，前两题每题能答对的概率均为 ， 后两题每题能答对的概率均为 ， 且每道题回答正确与否互不影响．规定复试成绩上了20分（含20分）的考生能进入面试，请问该考生进入面试的概率有多大?
17. 已知四棱锥的底面是边长为4的菱形， ， ， ， 是线段上的点，且 ．
（1） 证明：平面；
（2） 点在直线上，求与平面所成角的最大值．
18. 已知动圆过定点且与直线相切，记圆心的轨迹为曲线 ．
（1） 已知、两点的坐标分别为、 ， 直线、的斜率分别为、 ， 证明：；
（2） 若点、是轨迹上的两个动点且 ， 设线段的中点为 ， 圆与动点的轨迹交于不同于的三点、、 ， 求证：的重心的横坐标为定值．
19. 已知的三个角 ， ， 的对边分别为 ， ， 且 ， 点在边上，是的角平分线，设（其中为正实数）．
（1） 求实数的取值范围；
（2） 设函数
①当时，求函数的极小值；
②设是的最大零点，试比较与1的大小．
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(总分：150)
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分数：150分
题数：19
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第Ⅰ卷 客观题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12 13 14
第Ⅱ卷 主观题
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15 16 17 18 19
第Ⅰ卷的注释
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(共8题；共40分)
1. 已知集合 ， ， 则（ ）
A . B . C . D .
2. 若虚数单位是关于的方程的一个根，则（ ）
A . B . 2 C . D . 5
3. 直线的一个方向向量是（ ）
A . B . C . D .
4. 下列命题正确的是（ ）
A . 若直线上有无数个点不在平面内，则 B . 若直线不平行于平面且 ， 则平面内不存在与平行的直线 C . 已知直线 ， ， 平面 ， 且 ， 则直线 ， 平行 D . 已知两条相交直线 ， ， 且平面 ， 则与相交
5. 已知为奇函数，则（ ）
A . B . C . D .
6. 把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相邻的两天，乙丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法数是（ ）
A . 96种 B . 60种 C . 48种 D . 36种
7. 已知等差数列的前项和为 ， 若 ， 则（ ）
A . 有最小值25 B . 有最大值25 C . 有最小值50 D . 有最大值50
8. 已知函数不存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A . B . C . D .
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．(共3题；共18分)
9. 下列结论正确的是（ ）
A . ， 则 B . C . 的展开式的第6项的系数是 D . 的展开式中的系数为
10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A . B . 的单调递减区间为 C . 的图象可由函数的图象向右平移个单位得到 D . 满足条件的最小正整数为2
11. 如图，四边形是圆柱的轴截面且面积为2，四边形绕逆时针旋转到四边形 ， 则（ ）
A . 圆柱的侧面积为 B . 当时， C . 当时，四面体的外接球表面积最小值为 D . 当时，
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．(共3题；共15分)
12. 已知双曲线过点 ， 且渐近线方程为 ， 则的离心率为．
13. 已知角的终边关于直线对称，且 ， 则的一组取值可以是，．
14. 如图所示，直角三角形所在平面垂直于平面 ， 一条直角边在平面内，另一条直角边长为且 ， 若平面上存在点 ， 使得的面积为 ， 则线段长度的最小值为．
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(共5题；共77分)
15. 已知等差数列满足： ， 且、、成等比数列．
（1） 求数列的通项公式；
（2） 若等差数列的公差不为零且数列满足： ， 求数列的前项和 ．
16. 某地区举行专业技能考试，共有8000人参加，分为初试和复试，初试通过后，才能参加复试．为了解考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩，并以此为样本，绘制了样本频率分布直方图，如图所示．
附：若随机变量X服从正态分布 ， 则： ， ．
（1） 若所有考生的初试成绩近似服从正态分布 ， 其中为样本平均数的估计值， ， 试利用正态分布估计所有考生中初试成绩不低于85分的人数；
（2） 复试共四道题，前两道题考生每题答对得5分，答错得0分，后两道题考生每题答对得10分，答错得0分，四道题的总得分为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试中，前两题每题能答对的概率均为 ， 后两题每题能答对的概率均为 ， 且每道题回答正确与否互不影响．规定复试成绩上了20分（含20分）的考生能进入面试，请问该考生进入面试的概率有多大?
17. 已知四棱锥的底面是边长为4的菱形， ， ， ， 是线段上的点，且 ．
（1） 证明：平面；
（2） 点在直线上，求与平面所成角的最大值．
18. 已知动圆过定点且与直线相切，记圆心的轨迹为曲线 ．
（1） 已知、两点的坐标分别为、 ， 直线、的斜率分别为、 ， 证明：；
（2） 若点、是轨迹上的两个动点且 ， 设线段的中点为 ， 圆与动点的轨迹交于不同于的三点、、 ， 求证：的重心的横坐标为定值．
19. 已知的三个角 ， ， 的对边分别为 ， ， 且 ， 点在边上，是的角平分线，设（其中为正实数）．
（1） 求实数的取值范围；
（2） 设函数
①当时，求函数的极小值；
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第Ⅰ卷 客观题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12 13 14
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湖南省岳阳市2024届高三教学质量监测（三）数学试题： 这是一份湖南省岳阳市2024届高三教学质量监测（三）数学试题，共4页。
